1.6.5 Compatible indeterminado
Qué es un sistema compatible indeterminado
Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
Esto ocurre cuando alguna ecuación es combinación de las demás (información redundante) y por tanto no aporta ninguna condición nueva.
Geométricamente significa, por ejemplo, que dos rectas son la misma o que varios planos se cortan en una recta o en un plano.
El sistema $$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases} $$ tiene infinitas soluciones, porque la segunda ecuación es el doble de la primera y no aporta información nueva: geométricamente son dos veces la misma recta.
Cómo se detecta
Por el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible indeterminado cuando los dos rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas:
El número \(n - r \) se llama grados de libertad e indica cuántos parámetros libres hay que introducir para describir todas las soluciones.
En $$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases} $$ se cumple \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 2 = n \), la condición de sistema compatible indeterminado.
Cómo se resuelve
Se escalona la matriz ampliada por el método de Gauss, se eliminan las filas nulas y se despejan las \(r \) incógnitas principales en función de las \(n - r \) restantes, que se convierten en parámetros libres (normalmente \(\lambda \), \(\mu \)).
Escalonando $$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases} $$ la segunda fila se anula y queda \(x = 4 - 2y \): con el parámetro libre \(y = \lambda \), las soluciones son \((4 - 2\lambda, \lambda) \)
Resuelve el sistema formado por la ecuación \(x + 2y = 4 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar los rangos del sistema.
A continuación introduciremos un parámetro libre.
Para terminar despejaremos la otra incógnita.
Detección del tipo de sistema.
Hay una sola ecuación con dos incógnitas, luego \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 2 = n \): el sistema es compatible indeterminado con \(2 - 1 = 1 \) parámetro libre.
Resolución con un parámetro.
Tomamos \(y = \lambda \) con \(\lambda \in \mathbb{R} \) como parámetro libre.
Sustituyendo en la ecuación, \(x + 2\lambda = 4 \), de donde \(x = 4 - 2\lambda \)
Las infinitas soluciones del sistema son $$\begin{cases} x = 4 - 2\lambda \\ y = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$
Resuelve el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 6 \\ x - y + z = 1 \end{cases} $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por detectar la ecuación redundante.
A continuación escalonaremos la matriz ampliada.
Para terminar despejaremos con un parámetro libre.
Detección de la redundancia.
La segunda ecuación es el doble de
la primera, luego no aporta información nueva y \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3 = n \): el sistema es compatible indeterminado con un parámetro libre.
Resolución.
Nos quedamos con la primera y la tercera ecuación.
Restando la tercera de
la primera: \((x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 1 \), es decir, \(2y = 2 \), luego \(y = 1 \)
Tomamos \(z = \lambda \) con \(\lambda \in \mathbb{R} \); de la primera ecuación \(x + 1 + \lambda = 3 \), luego \(x = 2 - \lambda \)
Las infinitas soluciones son $$\begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$
Resuelve por el método de Gauss el sistema $$\begin{cases} x + 2y + z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y - 2z = -4 \end{cases} $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por escalonar la matriz ampliada.
A continuación hallaremos los rangos para clasificar el sistema.
Para terminar despejaremos las incógnitas en función de un parámetro libre.
Escalonamiento de la matriz ampliada.
Sustituimos la fila dos por la fila dos menos dos veces la fila uno, y la fila tres por la fila tres menos la fila uno:
La tercera fila coincide con la segunda y se elimina.
Clasificación y resolución.
Quedan dos filas no nulas, luego \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3 = n \): compatible indeterminado con un parámetro libre.
De la segunda fila \(-3y - 3z = -9 \), es decir, \(y + z = 3 \)
Tomamos \(z = \lambda \) con \(\lambda \in \mathbb{R} \); entonces \(y = 3 - \lambda \) y de la primera fila $$x = 5 - 2y - z = 5 - 2(3 - \lambda) - \lambda = -1 + \lambda $$
Las infinitas soluciones son $$\begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$
Resuelve el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 2y + 2z = 4 \\ 3x + 3y + 3z = 6 \end{cases} $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por hallar el rango del sistema.
A continuación contaremos los grados de libertad.
Para terminar despejaremos con dos parámetros libres.
Rango del sistema.
Las tres ecuaciones son proporcionales entre sí, luego solo hay una ecuación independiente: \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 3 = n \)
El sistema es compatible indeterminado con \(3 - 1 = 2 \) parámetros libres.
Resolución con dos parámetros.
Nos quedamos con la primera ecuación \(x + y + z = 2 \)
Tomamos \(y = \lambda \) y \(z = \mu \) con \(\lambda, \mu \in \mathbb{R} \) como parámetros libres; entonces \(x = 2 - \lambda - \mu \)
Las infinitas soluciones son $$\begin{cases} x = 2 - \lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$
Discute el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \\ x + y + az = 1 \end{cases} $$ según los valores de \(a \in \mathbb{R} \) y resuelve los casos compatibles indeterminados.
Para resolver este ejemplo empezaremos por estudiar la dependencia entre las filas de la matriz ampliada.
A continuación discutiremos los casos según el valor del parámetro.
Para terminar resolveremos cada caso con sus parámetros libres.
Estudio de las filas.
La segunda fila de la matriz ampliada es siempre el doble de
la primera, luego nunca aporta información nueva.
La tercera fila \((1, 1, a \mid 1) \) coincide con la primera cuando \(a = 1 \) y es independiente de ella cuando \(a \neq 1 \)
Discusión.
Si \(a = 1 \), las tres ecuaciones son la misma y \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 3 = n \): compatible indeterminado con dos parámetros libres.
Si \(a \neq 1 \), hay dos ecuaciones independientes y \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3 = n \): compatible indeterminado con un parámetro libre.
Resolución de cada caso.
Si \(a = 1 \), queda la ecuación \(x + y + z = 1 \); con \(y = \lambda \) y \(z = \mu \) se obtiene \(x = 1 - \lambda - \mu \)
Si \(a \neq 1 \), restando la tercera ecuación de la primera se obtiene \((1 - a)z = 0 \), luego \(z = 0 \); con \(y = \lambda \) se obtiene \(x = 1 - \lambda \)
Si \(a = 1 \) las soluciones son $$\begin{cases} x = 1 - \lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$;
si \(a \neq 1 \) las soluciones son $$\begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$