Ejercicios · Tema 3: Series numéricas. Criterios de convergencia — Problemas de examen
20 ejercicios resueltos paso a paso.
Problemas de examen
1.
Analizar el carácter y determinar si es convergente o divergente la siguiente serie numérica de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n - 3}{2n + 1} \right)^{(2n + 1)n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que los términos de la serie son estrictamente positivos para n suficientemente grande y verificar la aplicabilidad del criterio de la raíz de Cauchy. A continuación calcularemos el límite de la raíz enésima del término general. Para terminar resolveremos la indeterminación de la forma uno elevado a infinito para comparar el valor del límite con la unidad.
Justificar razonadamente si es verdadera o falsa la siguiente proposición:
Sea \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) una serie convergente de términos no negativos ( \( a_n \geq 0 \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) ). Sea \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) una sucesión de números reales no negativos tal que \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \)
Entonces, la serie producto \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \) también es necesariamente convergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico de la sucesión infinitesimal b sub n y deducir su acotación superior. A continuación aplicaremos la desigualdad fundamental del producto término a término con una constante positiva. Para terminar concluiremos la convergencia aplicando el criterio de comparación directa para series de términos no negativos.
Estudiar la convergencia de la siguiente serie numérica de términos positivos:
\( \sum_{n=0}^{\infty} n^4 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{3} \right)^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término general y verificar que es estrictamente positivo para n mayor o igual que uno. A continuación plantearemos el cociente de términos consecutivos aplicando el criterio de D'Alembert. Para terminar calcularemos el límite del cociente y compararemos la razón geométrica resultante con la unidad.
Estudiar la convergencia de la siguiente serie de términos positivos:
\( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{e^{-n^3 + 1}}{n^2 - n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el signo y el comportamiento del término general cuando n crece. A continuación compararemos el término general con una serie geométrica convergente o una p-serie de orden dos. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite para demostrar formalmente la convergencia de la serie.
Determinar el carácter de la siguiente serie de términos estrictamente positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)! }{n^n (n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el criterio de D'Alembert mediante el cociente de términos consecutivos. A continuación desarrollaremos y simplificaremos los factoriales sucesivos de orden dos n y orden n más uno. Para terminar agruparemos las potencias de n reconociendo el número de Euler para calcular el límite y compararlo con la unidad.
Determinar razonadamente el carácter de las siguientes dos series numéricas:
a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2 + 1}} \)
b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} \)
Para resolver este apartado empezaremos por identificar que se trata de una serie alternada con factor menos uno elevado a n. A continuación verificaremos que el módulo del término general decrece monótonamente hacia cero comprobando las dos condiciones del criterio de Leibniz. Para terminar concluiremos que la serie alternada es convergente.
Determinar el carácter de convergencia de la siguiente serie numérica de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}) \log\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar el factor con raíces multiplicando y dividiendo por su expresión conjugada. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo para simplificar el segundo factor. Para terminar compararemos el término general asintótico con una p-serie de Riemann para determinar su convergencia.
Estudiar la convergencia de la serie de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} 3^{-n} \left( 1 + \frac{2}{3n} \right)^{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el término general como una potencia n-ésima global. A continuación aplicaremos el criterio de la raíz de Cauchy extrayendo la raíz de orden n. Para terminar resolveremos el límite de la base resultante reconociendo la definición del número e y compararemos el resultado con la unidad.
Estudiar la convergencia de la serie de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n^2} 2^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el término general agrupando la potencia exterior de orden n. A continuación aplicaremos el criterio de la raíz de Cauchy. Para terminar calcularemos el límite del término resultante reconociendo el número e y compararemos la razón con la unidad.
Demostrar la convergencia de la siguiente serie de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n + n^3 + n^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que todos los sumandos del denominador son estrictamente positivos para n natural. A continuación estableceremos una cota inferior para el denominador reteniendo únicamente el término exponencial dominante. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación directa con la serie geométrica de razón un medio para concluir la convergencia.
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar la diferencia de raíces cúbicas del término general mediante la identidad algebraica de cubos. A continuación utilizaremos el criterio de comparación por paso al límite con una serie p-armónica canónica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el término general en una diferencia de términos consecutivos de tipo a sub n menos a sub n más uno. A continuación sumaremos los primeros n términos para simplificar la suma telescópica y tomaremos el límite cuando n tiende a infinito.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico del argumento trigonométrico en el infinito. A continuación sustituiremos la función seno por su infinitésimo equivalente de primer orden y compararemos la serie resultante con la serie armónica generalizada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término dominante exponencial en el denominador. A continuación estableceremos una desigualdad para acotar superiormente el término general mediante los términos de una serie geométrica convergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la raíz n-ésima del término general para aplicar el criterio de Cauchy. A continuación resolveremos la indeterminación de tipo uno elevado a infinito utilizando el número e para determinar si el límite es menor que uno.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz n-ésima al término general con exponente n. A continuación evaluaremos el límite del exponente resultante comprobando que es estrictamente menor que la unidad.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer la raíz n-ésima del término general. A continuación transformaremos la base exponencial en un límite notable del número e para determinar el valor exacto del límite de Cauchy y clasificar la convergencia.
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión radical para eliminar la indeterminación infinito menos infinito. A continuación compararemos el término resultante con una serie p-armónica de orden adecuado.
Para resolver este ejercicio empezaremos por formar el cociente entre términos consecutivos a sub n más uno y a sub n para aplicar el criterio de D'Alembert. A continuación simplificaremos los números combinatorios y factoriales para evaluar el límite del cociente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por tomar la raíz enésima del término general simplificando el exponente cuadrático. A continuación calcularemos el límite del factor restante para concluir la convergencia absoluta mediante el criterio de Cauchy.