Ejercicios · Tema 2: Límites de sucesiones — 2.2 Métodos de resolución de límites
36 ejercicios resueltos paso a paso.
2.2 Métodos de resolución de límites
1.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{(1^2 + 2^2 + \dots + n^2)^2}{(1 + 2 + \dots + n)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir las sumas notables finitas por sus fórmulas polinómicas cerradas. A continuación calcularemos el comportamiento asintótico de las potencias del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de los coeficientes líderes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + n + n^2 + n^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la suma finita del numerador mediante su fórmula cerrada. A continuación identificaremos la potencia de grado 3 en ambos miembros. Para terminar determinaremos el valor del límite mediante el cociente de coeficientes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{n^2 + 1}}{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar la diferencia de raíces multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada. A continuación simplificaremos el numerador eliminando las raíces. Para terminar evaluaremos el orden asintótico del denominador resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left[ 1 + \log\left(\frac{3n^2 + 2n + 1}{3n^2 + 5n}\right) \right]^{4n + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo 1 elevado a infinito. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo neperiano para aproximar la base. Para terminar aplicaremos la regla de cálculo del número e mediante el límite del producto.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término dominante en los radicales anidados. A continuación dividiremos el numerador y el denominador entre la raíz de n. Para terminar evaluaremos el comportamiento cuando n tiende a infinito.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (2 + 3n^4)^{\frac{1}{3 + 2\log(n+1)}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por clasificar la indeterminación de tipo infinito elevado a cero. A continuación aplicaremos la transformación logarítmica neperiana para convertirla en un cociente. Para terminar calcularemos el límite del logaritmo mediante equivalencias asintóticas y recuperaremos el valor original mediante la exponencial.
Calcular en función del parámetro real \( a \) el límite de la sucesión: \( x_n = \sqrt[3]{n^3 + an^2} - \sqrt[3]{n^3 - an^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito menos infinito. A continuación utilizaremos la identidad algebraica de diferencia de cubos para racionalizar la expresión. Para terminar evaluaremos el cociente de potencias cuadráticas dominantes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{n^2 + 3n - 2}{n^2 + n} \right)^{\frac{n^3 + 2}{2n^2 + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación de tipo 1 elevado a infinito. A continuación calcularemos el límite del producto de la base menos uno por el exponente. Para terminar expresaremos el resultado como la potencia del número e.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{n + 1}{n - 1} \right)^{\frac{n^2 + 2}{n - 3}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación restaremos uno a la base y la multiplicaremos por el exponente. Para terminar evaluaremos el límite de la función cuadrática resultante en el exponente.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (4n + 3) \log\left( \frac{n + 1}{n - 2} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación de tipo infinito por cero. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo neperiano. Para terminar resolveremos el límite de la función racional resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{3\sqrt[3]{n} - 4\sqrt[5]{n^2}}{\sqrt[3]{n} - 3(4 - \sqrt[5]{n})} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir todas las raíces a exponentes fraccionarios. A continuación compararemos los órdenes de magnitud para identificar los términos dominantes. Para terminar calcularemos el comportamiento divergente del cociente asintótico.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (2^n + 3^n)^{\frac{1}{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la base exponencial dominante. A continuación extraeremos dicha base como factor común fuera de la raíz n-ésima. Para terminar evaluaremos el límite del factor residual.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sqrt{9n^2 - n} - \sqrt[3]{27n^3 - 5n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que ambos términos tienen el mismo orden asintótico lineal tres n. A continuación sumaremos y restaremos tres n para desacoplar la indeterminación en dos límites independientes. Para terminar resolveremos cada límite por racionalización y sumaremos los resultados.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{\log(n^2 + 1)}{\log(n^2 - 1)} \right)^{n^2 \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación calcularemos la base menos uno utilizando propiedades del logaritmo neperiano. Para terminar evaluaremos el producto por el exponente y aplicaremos la fórmula del número e.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{2^{2n} (n! )^2 \sqrt{n}}{(2n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar los factoriales con el producto de Wallis o la fórmula de aproximación asintótica de Stirling. A continuación sustituiremos las equivalencias de los factoriales. Para terminar simplificaremos las potencias y calcularemos el valor exacto del límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{(3n + 1)(3n + 2)\dots(4n)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por introducir el factor uno sobre n dentro del radical como n a la n. A continuación transformaremos el producto en una suma mediante el logaritmo neperiano. Para terminar identificaremos dicha suma como una suma de Riemann y calcularemos la integral definida asociada.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sum_{k=1}^n k \sin\left(\frac{1}{n^2 + k}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar el argumento del seno para cada índice k. A continuación aplicaremos la desigualdad fundamental del seno para acotar superior e inferiormente la suma completa. Para terminar aplicaremos el teorema del sandwich.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sum_{k=1}^n \sin\left( \frac{n^2 \pi}{2(n^2 + k)} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico del argumento trigonométrico en cada sumando. A continuación acotaremos inferiormente todos los términos utilizando la monotonía del seno en el primer cuadrante. Para terminar determinaremos la divergencia de la suma de n términos acotados inferiormente por una constante positiva.
Determinar la relación que debe existir entre los parámetros reales \( p \) y \( q \) para que se cumpla la igualdad: \( \lim_{n\to\infty} \left( \frac{3n^2 - 2}{3n^2 + 1} \right)^{pn^2 - 1} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n + q}{n - q} \right)^{2n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el primer límite en función del parámetro p mediante la fórmula del número e. A continuación calcularemos el segundo límite en función de q. Para terminar igualaremos ambos resultados para deducir la relación algebraica requerida.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\log 2 + \log 3 + \dots + \log n}{n \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis del criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos las diferencias de términos consecutivos del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de incrementos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sum_{k=1}^n \sin^2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}{\log(n+1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos el incremento del numerador mediante la equivalencia asintótica del seno y el incremento del denominador con la propiedad logarítmica. Para terminar evaluaremos el cociente de ambos infinitésimos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación racionalizaremos el incremento del denominador. Para terminar simplificaremos las potencias fraccionarias de n.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sin 1 + 2^2 \sin\left(\frac{1}{2}\right) + 3^2 \sin\left(\frac{1}{3}\right) + \dots + n^2 \sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las condiciones del criterio de Stolz. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del seno en el incremento del numerador. Para terminar calcularemos el cociente de los términos lineales líderes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[4]{4} + \dots + n\sqrt[n]{n}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar el límite notable de la raíz n-ésima de n. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro calculando el incremento del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{1! }} + \frac{2}{\sqrt{2! }} + \frac{3}{\sqrt{3! }} + \dots + \frac{n}{\sqrt{n! }}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos el cociente de incrementos. Para terminar compararemos el crecimiento polinómico con el crecimiento superexponencial del factorial.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{n! }{1! + 2! + 3! + \dots + n! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por invertir la fracción o dividir numerador y denominador entre n factorial. A continuación analizaremos la suma residual de términos inversos de factoriales. Para terminar demostraremos que dicha suma tiende a cero.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1}{n} \frac{1 + 16 + 81 + \dots + n^4}{n^4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reagrupar el producto en una única fracción con denominador n a la quinta. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos polinómicos líderes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \dots + n\sqrt{n}}{n^2 \sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el orden fraccionario de las potencias. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz calculando la derivada o incremento asintótico del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de coeficientes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\cos 1 + \cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \dots + \cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) - n}{\log(n^3 + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por distribuir el término menos n dentro de la suma restando uno a cada coseno. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz y utilizaremos el desarrollo de Maclaurin del coseno. Para terminar evaluaremos el cociente de infinitésimos.
Dado un entero positivo \( p \in \mathbb{N} \), calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1^p + 2^p + \dots + n^p}{n^p} - \frac{n}{p+1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir ambas fracciones a un común denominador. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro expandiendo los términos mediante el binomio de Newton hasta el segundo orden. Para terminar simplificaremos y obtendremos el límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{1\cdot 2\cdot 3} + \sqrt{2\cdot 3\cdot 4} + \dots + \sqrt{n(n+1)(n+2)}}{n^2 \sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aproximar el término general del radical por su potencia dominante. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar evaluaremos el cociente de potencias fraccionarias.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\log 1 - \log 2 + \log 3 - \log 4 + \dots + \log(2n-1) - \log(2n)}{\log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar los términos consecutivos en parejas de cocientes. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro con respecto al logaritmo de n. Para terminar evaluaremos el cociente de los infinitésimos resultantes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{\sum_{k=1}^n \left(e^{1/\sqrt{k}} - 1\right)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación transformaremos el exponente aplicando la regla de Euler combinada con el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar calcularemos el valor exacto como la exponencial del resultado.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{2}{1} + \frac{3^2}{2} + \frac{4^3}{3^2} + \dots + \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el término general de la suma reconociendo la definición del número e. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos lineales dominantes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\arcsin(1) + \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \dots + \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)}{\log(n^3 + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis de Stolz-Cesàro. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del arco seno y del logaritmo neperiano. Para terminar evaluaremos el cociente de incrementos.
Sea \( (a_n)_{n=1}^\infty \) una sucesión de términos reales estrictamente positivos tal que \( \lim_{n\to\infty} a_n = a \). Calcular para cualquier entero fijo \( k \ge 1 \) el límite: \( L = \lim_{n\to\infty} \left[ \frac{a_1^{1/k} + 2 a_2^{1/k} + \dots + n a_n^{1/k}}{\frac{n(n+1)}{2}} \right]^k \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir una sucesión auxiliar con las raíces k-ésimas de a sub n. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro a la media ponderada del corchete. Para terminar elevaremos el resultado obtenido a la potencia k.