Ejercicios · Tema 9: Integrales impropias — 9.3 Funciones Gamma y Beta de Euler
23 ejercicios resueltos paso a paso.
9.3 Funciones Gamma y Beta de Euler
1.
Calcular la siguiente integral definida mediante funciones eulerianas o cambio de variable inmediato:
\(\int_{0}^{\pi/2} (\log(\operatorname{sen} x))^8 \cos x \, dx \)
\(\int_{0}^{\pi/2} (\log(\operatorname{sen} x))^8 \cos x \, dx \)
2.
Calcular la siguiente integral definida en el intervalo unidad utilizando las funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^2} \, dx \)
\(\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^2} \, dx \)
3.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito utilizando funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} \, dx \)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} \, dx \)
4.
Calcular la siguiente integral definida en términos de la función Beta de Euler para cualquier parámetro n mayor o igual que uno:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^n}} \quad (n \ge 1) \)
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^n}} \quad (n \ge 1) \)
5.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito para un parámetro n estrictamente mayor que cuatro utilizando funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{x^3}{1+x^n} \, dx \quad (n > 4) \)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{x^3}{1+x^n} \, dx \quad (n > 4) \)
6.
Calcular la siguiente integral definida en el intervalo unidad para un parámetro p estrictamente mayor que menos uno:
\(\int_{0}^{1} \left( \log\frac{1}{x} \right)^p \, dx \quad (p > -1) \)
\(\int_{0}^{1} \left( \log\frac{1}{x} \right)^p \, dx \quad (p > -1) \)
7.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo para cualquier parámetro n estrictamente positivo:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^n} \, dx \quad (n > 0) \)
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^n} \, dx \quad (n > 0) \)
8.
Calcular la siguiente integral definida trigonométrica para un parámetro alfa comprendido entre menos uno y uno:
\(\int_{0}^{\pi/2} (\operatorname{tg} x)^\alpha \, dx \quad (-1 < \alpha < 1) \)
\(\int_{0}^{\pi/2} (\operatorname{tg} x)^\alpha \, dx \quad (-1 < \alpha < 1) \)
9.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^5 e^{-t} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} t^5 e^{-t} \, dt \)
10.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^{3/2} e^{-t} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} t^{3/2} e^{-t} \, dt \)
11.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito negativo:
\(\int_{-\infty}^{0} t^3 e^t \, dt \)
\(\int_{-\infty}^{0} t^3 e^t \, dt \)
12.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^4 e^{-t/2} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} t^4 e^{-t/2} \, dt \)
13.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^{-1/2} e^{-2t} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} t^{-1/2} e^{-2t} \, dt \)
14.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo utilizando la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{1/2}}{(1+t)^3} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{1/2}}{(1+t)^3} \, dt \)
15.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{(1+2t)^4} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{(1+2t)^4} \, dt \)
16.
Calcular la siguiente integral definida en el intervalo unidad para cualquier número natural n utilizando la función Beta:
\(\int_{0}^{1} (1-t) t^n \, dt \quad (n \in \mathbb{N}) \)
\(\int_{0}^{1} (1-t) t^n \, dt \quad (n \in \mathbb{N}) \)
17.
Calcular la siguiente integral definida trigonométrica utilizando la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\operatorname{sen}\theta \cos\theta} \, d\theta \)
\(\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\operatorname{sen}\theta \cos\theta} \, d\theta \)
18.
Calcular la integral impropia de Euler-Gauss en el semieje positivo utilizando la función Gamma:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \)
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \)
19.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^3} \, dx \)
\(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^3} \, dx \)
20.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^6}\)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^6}\)
21.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t^2}{(1+t^2)^4} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t^2}{(1+t^2)^4} \, dt \)
22.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito utilizando funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{(1+\sqrt{t})^5} \, dt \)
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{(1+\sqrt{t})^5} \, dt \)
23.
Calcular la siguiente integral definida trigonométrica en el intervalo cero a pi medios mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^8\theta \cos^6\theta \, d\theta \)
\(\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^8\theta \cos^6\theta \, d\theta \)