Ejercicios · Tema 7: Cálculo de primitivas — 7.2 Métodos de resolución
134 ejercicios resueltos paso a paso.
7.2 Métodos de resolución
1.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^2 e^x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de integración por partes eligiendo el polinomio como parte a derivar y la exponencial como parte a integrar: derivar rebaja el grado y la exponencial queda igual. A continuación aplicaremos la misma fórmula otra vez sobre la integral que quede, ya de grado uno. Para terminar sustituiremos ese resultado en la primera expresión, agruparemos los términos y añadiremos una constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (2x + 3)2^x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de integración por partes eligiendo el binomio como parte a derivar y la exponencial de base dos como parte a integrar, cuya primitiva mostraremos antes en su forma general. A continuación calcularemos la integral que quede, que vuelve a ser la misma exponencial con constantes por delante. Para terminar sustituiremos, sacaremos la exponencial como factor común y añadiremos una constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = 2^x \cos x \) mediante integración por partes cíclica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por nombrar la integral que buscamos y aplicar las partes eligiendo la exponencial como parte a derivar, para que aparezca una integral nueva con el seno. A continuación aplicaremos el método otra vez sobre esa integral, con el mismo criterio, y la integral inicial reaparecerá en el resultado. Para terminar sustituiremos, pasaremos la integral reaparecida al primer miembro y la despejaremos, añadiendo una constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \log(x + 2) \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de integración por partes tomando el logaritmo como parte a derivar y el diferencial como parte a integrar, eligiendo como primitiva de uno la función desplazada que cancela la derivada del logaritmo. A continuación calcularemos la integral que quede, que se habrá reducido a integrar la unidad. Para terminar reuniremos los términos, sacaremos factor común y añadiremos una constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^3 \log x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u a la función logaritmo para eliminarla por derivación y dv a la potencia cúbica x^3, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar la potencia resultante.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x^2 - 3x + 1)\operatorname{sen} 2x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes dos veces consecutivas asignando u al polinomio para reducir sucesivamente su grado, integrar cuidadosamente las funciones armónicas ajustando los factores constantes y simplificar los coeficientes resultantes.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \operatorname{arcsen} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arcsen(
x) y dv = x dx, aplicar la fórmula de integración por partes, descomponer la integral radical resultante mediante la suma y resta de la unidad y simplificar los términos algebraicos.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^2 \operatorname{arctg} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arctg(
x) y dv = x^2 dx, aplicar la fórmula de integración por partes, resolver la integral racional resultante mediante división polinómica y agrupar la función solución.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \cos 2x \cos 5x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el producto de funciones trigonométricas en una suma de cosenos simples mediante la identidad de Werner, e integrar cada término resultante de forma inmediata.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función en la forma x^2 * e^(-x), aplicar la integración por partes dos veces consecutivas asignando u a los términos polinómicos y factorizar la solución final.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x^3 + x^2 - 2x + 1)e^x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la fórmula general de integración por partes iterada para productos de polinomios por la función exponencial e^x mediante la suma alternada de derivadas sucesivas del polinomio, simplificar y factorizar.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = e^x \operatorname{sen} x \) mediante integración por partes cíclica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como I, aplicar integración por partes dos veces consecutivas eligiendo consistentemente la función exponencial como u, despejar I de la ecuación resultante y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \operatorname{sen} 2x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u al factor lineal x para eliminarlo mediante derivación y dv al seno de 2x, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar el coseno resultante.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \log x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = log(
x) y dv = dx, aplicar la fórmula de integración por partes, simplificar la integral algebraica resultante y factorizar la solución.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \log(x + 2) \) mediante integración por partes tomando v igual a x.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar integración por partes eligiendo u = log(x + 2) y v = x, resolver la fracción racional resultante sumando y restando 2 en el numerador y reagrupar los términos logarítmicos.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \operatorname{arcsen} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arcsen(
x) y dv = dx, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar el radical inverso restante mediante una inmediata potencial.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \arctan x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arctan(
x) y dv = dx, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar la fracción racional resultante como un logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{\log x}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que 1/x es la derivada exacta de la función logaritmo, reconocer la estructura u*u' e integrar como la potencia cuadrada de la función logaritmo.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = 2^x \operatorname{sen} 2x \) mediante integración por partes cíclica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como I, aplicar integración por partes dos veces consecutivas asignando u a la exponencial 2^x, despejar I de la ecuación resultante y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \cos^2 x \) mediante integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer cos^2(
x) como cos(x)*cos(x), aplicar integración por partes asignando u = cos(
x) y dv = cos(
x) dx, utilizar la identidad fundamental sen^2(x) = 1 - cos^2(
x) para generar una ecuación cíclica y despejar la integral.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 9}} \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador como x * x/sqrt(x^2 + 9), aplicar integración por partes eligiendo u = x y dv = x/sqrt(x^2 + 9) dx, resolver la integral de la raíz resultante e integrar la expresión final.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer x^2 como x * x/sqrt(9 - x^2), aplicar integración por partes eligiendo u = x y dv = x/sqrt(9 - x^2) dx, resolver la integral de la raíz circular resultante y simplificar.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \arctan x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arctan(
x) y dv = x dx, aplicar la fórmula de integración por partes, resolver la fracción racional resultante sumando y restando 1 e integrar de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \operatorname{senh} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = x para derivar y dv = senh(
x) dx para integrar, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar directamente el coseno hiperbólico resultante.
Calcular las primitivas de la función mixta trigonométrica-hiperbólica \( f(x) = \operatorname{sen} x \cosh x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el coseno hiperbólico en forma de exponenciales reales (e^x + e^(-x))/2, separar en dos integrales estándar de tipo e^(ax)*sen(
x) resueltas por partes y combinar algebraicamente los resultados en funciones hiperbólicas.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x^2 - 2x + 5)\operatorname{senh}(2x) \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la integración por partes dos veces consecutivas para reducir el polinomio de grado 2 a una constante, integrando sucesivamente las funciones hiperbólicas dobles y agrupando los coeficientes de cosh(2x) y senh(2x).
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador en factores lineales reales simples (x - 2)(x + 2), descomponer en fracciones simples, calcular los coeficientes e integrar mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2x - 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el trinomio del denominador hallando sus raíces reales, descomponer la fracción propia en suma de fracciones simples e integrar los términos logarítmicos resultantes.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador escribiendo x + 3 como (x + 2) + 1, separar la fracción en una componente logarítmica y una potencia inversa de grado 2, e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^4 - x^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer x^3 como factor común en el denominador, plantear la descomposición en fracciones simples para una raíz triple en 0 y una simple en 1, calcular los coeficientes e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 5x + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división de polinomios para separar la parte entera polinómica del resto propio, factorizar el denominador del resto y descomponerlo en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x^3 + x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador extrayendo x como factor común x(x^2 + 1), plantear la descomposición en una fracción simple lineal y otra cuadrática, resolver los coeficientes e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^4}{(x^2 - 1)(x + 2)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el denominador para efectuar la división polinómica, descomponer el resto propio en tres fracciones simples correspondientes a las raíces 1, -1 y -2, e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 4x^2 + x - 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el polinomio cúbico del denominador buscando sus raíces por la regla de Ruffini, plantear la descomposición en tres fracciones simples, hallar los numeradores e integrar mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función racional bicuadrada \( f(x) = \frac{x^4}{x^4 + 5x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división polinómica separando la unidad, factorizar el denominador bicuadrado en dos factores cuadráticos irreducibles (x^2 + 1)(x^2 + 4), descomponer en fracciones simples e integrar mediante funciones arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^3 - 3x + 6}{(x^2 - 2x + 5)(x - 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la descomposición en fracciones simples para el factor cuadrático irreducible x^2 - 2x + 5 y la raíz doble (x - 1)^2, resolver los coeficientes, descomponer el numerador lineal sobre el cuadrático en partes logarítmica y arcotangente e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{1 - x^4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador como diferencia de cuadrados (1 - x^2)(1 + x^2), descomponer en fracciones simples lineales e irreducibles cuadráticas e integrar combinando logaritmos y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^5}{(x^2 - 4)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x^2 - 4 para simplificar drásticamente el denominador al monomio u^2, expresar x^4 como (u + 4)^2, expandir la fracción resultante e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división polinómica separando la unidad, descomponer la fracción restante en fracciones simples lineales sobre x - 2 y x + 2 e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador en (x - 1)(x - 2), plantear la descomposición en fracciones simples, calcular los coeficientes e integrar mediante logaritmos.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 - 2}{x^2 - x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica de x^3 - 2 entre x^2 - x para aislar el cociente lineal x + 1, descomponer el resto en fracciones simples con raíces 0 y 1 e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x}{x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar y restar 2 en el numerador para dividir la fracción en su parte entera y una fracción simple, e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador en una parte proporcional a la derivada del denominador 2x y otra parte constante, e integrar de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador no tiene raíces reales (discriminante negativo), completar el cuadrado para llevarlo a la forma (x - 1)^2 + 2 e integrar como una función arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador 2x + 2, descomponer el numerador en una parte proporcional a dicha derivada y una parte constante, completar el cuadrado en el denominador e integrar combinando logaritmo y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x + 3}{(x + 1)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el numerador como (x + 1) + 2, dividir término a término entre (x + 1)^3 para obtener dos potencias inversas e integrar directamente mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^3 + 2x^2 - x - 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador agrupando por pares de términos, descomponer la fracción en tres sumandos simples e integrar mediante logaritmos.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica de x^3 + 2 entre x^2 - x, factorizar el denominador del resto y descomponerlo en fracciones simples para integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador carece de raíces reales, completar el cuadrado para expresarlo en la forma (x + 1/2)^2 + 3/4 e integrar mediante la fórmula de la arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir cada sumando del numerador entre el denominador monómico x^2 para obtener tres términos elementales e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^4}{x^5 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la derivada del denominador x^5 - 1 es 5*x^4, ajustar la constante multiplicando y dividiendo por 5 y aplicar directamente la regla de integración del logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 - x + 2}{(x - 1)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x - 1 para expandir el numerador en potencias de u, dividir cada término entre u^3 e integrar de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador x^3 + x, verificar que coincide de forma idéntica con el numerador y aplicar la regla inmediata del logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \sin(3x)\cos(5x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el producto de funciones trigonométricas con distintos argumentos en una suma de senos mediante la identidad trigonométrica correspondiente, lo que permitirá integrar cada sumando de forma directa e inmediata.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \sin^3(x)\cos^4(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la potencia del seno es impar, lo que permite reservar un factor seno para la diferencial, expresar los senos restantes en términos del coseno mediante la identidad fundamental y realizar el cambio de variable u igual a coseno de x.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\cos^3(x)}{\sin^4(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar un factor coseno en el numerador para formar la diferencial del seno, transformar el coseno cuadrado restante mediante la identidad pitagórica y efectuar el cambio de variable u igual a seno de x.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)(2 + \cos(x) - 2\sin(x))} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la sustitución universal t igual a tangente de x medios para convertir la función trigonométrica en una función racional algebraica, que luego descompondremos en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la función es invariante ante el cambio simultáneo de signo de seno y coseno, por lo que dividimos numerador y denominador por el coseno al cuadrado para expresar el integrando en términos de la tangente y su derivada, la secante al cuadrado.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica racional lineal \( f(x) = \frac{\sin(x) + 2\cos(x) - 3}{\sin(x) - 2\cos(x) + 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador como una combinación lineal del denominador, de la derivada del denominador y de una constante, permitiendo separar la integral en una parte polinómica, una logarítmica y una integral trigonométrica residual resuelta mediante el ángulo mitad.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica cosecante al cubo \( f(x) = \frac{1}{\sin^3(x)} = \csc^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la cosecante al cubo en el producto de cosecante por cosecante al cuadrado para aplicar el método de integración por partes y resolver la ecuación cíclica resultante.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin^2(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir numerador y denominador entre el coseno al cuadrado de x para convertir el integrando en una expresión con tangente y secante al cuadrado, resolviendo la integral mediante el cambio u igual a tangente de x.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica elemental \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la función como la derivada elemental de la función tangente, aplicando directamente la tabla de derivadas e integrales inmediatas.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por dos para reconocer en el denominador el seno del ángulo doble, o alternativamente dividir por el coseno al cuadrado para obtener una derivada logarítmica directa de la tangente.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica cosecante \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)} = \csc(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por seno de x para expresar el denominador como uno menos coseno al cuadrado, efectuando el cambio de variable u igual a coseno de x y resolviendo la integral racional resultante mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \cos(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar y restar uno en el numerador para simplificar el cociente en una constante menos una fracción reducible mediante la fórmula del coseno del ángulo mitad.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica secante \( f(x) = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir el integrando por la suma de la secante y la tangente, reconociendo que el numerador resultante coincide con la derivada exacta del denominador, lo que conduce a una integración logarítmica inmediata.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica secante al cubo \( f(x) = \frac{1}{\cos^3(x)} = \sec^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la secante al cubo en el producto de secante por secante al cuadrado, aplicar integración por partes y resolver algebraicamente la integral cíclica que reaparece tras aplicar la identidad fundamental de la tangente al cuadrado.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \cos^5(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar un factor coseno para la diferencial, expresar los cuatro cosenos restantes como el cuadrado de uno menos seno al cuadrado y efectuar el cambio de variable u igual a seno de x.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{25 - 3x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común 25 del radicando para llevar la integral a la forma canónica del arcoseno, efectuando a continuación un cambio de variable lineal.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - 9x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer 4 de la raíz cuadrada y expresar el término con x como el cuadrado de tres medios de x, aplicando la regla de integración del arcoseno.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \sqrt{16 + 4x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el factor común constante 4 fuera de la raíz cuadrada y aplicar la sustitución trigonométrica de la tangente para eliminar el radical.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \sqrt{9 - (4 - x)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable de traslación u igual a cuatro menos x para simplificar el radicando a una forma estándar tipo raíz de a cuadrado menos u cuadrado, resolviéndola mediante sustitución trigonométrica.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{3x^2 - 25} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la diferencia de cuadrados del denominador, descomponer la fracción racional en fracciones simples con coeficientes simétricos e integrar mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 4x - 35}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado del trinomio de segundo grado bajo la raíz para reducir el integrando a la forma canónica diferencial de u entre la raíz de u cuadrado menos a cuadrado, cuya primitiva es el logaritmo de u más la raíz.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 + 4x + 5}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común 2 del trinomio bajo la raíz, completar cuadrados en los términos dependientes de x y aplicar la integración tipo argumento seno hiperbólico o logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{-4x^2 + 2x + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado del trinomio bajo la raíz reconociendo el coeficiente negativo de x al cuadrado, reduciéndolo a la forma diferencial de u entre la raíz de a cuadrado menos u cuadrado para integrar directamente como arcoseno.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 3x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el término cuadrático como el cuadrado de la raíz de 3 por x, efectuando un cambio de variable elemental para identificar la función como la derivada de un arcoseno.
Calcular las primitivas de la función racional con raíces múltiples \( f(x) = \frac{2}{(x^2 - 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la base del denominador en factores lineales reales simples (x - 1)(x + 1), descomponer la fracción racional con factores dobles en cuatro fracciones simples e integrar mediante logaritmos y potencias inmediatas.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^4}{x^3 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división euclídea del numerador entre el denominador para separar la parte polinómica entera del resto propio, factorizando a continuación el denominador cúbico e integrando mediante fracciones simples y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \sin(x)\cos^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la derivada de la función coseno es menos seno, permitiendo resolver la integral de forma directa e inmediata mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \sin^2(x)\cos^4(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar los factores en potencias de seno por coseno para utilizar el seno del ángulo doble, reduciendo el grado del integrando mediante identidades trigonométricas de reducción de exponente.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica paramétrica \( f(x) = \frac{1}{a + \cos(x)} \quad (a > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el cambio de variable universal t igual a tangente de x medios para transformar el integrando trigonométrico en una fracción racional elemental y clasificar la integral según el parámetro a.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por el binomio conjugado uno menos seno de x para convertir el denominador en coseno al cuadrado y descomponer la integral en dos integrales inmediatas.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\cos^6(x)} = \sec^6(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar un factor secante al cuadrado para la diferencial, expresar las secantes restantes en potencias de la tangente mediante la identidad fundamental y aplicar el cambio de variable u igual a tangente de x.
Calcular las primitivas de la función irracional algebraica \( f(x) = \frac{\sqrt{x+1} + 2}{(x+1)^2 - \sqrt{x+1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el radical mediante el cambio de variable u igual a raíz de x más 1, transformando el integrando en una función racional que descompondremos en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función exponencial racional \( f(x) = \frac{1}{e^{3x} + e^{2x} + e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable u igual a e a la x para reducir la expresión a una integral racional, factorizando el denominador mediante agrupación de términos y descomponiendo en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{(1 + \sqrt{x})^2}{2 + \sqrt{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el radical cuadrático mediante el cambio u igual a raíz de x, transformando el integrando en una fracción racional impropia que simplificaremos mediante división euclídea.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{x+1}\frac{\sqrt{3+x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x+3}}{x^2 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por suprimir el radical mediante el cambio u igual a raíz de x más 3, expresando la variable x y la diferencial en términos de u y descomponiendo la función racional resultante en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{x(\sqrt{1+x} - 2)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar la raíz cuadrada mediante la sustitución u igual a raíz de 1 más x, transformando el producto del denominador en un polinomio factorizable que descompondremos en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{4\cos^3(x) - 3\cos(x)}{\sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común coseno de x en el numerador para asociarlo a la diferencial, transformar el coseno cuadrado restante en senos y aplicar el cambio de variable u igual a seno de x.
Calcular las primitivas de la función con arcoseno \( f(x) = \frac{\arcsin^2(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la derivada de la función arcoseno de x está presente en el integrando como factor diferencial, resolviendo la integral de forma inmediata mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función algebraica irracional \( f(x) = x^5 \sqrt{1 - x^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer x a la quinta en x al cubo por x al cuadrado para utilizar x al cuadrado como la diferencial de x al cubo, efectuando el cambio u igual a uno menos x al cubo para transformar la integral en potencias simples de u.
Calcular las primitivas de la función racional bicuadrada \( f(x) = \frac{x}{x^4 + 3x^2 + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar la presencia del factor x en el numerador, lo que sugiere el cambio de variable u igual a x al cuadrado para convertir el polinomio bicuadrado en un trinomio de segundo grado factorizable e integrar mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{(1 + \cos(x))\sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por seno de x para expresar la parte del seno como uno menos coseno al cuadrado, aplicando el cambio de variable u igual a coseno de x y resolviendo la fracción algebraica resultante mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{2 + 3\tan(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente como seno entre coseno para convertir el integrando en un cociente de combinación lineal de senos y cosenos, descomponiendo el numerador en función del denominador y de su derivada.
Calcular las primitivas del producto trigonométrico y logarítmico \( f(x) = \cos(x)\ln(1 + \cos(x)) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes asignando la función logarítmica a derivar y la función trigonométrica coseno a integrar, simplificando la integral residual mediante identidades pitagóricas.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x e^x}{(1 + x)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes reconociendo que uno entre (1 +
x) al cuadrado es la derivada exacta de menos uno entre (1 + x), lo que conduce a una simplificación inmediata tras derivar el numerador.
Calcular las primitivas de la función secante al cubo \( f(x) = \sec^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la secante al cubo en el producto secante por secante al cuadrado, aplicar integración por partes y resolver algebraicamente la integral cíclica que reaparece al aplicar la identidad fundamental de la tangente.
Calcular las primitivas de la función con exponentes fraccionarios \( f(x) = \frac{3x^{2/3} - 7}{x - 7x^{1/3} + 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar los exponentes fraccionarios de denominador 3 mediante el cambio de variable u igual a x a la un tercio, convirtiendo el integrando en una función racional que descompondremos mediante división euclídea y fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \ln^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes asignando la función logarítmica elevada al cuadrado a derivar y la diferencial de x a integrar, reduciendo sucesivamente la potencia del logaritmo hasta alcanzar una integral inmediata.
Calcular las primitivas del producto exponencial y trigonométrico \( f(x) = \frac{\cos(2x)}{e^x} = e^{-x}\cos(2x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función como el producto de e a la menos x por el coseno de dos x, aplicando dos iteraciones del método de integración por partes para plantear y resolver la ecuación lineal resultante.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar integración por partes eligiendo la función arcoseno para derivar y reconociendo en la fracción restante la derivada exacta de menos la raíz de uno menos x al cuadrado.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\cos(2x)}{\cos^4(x) + \sin^4(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar la suma de potencias cuartas del denominador en una expresión dependiente del seno del ángulo doble, realizando el cambio u igual a seno de 2x para resolver la integral mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 9}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador en x por x para aplicar integración por partes, reduciendo el problema a una integral cíclica que se despeja directamente.
Calcular las primitivas de la función exponencial compuesta \( f(x) = x e^{x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que el factor x es proporcional a la derivada del exponente x al cuadrado, resolviendo la integral de forma inmediata mediante un ajuste de coeficientes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{2x - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el numerador como combinación lineal de la derivada del radicando y una constante, separando la integral en una inmediata de tipo potencia y otra inmediata de tipo arcoseno.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional simple \( f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fracción como una potencia de exponente negativo de base lineal con derivada unitaria, aplicando directamente la regla elemental de la potencia.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica entre el numerador y el denominador, separando el resto en una fracción logarítmica y una fracción tipo arcotangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^3 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la diferencia de cubos del denominador en un factor lineal y un trinomio cuadrático irreducible, descomponer en fracciones simples e integrar mediante logaritmos y arcotangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función exponencial \( f(x) = \frac{1}{e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por e a la menos x para obtener en el numerador la derivada del denominador salvo el signo, integrando de forma logarítmica inmediata.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función exponencial \( f(x) = \frac{e^{2x} - e^x}{e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u igual a e a la x para reducir la expresión a una integral racional simple, que resolveremos mediante división polinómica e integración elemental.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado en el trinomio bajo el radical para reducir la integral a la forma inmediata de la derivada de un arcoseno.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \tan(3x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente como seno entre coseno, reconociendo que el numerador es proporcional a la derivada del denominador para resolver la integral de forma logarítmica inmediata.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x - 1}{3x^2 - 6x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del trinomio del denominador y observar que coincide exactamente, salvo por un factor constante, con el numerador lineal, procediendo a una integración logarítmica directa.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\sin^3(x)}{1 - \cos(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el seno al cubo en seno por seno al cuadrado para aplicar la identidad pitagórica, simplificando algebraicamente el denominador y resolviendo las integrales inmediatas resultantes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{2x - 3}{x^3 + 3x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común x al cuadrado en el denominador para identificar la raíz doble en cero y la raíz simple en menos tres, descomponer la función en fracciones simples e integrar.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{(x - 2)(x + 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la fracción racional con una raíz simple y una raíz doble en tres fracciones simples, determinando sus coeficientes e integrando mediante logaritmos y potencias.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = (1 + \tan(x))^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el cuadrado del binomio, reagrupar los términos para identificar la derivada de la tangente secante al cuadrado y resolver las integrales inmediatas resultantes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\sin(2x) - 1}{\cos^2(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula del seno del ángulo doble en el numerador, separar el cociente en dos fracciones simples e integrar mediante las derivadas inmediatas de la tangente y del logaritmo.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \sin^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir el exponente cuadrático utilizando la identidad del coseno del ángulo doble, transformando el integrando en una suma de funciones elementales de integración inmediata.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función exponencial racional \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el exponente negativo multiplicando por e a la x, aplicando el cambio de variable u igual a e a la x para convertir la función en una fracción racional reducible mediante fracciones simples.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función compuesta \( f(x) = \cos(\ln(x)) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable t igual a logaritmo de x para transformar la función compuesta en el producto exponencial por coseno, resolviendo la integral cíclica estándar mediante partes.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas del producto algebraico-trigonométrico \( f(x) = x^3 \cos(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar iterativamente el método de integración por partes derivando el factor polinómico x al cubo hasta anularlo e integrando el factor trigonométrico coseno de forma alternada.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica racional \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por uno menos seno de x para convertir el denominador en coseno al cuadrado y descomponer el integrando en dos funciones de integración inmediata.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \tan^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la identidad trigonométrica fundamental que relaciona la tangente al cuadrado con la secante al cuadrado, transformando el integrando en la derivada de la tangente menos una constante.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función racional con raíces complejas \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado del trinomio de segundo grado del denominador para llevar la expresión a la forma canónica de la derivada de un arcotangente.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{\arctan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u igual a raíz de x para simplificar el argumento y absorber el denominador en la diferencial, aplicando a continuación integración por partes sobre la arcotangente simple. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial \( F'(x) = \frac{1}{x^2} \quad (x > 0) \), y determinar la solución particular que satisface la condición inicial \( F(1) = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la derivada respecto de x para obtener la familia general de primitivas con una constante de integración indeterminada, y posteriormente determinaremos dicha constante imponiendo la condición inicial dada.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Utilizando como aceleración debida a la gravedad la constante \( a(t) = -9{, }8 \text{ m/s}^2 \), demostrar que la altura a la que llega un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde una posición inicial \( s_0 \) metros con velocidad inicial \( v_0 \) metros por segundo viene dada por la función horaria \( f(t) = -4{, }9t^2 + v_0 t + s_0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la aceleración constante para obtener la función velocidad determinando la constante mediante la condición inicial v(0) = v0, e integraremos sucesivamente la velocidad para obtener la función posición determinando la segunda constante con s(0) = s 0., a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo. Tomando la aceleración de la gravedad como \( g = 9{, }8 \text{ m/s}^2 \), encontrar la función posición que expresa la altura \( s(t) \) en función del tiempo \( t \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la aceleración de la gravedad para hallar la función velocidad sujeta a la velocidad inicial dada, integrando a continuación la velocidad para obtener la función altura sujeta a la posición inicial. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo, estando su altura descrita por la función horaria \( s(t) = -4{, }9t^2 + 5t + 2 \). Determinar en qué instante de tiempo llegará la pelota al suelo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por igualar a cero la ecuación horaria de la altura para determinar cuándo la pelota hace contacto con el suelo, resolviendo la ecuación de segundo grado y seleccionando la raíz temporal físicamente positiva.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo bajo la aceleración de la gravedad \( g = 9{, }8 \text{ m/s}^2 \). Determinar con qué velocidad hará contacto con el suelo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la función velocidad en el instante exacto en el que la pelota alcanza el suelo, comprobando el resultado mediante el teorema de conservación de la energía mecánica.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo bajo la aceleración de la gravedad \( g = 9{, }8 \text{ m/s}^2 \). Calcular la altura máxima alcanzada por la pelota.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la altura máxima se alcanza en el instante en que la velocidad vertical se anula momentáneamente antes de iniciar el descenso, evaluando a continuación dicho tiempo en la función posición. y para terminar obtendremos la solución final debidamente simplificada.
La tasa de crecimiento \( \frac{dP}{dt} \) de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo \( t \) en días ( \( 0 \le t \le 10 \) ), dada por \( \frac{dP}{dt} = k\sqrt{t} \). Sabiendo que el tamaño inicial de la población es de 500 bacterias y que tras un día la población ha alcanzado 600 bacterias, estimar el tamaño de la población después de 7 días.
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la ecuación diferencial para obtener la función del tamaño poblacional P(t), determinando la constante de integración con la población inicial P(0) = 500 y la constante de proporcionalidad k con P(1) = 600, para evaluar finalmente la población a los 7 días.. , a continuación aplicaremos el desarrollo analítico paso a paso y para terminar obtendremos la solución canónica enmarcada.