1.2.4 Cálculo de un determinante desarrollando por una fila o columna
Menor complementario y adjunto de un elemento
Dada una matriz cuadrada \(A \), el menor complementario del elemento \(a_{ij} \), escrito \(M_{ij} \), es el determinante que queda al eliminar la fila \(i \) y la columna \(j \) de \(A \)
El adjunto del elemento es \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \): coincide con el menor o con su opuesto según el signo \((-1)^{i+j} \)
El signo sigue un tablero de ajedrez: $$\begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix} $$
Así, \(A_{11} = M_{11} \) pero \(A_{12} = -M_{12} \)
En $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$, el menor complementario de \(a_{11} \) es $$M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 45 - 48 = -3 $$, y su adjunto es \(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot (-3) = -3 \)
Teorema de Laplace: desarrollo por una fila o columna
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos respectivos.
Desarrollando por la fila \(i \):
La estrategia ganadora es desarrollar por la fila o columna con más ceros, porque cada cero elimina un sumando.
Desarrollando $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} $$ por la primera fila: $$2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 6 = 8 $$
En la matriz $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$, halla el menor complementario \(M_{23} \) y el adjunto \(A_{23} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por eliminar la fila dos y la columna tres para obtener el menor complementario.
A continuación calcularemos ese determinante de orden dos.
Para terminar aplicaremos el signo correspondiente a la posición dos tres.
Obtención del menor complementario.
Eliminando la fila dos y la columna tres queda $$M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} $$
Cálculo del determinante de orden dos.
Aplicación del signo del adjunto.
Como \(2 + 3 = 5 \) es impar, \((-1)^5 = -1 \), luego \(A_{23} = -M_{23} = -(-6) = 6 \)
El menor complementario es \(M_{23} = -6 \) y el adjunto es \(A_{23} = 6 \)
Calcula $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} $$ desarrollando por la segunda fila.
Para resolver este ejemplo empezaremos por elegir la segunda fila, que tiene dos ceros.
A continuación calcularemos el único adjunto no nulo con su signo.
Para terminar multiplicaremos el elemento por su adjunto.
Identificación del único término no nulo.
En la fila dos solo \(a_{21} = 3 \) es distinto de cero, luego \(|A| = 3 \cdot A_{21} \)
Cálculo del adjunto con su signo.
Producto final.
El determinante vale menos treinta y seis.
Calcula $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} $$ desarrollando por la primera columna.
Para resolver este ejemplo empezaremos por elegir la primera columna, que tiene dos ceros.
A continuación calcularemos los dos menores complementarios de orden tres por Sarrus.
Para terminar combinaremos cada elemento con su adjunto según el signo de su posición.
Términos no nulos de la primera columna.
Los elementos no nulos son \(a_{11} = 1 \) y \(a_{41} = 2 \)
Los signos son \((-1)^{1+1} = +1 \) y \((-1)^{4+1} = -1 \), luego \(|A| = 1 \cdot M_{11} - 2 \cdot M_{41} \)
Cálculo del primer menor complementario.
Por Sarrus, descendentes: $$3 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 = 18 + 1 = 19 $$; ascendentes: los tres productos contienen un cero y valen cero.
Así \(M_{11} = 19 \)
Cálculo del segundo menor complementario.
Por Sarrus, descendentes: $$2 \cdot 1 \cdot 1 + 0 + 1 \cdot 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8 $$; ascendentes: los tres productos contienen un cero y valen cero.
Así \(M_{41} = 8 \)
Combinación final.
El determinante vale tres.
Calcula $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por desarrollar por la primera columna, que solo tiene un elemento no nulo.
A continuación repetiremos el desarrollo en el menor de orden tres resultante.
Para terminar llegaremos a un determinante de orden dos inmediato.
Desarrollo por la primera columna.
Solo \(a_{11} = 1 \) es no nulo, con signo positivo: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
Desarrollo del menor de orden tres.
Desarrollando de nuevo por su primera columna: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = 1 $$
El determinante vale uno.
En general, el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Calcula en función de \(\lambda \) el determinante $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix} $$, y halla para qué valor de \(\lambda \) se anula.
Para resolver este ejemplo empezaremos por desarrollar por la tercera fila, que tiene dos ceros.
A continuación calcularemos los dos menores de orden tres por Sarrus.
Para terminar igualaremos a cero la expresión obtenida y despejaremos lambda.
Desarrollo por la tercera fila.
Los elementos no nulos son \(a_{32} = 2 \), con signo \((-1)^{3+2} = -1 \), y \(a_{33} = 1 \), con signo \((-1)^{3+3} = +1 \)
Luego \(|A| = -2 \cdot M_{32} + 1 \cdot M_{33} \)
Cálculo de los menores de orden tres.
Expresión final y valor que la anula.
Se anula cuando \(13\lambda - 4 = 0 \), es decir, \(\lambda = \frac{4}{13} \)
El determinante vale \(13\lambda - 4 \) y se anula para \(\lambda = \frac{4}{13} \)