1.1.1 Definición y orden de una matriz
Definición y orden de una matriz
Una matriz es una tabla rectangular de números distribuidos en filas horizontales y columnas verticales.
Las matrices se nombran con letras mayúsculas, como \(A \), \(B \) o \(C \)
Si la matriz tiene \(m \) filas y \(n \) columnas, decimos que es de orden \(m \times n \), y escribimos \(A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) \)
El orden siempre se lee filas por columnas: primero las filas y después las columnas.
La forma general de una matriz de orden \(m \times n \) es:
La matriz $$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$ tiene tres filas y dos columnas, luego es de orden \(3 \times 2 \) y se escribe \(B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R}) \)
Notación de los elementos de una matriz
Cada número de la matriz se nombra con la letra minúscula correspondiente y dos subíndices: \(a_{ij} \)
El primer subíndice \(i \) indica la fila y el segundo subíndice \(j \) indica la columna, con \(1 \le i \le m \) y \(1 \le j \le n \)
Es decir, \(a_{ij} \) es el elemento que está en la fila \(i \) y en la columna \(j \)
En la matriz $$A = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$, el elemento de la fila \(2 \) y la columna \(3 \) es \(a_{23} = 6 \)
Matrices cuadradas, diagonales y traza
Cuando el número de filas coincide con el de columnas, la matriz es cuadrada de orden \(n \)
En una matriz cuadrada se distinguen la diagonal principal, formada por los elementos \(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn} \), y la diagonal secundaria, formada por los elementos que cumplen \(i + j = n + 1 \)
La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal:
La matriz $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ es cuadrada de orden dos: su diagonal principal es \(2, 3 \), su diagonal secundaria es \(1, 0 \) y su traza vale \(\text{tr}(C) = 2 + 3 = 5 \)
Determina el orden de la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix} $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por contar las filas horizontales de la matriz.
A continuación contaremos las columnas verticales.
Para terminar expresaremos el orden en la forma filas por columnas.
Conteo de filas y columnas.
La matriz tiene dos líneas horizontales, luego \(m = 2 \), y tres líneas verticales, luego \(n = 3 \)
Escritura del orden.
Combinando filas y columnas, el orden es \(2 \times 3 \), y escribimos \(A \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) \)
La matriz \(A \) es de orden \(2 \times 3 \): tiene dos filas y tres columnas.
En la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix} $$, identifica los elementos \(a_{12} \), \(a_{23} \) y \(a_{21} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna.
A continuación localizaremos cada elemento en su cruce de fila y columna.
Para terminar leeremos su valor numérico.
Localización de cada elemento.
El elemento \(a_{12} \) está en la fila uno y la columna dos.
El elemento \(a_{23} \) está en la fila dos y la columna tres.
El elemento \(a_{21} \) está en la fila dos y la columna uno.
Lectura de los valores.
Mirando la matriz obtenemos \(a_{12} = 3 \), \(a_{23} = 4 \) y \(a_{21} = 2 \)
Los elementos pedidos valen \(a_{12} = 3 \), \(a_{23} = 4 \) y \(a_{21} = 2 \)
Dada $$B = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 \\ 7 & 4 & 2 \\ 9 & 8 & 1 \end{pmatrix} $$, identifica sus diagonales y calcula su traza.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los elementos de la diagonal principal, donde coinciden los dos subíndices.
A continuación identificaremos los de la diagonal secundaria, donde los subíndices suman cuatro.
Para terminar sumaremos la diagonal principal para obtener la traza.
Diagonales principal y secundaria.
La diagonal principal es \(b_{11} = 3 \), \(b_{22} = 4 \) y \(b_{33} = 1 \)
La diagonal secundaria es \(b_{13} = 6 \), \(b_{22} = 4 \) y \(b_{31} = 9 \)
Cálculo de la traza.
Sumamos los elementos de la diagonal principal: \(\text{tr}(B) = 3 + 4 + 1 = 8 \)
La diagonal principal es tres, cuatro y uno; la secundaria es seis, cuatro y nueve; y la traza vale \(\text{tr}(B) = 8 \)
Escribe la matriz cuadrada \(A \) de orden tres definida por \(a_{ij} = 2i - j \), y calcula su traza.
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula del elemento general a cada posición de la matriz de orden tres.
A continuación escribiremos la matriz completa con los valores obtenidos.
Para terminar sumaremos los elementos de la diagonal principal para hallar la traza.
Cálculo de los elementos de la primera fila.
Aplicamos \(a_{ij} = 2i - j \) con \(i = 1 \): \(a_{11} = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \), \(a_{12} = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \) y \(a_{13} = 2 \cdot 1 - 3 = -1 \)
Cálculo de los elementos de las filas dos y tres.
Con \(i = 2 \): \(a_{21} = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \), \(a_{22} = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \) y \(a_{23} = 2 \cdot 2 - 3 = 1 \)
Con \(i = 3 \): \(a_{31} = 2 \cdot 3 - 1 = 5 \), \(a_{32} = 2 \cdot 3 - 2 = 4 \) y \(a_{33} = 2 \cdot 3 - 3 = 3 \)
Escritura de la matriz y cálculo de la traza.
La matriz es $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix} $$
Su traza es la suma de la diagonal principal: \(\text{tr}(A) = 1 + 2 + 3 = 6 \)
La matriz pedida es $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix} $$ y su traza vale \(\text{tr}(A) = 6 \)
Dada la matriz \(B \) de orden tres definida por \(b_{ij} = i - j \), escríbela y comprueba que su traspuesta es su opuesta, es decir, \(B^t = -B \)
Calcula además su traza.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los nueve elementos con la fórmula del elemento general.
A continuación escribiremos la traspuesta intercambiando filas por columnas.
Para terminar compararemos la traspuesta con la opuesta y sumaremos la diagonal principal.
Construcción de la matriz.
Con \(b_{ij} = i - j \) obtenemos \(b_{11} = 0 \), \(b_{12} = -1 \), \(b_{13} = -2 \), \(b_{21} = 1 \), \(b_{22} = 0 \), \(b_{23} = -1 \), \(b_{31} = 2 \), \(b_{32} = 1 \) y \(b_{33} = 0 \)
Por tanto $$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Traspuesta y comparación con la opuesta.
Intercambiando filas por columnas: $$B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$
La opuesta cambia el signo de cada elemento: $$-B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Ambas coinciden elemento a elemento, luego \(B^t = -B \)
Cálculo de la traza.
La diagonal principal es \(0, 0, 0 \), luego \(\text{tr}(B) = 0 + 0 + 0 = 0 \)
La matriz es $$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$, verifica \(B^t = -B \) y su traza es cero.