6.5 6.5 Variables aleatorias en el muestreo

Definición de variable aleatoria

Una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada resultado de un espacio muestral.

De forma rigurosa, si tenemos un espacio probabilístico, una variable aleatoria $X $ es una aplicación desde el espacio muestral a la recta real.

Esto nos permite estudiar los experimentos aleatorios utilizando herramientas matemáticas como funciones y distribuciones.

📝 Ejemplo:

Al lanzar un dado con $X $ igual a la puntuación, $$F(2) = P(X \leq 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

El dado es una variable discreta con valores $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $; el tiempo de espera del autobús, con valores en un intervalo continuo, es absolutamente continua y se describe con una densidad.

Función de distribución

📝 Ejemplo:

Al lanzar dos monedas, la variable $X $ que cuenta el número de caras es una aplicación del espacio muestral en los reales: vale $2 $ en (cara, cara), $1 $ en (cara, cruz) y (cruz, cara), y $0 $ en (cruz, cruz).

Para cada variable aleatoria, se define su función de distribución, que representa la probabilidad acumulada hasta un cierto valor.

$$F(x) = P(X \leq x) $$

Las variables aleatorias se clasifican principalmente en dos tipos: discretas y absolutamente continuas.

Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.

Para las variables discretas, se define la función de probabilidad o de cuantía, que asigna a cada valor posible su probabilidad exacta.

$$f(x) = P(X = x) $$

La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de una variable discreta siempre debe ser exactamente uno.

$$\sum f(x) = 1 $$

Por otro lado, una variable aleatoria absolutamente continua toma valores en intervalos de la recta real.

En este caso, la probabilidad se define utilizando una función de densidad, que debe ser siempre no negativa y cuya integral sobre toda la recta real debe ser uno.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $$

A continuación presentaremos tres ejemplos sobre el manejo de variables aleatorias.

📝 Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda dos veces

Lanzamos una moneda equilibrada dos veces y definimos la variable aleatoria $X $ como el número de caras obtenidas.

Los valores posibles que puede tomar $X $ son $0 $, $1 $ y $2 $

Calcula la función de probabilidad de $X $, es decir, $P(X = 0) $, $P(X = 1) $ y $P(X = 2) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por describir el espacio muestral del experimento y asignar su probabilidad a cada resultado elemental.

A continuación definiremos la variable aleatoria sobre dicho espacio muestral.

Para terminar calcularemos la probabilidad de cada valor posible de la variable.

👉 PASO 1

Espacio muestral y probabilidades de los resultados.

El experimento consiste en lanzar una moneda dos veces.

El espacio muestral está formado por los cuatro pares ordenados de resultados:

$$\Omega = \{ (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz) \} $$

Como la moneda es equilibrada y los dos lanzamientos son independientes, los cuatro resultados elementales son equiprobables.

Por la regla de Laplace, cada uno tiene probabilidad $\frac{1}{4} $

👉 PASO 2

Definición de la variable aleatoria.

Definimos $X $ como el número de caras obtenidas en los dos lanzamientos.

Aplicando esta definición a cada resultado:

$$X(cara, cara) = 2 $$

$$X(cara, cruz) = 1 $$

$$X(cruz, cara) = 1 $$

$$X(cruz, cruz) = 0 $$

Por tanto $X $ es una variable aleatoria discreta que toma los valores $0 $, $1 $ y $2 $

👉 PASO 3

Cálculo de la probabilidad de obtener cero caras.

El suceso $\{ X = 0 \} $ ocurre exactamente cuando el resultado es (cruz, cruz), un único resultado elemental.

Por tanto:

$$P(X = 0) = \frac{1}{4} = 0,25 $$

👉 PASO 4

Cálculo de la probabilidad de obtener exactamente una cara.

El suceso $\{ X = 1 \} $ ocurre con los resultados (cara, cruz) y (cruz, cara), que son disjuntos.

La probabilidad de la unión de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades:

$$P(X = 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 $$

👉 PASO 5

Cálculo de la probabilidad de obtener dos caras.

El suceso $\{ X = 2 \} $ ocurre solo con el resultado (cara, cara):

$$P(X = 2) = \frac{1}{4} = 0,25 $$

Como comprobación, la suma de todas las probabilidades debe ser exactamente uno:

$$0,25 + 0,5 + 0,25 = 1 $$

📝 Ejemplo 2: Función de distribución de una variable discreta

Consideramos la variable $X $ del ejemplo anterior, el número de caras al lanzar dos veces una moneda equilibrada, cuya función de probabilidad es $P(X = 0) = 0,25 $, $P(X = 1) = 0,5 $ y $P(X = 2) = 0,25 $

Calcula el valor de la función de distribución en uno, $F(1) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la definición de la función de distribución.

A continuación descompondremos el suceso pedido como unión de sucesos disjuntos.

Para terminar sumaremos las probabilidades correspondientes.

👉 PASO 1

Definición de la función de distribución.

Por definición, la función de distribución acumula la probabilidad hasta un cierto valor:

$$F(x) = P(X \leq x) $$

En particular, para el valor uno:

$$F(1) = P(X \leq 1) $$

👉 PASO 2

Descomposición del suceso en sucesos disjuntos.

Como la variable solo puede tomar los valores $0 $, $1 $ y $2 $, el suceso $\{ X \leq 1 \} $ coincide con la unión disjunta $\{ X = 0 \} \cup \{ X = 1 \} $

La probabilidad de una unión de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades, luego:

$$F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) $$

👉 PASO 3

Sustitución de los valores y cálculo.

Sustituimos las probabilidades calculadas en el ejemplo anterior:

$$F(1) = 0,25 + 0,5 = 0,75 $$

Por tanto, la función de distribución en uno vale $0,75 $: hay un $75 $ por ciento de probabilidad de obtener como mucho una cara en los dos lanzamientos.

📝 Ejemplo 3: Probabilidad en una variable continua

Supongamos que el tiempo $X $, en horas, necesario para realizar una tarea es una variable aleatoria continua con función de densidad constante e igual a $\frac{1}{2} $ entre $0 $ y $2 $, y nula fuera de ese intervalo.

Calcula la probabilidad de que el tiempo esté comprendido entre una y dos horas, $P(1 \leq X \leq 2) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la función de densidad y comprobar que es una densidad válida.

A continuación plantearemos la probabilidad pedida como la integral de la densidad sobre el intervalo de interés.

Para terminar calcularemos la integral aplicando la regla de Barrow.

👉 PASO 1

Función de densidad y comprobación de validez.

La función de densidad es $f(x) = \frac{1}{2} $ si $0 \leq x \leq 2 $, y $f(x) = 0 $ en otro caso.

Es no negativa en todo punto.

Además, su integral sobre toda la recta vale:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (2 - 0) = 1 $$

luego se trata de una densidad válida: es la distribución uniforme en el intervalo comprendido entre $0 $ y $2 $

👉 PASO 2

Planteamiento de la probabilidad como integral.

Para una variable aleatoria continua, la probabilidad de un intervalo es la integral de la densidad sobre dicho intervalo:

$$P(1 \leq X \leq 2) = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \, dx $$

👉 PASO 3

Cálculo de la integral por la regla de Barrow.

Una primitiva de la función constante $\frac{1}{2} $ es $\frac{x}{2} $

Aplicando la regla de Barrow, que evalúa la primitiva en el límite superior menos su valor en el límite inferior:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5 $$

Por tanto, $P(1 \leq X \leq 2) = 0,5 $: hay un $50 $ por ciento de probabilidad de que la tarea dure entre una y dos horas.