1.6 1.6 Probabilidad y variables aleatorias
Experimento aleatorio y espacio muestral
La probabilidad estudia el azar y la incertidumbre en los experimentos aleatorios.
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
El conjunto de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral y se suele denotar por la letra griega omega.
Los subconjuntos del espacio muestral se denominan sucesos.
Sobre este espacio se define una probabilidad, que es una medida de la certeza de que un acontecimiento ocurra.
La probabilidad debe cumplir los axiomas de Kolmogorov.
Con dos urnas elegidas al azar, la primera con \(3 \) rojas y \(7 \) azules y la segunda con \(6 \) rojas y \(4 \) azules, la probabilidad total de extraer roja es $$P(R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{10} = \frac{9}{20} = 0,45 $$
Si sale roja, Bayes da $$P(U_1 \mid R) = \frac{0,3 \cdot 0,5}{0,45} = \frac{1}{3} $$
Axiomas de Kolmogorov
Al lanzar un dado, el experimento es aleatorio y el espacio muestral es \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
El suceso salir número par, \(A = \{2, 4, 6\} \), es un subconjunto de \(\Omega \)
El primer axioma indica que la probabilidad de cualquier suceso \(A \) es siempre mayor o igual a cero.
El segundo axioma establece que la probabilidad del suceso seguro omega es exactamente uno.
El tercer axioma, conocido como aditividad numerable, indica que para sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.
Regla de Laplace
Los axiomas exigen, por ejemplo, que \(P(\Omega) = 1 \): al lanzar un dado, siempre sale alguno de los seis resultados.
También exigen \(P(A) \geq 0 \) para todo suceso y que las probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes se sumen.
Cuando un espacio muestral es finito y todos los resultados elementales son equiprobables, podemos aplicar la Regla de Laplace.
La regla de Laplace establece que la probabilidad de un suceso \(A \) es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
Probabilidad condicionada
Al lanzar un dado equilibrado, los seis resultados son equiprobables y la regla de Laplace da $$P(\text{salir par}) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{3}{6} = 0,5 $$
A veces, saber que un cierto suceso \(B \) ha ocurrido modifica la probabilidad de que ocurra otro suceso \(A \)
Esto se conoce como probabilidad condicionada.
La probabilidad del suceso \(A \) dado el suceso \(B \) se define como la probabilidad de la intersección de \(A \) y \(B \) dividida entre la probabilidad de \(B \)
Independencia de sucesos
Al lanzar un dado, si sabemos que ha salido mayor que tres, la probabilidad de salir par cambia: $$P(\text{par} \mid \text{mayor que tres}) = \frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3} $$, distinta del \(\frac{1}{2} \) sin condicionar.
Si el conocimiento de la ocurrencia de B no cambia la probabilidad de A, decimos que ambos sucesos son independientes.
En este caso, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.
Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Al lanzar dos monedas, saber que la primera fue cara no cambia la probabilidad de cara en
la segunda: son independientes y $$P(C_1 \cap C_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$
El Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes son herramientas fundamentales cuando trabajamos con varias causas y un efecto.
Si tenemos una partición del espacio muestral en diferentes causas \(H_i \), la probabilidad de un suceso \(A \) es la suma de las probabilidades condicionadas por las probabilidades de cada causa.
Una partición del espacio muestral es una colección de sucesos incompatibles dos a dos cuya unión es todo el espacio muestral.
El Teorema de Bayes permite invertir el condicionamiento:
si observamos el efecto \(A \), calcula la probabilidad a posteriori de cada causa \(H_k \)
A continuación presentaremos tres ejemplos resueltos paso a paso para consolidar estos conceptos.
Se lanza un dado equilibrado de seis caras.
Calcula la probabilidad de obtener un número par.
Para resolver este ejemplo empezaremos por describir el espacio muestral del lanzamiento del dado.
A continuación identificaremos el suceso de obtener un número par y contaremos sus casos favorables.
Para terminar aplicaremos la regla de Laplace y simplificaremos la fracción resultante.
Descripción del espacio muestral.
El lanzamiento de un dado tiene seis resultados posibles, todos ellos equiprobables por ser el dado equilibrado:
Por tanto, el número de casos posibles es seis.
Identificación del suceso y casos favorables.
El suceso \(A \) de obtener un número par está formado por los resultados dos, cuatro y seis:
El número de casos favorables es tres.
Aplicación de la regla de Laplace.
Como todos los resultados son equiprobables, aplicamos la regla de Laplace, que establece que la probabilidad es el cociente entre los casos favorables y los casos posibles:
Así pues, la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado equilibrado es un medio, es decir, cero coma cinco.
Tenemos una urna con tres bolas rojas y dos bolas negras.
Extraemos dos bolas sucesivamente sin reemplazamiento.
Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea negra sabiendo que la primera fue roja.
Para resolver este ejemplo empezaremos por describir la composición inicial de la urna.
A continuación analizaremos cómo queda la urna después de extraer una bola roja sin reemplazamiento.
Para terminar calcularemos la probabilidad condicionada contando los casos favorables entre los casos posibles en la nueva situación.
Composición inicial de la urna.
La urna contiene tres bolas rojas y dos bolas negras, es decir, un total de cinco bolas.
Situación tras la primera extracción.
Sabemos que la primera bola extraída fue roja.
Como la extracción es sin reemplazamiento, esa bola no vuelve a la urna.
Quedan por tanto dos bolas rojas y dos bolas negras, es decir, un total de cuatro bolas posibles para la segunda extracción.
Cálculo de la probabilidad condicionada.
De las cuatro bolas restantes, las favorables para que la segunda sea negra son las dos bolas negras:
Así pues, la probabilidad de que la segunda bola sea negra sabiendo que la primera fue roja es un medio.
El tres por ciento de la población tiene un virus.
Un test da positivo el noventa y nueve por ciento de las veces si la persona está enferma, y da positivo el cinco por ciento de las veces si la persona está sana.
Calcula la probabilidad de que una persona esté enferma sabiendo que su test dio positivo.
Para resolver este ejemplo empezaremos por definir los sucesos y escribir las probabilidades conocidas a partir de los datos.
A continuación calcularemos la probabilidad total de dar positivo aplicando el teorema de la probabilidad total.
Para terminar aplicaremos el teorema de Bayes para obtener la probabilidad a posteriori pedida.
Definición de sucesos y datos.
Sea \(V \) el suceso de estar enfermo y \(P \) el suceso de dar positivo en el test.
Los datos del problema son:
Probabilidad total de dar positivo.
Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las contribuciones de enfermos y sanos:
Sustituyendo los valores numéricos:
Aplicación del teorema de Bayes.
Así pues, aunque el test haya dado positivo, la probabilidad de estar realmente enfermo es solo del treinta y ocho por ciento, debido a la baja prevalencia de la enfermedad en la población.