1.6.1 Regla de Cramer

Cuándo se puede aplicar la regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer cuando tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (es un sistema cuadrado) y el determinante de su matriz de coeficientes $A $ es distinto de cero.

En ese caso el teorema de Rouché-Frobenius garantiza que el sistema es compatible determinado, es decir, que tiene una única solución.

$$|A| \neq 0 $$

📝 Ejemplo:

El sistema $$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ es un sistema de Cramer, porque es cuadrado y el determinante de su matriz de coeficientes $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 $$

Las matrices auxiliares A_i

Para cada incógnita $x_i $ se construye una matriz auxiliar $A_i $ copiando la matriz de coeficientes $A $ y sustituyendo su columna $i $ por la columna de los términos independientes $B $

Si el sistema tiene $n $ incógnitas, se construyen $n $ matrices auxiliares: $A_1, A_2, \dots, A_n $

📝 Ejemplo:

Para el sistema $$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$, las matrices auxiliares son $$A_x = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$ y $$A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$, obtenidas sustituyendo la columna correspondiente por $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} $

La fórmula de Cramer

Antes de sustituir ningún valor se escribe la fórmula general con letras:

$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|} $$

Es decir, cada incógnita es el cociente entre el determinante de su matriz auxiliar y el determinante de la matriz de coeficientes.

📝 Ejemplo:

Con $|A| = -3 $, $|A_x| = -5 - 1 = -6 $ y $|A_y| = 2 - 5 = -3 $, la fórmula de Cramer da $$x = \frac{-6}{-3} = 2 \ \text{e}\\y = \frac{-3}{-3} = 1 $$

📝 Ejemplo 1: Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Resuelve por la regla de Cramer el sistema $$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que el sistema es cuadrado y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

A continuación construiremos las matrices auxiliares de cada incógnita.

Para terminar aplicaremos la fórmula de Cramer.

👉 PASO 1

Comprobación del determinante de la matriz de coeficientes.

La matriz de coeficientes del sistema es $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Calculamos su determinante:

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -1 - 1 = -2 \neq 0 $$

Como el sistema es cuadrado y el determinante es distinto de cero, se puede aplicar la regla de Cramer.

👉 PASO 2

Matrices auxiliares y aplicación de la fórmula.

Sustituimos la primera columna por los términos independientes para obtener $A_x $, y la segunda columna para obtener $A_y $:

$$|A_x| = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -5 - 1 = -6 $$

$$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = 1 - 5 = -4 $$

Aplicamos la fórmula $x_i = \frac{|A_i|}{|A|} $:

$$x = \frac{-6}{-2} = 3 $$

$$y = \frac{-4}{-2} = 2 $$

✅ Conclusión

La única solución del sistema es $x = 3 \ \text{e}\\y = 2 $

📝 Ejemplo 2: Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Resuelve por la regla de Cramer el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y - z = 1 \\ 2z = 4 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes.

A continuación construiremos las tres matrices auxiliares.

Para terminar aplicaremos la fórmula de Cramer a cada incógnita.

👉 PASO 1

Determinante de la matriz de coeficientes.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Al ser una matriz triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal:

$$|A| = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \neq 0 $$

👉 PASO 2

Matrices auxiliares y fórmula de Cramer.

Calculamos cada determinante por la regla de Sarrus:

$$|A_x| = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (6 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 4 + 6 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 2) = 8 - 6 = 2 $$

$$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 4) - (1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot 4 + 6 \cdot 0 \cdot 2) = 2 - (-4) = 6 $$

$$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4 $$

Aplicando $x_i = \frac{|A_i|}{|A|} $:

$$x = \frac{2}{2} = 1 $$

$$y = \frac{6}{2} = 3 $$

$$z = \frac{4}{2} = 2 $$

✅ Conclusión

La única solución del sistema es $x = 1 $, $y = 3 $ y $z = 2 $

📝 Ejemplo 3: Sistema de tres ecuaciones con solución fraccionaria

Resuelve por la regla de Cramer el sistema $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ x + y + 2z = 4 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes por la regla de Sarrus.

A continuación calcularemos los determinantes de las tres matrices auxiliares.

Para terminar aplicaremos la fórmula de Cramer y simplificaremos las fracciones.

👉 PASO 1

Determinante de la matriz de coeficientes.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 1) - ((-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 - 12 = -10 \neq 0 $$

👉 PASO 2

Determinantes de las matrices auxiliares.

$$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 5 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 \cdot 1) - ((-1) \cdot (-1) \cdot 4 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5 \cdot 2) = 17 - 27 = -10 $$

$$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 4) - ((-1) \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 4) = 5 - 11 = -6 $$

$$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 4) = 8 - 20 = -12 $$

👉 PASO 3

Aplicación de la fórmula de Cramer.

$$x = \frac{-10}{-10} = 1 $$

$$y = \frac{-6}{-10} = \frac{3}{5} $$

$$z = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5} $$

✅ Conclusión

La única solución del sistema es $x = 1 $, $y = \frac{3}{5} $ y $z = \frac{6}{5} $

📝 Ejemplo 4: Discusión y resolución de un sistema con parámetro

Discute el sistema $$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases} $$ según los valores del parámetro $a \in \mathbb{R} $, y resuélvelo por la regla de Cramer cuando sea compatible determinado.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro.

A continuación discutiremos los casos según se anule o no ese determinante.

Para terminar aplicaremos la regla de Cramer en el caso compatible determinado.

👉 PASO 1

Determinante en función del parámetro.

$$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a \cdot a - 1 \cdot 1 = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $$

El determinante se anula cuando $a = 1 $ o cuando $a = -1 $

👉 PASO 2

Discusión del sistema.

Si $a \neq 1 $ y $a \neq -1 $, el determinante es distinto de cero y el sistema es compatible determinado.

Si $a = 1 $, las dos ecuaciones son $x + y = 1 $ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $a = -1 $, las ecuaciones son $-x + y = 1 $ y $x - y = 1 $, contradictorias entre sí, y el sistema es incompatible.

👉 PASO 3

Resolución por Cramer del caso compatible determinado.

Para $a \neq 1 $ y $a \neq -1 $:

$$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - 1 \cdot 1 = a - 1 $$

$$|A_y| = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - 1 \cdot 1 = a - 1 $$

$$x = \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1} $$

$$y = \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1} $$

✅ Conclusión

Si $a \neq 1 $ y $a \neq -1 $ el sistema es compatible determinado con solución $x = y = \frac{1}{a+1} $;

si $a = 1 $ es compatible indeterminado, y si $a = -1 $ es incompatible.

📝 Ejemplo 5: Discusión y resolución de un sistema de tres ecuaciones con parámetro

Discute el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 2 \\ x + y + az = 3 \end{cases} $$ según los valores de $a \in \mathbb{R} $, y resuélvelo por la regla de Cramer cuando sea compatible determinado.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro.

A continuación discutiremos los casos según se anule o no.

Para terminar aplicaremos la regla de Cramer en el caso compatible determinado.

👉 PASO 1

Determinante en función del parámetro.

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1) = (a^2 + 2) - (2a + 1) = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2 $$

El determinante se anula solo cuando $a = 1 $

👉 PASO 2

Discusión del sistema.

Si $a \neq 1 $, el determinante es distinto de cero y el sistema es compatible determinado.

Si $a = 1 $, las tres ecuaciones son $x + y + z = 1 $, $x + y + z = 2 $ y $x + y + z = 3 $, incompatibles entre sí, luego el sistema es incompatible.

👉 PASO 3

Determinantes auxiliares del caso compatible determinado.

Para $a \neq 1 $:

$$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 3 & 1 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot a \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1) = (a^2 + 5) - (5a + 1) = a^2 - 5a + 4 = (a - 1)(a - 4) $$

$$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3) - (1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 3) = (2a + 4) - (a + 5) = a - 1 $$

$$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 1) = (3a + 3) - (a + 5) = 2a - 2 = 2(a - 1) $$

👉 PASO 4

Aplicación de la fórmula de Cramer.

$$x = \frac{(a - 1)(a - 4)}{(a - 1)^2} = \frac{a - 4}{a - 1} $$

$$y = \frac{a - 1}{(a - 1)^2} = \frac{1}{a - 1} $$

$$z = \frac{2(a - 1)}{(a - 1)^2} = \frac{2}{a - 1} $$

✅ Conclusión

Si $a \neq 1 $ el sistema es compatible determinado con solución $x = \frac{a-4}{a-1} $, $y = \frac{1}{a-1} $, $z = \frac{2}{a-1} $;

si $a = 1 $ el sistema es incompatible.