Ejercicios · Tema 8: Integrales definidas. Aplicaciones — Problemas de examen
11 ejercicios resueltos paso a paso.
Problemas de examen
1.
Dada la parábola \( f(x) = x^2 \), el punto fijo focal \( F = (0, 1) \) y el punto móvil sobre la curva \( A = (a, a^2) \) con \( a > 0 \):
Calcular de forma analítica mediante la regla de Barrow el área \( S(a) \) de la región del plano comprendida entre la recta secante que une \( F \) y \( A \) y la parábola.
Calcular de forma analítica mediante la regla de Barrow el área \( S(a) \) de la región del plano comprendida entre la recta secante que une \( F \) y \( A \) y la parábola.
2.
Dada la función real definida mediante una integral dependiente de un límite superior variable:
\( F(x) = \int_0^{x^2} \frac{\operatorname{sen} t}{1 + t^2} \, dt \)
(
a) Calcular su función derivada \( F'(x) \) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena.
(
b) Determinar todos los puntos críticos de \( F(x) \) en el intervalo cerrado \([0, \sqrt{\pi}]\) y clasificar sus extremos relativos.
\( F(x) = \int_0^{x^2} \frac{\operatorname{sen} t}{1 + t^2} \, dt \)
(
a) Calcular su función derivada \( F'(x) \) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena.
(
b) Determinar todos los puntos críticos de \( F(x) \) en el intervalo cerrado \([0, \sqrt{\pi}]\) y clasificar sus extremos relativos.
3.
Calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar alrededor del eje \( OX \) la región plana acotada por la curva parabólica \( y = 4 - x^2 \) y el eje de abscisas.
4.
Calcular el área exacta del recinto cerrado acotado por la gráfica de la curva cúbica \( y = x^3 - 3x \) y la recta secante de ecuación \( y = x \)
5.
Calcular la longitud exacta del arco de curva dado por la función:
\( y = \ln(\cos x) \)
comprendido entre las abscisas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{4}\)
\( y = \ln(\cos x) \)
comprendido entre las abscisas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{4}\)
6.
Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar alrededor del eje vertical \( OY \) la región plana acotada por la curva \( y = \operatorname{sen}(x^2) \), el eje de abscisas y las rectas verticales \( x = 0 \) y \( x = \sqrt{\pi}\)
7.
Calcular mediante la regla de Barrow el valor de la integral definida:
\( I = \int_0^3 |x^2 - 4| \, dx \)
desglosando la función según el signo del argumento e interpretando geométricamente el resultado como un área.
\( I = \int_0^3 |x^2 - 4| \, dx \)
desglosando la función según el signo del argumento e interpretando geométricamente el resultado como un área.
8.
Dada la función real \( f(x) = \sqrt{x}\) definida en el intervalo cerrado \([0, 4]\):
(
a) Calcular el valor medio integral \(\mu \) de la función en dicho intervalo.
(
b) Hallar el punto exacto \( c \in (0, 4) \) cuya existencia garantiza el Teorema del Valor Medio del cálculo integral tal que \( f(c) = \mu \)
(
a) Calcular el valor medio integral \(\mu \) de la función en dicho intervalo.
(
b) Hallar el punto exacto \( c \in (0, 4) \) cuya existencia garantiza el Teorema del Valor Medio del cálculo integral tal que \( f(c) = \mu \)
9.
Calcular el área de la región del plano limitada superiormente por la circunferencia \( x^2 + y^2 = 8 \) e inferiormente por la parábola \( y = \frac{x^2}{2}\)
10.
Dada la función racional par \( f(x) = \frac{x^2}{(1 + x^2)^2}\):
Calcular de forma analítica el área de la región del plano comprendida entre la gráfica de la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales \( x = -1 \) y \( x = 1 \)
Calcular de forma analítica el área de la región del plano comprendida entre la gráfica de la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales \( x = -1 \) y \( x = 1 \)
11.
Calcular el valor del parámetro real \( a > 0 \) para que el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje \( OX \) la región delimitada por la curva:
\( f(x) = \log x + \frac{a}{x} \)
entre las rectas verticales \( x = 1 \) y \( x = e \), sea exactamente igual a \( V = (e - 2)\pi \)
\( f(x) = \log x + \frac{a}{x} \)
entre las rectas verticales \( x = 1 \) y \( x = e \), sea exactamente igual a \( V = (e - 2)\pi \)