1.3.2 Método de Gauss para escalonar una matriz
1. Operaciones elementales por filas Dos matrices son equivalentes, y se escribe \(A \sim A'\), cuando una se obtiene de la otra mediante operaciones elementales por filas. Hay tres tipos: \(F_i \leftrightarrow F_j\): permutar dos filas. \(F_i \leftarrow k \cdot F_i ,\ \text{con}\ k \neq 0\): multiplicar una fila por un número no nulo. \(F_i \leftarrow F_i + k \cdot F_j ,\ \text{con}\ i \neq j\): sumar a una fila un múltiplo de otra. Estas operaciones no cambian el rango de la matriz ni las soluciones de un sistema. Ejemplo: En \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), la operación \(F_2 \to F_2 - 3F_1\) produce la matriz equivalente \(A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\), con un cero bajo el pivote. 2. El algoritmo del método de Gauss El método de Gauss escalona una matriz de \(m \times n\) aplicando estas ideas columna a columna: se elige como pivote el primer elemento no nulo de la primera fila (si es cero, se permuta con una fila inferior); se anulan todos los elementos que están debajo del pivote con operaciones del tipo \(F_k \leftarrow F_k - \frac{a_{k1}}{a_{11}} F_1\); y se repite el proceso con la submatriz restante, sin tocar las filas ya escalonadas. Ejemplo: Escalonando \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\): con \(F_2 \to F_2 - 2F_1\) y \(F_3 \to F_3 - F_1\) queda \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\), y con \(F_3 \to F_3 - F_2\) se llega a la forma escalonada \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\) Ejemplo 1: Escalonar una matriz de orden 2 Escalona la matriz \(A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\) usando operaciones elementales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por crear un pivote igual a uno en la posición (1,1). A continuación anularemos el elemento que está debajo de él.
Creación del pivote.
Dividimos la primera fila entre dos: \(F_1 \leftarrow \frac{1}{2} F_1\), obteniendo \(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\)
Anulación del elemento inferior.
Restamos la primera fila a
la segunda: \(F_2 \leftarrow F_2 - F_1\), obteniendo \(A_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
La forma escalonada de \(A\) es \(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Escalona \(M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 11 \end{pmatrix}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por tomar como pivote el elemento (1,1). A continuación anularemos el elemento que está debajo de él con una sola operación elemental.
Elección del pivote.
El elemento \(a_{11} = 1\) ya es un buen pivote, no hace falta permutar ni reescalar.
Anulación de la columna.
Aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1\): \((3, -5, 11) - 3(1, -2, 3) = (0, 1, 2)\) Resulta \(M_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)
La forma escalonada de \(M\) es \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)
Escalona \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 8 \end{pmatrix}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por anular la primera columna por debajo del pivote. A continuación anularemos la segunda columna por debajo de su pivote, sin tocar la primera fila.
Anulación de la primera columna.
El pivote es \(a_{11} = 1\) Aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1\): \((2, 5, 1) - 2(1, 2, -1) = (0, 1, 3)\); y \(F_3 \leftarrow F_3 + F_1\): \((-1, 1, 8) + (1, 2, -1) = (0, 3, 7)\) Queda \(A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix}\)
Anulación de la segunda columna.
El nuevo pivote es \(a_{22} = 1\) Aplicamos \(F_3 \leftarrow F_3 - 3F_2\): \((0, 3, 7) - 3(0, 1, 3) = (0, 0, -2)\)
Lectura del resultado.
La matriz ya está escalonada: \(A_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\)
La forma escalonada de \(A\) es \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\)
Escalona \(B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 5 & -7 & 7 \end{pmatrix}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la primera fila para obtener un pivote igual a uno. A continuación anularemos la primera columna y después la segunda.
Simplificación del pivote.
Dividimos la primera fila entre dos: \(F_1 \leftarrow \frac{1}{2} F_1\), y queda \(F_1 = (1, 2, -1, 3)\)
Anulación de la primera columna.
Aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - F_1\), que da \((0, 1, 2, 2)\); y \(F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1\), que da \((0, -1, -4, -2)\)
Anulación de la segunda columna.
Con el pivote \(1\) en la posición (2,2), aplicamos \(F_3 \leftarrow F_3 + F_2\), que da \((0, 0, -2, 0)\) Resulta \(B_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}\)
La forma escalonada de \(B\) es \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}\)
Escalona \(C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por anular la primera columna por debajo del pivote. A continuación anularemos la segunda columna y observaremos qué ocurre con la última fila.
Anulación de la primera columna.
Con el pivote \(a_{11} = 1\) aplicamos \(F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1\), que da \((0, 3, -3)\); y \(F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1\), que da \((0, 3, -3)\)
Anulación de la segunda columna.
Aplicamos \(F_3 \leftarrow F_3 - F_2\), que da \((0, 0, 0)\) Resulta \(C_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Interpretación.
La tercera fila se ha anulado porque era combinación lineal de las dos primeras; en concreto, \(F_3 = F_1 + F_2\)
La forma escalonada de \(C\) es \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\), con una fila nula al final.