1.3.3 Método de Gauss para hallar el rango de una matriz
Definición de rango de una matriz
El rango de una matriz \(A \), que se escribe \(\text{rg}(A) \), es el número de filas no nulas de su forma escalonada, es decir, el número de pivotes.
Por tanto, una matriz nula tiene rango \(0 \), y para una matriz de \(m \) filas y \(n \) columnas se cumple siempre que \(\text{rg}(A) \leq \min(m, n) \)
La matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) se escalona con \(F_2 \to F_2 - 2F_1 \) hasta \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \): tiene una sola fila no nula, luego \(\text{rg} = 1 \)
El método de Gauss para hallar el rango
Cuando la matriz es numérica (sin parámetros), el rango se estudia obligatoriamente por el método de Gauss: se escalona la matriz y el rango es el número de filas no nulas de la forma escalonada.
No se usan determinantes en este caso.
Para $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} ,\ \text{con}\ F_3 \to F_3 - F_1 $$ y después \(F_3 \to F_3 - F_2 \) queda $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$: hay dos filas no nulas, luego \(\text{rg}(B) = 2 \)
Halla el rango de $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por terminar de escalonar la matriz con el método de Gauss.
A continuación contaremos las filas no nulas del resultado.
Escalonado por Gauss.
Las dos últimas filas son iguales, luego \(F_3 \leftarrow F_3 - F_2 \) da \((0, 0, 0) \)
Queda $$A_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Conteo de filas no nulas.
Hay dos filas no nulas, luego \(\text{rg}(A) = 2 \)
El rango de \(A \) es \(2 \)
Halla el rango de $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por escalonar la matriz por el método de Gauss.
A continuación contaremos las filas no nulas.
Escalonado por Gauss.
Aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \), que da \((0, 0, 1, 1) \); y \(F_3 \leftarrow F_3 + F_1 \), que da \((0, 0, 2, 2) \)
Después \(F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2 \), que da \((0, 0, 0, 0) \)
Queda $$B_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Conteo de filas no nulas.
Hay dos filas no nulas, luego \(\text{rg}(B) = 2 \)
El rango de \(B \) es \(2 \)
Halla el rango de $$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por anular la primera columna por debajo del pivote.
A continuación reordenaremos las filas para continuar el escalonado y contaremos las filas no nulas.
Anulación de la primera columna.
Con el pivote \(1 \) aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \), que da \((0, 0, 0, 1) \); y \(F_3 \leftarrow F_3 - F_1 \), que da \((0, 0, 0, 2) \)
Reordenación y anulación final.
Permutamos la segunda fila con la cuarta, \(F_2 \leftrightarrow F_4 \), y queda un pivote \(1 \) en la posición (2,2).
Después \(F_4 \leftarrow F_4 - \frac{1}{2}F_3 \) anula la última fila: \((0, 0, 0, 0) \)
Conteo de filas no nulas.
La forma escalonada tiene tres filas no nulas, luego \(\text{rg}(D) = 3 \)
El rango de \(D \) es \(3 \)
Halla el rango de $$E = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por escalonar la matriz observando las relaciones entre sus filas.
A continuación reordenaremos las filas nulas al final y contaremos las no nulas.
Escalonado por Gauss.
La segunda fila es el doble de
la primera, luego \(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \) la anula: \((0, 0, 0) \)
Permutamos \(F_2 \leftrightarrow F_3 \) para llevar la fila nula al final.
Conteo de filas no nulas.
La forma escalonada $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ tiene dos filas no nulas, luego \(\text{rg}(E) = 2 \)
El rango de \(E \) es \(2 \)
Estudia el rango de $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & k \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$ según los valores de \(k \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escalonar la matriz por el método de Gauss, ya que los pivotes no dependen del parámetro.
A continuación estudiaremos cuándo se anula la última fila.
Escalonado por Gauss.
Aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \), que da \((0, 1, k - 2) \); y \(F_3 \leftarrow F_3 - F_1 \), que da \((0, 1, 2) \)
Después \(F_3 \leftarrow F_3 - F_2 \), que da \((0, 0, 4 - k) \)
Queda $$C_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k - 2 \\ 0 & 0 & 4 - k \end{pmatrix} $$
Discusión del parámetro.
La última fila se anula cuando \(4 - k = 0 \), es decir, cuando \(k = 4 \)
Conclusión del estudio.
Si \(k = 4 \), hay dos filas no nulas y \(\text{rg}(C) = 2 \)
Si \(k \neq 4 \), hay tres filas no nulas y \(\text{rg}(C) = 3 \)
El rango de \(C \) es \(2 \) si \(k = 4 \), y \(3 \) si \(k \neq 4 \)