1.6.2 Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales

El sistema escrito en forma matricial

Todo sistema de $m $ ecuaciones lineales con $n $ incógnitas se puede escribir de forma compacta como una sola ecuación matricial:

$$A \cdot X = B $$

donde $A $ es la matriz de coeficientes (de orden $m \times n $), $X $ es el vector columna de las incógnitas y $B $ es el vector columna de los términos independientes.

Multiplicando la matriz $A $ por el vector $X $ se recupera cada ecuación del sistema.

📝 Ejemplo:

El sistema $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 4x + 5y = 6 \end{cases} $$ se escribe en forma matricial como $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$

La matriz ampliada

Si a la matriz de coeficientes se le añade como última columna la de los términos independientes se obtiene la matriz ampliada $(A|B) $, que contiene toda la información del sistema y es la que se utiliza para aplicar el método de Gauss.

La barra vertical se lee "ampliada con".

📝 Ejemplo:

La matriz ampliada del sistema $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 4x + 5y = 6 \end{cases} $$ es $$(A|B) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) $$

Resolución mediante la matriz inversa

Cuando el sistema es cuadrado y $|A| \neq 0 $, la matriz $A $ tiene inversa.

Primero se escribe la fórmula general con letras, despejando $X $:

$$X = A^{-1} \cdot B $$

y después se sustituyen la matriz inversa $A^{-1} $ y el vector $B $ para obtener la solución.

📝 Ejemplo:

Para $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} ,\ \text{con}\\|A| = -2 \neq 0 $$, la fórmula $X = A^{-1} \cdot B $ da $$X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9/2 \end{pmatrix} $$

📝 Ejemplo 1: Escribir un sistema en forma matricial

Escribe en forma matricial el sistema $$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$, obtén su matriz ampliada y resuélvelo mediante la matriz inversa.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar las matrices $A $, $X $ y $B $ y escribir la matriz ampliada.

A continuación calcularemos la matriz inversa de $A $

Para terminar aplicaremos la fórmula $X = A^{-1} \cdot B $

👉 PASO 1

Forma matricial y matriz ampliada.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} $$

La ecuación matricial es:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} $$

y la matriz ampliada:

$$M = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) $$

👉 PASO 2

Cálculo de la matriz inversa.

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 $$

Los cofactores son $A_{11} = -1 $, $A_{12} = -1 $, $A_{21} = -1 $, $A_{22} = 1 $, luego:

$$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Comprobamos que $A \cdot A^{-1} = I $

👉 PASO 3

Aplicación de la fórmula.

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

✅ Conclusión

La solución del sistema es $x = 3 \ \text{e}\ y = 2 $

📝 Ejemplo 2: Resolución de un sistema de dos ecuaciones por la inversa

Resuelve matricialmente el sistema $$\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el sistema en la forma $A \cdot X = B $

A continuación calcularemos la inversa de la matriz de coeficientes.

Para terminar multiplicaremos por el vector de términos independientes.

👉 PASO 1

Forma matricial.

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} $$

👉 PASO 2

Inversa de la matriz de coeficientes.

$$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 3 - 2 = 1 \neq 0 $$

$$A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $$

👉 PASO 3

Cálculo de la solución.

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 5 \\ -14 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

✅ Conclusión

La solución del sistema es $x = 2 \ \text{e}\ y = 1 $

📝 Ejemplo 3: Sistema de tres ecuaciones resuelto por la inversa

Resuelve matricialmente el sistema $$\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + y - z = 3 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el sistema en forma matricial.

A continuación calcularemos la matriz inversa detallando todos sus cofactores.

Para terminar aplicaremos la fórmula $X = A^{-1} \cdot B $

👉 PASO 1

Forma matricial.

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

👉 PASO 2

Determinante y matriz adjunta.

$$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 $$

Calculamos cada cofactor con la fórmula $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $:

$$A_{11} = (-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1 $$

$$A_{12} = -((1 \cdot (-1)) - 2 \cdot 1) = -(-1 - 2) = 3 $$

$$A_{13} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 1 + 1 = 2 $$

$$A_{21} = -((1 \cdot (-1)) - 1 \cdot 1) = -(-1 - 1) = 2 $$

$$A_{22} = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2 - 1 = -3 $$

$$A_{23} = -(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = -(2 - 1) = -1 $$

$$A_{31} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 2 + 1 = 3 $$

$$A_{32} = -(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = -(4 - 1) = -3 $$

$$A_{33} = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2 - 1 = -3 $$

Transponiendo la matriz adjunta y dividiendo por el determinante:

$$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix} $$

👉 PASO 3

Cálculo de la solución.

$$X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 3 & -3 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 + 4 + 9 \\ 3 - 6 - 9 \\ 2 - 2 - 9 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} $$

✅ Conclusión

La solución del sistema es $x = 4 $, $y = -4 $ y $z = -3 $

📝 Ejemplo 4: Discusión con parámetro y resolución por la inversa

Discute el sistema $$\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ x + y + 2z = 2 \\ 2x + ay + 3z = 3 \end{cases} $$ según los valores de $a \in \mathbb{R} $, y resuélvelo matricialmente para $a = 0 $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la forma matricial y la matriz ampliada.

A continuación calcularemos el determinante en función del parámetro para discutir el sistema.

Para terminar resolveremos por la matriz inversa el caso $a = 0 $

👉 PASO 1

Forma matricial y matriz ampliada.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & a & 3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$M = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & a & 3 & 3 \end{array}\right) $$

👉 PASO 2

Discusión del sistema.

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & a & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot a) - (1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot a) = (a + 11) - (2a + 8) = 3 - a $$

Si $a \neq 3 $ el determinante es distinto de cero y el sistema es compatible determinado.

Si $a = 3 $, la tercera fila es la suma de las dos primeras y $3 = 1 + 2 $, luego el sistema es compatible indeterminado.

👉 PASO 3

Resolución por la inversa para $a = 0 $

Para $a = 0 $, $|A| = 3 \neq 0 $

Calculando los cofactores se obtiene:

$$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -6 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} $$

$$X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -6 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 - 12 + 9 \\ 1 + 2 - 3 \\ -2 + 8 - 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

✅ Conclusión

Si $a \neq 3 $ el sistema es compatible determinado;

si $a = 3 $ es compatible indeterminado; y para $a = 0 $ la solución es $x = 0 $, $y = 0 $, $z = 1 $

📝 Ejemplo 5: Sistema de tres ecuaciones resuelto por la inversa

Resuelve matricialmente el sistema $$\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ x + y + 2z = 5 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la forma matricial del sistema.

A continuación calcularemos la matriz inversa a partir de su matriz adjunta.

Para terminar aplicaremos la fórmula $X = A^{-1} \cdot B $

👉 PASO 1

Forma matricial.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

👉 PASO 2

Matriz inversa.

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 $$

Calculando los nueve cofactores y transponiendo la matriz adjunta se obtiene:

$$A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} $$

👉 PASO 3

Cálculo de la solución.

$$X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4 - 5 + 9 \\ 12 - 5 - 3 \\ -4 + 15 - 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

✅ Conclusión

La solución del sistema es $x = 0 $, $y = 1 $ y $z = 2 $