Ejercicios · Tema 5: Derivación y aplicaciones — Problemas de examen
15 ejercicios resueltos paso a paso.
Problemas de examen
1.
Calcular de forma razonada el perímetro del pentágono de área máxima que puede inscribirse dentro de una circunferencia de longitud \( 4\pi \)
2.
Considérese la elipse de ecuación cartesiana:
\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \)
En ella se inscribe un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Calcular de forma razonada el área máxima que puede alcanzar dicho rectángulo.
\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \)
En ella se inscribe un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Calcular de forma razonada el área máxima que puede alcanzar dicho rectángulo.
3.
Demostrar de forma analítica que se verifica la siguiente desigualdad:
\( e^x \ge \frac{x}{2} + 1 \)
para todo número real \( x \ge 0 \)
\( e^x \ge \frac{x}{2} + 1 \)
para todo número real \( x \ge 0 \)
4.
Probar de forma analítica la desigualdad:
\( e^x \ge x + 1 \)
para todo número real \( x \in \mathbb{R}\), determinando en qué puntos se alcanza la igualdad.
\( e^x \ge x + 1 \)
para todo número real \( x \in \mathbb{R}\), determinando en qué puntos se alcanza la igualdad.
5.
Demostrar analíticamente la desigualdad:
\(\frac{\ln x}{x} < \frac{1}{e}\)
para todo número real positivo \( x > 0 \) con \( x \neq e \)
\(\frac{\ln x}{x} < \frac{1}{e}\)
para todo número real positivo \( x > 0 \) con \( x \neq e \)
6.
Sea el polinomio de cuarto grado definido por:
\( p(x) = x^4 - 7x^3 + 17x^2 - 17x + 6 \)
(
a) Hallar todas sus raíces reales y determinar el conjunto \( A = \{x \in \mathbb{R}: p(x) \le 0\}\)
(
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( p(x) \), así como sus extremos relativos y absolutos.
\( p(x) = x^4 - 7x^3 + 17x^2 - 17x + 6 \)
(
a) Hallar todas sus raíces reales y determinar el conjunto \( A = \{x \in \mathbb{R}: p(x) \le 0\}\)
(
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( p(x) \), así como sus extremos relativos y absolutos.
7.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una función derivable. Se conoce que la función derivada \( f'(x) \) es continua y posee las siguientes características:
- Se anula únicamente en \( x = -1 \), \( x = 1 \) y \( x = 3 \)
- Es estrictamente positiva en \((-\infty, -1) \) y en \((1, 3) \), y estrictamente negativa en \((-1, 1) \) y en \((3, +\infty) \)
- Posee un mínimo local en \( x = 0 \) y un máximo local en \( x = 2 \)
Determinar de forma razonada los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \), sus extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y la localización de sus puntos de inflexión.
- Se anula únicamente en \( x = -1 \), \( x = 1 \) y \( x = 3 \)
- Es estrictamente positiva en \((-\infty, -1) \) y en \((1, 3) \), y estrictamente negativa en \((-1, 1) \) y en \((3, +\infty) \)
- Posee un mínimo local en \( x = 0 \) y un máximo local en \( x = 2 \)
Determinar de forma razonada los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \), sus extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y la localización de sus puntos de inflexión.
8.
Dada la parábola \( f(x) = x^2 \), el punto fijo \( F = (0, 1) \) y un punto móvil sobre la curva \( A = (a, a^2) \) con \( a > 0 \):
(
a) Hallar la ecuación de la recta secante \( r \) que pasa por \( F \) y \( A \), y determinar los puntos de corte de \( r \) con la parábola.
(
b) Calcular el área \( S(a) \) de la región encerrada entre la recta secante \( r \) y la parábola.
(
c) Determinar el valor de \( a > 0 \) que hace mínima dicha área.
(
a) Hallar la ecuación de la recta secante \( r \) que pasa por \( F \) y \( A \), y determinar los puntos de corte de \( r \) con la parábola.
(
b) Calcular el área \( S(a) \) de la región encerrada entre la recta secante \( r \) y la parábola.
(
c) Determinar el valor de \( a > 0 \) que hace mínima dicha área.
9.
Dada la función racional de variable real:
\( f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2}\)
(
a) Determinar su dominio natural y calcular todas sus asíntotas (verticales y oblicuas).
(
b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y calcular las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión.
\( f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2}\)
(
a) Determinar su dominio natural y calcular todas sus asíntotas (verticales y oblicuas).
(
b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y calcular las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión.
10.
Considerando la desigualdad funcional \(\ln(1+t) \le t \) válida para todo \( t > -1 \):
Calcular de forma analítica los máximos y mínimos absolutos de la función real:
\( f_2(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}, & \text{si } x \neq 0 \\[2mm] 1, & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
en todo su dominio \(\mathbb{R}\)
Calcular de forma analítica los máximos y mínimos absolutos de la función real:
\( f_2(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}, & \text{si } x \neq 0 \\[2mm] 1, & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
en todo su dominio \(\mathbb{R}\)
11.
Sea el polinomio dependiente del parámetro real \( a \in \mathbb{R} \):
\( p(x) = -3x^4 + 16x^3 - 30x^2 + 24x - a \)
Determinar la cantidad exacta de raíces reales del polinomio \( p(x) \) en función de todos los valores posibles de \( a \)
\( p(x) = -3x^4 + 16x^3 - 30x^2 + 24x - a \)
Determinar la cantidad exacta de raíces reales del polinomio \( p(x) \) en función de todos los valores posibles de \( a \)
12.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una función derivable cuya derivada \( f'(x) \) es continua y verifica que sus únicos puntos de corte con el eje de abscisas son \( x = -1 \), \( x = 1 \) y \( x = 2 \). Se sabe además que:
\( f'(x) > 0 \text{ en } (-\infty, -1) \cup (1, 2) \quad \text{y} \quad f'(x) < 0 \text{ en } (-1, 1) \cup (2, +\infty) \)
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \)
b) Clasificar todos los extremos relativos de \( f \)
c) Razonar si es posible que \( f \) tenga puntos de inflexión.
\( f'(x) > 0 \text{ en } (-\infty, -1) \cup (1, 2) \quad \text{y} \quad f'(x) < 0 \text{ en } (-1, 1) \cup (2, +\infty) \)
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \)
b) Clasificar todos los extremos relativos de \( f \)
c) Razonar si es posible que \( f \) tenga puntos de inflexión.
13.
Dado el polinomio:
\( p(x) = x^4 - 7x^3 + 17x^2 - 17x + 6 \)
a) Hallar todas sus raíces reales.
b) Determinar el conjunto \( A = \{x \in \mathbb{R}: p(x) \leq 0\} \)
\( p(x) = x^4 - 7x^3 + 17x^2 - 17x + 6 \)
a) Hallar todas sus raíces reales.
b) Determinar el conjunto \( A = \{x \in \mathbb{R}: p(x) \leq 0\} \)
14.
Demostrar rigurosamente la siguiente desigualdad:
\( e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}, \quad \forall x \geq 0 \)
\( e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}, \quad \forall x \geq 0 \)
15.
Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que tiene su base apoyada sobre el eje \( OX \), sus lados verticales paralelos al eje \( OY \), y sus dos vértices superiores situados sobre la parábola de ecuación:
\( y = 12 - x^2 \)
\( y = 12 - x^2 \)