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1.4.5 Estudio de la inversa de una matriz dependiente de un parámetro

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Discusión de la existencia según el parámetro
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Discusión de la existencia según el parámetro

Cuando la matriz depende de un parámetro, el primer paso es calcular su determinante en función de dicho parámetro e igualarlo a cero.

Los valores que anulan el determinante hacen la matriz singular;

para todos los demás valores la matriz es regular y tiene inversa.

Ejemplo:

Para $$A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} $$, el determinante es \(|A(m)| = m^2 - 1 \): se anula para \(m = 1 \) y \(m = -1 \), que son los únicos valores que hacen singular a la matriz.

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Inversa en función del parámetro

Con \(|A(m)| \neq 0 \) se aplica la fórmula de los adjuntos dejando el determinante simbólico, de modo que la inversa queda expresada en función del parámetro.

Al sustituir un valor concreto del parámetro debe comprobarse antes que no anule el determinante.

Ejemplo:

Si \(m \neq \pm 1 \), la matriz $$A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} $$ es regular y su inversa queda en función del parámetro: $$A(m)^{-1} = \frac{1}{m^2-1}\begin{pmatrix} m & -1 \\ -1 & m \end{pmatrix} $$

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Esquema típico de examen

Los ejercicios con parámetros suelen pedir:

a) los valores del parámetro para los que no existe la inversa;

b) la inversa para un valor concreto del parámetro;

c) la resolución de una ecuación matricial con ese valor.

Cada apartado se resuelve de forma autónoma.

Ejemplo:

Con el valor concreto \(m = 2 \), que no anula el determinante, $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ tiene \(|A| = 3 \) y su inversa es $$A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 1: Discutir la existencia según el parámetro

Estudia para qué valores de \(m \) tiene inversa la matriz $$A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz en función de \(m \)

A continuación igualaremos el determinante a cero para hallar los valores singulares.

Para terminar clasificaremos los casos.

PASO 1

Determinante en función de \(m \)

$$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} = m \cdot m - 1 \cdot 1 = m^2 - 1 $$
PASO 2

Valores que anulan el determinante.

$$m^2 - 1 = 0 \rightarrow m^2 = 1 \rightarrow m = 1 \text{ o } m = -1 $$
Conclusión

La matriz es singular para \(m = 1 \) y para \(m = -1 \);

para cualquier otro valor de \(m \) es regular y tiene inversa.

Ejemplo 2: Inversa en función del parámetro

Escribe en función de \(m \) la inversa de la matriz $$A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} $$ del ejemplo anterior.

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar el determinante calculado y la condición de existencia.

A continuación aplicaremos la fórmula de la inversa para matrices de orden dos.

Para terminar escribiremos la inversa en función de \(m \)

PASO 1

Condición de existencia.

Del ejemplo anterior, \(|A| = m^2 - 1 \), luego la fórmula solo es válida para \(m \neq 1 \) y \(m \neq -1 \)

PASO 2

Aplicación de la fórmula.

Para una matriz de orden dos, $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Sustituyendo:

$$A^{-1} = \frac{1}{m^2 - 1} \cdot \begin{pmatrix} m & -1 \\ -1 & m \end{pmatrix} $$
Conclusión

Para \(m \neq \pm 1 \), la inversa es $$A^{-1} = \frac{1}{m^2 - 1} \begin{pmatrix} m & -1 \\ -1 & m \end{pmatrix} $$

Ejemplo 3: Matriz de orden tres con parámetro

Dada $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$:

a) Halla los valores de \(\lambda \) para los que no existe \(A^{-1} \)

b) Para \(\lambda = 2 \), calcula \(A^{-1} \)

Apartado a:

$$ $$

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz en función de \(\lambda \)

A continuación igualaremos el determinante a cero.

Para terminar daremos los valores singulares.

PASO 1

Determinante en función de \(\lambda \)

Desarrollando por la tercera fila:

$$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ \lambda & 1 \end{vmatrix} = 1 - \lambda^2 $$
PASO 2

Valores singulares.

$$1 - \lambda^2 = 0 \rightarrow \lambda^2 = 1 \rightarrow \lambda = 1 \text{ o } \lambda = -1 $$

Así pues, no existe \(A^{-1} \) para \(\lambda = 1 \) ni para \(\lambda = -1 \)

Apartado b:

$$ $$

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por sustituir \(\lambda = 2 \) y comprobar que la matriz es regular.

A continuación calcularemos su inversa por el método de los adjuntos.

Para terminar escribiremos el resultado.

PASO 1

Sustitución y determinante.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad |A| = 1 - 2^2 = -3 \neq 0 $$
PASO 2

Inversa por adjuntos.

El bloque de orden dos de la esquina superior izquierda tiene inversa $$\frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$, y la tercera fila y columna son independientes:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Conclusión

Para \(\lambda = 2 \) la matriz es regular y su inversa es $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 4: Discusión completa de una matriz de orden tres

Dada $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} $$:

a) Halla los valores de \(m \) para los que \(A \) no tiene inversa.

b) Para \(m = 0 \), calcula \(A^{-1} \)

Apartado a:

$$ $$

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz en función de \(m \) desarrollando por la primera fila.

A continuación factorizaremos la expresión obtenida.

Para terminar igualaremos a cero.

PASO 1

Determinante en función de \(m \)

$$|A| = m \cdot \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = m(m^2 - 1) - (m - 1) + (1 - m) = m^3 - 3m + 2 $$
PASO 2

Factorización e igualación a cero.

$$m^3 - 3m + 2 = (m - 1)^2 (m + 2) $$
$$(m - 1)^2 (m + 2) = 0 \rightarrow m = 1 \text{ o } m = -2 $$

Así pues, la matriz no tiene inversa para \(m = 1 \) ni para \(m = -2 \)

Apartado b:

$$ $$

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por sustituir \(m = 0 \) y comprobar que el determinante no se anula.

A continuación calcularemos la inversa por el método de Gauss-Jordan.

Para terminar escribiremos el resultado.

PASO 1

Sustitución y determinante.

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad |A| = (0 - 1)^2 (0 + 2) = 2 \neq 0 $$
PASO 2

Inversa por Gauss-Jordan.

Formamos la ampliada e intercambiamos la primera fila con la segunda; tras las operaciones elementales se llega a:

$$(I_3 \mid A^{-1}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right) $$
Conclusión

Para \(m = 0 \), $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Ejemplo 5: Ecuación matricial con parámetro

Dada $$A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 2 & m - 1 \end{pmatrix} $$:

a) Discute para qué valores de \(m \) existe \(A^{-1} \)

b) Para \(m = 0 \), resuelve la ecuación \(A \cdot X = B \), donde $$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Apartado a:

$$ $$

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante en función de \(m \)

A continuación factorizaremos la expresión.

Para terminar daremos los valores singulares.

PASO 1

Determinante y factorización.

$$|A| = m(m - 1) - 2 = m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1) $$
PASO 2

Valores singulares.

$$(m - 2)(m + 1) = 0 \rightarrow m = 2 \text{ o } m = -1 $$

Así pues, \(A^{-1} \) existe para todo \(m \) distinto de \(2 \) y de \(-1 \)

Apartado b:

$$ $$

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por sustituir \(m = 0 \) y calcular la inversa de la matriz resultante.

A continuación despejaremos \(X \) multiplicando por la izquierda por la inversa.

Para terminar comprobaremos el resultado.

PASO 1

Sustitución e inversa.

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad |A| = -2 \neq 0 $$
$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
PASO 2

Despeje de \(X \)

$$A \cdot X = B \rightarrow X = A^{-1} \cdot B $$
$$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
PASO 3

Comprobación.

$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = B $$
Conclusión

La solución es $$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$