2.1.4 Suma de vectores
Suma gráfica de vectores
Para sumar gráficamente dos vectores se traslada el segundo hasta que su origen coincida con el extremo del primero (regla del polígono): el vector suma \(\vec{u} + \vec{v} \) es el que va del origen del primero al extremo del segundo.
Si ambos se dibujan con el mismo origen, la suma es la diagonal del paralelogramo que determinan (regla del paralelogramo).
Para sumar \(\vec{u} = (2, 0) \) y \(\vec{v} = (0, 3) \) se coloca el origen de \(\vec{v} \) en el extremo de \(\vec{u} \): el vector suma \(\vec{u} + \vec{v} = (2, 3) \) es la diagonal del rectángulo que forman.
Resta de vectores
Restar un vector equivale a sumar su opuesto: \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \)
Por componentes queda $$\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3) $$
Con \(\vec{u} = (5, 3) \) y \(\vec{v} = (2, 1) \), la resta es $$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = (5 - 2, 3 - 1) = (3, 2) $$
Propiedades de la suma
La suma de vectores verifica la propiedad conmutativa \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \), la asociativa $$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) $$, la existencia de elemento neutro \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \) y la existencia de elemento opuesto \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)
Gracias a ellas se puede despejar en las ecuaciones vectoriales igual que con números.
Con \(\vec{u} = (1, 2) \) y \(\vec{v} = (3, -1) \) se verifica la propiedad conmutativa: $$\vec{u} + \vec{v} = (4, 1) = \vec{v} + \vec{u} $$
Dados \(\vec{u} = (2, -1, 3) \) y \(\vec{v} = (-1, 4, 2) \), calcula \(\vec{u} + \vec{v} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que la suma analítica se hace componente a componente.
A continuación sustituiremos y operaremos.
Fórmula general.
Si \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) y \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \), entonces $$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3) $$
Sustitución y cálculo.
$$\vec{u} + \vec{v} = (1, 3, 5) $$
Dados \(\vec{a} = (5, 0, -2) \) y \(\vec{b} = (1, -3, 4) \), calcula \(\vec{a} - \vec{b} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que la resta se hace componente a componente.
A continuación sustituiremos y operaremos.
Opuesto del sustraendo.
El opuesto de \(\vec{b} \) es \(-\vec{b} = (-1, 3, -4) \)
Suma con el opuesto.
$$\vec{a} - \vec{b} = (4, 3, -6) $$
Halla el vector \(\vec{x} \) que verifica \(\vec{x} + \vec{u} = \vec{v} \), siendo \(\vec{u} = (1, 2, -1) \) y \(\vec{v} = (3, 0, 2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar el vector incógnita usando las propiedades de la suma.
A continuación sustituiremos los datos.
Despeje.
Sumando \(-\vec{u} \) a ambos miembros: \(\vec{x} = \vec{v} - \vec{u} \)
Cálculo.
$$\vec{x} = (2, -2, 3) $$
Resuelve la ecuación vectorial \(2\vec{x} - \vec{u} = 3\vec{v} \), siendo \(\vec{u} = (1, -2, 0) \) y \(\vec{v} = (0, 3, -1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar el término con la incógnita pasando el resto al otro miembro.
A continuación calcularemos el miembro derecho y dividiremos por el coeficiente.
Despeje de la incógnita.
Sumando \(\vec{u} \) a ambos miembros: \(2\vec{x} = \vec{u} + 3\vec{v} \)
Cálculo del miembro derecho.
División por el coeficiente.
$$\vec{x} = \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{3}{2}\right) $$
Dados \(\vec{a} = (1, 2, 3) \) y \(\vec{b} = (-1, 0, 2) \), halla el vector \(\vec{u} \) tal que \(\vec{a} + 2\vec{u} - \vec{b} = \vec{0} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar el término con la incógnita.
A continuación calcularemos el vector resultante y dividiremos por dos.
Despeje.
Pasando \(\vec{a} \) y \(-\vec{b} \) al otro miembro: \(2\vec{u} = \vec{b} - \vec{a} \)
Cálculo de la diferencia.
División por dos.
$$\vec{u} = \left(-1, -1, -\frac{1}{2}\right) $$