Ejercicios · 7.1 Definición y propiedades

Para resolver este ejercicio empezaremos por usar la linealidad de la integral indefinida, que nos permite separar la integral en una por cada monomio del polinomio. A continuación integraremos cada monomio con la regla de la potencia, subiendo el exponente en una unidad y dividiendo por el nuevo exponente. Para terminar reuniremos todos los resultados y añadiremos una constante de integración, que recoge la familia entera de primitivas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir cada monomio del numerador entre el denominador, convirtiendo la fracción en una suma de potencias y un término en uno partido por \( x \). A continuación integraremos cada término con su regla: la de la potencia para las potencias y la del logaritmo para el término en uno partido por \( x \). Para terminar reuniremos todos los resultados y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por traducir cada radical a una potencia de exponente racional, con la raíz cúbica como potencia de exponente un tercio y el segundo radical como potencia de exponente menos dos quintos. A continuación integraremos cada potencia con la regla general, sumando uno al exponente y dividiendo por el exponente nuevo. Para terminar devolveremos el resultado a la forma de radicales y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por separar la integral en dos, una por cada sumando, sacando fuera el coeficiente tres de la segunda. A continuación reconoceremos el primer sumando como la forma de la derivada del arco seno, identificando el dos como el parámetro de la forma general. Y con el segundo sumando haremos lo mismo con la forma de la derivada de la arcotangente, para terminar sumando ambas primitivas con su constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz del denominador como una potencia de exponente menos un medio, dejando la función en forma de potencia compuesta. A continuación comprobaremos que la derivada de la base \( x^2 + 4 \) es \( 2x \), y ajustaremos la integral multiplicando y dividiendo por dos para tener dentro esa derivada completa. Para terminar aplicaremos la regla de la potencia compuesta y escribiremos las primitivas con su constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por separar la fracción en dos integrales, una con el término que lleva la variable y otra con el término constante. A continuación calcularemos la primera como una potencia compuesta, ajustando el signo que pide la derivada del radicando. Para terminar resolveremos la segunda con la forma del arco seno y reuniremos las dos primitivas con su constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el seno al cuadrado con la identidad del ángulo doble, hasta dejarlo como una constante menos un coseno. A continuación separaremos la integral en dos, una para la constante y otra para ese coseno. Para terminar integraremos cada término y reuniremos el resultado con su constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la derivada de la tangente, escrita en su forma de uno más tangente al cuadrado. A continuación despejaremos la tangente al cuadrado como esa derivada menos uno, y sustituiremos en la integral separándola en dos. Para terminar integraremos cada término y reuniremos el resultado con su constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer esa semisuma de exponenciales como el coseno hiperbólico, aunque lo integraremos sin usar su nombre. A continuación separaremos la integral en dos, una por cada exponencial, con el factor un medio fuera. Para terminar integraremos cada exponencial, reuniremos el resultado y lo reconoceremos como el seno hiperbólico, con su constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sacar el factor dos fuera de la integral, porque una constante que multiplica puede salir de la integral. A continuación comprobaremos que la derivada del denominador es uno, y eso dejará la fracción en la forma exacta de la primitiva logarítmica. Para terminar aplicaremos esa regla y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por ponerle nombre a la base del cubo y calcular su derivada, que resultará ser uno. A continuación escribiremos la regla general de la potencia compuesta, la que lleva la derivada de la base multiplicando dentro de la integral. Para terminar sustituiremos la base y el exponente, y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el segundo sumando con exponente negativo y separar la integral en dos, una por cada sumando. A continuación integraremos la exponencial de base dos con su regla general, y la de la base natural con la regla de la exponencial compuesta. Para terminar sumaremos las dos primitivas, devolveremos el segundo término a su forma de fracción y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz cuadrada como potencia de exponente un medio, porque las raíces se integran con la regla de la potencia. A continuación calcularemos la derivada de la base, que es uno, y aplicaremos esa regla subiendo el exponente y dividiendo por el nuevo. Para terminar devolveremos el resultado a la forma de raíz y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por subir el denominador al numerador, convirtiendo la fracción en una potencia de exponente negativo. A continuación aplicaremos la regla general de la potencia compuesta, apoyándonos en que la derivada de la base es uno. Para terminar bajaremos la potencia otra vez al denominador, ya con el exponente positivo, y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir cada término del numerador entre la raíz cuadrada de la variable, escribiendo cada cociente como una potencia de exponente fraccionario. A continuación integraremos cada sumando con la regla de la potencia. Para terminar reuniremos las dos primitivas en una sola expresión simplificada y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar el polinomio del denominador y compararlo, término a término, con el numerador. A continuación reconoceremos en la fracción la estructura de una derivada partida por su propia función. Para terminar aplicaremos la regla del logaritmo neperiano y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como una potencia y por derivar el radicando, para ver qué factor necesitamos dentro de la integral. A continuación ajustaremos la constante hasta que aparezca esa derivada interna completa. Para terminar aplicaremos la regla de la potencia compuesta, volveremos a la forma de raíz y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por normalizar el radicando, extrayendo el cuatro como factor común hasta dejar un uno menos un cuadrado. A continuación reconoceremos en esa estructura la derivada del arco seno, con su función interna y la derivada de esta. Para terminar escribiremos la primitiva y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar el denominador y comparar esa derivada con el numerador. A continuación ajustaremos la constante multiplicando y dividiendo por dos, hasta dejar arriba la derivada completa. Para terminar aplicaremos la regla del logaritmo neperiano, sin valor absoluto porque el denominador es siempre positivo, y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sacar el cuatro como factor común del denominador, para dejar a la vista un uno más un cuadrado. A continuación ajustaremos el diferencial multiplicando y dividiendo por dos, hasta que aparezca la derivada de la base. Para terminar aplicaremos la regla general de la arcotangente y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador en sus dos sumandos, de modo que la integral se parta en dos integrales independientes. A continuación calcularemos la primera ajustando el numerador hasta que aparezca la derivada del denominador, que es la estructura del logaritmo. Para terminar resolveremos la segunda con la regla general de la arcotangente y reuniremos ambos resultados en una sola familia de primitivas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por partir la integral en dos, una para cada sumando, usando la linealidad. A continuación integraremos el primer término multiplicando y dividiendo por dos, para ajustar la derivada de su argumento. Para terminar haremos el ajuste análogo con un tres en el segundo término, reuniremos los dos resultados y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por deducir la identidad del ángulo doble que expresa el coseno al cuadrado sin ninguna potencia, solo con un coseno sencillo. A continuación sustituiremos esa forma dentro de la integral y la partiremos en dos integrales inmediatas. Para terminar integraremos cada término, reuniremos los resultados y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por mirar la integral como una composición: un coseno aplicado a una función interior, multiplicado por la derivada de esa misma función. A continuación calcularemos la derivada del logaritmo neperiano y comprobaremos que coincide exactamente con el factor que acompaña al coseno. Para terminar aplicaremos la regla general de esa estructura, que da el seno de la función interior, y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del exponente, el coseno, y comprobaremos que su derivada es el seno cambiado de signo. A continuación ajustaremos ese signo sacando un menos fuera de la integral, de modo que dentro quede la exponencial multiplicada por la derivada exacta de su exponente. Para terminar aplicaremos la regla general de las exponenciales de base cualquiera, que divide entre el logaritmo neperiano de la base, y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por llamar u al arco seno y calcular su derivada, que coincide exactamente con el factor que divide. A continuación reescribiremos la integral como el producto de esa función por su propia derivada. Para terminar aplicaremos la regla general de la potencia compuesta, desharemos el nombre u y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la fracción de modo que arriba quede un único factor y abajo la arcotangente sola. A continuación calcularemos la derivada de la arcotangente y comprobaremos que es justo ese factor de arriba, con lo que la integral quedará como una derivada dividida entre su función. Para terminar aplicaremos la regla general de esa estructura, que da el logaritmo neperiano del valor absoluto de la función.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como una potencia de exponente fraccionario, para ver la integral como una potencia compuesta. A continuación calcularemos la derivada de la expresión interior y ajustaremos la constante que falta multiplicando y dividiendo entre cuatro, de modo que dentro quede la potencia multiplicada por su derivada exacta. Para terminar aplicaremos la regla general de la potencia compuesta y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por separar la función en dos factores: el uno partido por el coseno al cuadrado de la raíz, y el uno partido por la raíz. A continuación calcularemos la derivada de la raíz y ajustaremos la constante que falta multiplicando y dividiendo entre dos, de modo que el segundo factor quede convertido en esa derivada exacta. Para terminar aplicaremos la regla general de la tangente y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador y comprobar, con la identidad del seno del ángulo doble mostrada antes en su forma general, que esa derivada coincide con el numerador salvo un signo menos. A continuación ajustaremos ese signo dentro de la integral para dejarla en la forma derivada partido por función. Para terminar aplicaremos la regla del logaritmo neperiano y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador con la regla de la potencia mostrada antes en su forma general, y veremos que sale el numerador multiplicado por una constante que sobra. A continuación multiplicaremos y dividiremos por esa constante para fabricar, sin cambiar la integral, la forma derivada partido por función. Para terminar aplicaremos la regla del logaritmo neperiano y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por nombrar al argumento completo del seno y calcular su derivada con la regla de la exponencial mostrada antes en su forma general, comprobando que coincide exactamente con el factor que multiplica fuera. A continuación reescribiremos la integral con esa estructura a la vista, como un seno de una función por su derivada. Para terminar aplicaremos la regla general del seno compuesto y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la raíz como una potencia de exponente fraccionario, mostrando antes la equivalencia entre raíz y potencia, y calcularemos la derivada de la base. A continuación ajustaremos la constante que falta multiplicando y dividiendo por dos, para dejar la integral como una potencia compuesta por su derivada. Para terminar aplicaremos la regla de la potencia compuesta y devolveremos el resultado a forma de raíz, añadiendo una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el cambio de variable con la expresión completa de dentro de la raíz y calcular su diferencial derivándola término a término. A continuación sustituiremos en la integral la base y el factor que acompaña, y la dejaremos reducida a una potencia elemental en la nueva variable. Para terminar integraremos esa potencia con su regla general y desharemos el cambio, añadiendo una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz cuadrada como potencia de exponente un medio y derivar la expresión de dentro, comprobando que el factor de fuera es esa derivada salvo una constante. A continuación ajustaremos la constante multiplicando y dividiendo por tres, para que la integral tome la forma de una potencia compuesta por su derivada. Para terminar aplicaremos la regla general de esa primitiva y regresaremos a la raíz, añadiendo una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por llamar u al argumento completo del coseno y calcular su derivada, comprobando que el factor de fuera es esa derivada salvo una constante. A continuación ajustaremos la constante multiplicando y dividiendo por cinco, e integraremos con la regla general del coseno compuesto. Para terminar desharemos el cambio y escribiremos la primitiva en la variable original, añadiendo una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por llamar u al argumento inverso del seno y calcular su derivada, descubriendo que el factor de fuera es esa derivada cambiada de signo. A continuación fabricaremos ese signo menos multiplicando por menos uno dentro y fuera, para que la integral tome la forma de un seno compuesto por su derivada. Para terminar aplicaremos la regla general de esa primitiva y simplificaremos el doble signo, añadiendo una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por llamar u al logaritmo y calcular su derivada, reconociendo que el otro factor de la integral es exactamente esa derivada. A continuación escribiremos la integral con la estructura de una potencia multiplicada por su derivada y la reduciremos a una potencia sencilla en la nueva variable. Para terminar aplicaremos la regla general de la primitiva de una potencia, desharemos el cambio y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por llamar g a la base completa de la potencia y calcular su derivada, comprobando que el factor de fuera es esa derivada salvo una constante. A continuación ajustaremos la constante multiplicando y dividiendo por dos, para que la integral tome la forma de una potencia compuesta por su derivada. Para terminar aplicaremos la regla general de esa primitiva y añadiremos una constante de integración.

Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la estructura de la integral: una potencia del seno multiplicada por la derivada del propio seno. A continuación aplicaremos la regla general de la primitiva de una potencia sobre esa estructura, trabajando con la función interior como si fuera la variable. Para terminar desharemos el cambio de nombre y escribiremos la familia de primitivas, añadiendo una constante de integración.