Demostrar que si \( a^2 \) es un número par, entonces también lo es \( a \), siendo \( a \in \mathbb{N} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la estrategia de demostración por el método del contrarrecíproco. A continuación supondremos que el número natural es impar y desarrollaremos algebraicamente su cuadrado. Para terminar concluiremos la validez de la implicación directa original.
Demostrar que \( \sqrt{5} \) es un número irracional.
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear una demostración por reducción al absurdo suponiendo que el número es racional. A continuación elevaremos al cuadrado para deducir propiedades de divisibilidad sobre el numerador y el denominador. Para terminar llegaremos a una contradicción con el carácter irreducible de la fracción.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la inecuación en dos casos según el signo de la variable. A continuación analizaremos la consistencia de las soluciones en cada subdominio. Para terminar unificaremos los resultados obtenidos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar las raíces del polinomio interior del valor absoluto para determinar sus cambios de signo. A continuación resolveremos la inecuación en cada uno de los intervalos resultantes. Para terminar calcularemos la unión de los conjuntos solución parciales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir el valor absoluto distinguiendo valores positivos y negativos. A continuación resolveremos la inecuación para cada caso. Para terminar uniremos los intervalos de solución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por restar la constante para comparar una única fracción con cero. A continuación determinaremos los ceros del numerador y del denominador. Para terminar elaboraremos una tabla de signos para hallar el intervalo solución.
Resolver la desigualdad \( \frac{a|x| + 1}{x} < 1 \), donde \( a > 0 \) es una constante real.
Para resolver este ejercicio empezaremos por distinguir los casos según el signo de la variable en el denominador. A continuación analizaremos la desigualdad para valores negativos y positivos de la incógnita en función del parámetro. Para terminar unificaremos el conjunto de soluciones.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la propiedad de acotación simétrica del valor absoluto. A continuación despejaremos la incógnita sumando la constante en todos los miembros. Para terminar escribiremos el intervalo solución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la propiedad de separación de valores exteriores del valor absoluto. A continuación resolveremos cada una de las dos ramas independientes. Para terminar uniremos los dos semiejes de solución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar todos los términos en un solo miembro comparado con cero. A continuación reduciremos a común denominador y factorizaremos el numerador. Para terminar analizaremos el signo en cada intervalo mediante una tabla de signos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el valor absoluto en una doble desigualdad lineal para el inverso. A continuación despejaremos el inverso de equis restando la constante. Para terminar invertiremos las desigualdades para hallar el intervalo de la variable.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desdoblar el valor absoluto en dos inecuaciones lineales independientes. A continuación despejaremos la incógnita en cada una de ellas. Para terminar calcularemos la unión de los conjuntos solución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar algebraicamente las dos fracciones algebraicas reduciendo a común denominador. A continuación simplificaremos el numerador y analizaremos el signo del producto del denominador. Para terminar determinaremos el intervalo solución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos críticos del numerador y del denominador. A continuación analizaremos los signos del cociente en los tres intervalos de la recta real. Para terminar determinaremos las regiones estrictamente positivas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el discriminante del trinomio cuadrático para verificar la existencia de raíces reales. A continuación completaremos el cuadrado perfecto para demostrar analíticamente su positividad. Para terminar concluiremos sobre el conjunto de soluciones.
Resolver la desigualdad \( \frac{x^2 - x - 2}{x - 3} \le 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el polinomio cuadrático del numerador. A continuación identificaremos todas las raíces del numerador y del denominador estableciendo los intervalos de la recta real. Para terminar determinaremos las regiones no positivas respetando las restricciones del denominador.
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la diferencia de cubos en un factor lineal y un factor cuadrático irreducible. A continuación demostraremos que el factor cuadrático es estrictamente positivo en todo el cuerpo real. Para terminar reduciremos la inecuación a una condición lineal elemental.
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador en diferencia de cuadrados. A continuación determinaremos los tres puntos críticos ordenados. Para terminar construiremos una tabla de signos para obtener las regiones de positividad.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar o descomponer el valor absoluto según el signo de su binomio interior. A continuación resolveremos la inecuación lineal en cada uno de los dos intervalos disjuntos. Para terminar uniremos los dos segmentos de solución.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = (1, 2] \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar las cotas del intervalo en la recta real. A continuación determinaremos el supremo y comprobaremos si pertenece al conjunto. Para terminar analizaremos el ínfimo y la existencia de mínimo.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( B = (0, +\infty) \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la acotación superior e inferior de la semirrecta real. A continuación analizaremos el extremo inferior abierto. Para terminar concluiremos sobre el supremo y el ínfimo.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \left\{ \frac{1}{n} \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \right\} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por listar los primeros términos y analizar la monotonía de la sucesión generatriz. A continuación identificaremos el primer término como cota superior. Para terminar analizaremos el límite asintótico para determinar el ínfimo.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \left\{ \frac{n+1}{n+2} \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \right\} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir algebraicamente el término general para estudiar su monotonía. A continuación determinaremos el ínfimo en el valor inicial. Para terminar analizaremos el comportamiento asintótico para deducir el supremo.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + x - 1 < 0 \} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por resolver la inecuación cuadrática hallando sus raíces reales. A continuación expresaremos el conjunto como un intervalo abierto. Para terminar deduciremos el supremo y el ínfimo analizando la pertenencia de los extremos.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el trinomio cuadrático para identificar el intervalo de números reales que lo hace negativo. A continuación determinaremos las cotas superior e inferior. Para terminar analizaremos si los extremos pertenecen al conjunto.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \bigcup_{n=1}^\infty \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la relación de inclusión entre los sucesivos intervalos de la unión. A continuación determinaremos el conjunto resultante de la unión completa. Para terminar calcularemos sus extremos.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \{ x \in \mathbb{Q} \mid 0 < x < 1 \} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el conjunto como la intersección de los racionales con el intervalo abierto unitario. A continuación aplicaremos la propiedad de densidad de los racionales en la recta real. Para terminar deduciremos el supremo y el ínfimo.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \left\{ \frac{1}{n^2} \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \right\} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir los primeros elementos del conjunto y analizar su orden decreciente. A continuación determinaremos el valor máximo alcanzado en el primer índice natural. Para terminar deduciremos el ínfimo mediante el límite asintótico.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \left\{ n \pm \frac{1}{n} \; \middle|\; n \in \mathbb{N} \right\} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desglosar el conjunto en la unión de dos familias de números reales. A continuación analizaremos la acotación inferior identificando el mínimo absoluto. Para terminar estudiaremos la acotación superior en el infinito.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + x + 1 \ge 0 \} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el signo del polinomio cuadrático completando cuadrados. A continuación identificaremos el conjunto solución como toda la recta real. Para terminar concluiremos sobre la acotación y la existencia de extremos.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 0, \; x^2 + x - 1 < 0 \} \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por resolver la inecuación cuadrática. A continuación intersecaremos el intervalo obtenido con la condición de negatividad estricta. Para terminar deduciremos el supremo y el ínfimo del intervalo resultante.
Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, del conjunto \( A = \bigcap_{n=1}^\infty \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) \), indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el único punto común a todos los intervalos abiertos anidados mediante la propiedad arquimediana. A continuación expresaremos el conjunto como un conjunto unitario puntual. Para terminar calcularemos sus extremos triviales.
Sea el conjunto \( A = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \right\} \). Encontrar tres cotas superiores y tres cotas inferiores del conjunto \( A \). Determinar si tiene supremo y máximo, e ínfimo y mínimo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar y proponer cotas superiores e inferiores válidas en la recta real. A continuación calcularemos el supremo y comprobaremos si es máximo. Para terminar analizaremos el ínfimo y la existencia de mínimo.
Demostrar que si \( a \ge 1 \), \( b + c < a + 1 \) y \( b \le c \), entonces \( b < a \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar inferiormente la suma mediante la condición de orden entre las variables. A continuación plantearemos una demostración por reducción al absurdo suponiendo la negación de la tesis. Para terminar obtendremos una contradicción con las hipótesis dadas.
Sean \( a, b > 0 \). Probar que si \( \frac{a}{b} < \sqrt{2} \), entonces \( \sqrt{2} < \frac{a + 2b}{a + b} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular algebraicamente la diferencia entre la fracción y la raíz. A continuación factorizaremos el numerador agrupando los términos comunes. Para terminar demostraremos que la diferencia es estrictamente positiva según la hipótesis dada.
Sean \( a, b > 0 \). Probar que si \( \frac{a}{b} > \sqrt{2} \), entonces \( \sqrt{2} > \frac{a + 2b}{a + b} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la diferencia entre la raíz y la fracción. A continuación factorizaremos el numerador agrupando términos. Para terminar analizaremos el signo del factor condicional para deducir la desigualdad buscada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar el caso base para el primer número natural. A continuación formularemos la hipótesis de inducción para un número natural cualquiera. Para terminar demostraremos que la propiedad se conserva para el consecuente mediante simplificación algebraica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el segundo miembro mediante la fórmula cerrada de la suma aritmética. A continuación verificaremos el caso base para n igual a uno. Para terminar demostraremos inductivamente que la adición del siguiente cubo equivale al cuadrado del nuevo término.
Probar que para todo número natural \( n \), \( n^5 - n \) es divisible por 5.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la divisibilidad en el caso base. A continuación formularemos la hipótesis inductiva suponiendo que la expresión es múltiplo de cinco. Para terminar desarrollaremos la expresión del consecuente mediante el binomio de Newton para aislar múltiplos de cinco.
Probar que para todo número natural \( n \ge 2 \), \( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la desigualdad para el valor inicial n igual a dos. A continuación formularemos la hipótesis de inducción para un natural k. Para terminar demostraremos el paso inductivo racionalizando y acotando el término sumado.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar los números combinatorios del segundo miembro en términos de factoriales. A continuación reduciremos a común denominador factorizando los términos comunes. Para terminar simplificaremos el numerador obteniendo el combinatorio buscado.
Probar la fórmula del binomio de Newton \( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la fórmula para el caso base n igual a uno. A continuación formularemos la hipótesis de inducción y multiplicaremos por el binomio lineal. Para terminar agruparemos los términos semejantes aplicando la identidad de Pascal.
Resolver la ecuación en el cuerpo de los números complejos: \( x^2 + 4x + 5 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática. A continuación identificaremos la raíz cuadrada de un número negativo mediante la unidad imaginaria. Para terminar expresaremos las dos soluciones complejas conjugadas.
Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación: \( x^4 + 3x^2 - 10 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable cuadrático para reducir el grado. A continuación resolveremos la ecuación de segundo grado resultante. Para terminar hallaremos las cuatro raíces reales y complejas mediante extracción de raíces.
Resolver en los números complejos la ecuación: \( x^3 + 5x^2 + 6x = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común lineal. A continuación resolveremos el trinomio cuadrático resultante. Para terminar listaremos todas las raíces del polinomio.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 + i \) y \( z_2 = 3 - 2i \), calcular la suma \( z_1 + z_2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar las partes reales entre sí. A continuación agruparemos las partes imaginarias sumando sus coeficientes. Para terminar expresaremos el resultado en forma binómica.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 + i \) y \( z_2 = 3 - 2i \), calcular la resta \( z_1 - z_2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por distribuir el signo negativo en el sustraendo. A continuación restaremos las partes reales y las partes imaginarias por separado. Para terminar simplificaremos el resultado.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 + i \) y \( z_2 = 3 - 2i \), calcular el producto \( z_1 \cdot z_2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la propiedad distributiva del producto de binomios. A continuación sustituiremos i al cuadrado por menos uno. Para terminar agruparemos la parte real y la parte imaginaria.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 + i \) y \( z_2 = 3 - 2i \), calcular el cociente \( \frac{z_1}{z_2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por el conjugado del divisor para convertir el denominador en un número real. A continuación desarrollaremos el producto del numerador. Para terminar separaremos la parte real e imaginaria.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \), \( z_2 = 5 - 2i \) y \( z_3 = \frac{3}{2} \), calcular \( (z_1 - z_2)z_3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por restar z1 y z
2. A continuación multiplicaremos el resultado por el escalar real z
3. Para terminar escribiremos la forma binómica resultante.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \), \( z_3 = \frac{3}{2} \) y \( z_4 = 7i \), calcular \( z_1 z_4 + z_3 z_4 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común z
4. A continuación sumaremos z1 y z
3. Para terminar multiplicaremos por z4 simplificando con i al cuadrado.
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar z2 por el escalar
5. A continuación sumaremos y restaremos las partes reales e imaginarias. Para terminar agruparemos el resultado.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \) y \( z_3 = \frac{3}{2} \), calcular \( z_1 + z_3^{-1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el inverso del número real z
3. A continuación sumaremos este valor a la parte real de z
1. Para terminar escribiremos la forma binómica.
Dado el número complejo \( z_2 = 5 - 2i \), calcular su inverso multiplicativo \( z_2^{-1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la fracción uno entre z
2. A continuación multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado. Para terminar expresaremos el inverso en forma binómica.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \) y \( z_2 = 5 - 2i \), calcular \( z_1 \bar{z}_2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el conjugado de z
2. A continuación multiplicaremos z1 por dicho conjugado. Para terminar agruparemos términos con i al cuadrado.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \) y \( z_2 = 5 - 2i \), calcular \( (z_1 + z_2)^{-1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la suma z1 más z
2. A continuación invertiremos el número complejo multiplicando por su conjugado. Para terminar simplificaremos la fracción.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \) y \( z_3 = \frac{3}{2} \), calcular \( z_1^2 z_3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por elevar z1 al cuadrado mediante la fórmula del binomio. A continuación multiplicaremos el resultado por el número racional z
3. Para terminar simplificaremos la expresión.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \) y \( z_2 = 5 - 2i \), calcular el cociente \( \frac{z_2}{\bar{z}_1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el conjugado de z
1. A continuación multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del divisor. Para terminar calcularemos los productos y simplificaremos.
Dados los números complejos \( z_1 = -3 + 4i \), \( z_3 = \frac{3}{2} \) y \( z_4 = 7i \), calcular el cociente \( \frac{z_1}{2z_3 + z_4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el denominador combinando z3 y z
4. A continuación multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado del denominador. Para terminar desarrollaremos y simplificaremos.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 - i \) y \( z_2 = 3 + 6i \), determinar el número complejo \( x \) que verifica la igualdad: \( z_1 + x = z_2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar algebraicamente la incógnita x restando z1 en ambos miembros. A continuación sustituiremos las formas binómicas dadas. Para terminar operaremos separando parte real y parte imaginaria.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 - i \) y \( z_2 = 3 + 6i \), determinar el número complejo \( x \) que verifica la igualdad: \( z_1^2 x = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de z1 en forma binómica. A continuación despejaremos x mediante la inversión multiplicativa. Para terminar racionalizaremos multiplicando por el conjugado.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 - i \) y \( z_2 = 3 + 6i \), determinar el número complejo \( x \) que verifica la igualdad: \( z_1 + z_2 + x = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la suma de z1 y z
2. A continuación despejaremos la incógnita x restando dicha suma de la unidad. Para terminar simplificaremos las componentes real e imaginaria.
Dados los números complejos \( z_1 = 2 - i \) y \( z_2 = 3 + 6i \), determinar el número complejo \( x \) que verifica la igualdad: \( z_2 x = z_1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar x como el cociente de z1 entre z
2. A continuación eliminaremos la parte imaginaria del denominador multiplicando por el conjugado. Para terminar simplificaremos la fracción resultante.
Determinar un polinomio mónico con coeficientes reales cuyas raíces sean \( -3 \), \( 1+i \) y \( 1-i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el polinomio factorizado en factores lineales correspondientes a sus raíces. A continuación multiplicaremos los factores de las raíces complejas conjugadas para obtener un polinomio cuadrático con coeficientes reales. Para terminar realizaremos el producto final por el factor lineal real.
Sea \( P(x) \) un polinomio de grado 4 con coeficientes reales. Si \( x = 1 \) es raíz de \( P(x) \), ¿cuántas raíces complejas no reales puede tener dicho polinomio?
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el Teorema Fundamental del Álgebra para fijar el número total de raíces. A continuación utilizaremos la propiedad de conjugación para polinomios con coeficientes reales. Para terminar analizaremos las combinaciones posibles dado que 1 es una raíz real.
Sea \( P(x) \) un polinomio de grado 4 con coeficientes reales. Si se sabe que \( 3i \) y \( 2 - 3i \) son raíces complejas de \( P(x) \), ¿cuáles son las otras dos raíces?
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar el teorema de las raíces complejas conjugadas para polinomios reales. A continuación identificaremos el conjugado de cada una de las raíces dadas. Para terminar concluiremos cuáles son las 4 raíces del polinomio.
Dado el número complejo \( z = 1 - i \), escribirlo en forma trigonométrica y en forma exponencial.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo del número complejo. A continuación determinaremos su argumento principal ubicándolo en el cuadrante correcto. Para terminar formularemos sus expresiones trigonométrica y exponencial.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = 2 + 2i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo mediante la suma de cuadrados de sus partes. A continuación calcularemos el argumento mediante el arco tangente reconociendo el primer cuadrante. Para terminar escribiremos las representaciones pedidas.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = -2 + 2i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el módulo. A continuación ubicaremos el número en el segundo cuadrante para hallar su argumento principal. Para terminar formularemos las formas trigonométrica y exponencial.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = 2 - 2i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo euclídeo. A continuación hallaremos el argumento principal en el cuarto cuadrante. Para terminar escribiremos la forma trigonométrica y exponencial.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = -2 - 2i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo. A continuación ubicaremos el número en el tercer cuadrante para obtener su argumento principal. Para terminar formularemos las representaciones trigonométrica y exponencial.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = -\sqrt{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo del número real negativo. A continuación identificaremos su argumento principal en el semieje real negativo. Para terminar escribiremos sus formas trigonométrica y exponencial.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = 3i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo del número imaginario puro. A continuación determinaremos su orientación sobre el eje imaginario para fijar el argumento. Para terminar formularemos las expresiones trigonométrica y exponencial.
Determinar el módulo, el argumento principal, la forma exponencial y la forma trigonométrica del número complejo: \( z = \sqrt{3} + i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el módulo euclídeo. A continuación determinaremos el argumento principal en el primer cuadrante. Para terminar escribiremos la forma trigonométrica y exponencial.
La suma de dos números complejos \( z_1 \) y \( z_2 \) es \( 2 + 4i \). La parte real de \( z_2 \) es \( -1 \) y el cociente \( \frac{z_1}{z_2} \) es un número imaginario puro. Hallar dichos números complejos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar z2 usando su parte real conocida y expresar z1 en función de dicho parámetro a partir de la suma. A continuación plantearemos el cociente de ambos números y calcularemos su parte real mediante multiplicación por el conjugado. Para terminar igualaremos la parte real a cero para hallar el parámetro y las soluciones.
Resolver en el cuerpo de los números complejos la ecuación: \( \frac{1}{x} + \frac{2}{1+i} = 2 + 3i \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la fracción compleja dos dividido uno más i. A continuación transpondremos los términos para aislar uno sobre equis. Para terminar invertiremos la fracción y racionalizaremos el resultado para obtener x en forma binómica.
Determinar e interpretar geométricamente la región del plano complejo definida por la relación: \( \operatorname{Im}(z) < 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el número complejo en componentes cartesianas x e y. A continuación identificaremos la función parte imaginaria. Para terminar describiremos geométricamente la región plana correspondiente.
Determinar e interpretar geométricamente la región del plano complejo definida por la relación: \( |z - 3| \le 5 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por interpretar el módulo como la distancia euclídea entre números complejos. A continuación escribiremos la expresión analítica en coordenadas cartesianas. Para terminar determinaremos la figura geométrica correspondiente.
Determinar e interpretar geométricamente la región del plano complejo definida por la relación: \( z \cdot \bar{z} > 4 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar el producto de un número complejo por su conjugado con el cuadrado de su módulo. A continuación deduciremos la relación en coordenadas cartesianas. Para terminar interpretaremos geométricamente la región.
Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación: \( z^3 - 1 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la ecuación en forma de extracción de raíces cúbicas de la unidad. A continuación escribiremos la unidad en forma polar. Para terminar aplicaremos la fórmula de radicación de De Moivre para hallar las tres raíces complejas.
Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación: \( z^4 + 1 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar z^4 y escribir -1 en forma polar. A continuación aplicaremos la fórmula de radicación para raíces cuartas. Para terminar calcularemos los valores exactos en forma binómica.
Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación: \( z^3 - 2 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar z^3 y expresar el número 2 en forma polar. A continuación calcularemos las tres raíces cúbicas mediante la fórmula de radicación. Para terminar evaluaremos las formas binómicas exactas.
Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación: \( z^6 - 1 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la ecuación como el cálculo de las raíces sextas de la unidad. A continuación formularemos las raíces mediante la fórmula de radicación en forma polar. Para terminar calcularemos algebraicamente cada una de las 6 soluciones.
Demostrar por el principio de inducción matemática que para todo número natural \( n \in \mathbb{N} \) se verifica la igualdad:
\( \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la validez de la proposición para el caso base n igual a uno. A continuación formularemos la hipótesis de inducción para un número natural arbitrario n. Para terminar demostraremos que la propiedad se cumple para el consecutivo n más uno sumando el término siguiente a ambos lados de la igualdad.
Resolver las siguientes cuestiones relativas a números complejos:
a) Caracterizar y describir geométricamente el conjunto de puntos en el plano complejo definido por \( \{ z \in \mathbb{C}: |z| \geq 9 \} \)
b) Determinar el número complejo \( z \in \mathbb{C} \) que satisface simultáneamente que \( z + (2 - 3i) \) es un número imaginario puro y \( z + (4 - i) \) es un número real.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la variable compleja en coordenadas cartesianas mediante su parte real y su parte imaginaria. A continuación expresaremos el módulo del número complejo y elevaremos al cuadrado la desigualdad. Para terminar interpretaremos geométricamente la región resultante en el plano de Argand.
Analizar y justificar rigurosamente mediante el principio de inducción matemática si es cierta la siguiente fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros \( n \) números impares:
\( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la veracidad de la proposición en el caso base inicial n igual a uno. A continuación formularemos la hipótesis de inducción para un valor natural genérico n. Para terminar evaluaremos la suma para el término n más uno y demostraremos que coincide algebraicamente con la fórmula propuesta.
Resolver en el cuerpo de los números complejos \( \mathbb{C} \) la ecuación algebraica:
\( z^3 - (3 - i\sqrt{3}) = 0 \)
Expresar todas sus soluciones de forma exacta en notación exponencial.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar la potencia cúbica de la variable compleja. A continuación calcularemos el módulo y el argumento principal del término independiente para escribirlo en notación exponencial. Para terminar aplicaremos la fórmula del cálculo de las raíces enésimas de un número complejo para hallar las tres soluciones distintas.
Resolver las siguientes cuestiones interconectadas:
a) Demostrar mediante inducción matemática que para todo número natural \( n \in \mathbb{N} \) se cumple:
\( \sum_{k=1}^{n} k(k + 2) = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n + 2) = \frac{n(n + 1)(2n + 7)}{6} \)
b) Utilizando el resultado obtenido en el apartado anterior, calcular el valor del límite:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + n(n + 2)}{\sqrt[3]{8n^9 + n^5 - 2}} \)
c) Dado el número complejo \( z = -1 + i\sqrt{3} \), expresarlo en forma exponencial y determinar todas sus raíces cúbicas.
Para resolver este apartado empezaremos por verificar la fórmula para el caso base inicial n igual a uno. A continuación enunciaremos la hipótesis de inducción para un número natural cualquiera n. Para terminar calcularemos la suma para n más uno y demostraremos que equivale a la fórmula sustituida en n más uno.
Hallar un número complejo \( z \in \mathbb{C} \) que verifique simultáneamente que \( z + (3 + i) \) es un número imaginario puro y que \( z + (2 + 3i) \) es un número real. Expresar el número complejo hallado en notación exponencial y calcular todas sus raíces cúbicas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir z en coordenadas rectangulares x más i y para imponer las condiciones de anulación de partes real e imaginaria. A continuación expresaremos el número complejo obtenido en forma exponencial hallando su módulo y argumento. Para terminar aplicaremos la fórmula de radicación de De Moivre para calcular sus tres raíces cúbicas.
Resolver en el cuerpo de los números complejos \( \mathbb{C} \) la ecuación algebraica:
\( \frac{1}{z} + \frac{2}{1 + i} = 2 + 3i \)
Determinar de forma explícita las partes real e imaginaria de la solución \( z \), expresando el resultado final en forma binómica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la fracción compleja del miembro izquierdo multiplicando por el conjugado del denominador. A continuación despejaremos el término fraccionario uno partido por z restando términos semejantes. Para terminar invertiremos la expresión y racionalizaremos el cociente resultante para identificar las partes real e imaginaria.
Dado el número complejo \( w = 1 - \sqrt{3}i \):
a) Expresarlo en forma exponencial de manera exacta.
b) Calcular todas las raíces cuartas de \( w \), es decir, resolver la ecuación \( z^4 = w \) en notación exponencial.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el módulo del número complejo a partir de sus componentes. A continuación determinaremos el argumento principal situando el afijo en su cuadrante correspondiente. Para terminar escribiremos la expresión exponencial canónica.
Resolver las siguientes cuestiones sobre números complejos:
a) Dado el número complejo \( z_1 = \frac{1 - i}{-i} \), expresarlo en su correspondiente notación exponencial.
b) Describir analítica y geométricamente el conjunto de números complejos \( z \in \mathbb{C} \) que satisfacen la condición:
\( \text{Re}(z + 5) = \text{Im}(z + i) \)
Para resolver este apartado empezaremos por simplificar el cociente multiplicando por el conjugado del denominador. A continuación calcularemos el módulo y el argumento del número complejo resultante. Para terminar escribiremos su forma exponencial canónica.
Resolver las siguientes cuestiones de números reales y complejos:
a) Resolver en el conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \) la desigualdad con valor absoluto:
\( |3x + 5| + x \leq 0 \)
b) Hallar todas las soluciones en el cuerpo complejo \( \mathbb{C} \) de la ecuación bicuadrada:
\( z^4 - 2z^2 + 2 = 0 \)
Para resolver este apartado empezaremos por estudiar el signo del argumento del valor absoluto para descomponer la inecuación en dos regiones de la recta real. A continuación resolveremos la inecuación en cada uno de los dos casos intersectando con su dominio de validez. Para terminar uniremos los dos intervalos de solución para obtener el conjunto final.
Resolver las siguientes cuestiones algebraicas:
a) Expresar en forma binómica canónica \( a + bi \) el número complejo resultante de elevar a la décima potencia:
\( z = \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right)^{10} \)
b) Determinar todas las soluciones complejas de la ecuación cuártica:
\( z^4 + 16 = 0 \)
Para resolver este apartado empezaremos por expresar la base del paréntesis en forma polar o exponencial. A continuación aplicaremos la fórmula de De Moivre elevando el módulo a la potencia diez y multiplicando el argumento por diez. Para terminar simplificaremos el ángulo resultante y convertiremos la expresión a su forma binómica canónica.
Resolver las siguientes cuestiones sobre números complejos:
a) Escribir en forma binómica canónica \( \text{Re}(z) + i \, \text{Im}(z) \) el número complejo:
\( z = \left( \frac{i}{1 + i} \right)^6 \)
b) Determinar todas las soluciones en el cuerpo complejo \( \mathbb{C} \) de la ecuación algebraica:
\( z^3 + i = 0 \)
Para resolver este apartado empezaremos por simplificar la fracción compleja del interior de la potencia multiplicando por el conjugado. A continuación expresaremos la base en forma polar y aplicaremos el exponente seis. Para terminar convertiremos el resultado a su forma binómica canónica.
Hallar de manera razonada el conjunto de números reales \( x \in \mathbb{R} \) que satisfacen la siguiente desigualdad:
\( |x + 2| > x + 3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar el signo de la expresión contenida en el valor absoluto para dividir la recta real en dos intervalos. A continuación resolveremos la desigualdad lineal en cada caso e intersecaremos con su respectivo dominio, uniendo finalmente los intervalos obtenidos.
Hallar razonadamente el conjunto de números reales \( x \in \mathbb{R} \) que satisfacen la inecuación:
\( \frac{2|x| + 1}{x} < 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por excluir el punto donde se anula el denominador y distinguir los casos según el signo de la variable x. A continuación eliminaremos el valor absoluto, multiplicaremos por el denominador con la precaución del sentido de la desigualdad y hallaremos el conjunto solución.
Resolver las siguientes cuestiones algebraicas sobre números complejos:
a) Sea el número complejo:
\( z = \frac{\sqrt{3} + i}{1 + i\sqrt{3}} \)
Escribirlo en forma binómica \( \text{Re}(z) + i\, \text{Im}(z) \) y en forma exponencial \( r e^{i\theta} \)
b) Determinar qué números complejos al elevarlos al cubo dan como resultado \( -8 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el numerador y el denominador en forma polar para simplificar el cociente de números complejos. A continuación calcularemos sus raíces cúbicas aplicando la fórmula de radicación en forma exponencial.
Resolver las siguientes cuestiones sobre números complejos:
a) Escribir en forma binómica \( \text{Re}(z) + i\, \text{Im}(z) \) el número complejo:
\( z = (1 + i)^{2019} \)
b) Resolver en el cuerpo de los números complejos \( \mathbb{C} \) la ecuación:
\( z^3 + i \bar{z} = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por pasar el número complejo a forma exponencial de Euler para calcular su potencia de orden alto. A continuación plantearemos la ecuación con el conjugado sustituyendo la forma binómica y resolviendo el sistema para la parte real e imaginaria.
Calcular todas las raíces cuartas del número complejo \( 64i \):
\( z^4 = 64i \)
Expresar todas las soluciones en forma exponencial y en forma binómica exacta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el número imaginario puro en forma polar identificando su módulo y argumento principal. A continuación aplicaremos la fórmula general de radicación de orden cuatro para hallar las cuatro soluciones sobre el plano complejo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir la forma cartesiana z = x + iy en la fracción y multiplicar por el conjugado del denominador. A continuación calcularemos el módulo al cuadrado y utilizaremos la hipótesis x > 1 para deducir la desigualdad geométrica.
Sea \( z = a + ib \in \mathbb{C} \setminus \{1\} \), con \( a, b \in \mathbb{R} \). Encontrar la relación algebraica que deben verificar \( a \) y \( b \) para que el cociente complejo:
\( w = \frac{z + 1}{z - 1} \)
sea un número imaginario puro. Describir e interpretar geométricamente el conjunto de puntos en el plano complejo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la transformación en forma binómica multiplicando numerador y denominador por el conjugado. A continuación impondremos que la parte real sea estrictamente nula para caracterizar la curva geométrica en el plano real.
Determinar y caracterizar geométricamente el conjunto de números complejos que satisfacen:
\( |2 - z| = 1 \)
Determinar y caracterizar geométricamente el conjunto de números complejos \( z \in \mathbb{C} \) que satisfacen dicha relación.
Para resolver este ejercicio empezaremos por interpretar la desigualdad en términos de distancias euclídeas entre puntos del plano complejo. A continuación elevaremos al cuadrado los módulos para obtener la ecuación canónica del círculo y determinar su centro y radio.
Describir y representar analíticamente el conjunto de números complejos \( z \in \mathbb{C} \) que satisfacen la siguiente relación:
\( \text{Re}(z + 5) = \text{Im}(z + i) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el número complejo en coordenadas cartesianas y simplificar la expresión algebraica. A continuación igualaremos la parte real con la parte imaginaria para obtener la ecuación lineal de la recta correspondiente.
Justificar analíticamente la validez mediante el principio de inducción matemática.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la base de inducción para n =
1. A continuación asumiremos la hipótesis inductiva para n y sumaremos el término siguiente para demostrar la igualdad para n + 1 mediante factorización del factorial.
Calcular el límite de la sucesión de término general: \( a_n = \frac{2n^2 + 5n}{n^2 + n + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito entre infinito generada por el cociente de polinomios. A continuación dividiremos numerador y denominador entre la máxima potencia de n. Para terminar calcularemos el límite evaluando los términos infinitesimales.
Calcular el límite de la sucesión de término general: \( a_n = \frac{n^3 - 1}{n^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar los grados de los polinomios en el numerador y el denominador. A continuación extraeremos factor común de las potencias dominantes. Para terminar concluiremos sobre el carácter divergente de la sucesión.
Calcular el límite de la sucesión de término general: \( a_n = \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{2n - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer n como factor común dentro del radical. A continuación simplificaremos la potencia de n entre numerador y denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de los límites parciales.
Dada la sucesión \( u_n = \frac{1}{1+n} + \frac{1}{2+n} + \dots + \frac{1}{n+n} \), probar que existe su límite y que dicho valor se encuentra en el intervalo \( [1/2, 1] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar cada uno de los sumandos para demostrar que la sucesión está comprendida entre un medio y uno. A continuación estudiaremos la monotonía mediante la diferencia de términos consecutivos. Para terminar aplicaremos el teorema de la convergencia monótona.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{(1^2 + 2^2 + \dots + n^2)^2}{(1 + 2 + \dots + n)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir las sumas notables finitas por sus fórmulas polinómicas cerradas. A continuación calcularemos el comportamiento asintótico de las potencias del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de los coeficientes líderes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + n + n^2 + n^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la suma finita del numerador mediante su fórmula cerrada. A continuación identificaremos la potencia de grado 3 en ambos miembros. Para terminar determinaremos el valor del límite mediante el cociente de coeficientes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{n^2 + 1}}{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar la diferencia de raíces multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada. A continuación simplificaremos el numerador eliminando las raíces. Para terminar evaluaremos el orden asintótico del denominador resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left[ 1 + \log\left(\frac{3n^2 + 2n + 1}{3n^2 + 5n}\right) \right]^{4n + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo 1 elevado a infinito. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo neperiano para aproximar la base. Para terminar aplicaremos la regla de cálculo del número e mediante el límite del producto.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término dominante en los radicales anidados. A continuación dividiremos el numerador y el denominador entre la raíz de n. Para terminar evaluaremos el comportamiento cuando n tiende a infinito.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (2 + 3n^4)^{\frac{1}{3 + 2\log(n+1)}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por clasificar la indeterminación de tipo infinito elevado a cero. A continuación aplicaremos la transformación logarítmica neperiana para convertirla en un cociente. Para terminar calcularemos el límite del logaritmo mediante equivalencias asintóticas y recuperaremos el valor original mediante la exponencial.
Calcular en función del parámetro real \( a \) el límite de la sucesión: \( x_n = \sqrt[3]{n^3 + an^2} - \sqrt[3]{n^3 - an^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito menos infinito. A continuación utilizaremos la identidad algebraica de diferencia de cubos para racionalizar la expresión. Para terminar evaluaremos el cociente de potencias cuadráticas dominantes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{n^2 + 3n - 2}{n^2 + n} \right)^{\frac{n^3 + 2}{2n^2 + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación de tipo 1 elevado a infinito. A continuación calcularemos el límite del producto de la base menos uno por el exponente. Para terminar expresaremos el resultado como la potencia del número e.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{n + 1}{n - 1} \right)^{\frac{n^2 + 2}{n - 3}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación restaremos uno a la base y la multiplicaremos por el exponente. Para terminar evaluaremos el límite de la función cuadrática resultante en el exponente.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (4n + 3) \log\left( \frac{n + 1}{n - 2} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación de tipo infinito por cero. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo neperiano. Para terminar resolveremos el límite de la función racional resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{3\sqrt[3]{n} - 4\sqrt[5]{n^2}}{\sqrt[3]{n} - 3(4 - \sqrt[5]{n})} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir todas las raíces a exponentes fraccionarios. A continuación compararemos los órdenes de magnitud para identificar los términos dominantes. Para terminar calcularemos el comportamiento divergente del cociente asintótico.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = (2^n + 3^n)^{\frac{1}{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la base exponencial dominante. A continuación extraeremos dicha base como factor común fuera de la raíz n-ésima. Para terminar evaluaremos el límite del factor residual.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sqrt{9n^2 - n} - \sqrt[3]{27n^3 - 5n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que ambos términos tienen el mismo orden asintótico lineal tres n. A continuación sumaremos y restaremos tres n para desacoplar la indeterminación en dos límites independientes. Para terminar resolveremos cada límite por racionalización y sumaremos los resultados.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( \frac{\log(n^2 + 1)}{\log(n^2 - 1)} \right)^{n^2 \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación calcularemos la base menos uno utilizando propiedades del logaritmo neperiano. Para terminar evaluaremos el producto por el exponente y aplicaremos la fórmula del número e.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{2^{2n} (n! )^2 \sqrt{n}}{(2n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar los factoriales con el producto de Wallis o la fórmula de aproximación asintótica de Stirling. A continuación sustituiremos las equivalencias de los factoriales. Para terminar simplificaremos las potencias y calcularemos el valor exacto del límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{(3n + 1)(3n + 2)\dots(4n)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por introducir el factor uno sobre n dentro del radical como n a la n. A continuación transformaremos el producto en una suma mediante el logaritmo neperiano. Para terminar identificaremos dicha suma como una suma de Riemann y calcularemos la integral definida asociada.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sum_{k=1}^n k \sin\left(\frac{1}{n^2 + k}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar el argumento del seno para cada índice k. A continuación aplicaremos la desigualdad fundamental del seno para acotar superior e inferiormente la suma completa. Para terminar aplicaremos el teorema del sandwich.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \sum_{k=1}^n \sin\left( \frac{n^2 \pi}{2(n^2 + k)} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico del argumento trigonométrico en cada sumando. A continuación acotaremos inferiormente todos los términos utilizando la monotonía del seno en el primer cuadrante. Para terminar determinaremos la divergencia de la suma de n términos acotados inferiormente por una constante positiva.
Determinar la relación que debe existir entre los parámetros reales \( p \) y \( q \) para que se cumpla la igualdad: \( \lim_{n\to\infty} \left( \frac{3n^2 - 2}{3n^2 + 1} \right)^{pn^2 - 1} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n + q}{n - q} \right)^{2n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el primer límite en función del parámetro p mediante la fórmula del número e. A continuación calcularemos el segundo límite en función de q. Para terminar igualaremos ambos resultados para deducir la relación algebraica requerida.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\log 2 + \log 3 + \dots + \log n}{n \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis del criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos las diferencias de términos consecutivos del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de incrementos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sum_{k=1}^n \sin^2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}{\log(n+1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos el incremento del numerador mediante la equivalencia asintótica del seno y el incremento del denominador con la propiedad logarítmica. Para terminar evaluaremos el cociente de ambos infinitésimos.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación racionalizaremos el incremento del denominador. Para terminar simplificaremos las potencias fraccionarias de n.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sin 1 + 2^2 \sin\left(\frac{1}{2}\right) + 3^2 \sin\left(\frac{1}{3}\right) + \dots + n^2 \sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las condiciones del criterio de Stolz. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del seno en el incremento del numerador. Para terminar calcularemos el cociente de los términos lineales líderes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[4]{4} + \dots + n\sqrt[n]{n}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar el límite notable de la raíz n-ésima de n. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro calculando el incremento del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente resultante.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{1! }} + \frac{2}{\sqrt{2! }} + \frac{3}{\sqrt{3! }} + \dots + \frac{n}{\sqrt{n! }}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos el cociente de incrementos. Para terminar compararemos el crecimiento polinómico con el crecimiento superexponencial del factorial.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{n! }{1! + 2! + 3! + \dots + n! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por invertir la fracción o dividir numerador y denominador entre n factorial. A continuación analizaremos la suma residual de términos inversos de factoriales. Para terminar demostraremos que dicha suma tiende a cero.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1}{n} \frac{1 + 16 + 81 + \dots + n^4}{n^4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reagrupar el producto en una única fracción con denominador n a la quinta. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos polinómicos líderes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \dots + n\sqrt{n}}{n^2 \sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el orden fraccionario de las potencias. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz calculando la derivada o incremento asintótico del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de coeficientes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\cos 1 + \cos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \dots + \cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) - n}{\log(n^3 + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por distribuir el término menos n dentro de la suma restando uno a cada coseno. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz y utilizaremos el desarrollo de Maclaurin del coseno. Para terminar evaluaremos el cociente de infinitésimos.
Dado un entero positivo \( p \in \mathbb{N} \), calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{1^p + 2^p + \dots + n^p}{n^p} - \frac{n}{p+1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir ambas fracciones a un común denominador. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro expandiendo los términos mediante el binomio de Newton hasta el segundo orden. Para terminar simplificaremos y obtendremos el límite.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\sqrt{1\cdot 2\cdot 3} + \sqrt{2\cdot 3\cdot 4} + \dots + \sqrt{n(n+1)(n+2)}}{n^2 \sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aproximar el término general del radical por su potencia dominante. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar evaluaremos el cociente de potencias fraccionarias.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\log 1 - \log 2 + \log 3 - \log 4 + \dots + \log(2n-1) - \log(2n)}{\log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar los términos consecutivos en parejas de cocientes. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro con respecto al logaritmo de n. Para terminar evaluaremos el cociente de los infinitésimos resultantes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{\sum_{k=1}^n \left(e^{1/\sqrt{k}} - 1\right)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación transformaremos el exponente aplicando la regla de Euler combinada con el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar calcularemos el valor exacto como la exponencial del resultado.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\frac{2}{1} + \frac{3^2}{2} + \frac{4^3}{3^2} + \dots + \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el término general de la suma reconociendo la definición del número e. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos lineales dominantes.
Calcular el límite de la sucesión: \( a_n = \frac{\arcsin(1) + \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \dots + \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)}{\log(n^3 + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis de Stolz-Cesàro. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del arco seno y del logaritmo neperiano. Para terminar evaluaremos el cociente de incrementos.
Sea \( (a_n)_{n=1}^\infty \) una sucesión de términos reales estrictamente positivos tal que \( \lim_{n\to\infty} a_n = a \). Calcular para cualquier entero fijo \( k \ge 1 \) el límite: \( L = \lim_{n\to\infty} \left[ \frac{a_1^{1/k} + 2 a_2^{1/k} + \dots + n a_n^{1/k}}{\frac{n(n+1)}{2}} \right]^k \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir una sucesión auxiliar con las raíces k-ésimas de a sub n. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro a la media ponderada del corchete. Para terminar elevaremos el resultado obtenido a la potencia k.
Sea la sucesión recurrente definida por \( a_{n+1} = \frac{3(1 + a_n)}{3 + a_n} \) con \( a_1 > 0 \). Demostrar que si \( a_1 > \sqrt{3} \) la sucesión decrece, que si \( 0 < a_1 < \sqrt{3} \) la sucesión crece, y hallar el límite en ambos casos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la ecuación de puntos fijos de la recurrencia. A continuación analizaremos el signo de la diferencia entre términos consecutivos para clasificar la monotonía según el valor inicial. Para terminar aplicaremos el teorema de la convergencia monótona.
Sea la sucesión definida por \( u_1 = \sqrt{a} \) y \( u_{n+1} = \sqrt{a + u_n} \) con \( a > 0 \). Probar que tiene límite y hallarlo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la ecuación cuadrática de puntos fijos. A continuación demostraremos por inducción matemática que la sucesión es estrictamente creciente y acotada superiormente. Para terminar aplicaremos el teorema de convergencia monótona.
Dada la sucesión definida por \( u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{p}{u_n}\right) \) con \( p > 0 \) y \( u_1 > 0 \), probar que \( \lim_{n\to\infty} u_n = \sqrt{p} \) y demostrar cómo se puede utilizar para aproximar \( \sqrt{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica para acotar inferiormente la sucesión. A continuación demostraremos que decrece a partir del segundo término. Para terminar calcularemos el límite y mostraremos las primeras iteraciones para aproximar la raíz de dos.
Se define la sucesión \( (u_n)_{n=1}^\infty \) mediante \( u_1 = 1 \) y \( u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \). Probar que existe su límite y hallarlo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por resolver la ecuación de puntos fijos. A continuación demostraremos por inducción matemática que la sucesión está acotada superiormente por dos. Para terminar probaremos que es estrictamente creciente y calcularemos su límite.
Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente dada por \( a_1 = 1 \) y \( a_n = 2a_{n-1}^2 \) para todo \( n \ge 2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los primeros términos numéricos para identificar la ley de recurrencia. A continuación deduciremos la expresión explícita en función de n mediante inducción. Para terminar analizaremos el comportamiento en el infinito.
Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente \( u_1 = \sqrt{a} \), \( u_{n+1} = \sqrt{a - u_n} \) con \( a > 1 \), estudiando por separado las subsucesiones de términos pares e impares.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función de iteración y comprobar que es decreciente. A continuación consideraremos la segunda función iterada demostrando que es creciente sobre las subsucesiones de orden par e impar. Para terminar probaremos que ambas subsucesiones convergen al mismo punto fijo.
Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente dada por \( a_{n+1} = \frac{n}{2n + 1} a_n \) con \( a_1 \in \mathbb{R} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cociente entre términos consecutivos. A continuación aplicaremos el criterio del cociente para límites de sucesiones. Para terminar concluiremos sobre el valor del límite.
Dada la sucesión definida por \( u_1 = \sqrt{a} \) y \( u_n = \sqrt{a u_{n-1}} \) con \( a > 0 \), probar que tiene límite y hallarlo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las primeras potencias explícitas de a. A continuación deduciremos el término general mediante una serie geométrica de exponentes. Para terminar tomaremos el límite del exponente cuando n tiende a infinito.
Sean las sucesiones acopladas definidas por \( a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n + b_n} \) y \( b_{n+1} = \frac{b_n^2}{a_n + b_n} \), con condiciones iniciales \( a_1 = a \) y \( b_1 = b \) cumpliendo \( a > b > 0 \). Determinar \( \lim_{n\to\infty} a_n \) y \( \lim_{n\to\infty} b_n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la diferencia entre ambas sucesiones para demostrar que permanece invariante. A continuación probaremos la monotonía y acotación de la sucesión a sub n. Para terminar deduciremos los límites resolviendo el sistema asintótico.
Sea la sucesión definida por \( x_1 = \sqrt{2} \) y \( x_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{x_n}} \). Demostrar que converge y determinar un número natural \( k \in \mathbb{N} \) tal que \( \lim_{n\to\infty} x_n \in (k - 1, k] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por probar la acotación superior por dos mediante inducción. A continuación demostraremos que la sucesión es estrictamente creciente. Para terminar concluiremos la existencia del límite y determinaremos el intervalo entero correspondiente.
Sea \( a > 1 \). Estudiar la convergencia de la sucesión dada por \( u_1 = a \) y \( u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n - 1} \), calculando el valor del límite cuando sea convergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por probar que todos los términos son estrictamente mayores que uno. A continuación analizaremos la monotonía de la sucesión. Para terminar demostraremos por reducción al absurdo que no puede converger a ningún valor finito, deduciendo su divergencia.
Sea \( a > 0 \). Estudiar según los valores de \( a \) la convergencia de la sucesión recurrente definida por \( u_1 = a \) y \( u_{n+1} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{u_n}} \), calculando su límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la fracción continua en una función racional. A continuación determinaremos los puntos fijos de la transformación. Para terminar aplicaremos el teorema del punto fijo contractivo para demostrar la convergencia global a la razón áurea para todo a positivo.
Sea la sucesión recurrente definida por \( a_1 = \sqrt{3} \) y \( a_{n+1} = \sqrt{3 + a_n} \). Probar que tiene límite y hallarlo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la ecuación de puntos fijos de la recurrencia. A continuación demostraremos por inducción matemática que la sucesión es creciente y acotada superiormente. Para terminar calcularemos el límite mediante el teorema de convergencia monótona.
Sea la sucesión recurrente definida por \( a_1 = \sqrt{2} \) y \( a_{n+1} = \sqrt{2a_n} \). Probar que tiene límite y hallarlo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar los términos sucesivos en potencias en base dos. A continuación deduciremos la expresión cerrada del término general. Para terminar calcularemos el límite del exponente cuando n tiende a infinito.
Calcular el límite de la siguiente sucesión real aplicando el criterio de Stolz-Cesàro:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \left( \tan\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{k} \right)}{\log(2n^2 - 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que la sucesión del denominador es estrictamente creciente y divergente a más infinito para aplicar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos las diferencias de orden n en el numerador y en el denominador. Para terminar utilizaremos desarrollos de Taylor e infinitésimos equivalentes para evaluar el límite del cociente de diferencias.
Sea la sucesión de números reales definida por recurrencia mediante:
\( a_1 = \sqrt{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{2a_n}, \quad \forall n \geq 1 \)
Demostrar de forma rigurosa que la sucesión converge y calcular el valor exacto de su límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por demostrar por inducción matemática que la sucesión está acotada superiormente por dos y es estrictamente positiva. A continuación demostraremos que la sucesión es monótona creciente comparando términos consecutivos. Para terminar aplicaremos el teorema de la convergencia monótona de Weierstrass y resolveremos la ecuación del punto fijo para obtener el límite.
Calcular el límite de la siguiente sucesión real:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{1} + \frac{3^2}{2} + \frac{4^3}{3^2} + \dots + \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la sucesión como el cociente de una suma acumulativa y un denominador estrictamente monótono creciente a infinito. A continuación aplicaremos el criterio de Stolz-Cesàro calculando las diferencias del numerador y del denominador. Para terminar reescribiremos el término general de la potencia y calcularemos el límite reconociendo la definición del número e.
Considerar la sucesión de números reales dada por la ley de recurrencia:
\( a_{n+1} = \frac{a_n^3 + 6}{7}, \quad \forall n \geq 1 \)
a) Demostrar que si la condición inicial es \( a_1 = \frac{3}{2} \), la sucesión es convergente y calcular su límite.
b) Analizar el comportamiento de la sucesión si la condición inicial se fija en \( a_1 = 3 \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular los puntos fijos de la función generadora resolviendo la ecuación cúbica. A continuación demostraremos por inducción que con el valor inicial tres medios la sucesión está acotada entre uno y dos. Para terminar probaremos que es estrictamente decreciente para aplicar el teorema de la convergencia monótona hacia el punto fijo uno.
Calcular el límite de la sucesión de números reales:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2 + 1)}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2 + 1)}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las condiciones del criterio de Stolz-Cesàro en el denominador correspondiente a la serie armónica parcial divergente. A continuación calcularemos las diferencias consecutivas del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de diferencias mediante propiedades logarítmicas e infinitésimos equivalentes.
Dada la sucesión definida recurrentemente por:
\( a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{1 + 3a_n} - 1, \quad \forall n \geq 1 \)
Demostrar que la sucesión es convergente y determinar el valor exacto de su límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los puntos fijos de la ley de recurrencia. A continuación demostraremos por inducción matemática que la sucesión es monótona creciente y está acotada superiormente por uno. Para terminar aplicaremos el teorema de convergencia monótona de Weierstrass para deducir el valor del límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que el denominador es estrictamente creciente y tiende a infinito para habilitar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación hallaremos las diferencias consecutivas del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el límite del cociente de diferencias mediante infinitésimos equivalentes.
Analizar la existencia de límite y estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recurrente definida por:
\( a_1 = 3, \quad a_{n+1} = a_n^2 + 1, \quad \forall n \geq 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la existencia de puntos fijos reales de la función generadora. A continuación demostraremos que la sucesión es monótona estrictamente creciente mediante la diferencia de términos consecutivos. Para terminar deduciremos por reducción al absurdo que la sucesión no puede estar acotada superiormente y por consiguiente diverge hacia más infinito.
Calcular el límite de la sucesión de números reales dada por el cociente entre el factorial de orden n y la suma acumulada de los factoriales hasta el orden n:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{n! }{\sum_{k=1}^{n} k! } = \lim_{n \to \infty} \frac{n! }{1! + 2! + 3! + \dots + n! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por invertir la fracción para aplicar de forma canónica el criterio de Stolz-Cesàro al cociente con denominador monótono divergente. A continuación calcularemos las diferencias consecutivas del numerador y del denominador. Para terminar evaluaremos el límite simplificando los cocientes factoriales e invertiremos el resultado para obtener el valor del límite original.
Analizar de forma razonada la veracidad o falsedad de la siguiente proposición:
Sean \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \), \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) y \( \{c_n\}_{n=1}^{\infty} \) tres sucesiones de números reales tales que:
\( 0 \leq a_n \leq b_n \leq c_n, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
Se sabe que la sucesión \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) es decreciente y está acotada inferiormente por un número real \( L \in \mathbb{R} \)
Demostrar o refutar si necesariamente \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \) es convergente y si necesariamente \( \{c_n\}_{n=1}^{\infty} \) es divergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar las propiedades conocidas sobre la sucesión intermedia b sub n mediante el teorema de la convergencia monótona. A continuación construiremos un contraejemplo explícito para refutar que la sucesión inferior deba converger. Para terminar construiremos otro contraejemplo para refutar que la sucesión superior deba divergir, concluyendo la falsedad de la afirmación global.
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que el denominador es estrictamente creciente y divergente a más infinito para habilitar el criterio de Stolz-Cesàro. A continuación calcularemos el límite del cociente de diferencias utilizando equivalencias asintóticas para la función seno.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de Stolz-Cesàro al cociente del sumatorio y el denominador logarítmico. A continuación utilizaremos el desarrollo de Taylor de la tangente en el origen para obtener el término principal del infinitésimo.
Decidir razonadamente si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:
Sean \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \), \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) y \( \{c_n\}_{n=1}^{\infty} \) tres sucesiones de números reales tales que \( 0 \leq a_n \leq b_n \leq c_n \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). Si sabemos que la sucesión \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) es convergente, ¿se puede asegurar que las sucesiones \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \) y \( \{c_n\}_{n=1}^{\infty} \) son convergentes?
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la relación de orden entre las tres sucesiones y la hipótesis sobre la convergencia de la sucesión intermedia. A continuación, para cada una de las dos sucesiones planteadas, o bien demostraremos su convergencia o bien construiremos un contraejemplo explícito que demuestre que la afirmación es falsa.
Dada la sucesión de números reales definida por recurrencia mediante:
\( a_1 = 1, \quad a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}, \quad \forall n \geq 1 \)
a) Demostrar si la sucesión es monótona creciente.
b) Determinar si la sucesión es convergente en \( \mathbb{R} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la monotonía de la sucesión calculando la diferencia entre términos consecutivos. A continuación demostraremos que la sucesión no puede estar acotada superiormente razonando por reducción al absurdo con la hipótesis de convergencia a un punto fijo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por interpretar la sucesión como una media aritmética de Cesàro y aplicar el criterio de Stolz-Cesàro o la equivalencia media aritmética-geométrica. A continuación calcularemos el límite del término general utilizando el número e.
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las hipótesis de Stolz-Cesàro sobre la sucesión del denominador. A continuación sustituiremos el sumatorio por su incremento y emplearemos la equivalencia asintótica del seno en el origen junto con el límite del logaritmo.
Probar que la sucesión tiene límite en \( \mathbb{R} \) y calcular su valor exacto.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar los posibles límites resolviendo la ecuación de puntos fijos de la ley recurrente. A continuación demostraremos por inducción que la sucesión es estrictamente monótona decreciente y acotada inferiormente para concluir por el teorema del límite monótono.
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el término de suma acumulada y aplicar el criterio de Stolz-Cesàro en función del parámetro a. A continuación evaluaremos el límite resultante del cociente de polinomios para determinar el valor que hace converger la expresión.
Justificar rigurosamente si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:
Sea \( \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \) una sucesión de números reales estrictamente positivos que converge a \( a \neq 0 \), y sea \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) una sucesión estrictamente positiva que converge a \( b \neq 0 \). Entonces la sucesión \( \{\log(a_n) + \log(b_n)\}_{n=1}^{\infty} \) converge necesariamente a \( \log(ab) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función logaritmo natural en el semieje positivo. A continuación aplicaremos el álgebra de límites finitos y las propiedades del límite del logaritmo de un cociente de sucesiones convergentes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por introducir el término general bajo un único radical de orden n. A continuación aplicaremos el criterio del cociente a la raíz para transformar el límite de la raíz n-ésima en el cociente de términos consecutivos simplificando los factoriales.
Estudiar el carácter de la serie de término general: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la condición necesaria de convergencia calculando el límite del término general. A continuación evaluaremos la escala de infinitos entre la función exponencial y la polinómica. Para terminar concluiremos la divergencia.
Estudiar el carácter de la serie de término general: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n + 1)}{n^2 + 2n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar algebraicamente el término general. A continuación evaluaremos su límite en el infinito. Para terminar aplicaremos la condición necesaria de convergencia.
Estudiar el carácter de la serie de término general: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3 - \cos(1/n)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la continuidad del coseno en el origen. A continuación calcularemos el límite del término general. Para terminar concluiremos sobre el carácter de la serie mediante la condición necesaria.
Estudiar la convergencia y calcular la suma exacta de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la fracción racional en fracciones simples telescópicas. A continuación escribiremos la suma parcial enésima simplificando los términos cancelables. Para terminar calcularemos el límite de la suma parcial para obtener la suma de la serie.
Estudiar el carácter de la serie telescópica: \( \sum_{n=1}^\infty \log\left(\frac{n + 1}{n}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar las propiedades de los logaritmos para transformar el cociente en una resta. A continuación calcularemos la suma parcial finita observando las cancelaciones. Para terminar evaluaremos el límite de la suma parcial.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty \left( \frac{1}{\sqrt{n} - 1} - \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir algebraicamente la resta de fracciones a un único denominador. A continuación determinaremos el orden de magnitud asintótico del término general resultante. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación en el límite con la serie armónica.
Estudiar la convergencia y calcular la suma de la serie: \( \sum_{n=0}^\infty \frac{2n + 1}{(n + 1)^2 (n + 2)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que el numerador es la diferencia entre los cuadrados del denominador. A continuación expresaremos el término general como diferencia de dos fracciones cuadráticas consecutivas. Para terminar evaluaremos la suma telescópica resultante.
Estudiar la convergencia de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(4n)}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la convergencia absoluta de la serie tomando el valor absoluto del término general. A continuación acotaremos la función seno por uno. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación directa con la p-serie armónica de orden dos.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1 + n^2}{n! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el criterio del cociente o de D'Alembert debido a la presencia del factorial. A continuación calcularemos el cociente de términos consecutivos simplificando el factorial. Para terminar evaluaremos el límite.
Estudiar según los valores del parámetro no nulo \( a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 1}{n a^n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio del cociente en valor absoluto. A continuación analizaremos los casos en que el módulo de a es mayor, menor o igual a uno. Para terminar estudiaremos la condición necesaria en los casos frontera.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar la función logaritmo con la función identidad. A continuación aplicaremos el criterio de comparación ordinario con la serie armónica. Para terminar concluiremos sobre su divergencia.
Estudiar el carácter de la serie en función del parámetro real \( x \in \mathbb{R} \): \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por tomar el valor absoluto del término general. A continuación acotaremos el seno para cualquier valor de x. Para terminar aplicaremos la convergencia absoluta mediante la p-serie armónica cuadrática.
Estudiar el carácter de la serie de término general \( a_n = \frac{1}{na + b} \) con \( a > 0 \) y \( b \ge 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el comportamiento asintótico lineal del denominador. A continuación aplicaremos el criterio de comparación en el límite con la serie armónica. Para terminar concluiremos sobre su divergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin\left(\frac{1}{n}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar el desarrollo en serie de Taylor o equivalencia infinitesimal de la función seno en el origen. A continuación calcularemos el orden asintótico del término general. Para terminar compararemos con la p-serie correspondiente.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar el numerador multiplicando por la expresión conjugada. A continuación determinaremos la potencia equivalente de n en el denominador. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación con una p-serie.
Estudiar en función de \( x > 0 \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x}{n}\right)^n n! \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio del cociente de D'Alembert. A continuación simplificaremos la potencia de base n y el factorial. Para terminar evaluaremos el límite identificando la constante de Euler e.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\log n)^{2n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la potencia n-ésima global en el término general. A continuación aplicaremos el criterio de la raíz de Cauchy. Para terminar calcularemos el límite del radical.
Estudiar para cualquier valor fijado \( p > 0 \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\log n)^p} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar el crecimiento del logaritmo con cualquier potencia polinómica lineal. A continuación minoraremos el término general por el de la serie armónica. Para terminar demostraremos que diverge para todo exponente p.
Estudiar para cualquier número real \( x \in \mathbb{R} \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2 + 1)x^n}{(n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la serie en valor absoluto mediante el criterio del cociente de D'Alembert. A continuación simplificaremos las fracciones algebraicas y el factorial. Para terminar evaluaremos el límite del cociente demostrando la convergencia absoluta en toda la recta real.
Estudiar el carácter de la serie alternada: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los números armónicos en el denominador. A continuación comprobaremos las dos hipótesis del criterio de Leibniz para series alternadas. Para terminar concluiremos sobre su convergencia condicional.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n + 1}{n! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la serie en valor absoluto. A continuación aplicaremos el criterio de D'Alembert a la serie positiva resultante. Para terminar concluiremos la convergencia absoluta.
Estudiar para \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \) y \( b \in \mathbb{R} \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \cos^n\left(a + \frac{b}{n}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz n-ésima de Cauchy. A continuación evaluaremos el límite de la base trigonométrica utilizando la continuidad del coseno. Para terminar compararemos el resultado con la unidad.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! }{n^n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio del cociente de D'Alembert. A continuación simplificaremos el cociente de factoriales y potencias. Para terminar evaluaremos el límite reconociendo el número e en el denominador.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{-n^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz n-ésima de Cauchy. A continuación evaluaremos el comportamiento del exponente cuadrático resultante. Para terminar concluiremos sobre su rápida convergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el orden de magnitud asintótico del radicando. A continuación extraeremos la potencia fraccionaria equivalente de n. Para terminar compararemos con la p-serie armónica generalizada.
Estudiar el carácter de la serie en función de \( x \in \mathbb{R} \): \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \sin^2(nx)}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar superiormente el numerador utilizando el rango de la función seno al cuadrado. A continuación estableceremos la mayorante cuadrática. Para terminar concluiremos sobre su convergencia para todo x real.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}\right)^{n + \frac{1}{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz n-ésima de Cauchy. A continuación simplificaremos el exponente fraccionario. Para terminar evaluaremos el límite del término resultante.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}}{n^3 \log n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el número armónico por su comportamiento asintótico logarítmico. A continuación simplificaremos el logaritmo del denominador. Para terminar compararemos con la p-serie armónica cúbica.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty e^{-\sqrt{n^2 + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar inferiormente el radical del exponente. A continuación construiremos una serie geométrica mayorante. Para terminar concluiremos sobre su convergencia.
Estudiar en función del parámetro real \( x > -1 \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \log\left(1 + \frac{x}{n}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la equivalencia infinitesimal del logaritmo neperiano en el origen. A continuación compararemos con la serie armónica ponderada por x. Para terminar clasificaremos según el valor del parámetro.
Estudiar según los valores del número real \( x \in \mathbb{R} \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{\sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el radio de convergencia mediante el criterio de D'Alembert. A continuación analizaremos los puntos frontera del intervalo. Para terminar concluiremos sobre el dominio de convergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}\right)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar inferiormente la suma armónica para n mayor o igual que uno. A continuación construiremos una cota superior para el término general. Para terminar compararemos con la p-serie cuadrática.
Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de la serie alternada: \( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{4}{17} + \dots + (-1)^{n+1} \frac{n}{n^2 + 1} + \dots \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis del criterio de Leibniz para la serie alternada. A continuación estudiaremos la serie de valores absolutos comparándola con la serie armónica. Para terminar concluiremos sobre el tipo de convergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left( \sqrt{\frac{n^2 + 1}{n}} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar la resta bajo un común denominador. A continuación calcularemos el límite del término general cuando n tiende a infinito. Para terminar comprobaremos la condición necesaria de convergencia.
Estudiar en función del parámetro real \( s \in \mathbb{R} \) el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty n^s (\sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} + \sqrt{n-1}) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el paréntesis como la diferencia segunda discreta de la función raíz cuadrada. A continuación utilizaremos la fórmula de Taylor para obtener su orden asintótico exacto. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación con una p-serie.
Estudiar el carácter de la serie alternada: \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\log n}{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la monotonía decreciente del término sin signo mediante su derivada continua. A continuación verificaremos que tiende a cero. Para terminar aplicaremos el criterio de Leibniz.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\log n}{n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las condiciones del criterio integral de Cauchy. A continuación calcularemos la integral impropia asociada mediante un cambio de variable logarítmico. Para terminar concluiremos sobre su divergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la equivalencia infinitesimal del arco seno en el origen. A continuación aplicaremos el criterio de comparación en el límite. Para terminar demostraremos que diverge por comparación con una p-serie.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^3 + n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la convergencia absoluta de la serie. A continuación acotaremos el seno por la unidad. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación directa con una p-serie de orden tres.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left( 1 - \cos\left(\frac{1}{n}\right) \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de equivalencia asintótica del coseno en el origen. A continuación calcularemos el orden cuadrático del término general. Para terminar compararemos con la p-serie de orden dos.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar la función logaritmo con una pequeña potencia fraccionaria de n. A continuación acotaremos el término general por una p-serie convergente de orden tres medios. Para terminar concluiremos sobre su convergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{2n - 1} - \sqrt{n}) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar el límite del término general cuando n tiende a infinito. A continuación racionalizaremos la expresión multiplicando por el conjugado. Para terminar concluiremos que no cumple la condición necesaria.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n}{4n + 3}\right)^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz de Cauchy. A continuación calcularemos el límite del cociente de polinomios lineales. Para terminar compararemos el resultado con la unidad.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! 2^n}{n^n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio del cociente de D'Alembert. A continuación simplificaremos los términos factoriales y exponenciales. Para terminar evaluaremos el límite comparándolo con la constante e.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1}}{n^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el comportamiento asintótico de los polinomios y radicales. A continuación aplicaremos el criterio de comparación en el límite. Para terminar concluiremos mediante la p-serie correspondiente.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n + 1)}{n^3 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar el valor absoluto del coseno por la unidad. A continuación mayoraremos el término general por una p-serie cúbica. Para terminar aplicaremos la convergencia absoluta.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n + 1}{2n}\right)^{-n^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz n-ésima de Cauchy. A continuación analizaremos el comportamiento asintótico del exponente cuadrático con base de tipo número e. Para terminar evaluaremos el límite del radical.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[6]{n}}{\sqrt[4]{n^3} + 2\sqrt[8]{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir los radicales a exponentes fraccionarios. A continuación identificaremos la potencia dominante del denominador. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación con la p-serie armónica correspondiente.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=2}^\infty e^{-\frac{n^3 + 1}{n^2 - n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica del exponente para determinar su comportamiento asintótico lineal. A continuación construiremos una mayorante geométrica. Para terminar concluiremos sobre su convergencia.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 3}{(n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el criterio del cociente de D'Alembert. A continuación simplificaremos el cociente de términos polinómicos y factoriales. Para terminar evaluaremos el límite del cociente.
Estudiar el carácter de la serie: \( \sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) (\sqrt{n^2 + 1} - n) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar el factor con diferencia de raíces. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del seno en el origen. Para terminar calcularemos el orden asintótico total y compararemos con una p-serie.
Analizar el carácter y determinar si es convergente o divergente la siguiente serie numérica de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n - 3}{2n + 1} \right)^{(2n + 1)n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que los términos de la serie son estrictamente positivos para n suficientemente grande y verificar la aplicabilidad del criterio de la raíz de Cauchy. A continuación calcularemos el límite de la raíz enésima del término general. Para terminar resolveremos la indeterminación de la forma uno elevado a infinito para comparar el valor del límite con la unidad.
Justificar razonadamente si es verdadera o falsa la siguiente proposición:
Sea \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) una serie convergente de términos no negativos ( \( a_n \geq 0 \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) ). Sea \( \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \) una sucesión de números reales no negativos tal que \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \)
Entonces, la serie producto \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \) también es necesariamente convergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico de la sucesión infinitesimal b sub n y deducir su acotación superior. A continuación aplicaremos la desigualdad fundamental del producto término a término con una constante positiva. Para terminar concluiremos la convergencia aplicando el criterio de comparación directa para series de términos no negativos.
Estudiar la convergencia de la siguiente serie numérica de términos positivos:
\( \sum_{n=0}^{\infty} n^4 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{3} \right)^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término general y verificar que es estrictamente positivo para n mayor o igual que uno. A continuación plantearemos el cociente de términos consecutivos aplicando el criterio de D'Alembert. Para terminar calcularemos el límite del cociente y compararemos la razón geométrica resultante con la unidad.
Estudiar la convergencia de la siguiente serie de términos positivos:
\( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{e^{-n^3 + 1}}{n^2 - n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el signo y el comportamiento del término general cuando n crece. A continuación compararemos el término general con una serie geométrica convergente o una p-serie de orden dos. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite para demostrar formalmente la convergencia de la serie.
Determinar el carácter de la siguiente serie de términos estrictamente positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)! }{n^n (n + 1)! } \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el criterio de D'Alembert mediante el cociente de términos consecutivos. A continuación desarrollaremos y simplificaremos los factoriales sucesivos de orden dos n y orden n más uno. Para terminar agruparemos las potencias de n reconociendo el número de Euler para calcular el límite y compararlo con la unidad.
Determinar razonadamente el carácter de las siguientes dos series numéricas:
a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2 + 1}} \)
b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} \)
Para resolver este apartado empezaremos por identificar que se trata de una serie alternada con factor menos uno elevado a n. A continuación verificaremos que el módulo del término general decrece monótonamente hacia cero comprobando las dos condiciones del criterio de Leibniz. Para terminar concluiremos que la serie alternada es convergente.
Determinar el carácter de convergencia de la siguiente serie numérica de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}) \log\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar el factor con raíces multiplicando y dividiendo por su expresión conjugada. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo para simplificar el segundo factor. Para terminar compararemos el término general asintótico con una p-serie de Riemann para determinar su convergencia.
Estudiar la convergencia de la serie de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} 3^{-n} \left( 1 + \frac{2}{3n} \right)^{n^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el término general como una potencia n-ésima global. A continuación aplicaremos el criterio de la raíz de Cauchy extrayendo la raíz de orden n. Para terminar resolveremos el límite de la base resultante reconociendo la definición del número e y compararemos el resultado con la unidad.
Estudiar la convergencia de la serie de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n^2} 2^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el término general agrupando la potencia exterior de orden n. A continuación aplicaremos el criterio de la raíz de Cauchy. Para terminar calcularemos el límite del término resultante reconociendo el número e y compararemos la razón con la unidad.
Demostrar la convergencia de la siguiente serie de términos positivos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n + n^3 + n^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que todos los sumandos del denominador son estrictamente positivos para n natural. A continuación estableceremos una cota inferior para el denominador reteniendo únicamente el término exponencial dominante. Para terminar aplicaremos el criterio de comparación directa con la serie geométrica de razón un medio para concluir la convergencia.
Para resolver este ejercicio empezaremos por racionalizar la diferencia de raíces cúbicas del término general mediante la identidad algebraica de cubos. A continuación utilizaremos el criterio de comparación por paso al límite con una serie p-armónica canónica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el término general en una diferencia de términos consecutivos de tipo a sub n menos a sub n más uno. A continuación sumaremos los primeros n términos para simplificar la suma telescópica y tomaremos el límite cuando n tiende a infinito.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico del argumento trigonométrico en el infinito. A continuación sustituiremos la función seno por su infinitésimo equivalente de primer orden y compararemos la serie resultante con la serie armónica generalizada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término dominante exponencial en el denominador. A continuación estableceremos una desigualdad para acotar superiormente el término general mediante los términos de una serie geométrica convergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la raíz n-ésima del término general para aplicar el criterio de Cauchy. A continuación resolveremos la indeterminación de tipo uno elevado a infinito utilizando el número e para determinar si el límite es menor que uno.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el criterio de la raíz n-ésima al término general con exponente n. A continuación evaluaremos el límite del exponente resultante comprobando que es estrictamente menor que la unidad.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer la raíz n-ésima del término general. A continuación transformaremos la base exponencial en un límite notable del número e para determinar el valor exacto del límite de Cauchy y clasificar la convergencia.
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión radical para eliminar la indeterminación infinito menos infinito. A continuación compararemos el término resultante con una serie p-armónica de orden adecuado.
Para resolver este ejercicio empezaremos por formar el cociente entre términos consecutivos a sub n más uno y a sub n para aplicar el criterio de D'Alembert. A continuación simplificaremos los números combinatorios y factoriales para evaluar el límite del cociente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por tomar la raíz enésima del término general simplificando el exponente cuadrático. A continuación calcularemos el límite del factor restante para concluir la convergencia absoluta mediante el criterio de Cauchy.
Hallar el dominio de definición de la función real: \( f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 3x - 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos que anulan el denominador de la función racional. A continuación resolveremos la ecuación cuadrática asociada. Para terminar excluiremos dichos puntos del conjunto de los números reales.
Hallar el dominio de definición de la función: \( h(x) = \log\left( \frac{x - 1}{x^2 - 3x - 4} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por exigir que el argumento del logaritmo sea estrictamente positivo. A continuación determinaremos los signos del numerador y del denominador mediante una tabla de intervalos. Para terminar seleccionaremos las regiones donde el cociente es estrictamente positivo.
Hallar el dominio de definición de la función: \( k(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular donde se anula el denominador. A continuación excluiremos dicho valor de la recta real. Para terminar escribiremos el dominio en notación conjuntista y de intervalos.
Dadas las funciones \( k(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 1} \) y \( l(x) = \sqrt{x - 1} \), hallar la función compuesta \( (l \circ k)(x) \) y determinar su dominio de definición.
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir la función k dentro de l para formular la composición algebraica. A continuación exigiremos que x pertenezca al dominio de k y que k(
x) esté en el dominio de l. Para terminar resolveremos la inecuación resultante.
Hallar el dominio de definición de la función: \( g(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x^2 - 3x - 4}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por exigir la condición de no negatividad para el radicando bajo la raíz cuadrada. A continuación estudiaremos los signos de los factores lineales. Para terminar incluiremos los ceros del numerador excluyendo los polos del denominador.
Hallar el dominio de definición de la función: \( j(x) = \arcsin\left(\frac{2x - 1}{5}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar el intervalo de definición estándar de la función arco seno en [-1, 1]. A continuación plantearemos la doble desigualdad para el argumento. Para terminar despejaremos la variable x.
Hallar el dominio de definición de la función: \( l(x) = \sqrt{x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por exigir la condición de no negatividad para el radicando. A continuación resolveremos la desigualdad lineal. Para terminar expresaremos el resultado en forma de semirrecta cerrada.
Dadas las funciones \( l(x) = \sqrt{x - 1} \) y \( k(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 1} \), hallar la función compuesta \( (k \circ l)(x) \) y determinar su dominio de definición.
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir la función l dentro de k para obtener la fórmula algebraica. A continuación exigiremos la existencia de l y la no anulación del denominador de k(l(x)). Para terminar determinaremos el conjunto solución.
Sea \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \) donde \( p(x) \) y \( q(x) \) son dos polinomios con coeficientes reales primos entre sí. Hallar, si existe, el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to a \) para cualquier número real \( a \in \mathbb{R} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por clasificar la situación según si el denominador se anula o no en el punto a. A continuación utilizaremos la hipótesis de que son polinomios primos entre sí para descartar indeterminaciones cero sobre cero. Para terminar analizaremos los límites laterales en los polos.
Dadas las funciones escalonadas \( f(x) = 1 \) si \( x \le 0 \), \( f(x) = -1 \) si \( x > 0 \), y \( g(x) = -1 \) si \( x \le 0 \), \( g(x) = 1 \) si \( x > 0 \), demostrar que \( f \) y \( g \) son discontinuas en \( x = 0 \), pero que tanto \( f + g \) como \( f \cdot g \) son continuas en \( x = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los límites laterales de f y g en cero para probar su discontinuidad. A continuación calcularemos la expresión analítica de la suma f + g en toda la recta real. Para terminar calcularemos el producto f * g y concluiremos sobre su continuidad.
Sea la función definida en \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) por \( f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} \). ¿Puede definirse \( f \) en \( x = 2 \) de forma que resulte continua?
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite de la función en el punto singular x = 2 factorizando el numerador. A continuación determinaremos si la discontinuidad es evitable. Para terminar redefiniremos el valor de la función en el punto para hacerla continua.
Estudiar la continuidad de la función \( f: (0, 2) \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = \sin(\pi x) \) si \( 0 < x \le 1 \), y \( f(x) = \log x \) si \( 1 < x < 2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la continuidad en el interior de cada subintervalo abierto. A continuación calcularemos los límites laterales en el punto de cambio de rama x =
1. Para terminar compararemos dichos límites con el valor de la función.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = x - 6 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por clasificar la familia a la que pertenece la función. A continuación aplicaremos el teorema de continuidad de las funciones polinómicas. Para terminar concluiremos sobre su dominio de continuidad.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = x^2 - 9 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el carácter polinómico de la expresión. A continuación aplicaremos las propiedades algebraicas de los límites. Para terminar concluiremos sobre su continuidad.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = 3x - \cos x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la continuidad de cada sumando. A continuación aplicaremos el teorema de la resta de funciones continuas. Para terminar concluiremos sobre su continuidad en toda la recta real.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = \frac{x}{x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto que anula el denominador. A continuación calcularemos los límites laterales en dicho punto. Para terminar clasificaremos la discontinuidad.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar si el denominador se anula en algún punto real. A continuación aplicaremos el teorema de continuidad del cociente de funciones continuas. Para terminar concluiremos sobre la continuidad en R.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = \tan x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente como cociente de seno entre coseno. A continuación determinaremos los ceros del coseno. Para terminar clasificaremos las discontinuidades periódicas.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = \frac{x + 7}{|x|} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de definición de la función. A continuación desglosaremos la función en ramas según el signo de x. Para terminar calcularemos los límites laterales en cero.
Estudiar la continuidad de la función definida a trozos: \( f(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) \) si \( |x| < 1 \), y \( f(x) = x \) si \( |x| \ge 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad en el interior de cada rama. A continuación calcularemos los límites laterales en los puntos de cambio de definición x = 1 y x = -
1. Para terminar compararemos dichos límites con los valores de la función.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = \frac{|x^2 - 4|}{x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de definición de la función. A continuación desglosaremos el valor absoluto alrededor de x = -2 y x =
2. Para terminar calcularemos los límites laterales en el punto excluido x = - 2.
Estudiar la continuidad de la función: \( f(x) = \frac{|x^2 + 4x|}{x + 4} - (x + 2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio de la función en R sin el punto -
4. A continuación factorizaremos el valor absoluto. Para terminar calcularemos los límites laterales en x = - 4.
Estudiar la continuidad de la función definida por \( f(x) = \frac{\cos x - 1}{x} \) si \( x < 0 \), y \( f(x) = 5x \) si \( x \ge 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la continuidad en las ramas abiertas. A continuación calcularemos el límite lateral por la izquierda mediante la equivalencia infinitesimal del coseno. Para terminar compararemos con el límite por la derecha y el valor en cero.
Encontrar el valor de \( a \in \mathbb{R} \) que hace continua la función: \( f(x) = 3x^2 \) si \( x \ge 1 \), y \( f(x) = ax - 4 \) si \( x < 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por asegurar la continuidad en el punto de corte x =
1. A continuación calcularemos los límites laterales a izquierda y derecha. Para terminar igualaremos ambos límites para despejar a.
Encontrar el valor de \( a \in \mathbb{R} \) que hace continua la función: \( f(x) = 3x^3 \) si \( x \le 1 \), y \( f(x) = ax + 5 \) si \( x > 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la condición de continuidad en el punto de empalme x =
1. A continuación evaluaremos los límites laterales. Para terminar despejaremos el parámetro a.
Encontrar el valor de \( a \in \mathbb{R} \) que hace continua la función: \( f(x) = \frac{4\sin x}{x} \) si \( x < 0 \), y \( f(x) = a - 2x \) si \( x \ge 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar el límite notable trigonométrico del seno en el origen. A continuación calcularemos el límite lateral derecho y el valor en cero. Para terminar igualaremos ambas expresiones.
Encontrar el valor de \( a \in \mathbb{R} \) que hace continua la función: \( f(x) = \frac{x^2 - a^2}{x - a} \) si \( x \neq a \), y \( f(a) = 8 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la fracción algebraica mediante diferencia de cuadrados para todo x distinto de a. A continuación calcularemos el límite en el punto a. Para terminar igualaremos dicho límite al valor fijado ocho.
Comprobar rigurosamente mediante la definición épsilon-delta de límite que: \( \lim_{x\to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar la definición formal de límite de Cauchy-Weierstrass. A continuación acotaremos la distancia entre la función y el límite en términos de |x - 2|. Para terminar construiremos un delta explícito en función de épsilon.
Demostrar que no existe el límite: \( \lim_{x\to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar el criterio secuencial de Heine para la no existencia de límites. A continuación construiremos dos sucesiones convergentes a cero cuyos límites funcionales sean distintos. Para terminar concluiremos sobre el carácter oscilante.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación cero sobre cero. A continuación factorizaremos los polinomios mediante la raíz común x =
1. Para terminar simplificaremos y calcularemos el límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expandir el producto de binomios hasta el primer orden en x. A continuación restaremos la unidad para aislar el término lineal. Para terminar dividiremos entre x y tomaremos el límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el numerador por agrupación. A continuación reconoceremos el cuadrado perfecto del binomio en el denominador. Para terminar cancelaremos el factor doble (x - 2)^ 2.
Dado un entero positivo \( p \in \mathbb{N} \), calcular el límite: \( \lim_{x\to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^p - p}{x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el término menos p en p unos restados a cada potencia. A continuación transformaremos el cociente en una suma de límites notables de derivadas. Para terminar calcularemos la suma aritmética resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término dominante raíz de x en el numerador y denominador. A continuación dividiremos numerador y denominador entre raíz de x. Para terminar evaluaremos los términos infinitesimales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la relación cuadrática entre la raíz cuadrada y la raíz cuarta. A continuación factorizaremos el denominador como diferencia de cuadrados. Para terminar simplificaremos el factor indeterminado.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to +\infty} \left( \sqrt{(x + 1)(x + 2)} - x \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito menos infinito. A continuación multiplicaremos y dividiremos por la expresión conjugada. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos lineales dominantes.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar los grados de ambos polinomios. A continuación dividiremos entre x al cuadrado. Para terminar calcularemos el cociente de los coeficientes líderes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el binomio al cuadrado y el binomio al cubo. A continuación cancelaremos los términos constantes y lineales. Para terminar dividiremos entre x al cuadrado y evaluaremos en cero.
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el numerador como diferencia de cuadrados y el denominador como diferencia de cubos. A continuación cancelaremos el factor común x -
1. Para terminar evaluaremos el cociente resultante en x = 1.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores factorizados. A continuación unificaremos las fracciones en una sola expresión. Para terminar cancelaremos el factor 1 - x y evaluaremos el límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación cero sobre cero con radicales en ambos miembros. A continuación multiplicaremos por los factores conjugados del numerador y del denominador. Para terminar cancelaremos el factor x - 4 y calcularemos el límite.
Calcular el límite lateral por la derecha: \( \lim_{x\to 3^+} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x^2 - 9}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el radical del denominador en producto de factores. A continuación separaremos la fracción en dos sumandos. Para terminar calcularemos el límite de cada sumando simplificando el factor infinitesimal común.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el orden asintótico del primer término. A continuación demostraremos que el segundo término tiende a cero en el infinito. Para terminar calcularemos el cociente de los términos dominantes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable centrado en el punto límite. A continuación transformaremos la indeterminación cero elevado a cero mediante logaritmos. Para terminar evaluaremos el límite del producto infinitesimal y aplicaremos la exponencial.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to e} \frac{\log x - 1}{x - e} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el cociente como la definición de la derivada del logaritmo neperiano en el punto e. A continuación calcularemos dicha derivada. Para terminar concluiremos sobre el valor exacto del límite.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to 0} x \tan\left(\frac{\pi}{2} - \pi x\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la identidad de cofunciones trigonométricas para convertir la tangente en cotangente. A continuación escribiremos la cotangente como la inversa de la tangente. Para terminar utilizaremos la equivalencia infinitesimal del seno y tangente en cero.
Dado \( a > 0 \) y \( p \in \mathbb{R} \), calcular el límite: \( \lim_{x\to 0} \frac{(a + x)^p - a^p}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la definición de derivada de la función potencial. A continuación calcularemos la derivada simbólica. Para terminar concluiremos sobre el valor del límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar en serie de Maclaurin la exponencial y el seno hasta orden tres. A continuación cancelaremos los términos de orden inferior. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos cúbicos.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to 0} \frac{e^x + \sin x - 1}{\log(1 + x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar las equivalencias de primer orden para e^x - 1, sen x y log(1 + x). A continuación agruparemos los términos lineales del numerador. Para terminar evaluaremos el cociente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación aplicaremos la fórmula del número e calculando el límite del producto de la base menos uno por el exponente. Para terminar evaluaremos la potencia final.
Calcular en función del parámetro real \( a \) el límite: \( \lim_{x\to +\infty} \left( \frac{x + a}{x - a} \right)^{2x + 7} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación 1 elevado a infinito. A continuación restaremos la unidad a la base y multiplicaremos por el exponente lineal. Para terminar calcularemos el límite del producto.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el argumento de la tangente tiende a cero cuando x tiende a infinito. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica de la tangente. Para terminar calcularemos el cociente de polinomios.
Calcular el límite lateral: \( \lim_{x\to 0^+} (\cos\sqrt{x})^{\frac{1}{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la indeterminación uno elevado a infinito. A continuación utilizaremos el desarrollo en serie del coseno para aproximar la base menos uno. Para terminar calcularemos el exponente resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable y = -x para trabajar en más infinito y evitar errores de signo. A continuación racionalizaremos multiplicando por el conjugado. Para terminar evaluaremos el cociente lineal.
Estudiar la existencia del límite: \( \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos 2x}}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la identidad del ángulo mitad para transformar el radicando en un seno al cuadrado. A continuación extraeremos la raíz recordando el valor absoluto. Para terminar calcularemos los límites laterales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar por la expresión conjugada del numerador. A continuación simplificaremos el factor x al cuadrado. Para terminar evaluaremos el límite.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\log(1 + x^3 - 2x^4)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la resta de tangente menos seno para extraer su orden cúbico. A continuación utilizaremos la equivalencia asintótica del logaritmo neperiano. Para terminar evaluaremos el cociente de los términos de grado 3.
Calcular el límite: \( \lim_{x\to 0} \frac{2\tan x - \sin 2x}{e^{x^3} - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar en serie de Taylor la tangente y el seno hasta el término cúbico. A continuación aplicaremos la equivalencia infinitesimal de la exponencial en el denominador. Para terminar evaluaremos el cociente de los coeficientes cúbicos.
Sabiendo que \( \lim_{x\to a} \frac{g(x)}{f(x)} = c \) con \( c \neq 1 \), calcular el límite: \( \lim_{x\to a} \frac{f(x) + g(x)}{f(x) - g(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir el numerador y el denominador entre la función f(x). A continuación expresaremos el cociente en términos de g(x)/f(x). Para terminar aplicaremos las propiedades aritméticas de los límites sustituyendo c.
Dada la función real de variable real definida a trozos:
\( f(x) = \begin{cases} \log_2(x+2), & \text{si } x \ge 2 \\[2mm] \frac{a}{2}, & \text{si } x < 2 \end{cases}\)
donde \( a \in \mathbb{R}\) representa una constante real, determinar de forma justificada si la función resulta continua en todo \(\mathbb{R}\) para el valor \( a = 4 \)
Evaluamos la continuidad analizando la regularidad de cada rama elemental y exigiendo la coincidencia de los límites laterales con el valor puntual en el punto de empalme.
Sea la función real definida en el intervalo \((-1, +\infty) \) mediante la regla:
\( h(x) = \begin{cases} \frac{|\ln(1+x)|}{x}, & \text{si } x \in (-1, +\infty) \setminus \{0\} \\[2mm] 1, & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
Estudiar razonadamente la continuidad de \( h(x) \) en el punto \( x = 0 \), determinando el tipo de discontinuidad y el valor del salto si no resultase continua.
Analizamos el signo del argumento dentro del valor absoluto para desglosar la función en un entorno del origen y calcular sus límites laterales.
Para cada número natural \( k \in \mathbb{N}\), se define la función real de variable real:
\( f_k(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^k)}{x^k}, & \text{si } x \neq 0 \\[2mm] 1, & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
Estudiar de forma rigurosa la continuidad de la función \( f_k \) en el punto \( x = 0 \) para cualquier valor del parámetro \( k \in \mathbb{N}\)
Aplicamos un cambio de variable infinitesimal para evaluar el límite del cociente y compararlo con el valor asignado a la función en el origen.
Calcular de forma rigurosa el siguiente límite en el origen sin recurrir a la regla de L'Hôpital:
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 4\cos x - 2\operatorname{sen} x + 3}{1 - (1+3x)^2 + \ln(1+6x)}\)
justificando el orden de aproximación empleado en cada término del numerador y del denominador.
Resolvemos la indeterminación cero partido por cero expandiendo cada función elemental mediante la fórmula de Taylor con resto infinitesimal hasta el orden mínimo que no se anule.
Dadas las funciones analíticas definidas en un entorno del origen:
\( f(x) = \ln(1+3x) + \cosh(\sqrt{5}x) - 3\operatorname{sen} x - 1 \)
\( g(x) = 2\operatorname{sen} x - e^{3x} + \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 \)
(
a) Determinar el orden y la parte principal de \( f(x) \) y \( g(x) \) como infinitésimos respecto al infinitésimo patrón \( x \) cuando \( x \to 0 \)
(
b) Calcular el valor del límite del cociente: \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)}\)
Desarrollamos ambas funciones en series de Taylor en torno a cero para identificar el primer coeficiente no nulo y obtener el límite del cociente.
Calcular el valor exacto del límite:
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \operatorname{sen} x - \cos(2x)}{x\sqrt[3]{1+3x} - x}\)
justificando rigurosamente la expansión infinitesimal del numerador y denominador.
Descomponemos el numerador y denominador en potencias de equis mediante desarrollos de orden dos utilizando el teorema del binomio para exponentes fraccionarios.
Calcular el valor del límite infinitesimal en el origen o demostrar su divergencia:
\(\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \ln(1+x)}{3x\cos x - \operatorname{sen}(3x)}\)
analizando detalladamente el orden infinitesimal del numerador y del denominador.
Determinamos la parte principal de cada término mediante desarrollos en serie de Maclaurin para clasificar el comportamiento asintótico y los límites laterales.
Determinar de forma justificada cuántas raíces reales posee la ecuación:
\( 2x^3 - 2x^2 + x - 1 = 2 \)
aplicando el teorema de Bolzano para la existencia y el estudio de la derivada para la unicidad.
Definimos una función auxiliar polinómica para demostrar la existencia de raíces mediante el teorema de Bolzano y analizamos su derivada para probar la estricta monotonía.
Demostrar de forma analítica que la ecuación trascendente:
\( x^2 = x\operatorname{sen} x + \cos x \)
posee exactamente dos raíces reales distintas en todo \(\mathbb{R}\)
Construimos la función trascendente asociada, explotamos su simetría par y aplicamos el teorema de Bolzano para la existencia y el teorema de Rolle para la unicidad.
Dada la función real de variable real definida mediante la expresión:
\( f(x) = \ln(1 + \ln x) - \ln x + 1 \)
(
a) Determinar razonadamente su dominio natural de definición.
(
b) Calcular los límites en los extremos del dominio y determinar sus asíntotas verticales y en el infinito.
(
c) Estudiar la monotonía y determinar los extremos absolutos de la función.
Imponemos las restricciones de existencia del logaritmo para hallar el dominio y aplicamos álgebra de límites y derivación para determinar asíntotas y monotonía.
Dada la función definida a trozos en \( \mathbb{R} \) mediante:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{\log(1 + 4x)}{x}, & \text{si } x > 0 \\ a, & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
¿Es la función continua en \( x = 0 \) si y solo si \( a = 4 \)?
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los límites laterales de la función a ambos lados del punto de discontinuidad potencial. A continuación igualaremos ambos límites laterales con el valor de la función en el punto para despejar el valor del parámetro.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación de tipo cero entre cero en el origen. A continuación calcularemos los polinomios de Taylor de segundo orden de las funciones elementales involucradas y simplificaremos los términos semejantes.
\( f(x) = \log(1 + 3x) + \cosh(\sqrt{5}x) - 3\sin x - 1 \)
\( g(x) = 2\sin x - e^{3x} + \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 \)
a) Calcular el orden del infinitésimo de \( f(x) \) y de \( g(x) \) cuando \( x \to 0 \)
b) Calcular el valor del límite: \( \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el primer término no nulo del desarrollo de Taylor de cada función en x = 0 para obtener sus órdenes de infinitésimo. A continuación sustituiremos ambos desarrollos en el cociente para calcular el límite exacto.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expandir las funciones trigonométricas y exponenciales mediante sus desarrollos de Taylor hasta el orden mínimo que resuelva la cancelación. A continuación agruparemos las potencias de x para calcular el límite de manera directa sin L'Hôpital.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el desarrollo de Taylor de orden tres de las funciones del numerador y denominador. A continuación cancelaremos los términos de menor orden y obtendremos el límite del cociente de los coeficientes dominantes.
5.1 Definición e interpretación geométrica de la derivada
325.
Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación \( x^2 + 4y^2 = 4 \) en el punto \( P\left(\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que el punto pertenezca a la curva y a continuación aplicaremos la técnica de derivación implícita respecto de la variable independiente x para despejar la derivada de y griega, evaluándola en las coordenadas indicadas.
Hallar la función derivada de \( f(x) = \log\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \) simplificando el resultado al máximo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar la expresión aplicando las propiedades de los logaritmos, lo que convertirá la raíz y el cociente en una semirresta de logaritmos simples, facilitando enormemente el proceso de derivación y su simplificación posterior.
Hallar la derivada de la función \( f(x) = x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1 - x^2} \) simplificando el resultado final.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la función en dos sumandos, aplicando la regla del producto de derivadas en el primer término y la regla de la cadena para la raíz cuadrada en el segundo término, verificando la cancelación de términos algebraicos.
Calcular la derivada de la función \( f(x) = \frac{\operatorname{sen} x + \cos x}{\operatorname{sen} x - \cos x} \) expresando el resultado de la forma más compacta posible.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la regla de derivación para un cociente de funciones, expandiendo los productos resultantes en el numerador y empleando las identidades pitagóricas y de ángulo doble para compactar la expresión final.
Hallar la derivada de la función \( f(x) = \log\sqrt{x^2+x+1} - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) \) simplificando el resultado final.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el exponente radical del logaritmo, para luego derivar por separado el término logarítmico y el término del arcotangente mediante la regla de la cadena, unificando ambas fracciones racionales.
Hallar la función derivada \( f'(x) \) en términos de \( g' \) si la función viene definida por \( f(x) = g(x + g(a)) \), siendo \( a \) una constante real fija.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la estructura de la composición funcional, distinguiendo con claridad entre la variable independiente x y la constante fija a, aplicando la regla de la cadena.
Hallar la derivada \( f'(x) \) en términos de \( g' \) sabiendo que \( f(x) = g(x \cdot g(a)) \), donde \( a \) es una constante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer que el término que multiplica a x es un valor constante independiente de la variable x, procediendo mediante la regla de la cadena.
Determinar la derivada \( f'(x) \) en función de \( g \) y de \( g' \) si \( f(x) = g(x + g(x)) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la regla de la cadena teniendo en cuenta que el argumento interno contiene explícitamente a la propia función g, por lo que su derivada implicará tanto la derivada externa como la suma de derivadas internas.
Hallar la derivada \( f'(x) \) en términos de \( g \) y de \( g' \) si \( f(x) = g(x)(x - a) \), siendo \( a \in \mathbb{R} \) constante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la regla del producto para la derivada de dos funciones que dependen de x, calculando la derivada de cada factor de forma independiente.
Hallar la derivada \( f'(x) \) si \( f(x) = g(a)(x - a) \), siendo \( a \) una constante dada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por constatar que g de a es un valor numérico constante que no depende de la variable de derivación x, por lo que la función es simplemente un polinomio de grado uno en x.
Dada la relación funcional \( f(x + 3) = g(x^2) \), hallar la función derivada \( f'(x) \) en términos de \( g' \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar ambos miembros de la igualdad con respecto a la variable auxiliar x aplicando la regla de la cadena, y a continuación realizaremos un cambio de variable para expresar la función f prima en función directa de su argumento x.
Hallar la derivada de la función \( f(x) = \operatorname{sen}\left( \frac{x}{x - \operatorname{sen}\left( \frac{x}{x - \operatorname{sen} x} \right)} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la función en niveles concéntricos de composición, derivando desde el nivel más interno hasta el nivel exterior mediante la aplicación sucesiva de la regla de la cadena y la regla del cociente.
Con el fin de estimar la altura de un edificio, se deja caer una piedra desde su parte más alta en el agua de una piscina que se encuentra al nivel del suelo. Sabiendo que la función de posición en caída libre es \( s(t) = -4{, }9t^2 + v_0 t + s_0 \), calcular la altura del edificio si el chapoteo se observa a los \( 5{, }6 \) segundos de soltar la piedra.
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la ecuación de la posición en caída libre estableciendo el origen en el suelo, determinando las condiciones iniciales de velocidad y tiempo de llegada para despejar la altura inicial.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de \( 120\text{ m/s} \). Empleando el modelo de caída libre \( s(t) = -4{, }9t^2 + v_0 t + s_0 \), calcular la velocidad instantánea del proyectil a los \( 5 \) segundos del lanzamiento.
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la función velocidad derivando la función posición con respecto al tiempo, para posteriormente evaluarla en el instante requerido.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de \( 120\text{ m/s} \). Empleando el modelo de caída libre \( s(t) = -4{, }9t^2 + v_0 t + s_0 \), calcular la velocidad instantánea del proyectil cuando han transcurrido \( 10 \) segundos desde el disparo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la función velocidad a partir de la derivada de la posición y evaluarla en el instante de tiempo t = 10 segundos.
Se deja caer una moneda desde lo alto de un edificio de \( 415\text{ metros} \) de altura. Utilizando el modelo de caída libre \( s(t) = -4{, }9t^2 + v_0 t + s_0 \), determinar las funciones explícitas que describen la posición y la velocidad instantánea de la moneda en función del tiempo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por fijar las condiciones iniciales dadas en el enunciado para la posición y velocidad en el instante cero, construyendo la función de posición y obteniendo la de velocidad mediante su derivada.
Se deja caer una moneda desde una altura de \( 415\text{ m} \) con posición \( s(t) = -4{, }9t^2 + 415 \). Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo \( [1, 2] \) segundos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las posiciones de la moneda en los instantes inicial y final del intervalo, y aplicaremos la definición de velocidad media como el cociente incremental entre la variación de la posición y el tiempo transcurrido.
Una moneda se deja caer desde una altura de \( 415\text{ m} \) según la función de posición \( s(t) = -4{, }9t^2 + 415 \). Hallar la velocidad instantánea de la moneda exactamente en el instante \( t = 1\text{ s} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la función derivada de la posición con respecto al tiempo y evaluarla en el instante t = 1 s.
Una moneda se deja caer desde una altura de \( 415\text{ m} \) con posición \( s(t) = -4{, }9t^2 + 415 \). Encontrar la velocidad instantánea de la moneda a los \( 2\text{ s} \) de caída.
Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la función velocidad instantánea obtenida por derivación en el instante exacto t = 2 s.
Una moneda cae desde una altura de \( 415\text{ m} \) con posición dada por \( s(t) = -4{, }9t^2 + 415 \). Calcular el tiempo total que tarda la moneda en llegar al suelo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición física de llegada al suelo, igualando la función de posición a cero y despejando el valor positivo del tiempo t.
Una moneda se deja caer desde una altura de \( 415\text{ m} \) con posición \( s(t) = -4{, }9t^2 + 415 \). Determinar la velocidad con la que la moneda impacta contra el suelo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el instante de impacto resolviendo s(t) = 0 y posteriormente evaluaremos la función de velocidad instantánea v(t) = s'(t) en dicho instante.
El costo de pedido y transporte en miles de dólares de un producto responde a \( C(x) = 100\left( \frac{200}{x^2} + \frac{x}{x+30} \right) \) para \( x \ge 1 \), donde \( x \) es el tamaño del pedido en cientos de unidades. Encontrar la razón de cambio del costo respecto a \( x \) cuando el pedido es \( x = 10 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la función costo marginal derivando C(
x) con respecto a x y posteriormente la evaluaremos para el tamaño de pedido x = 1 0.
El costo en miles de dólares de pedido y transporte viene dado por \( C(x) = 100\left( \frac{200}{x^2} + \frac{x}{x+30} \right) \) para \( x \ge 1 \), donde \( x \) está expresado en cientos de unidades. Calcular la razón de cambio de \( C \) respecto a \( x \) cuando \( x = 15 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la función derivada general del costo obtenida previamente y evaluarla en el punto x = 1 5.
La función que modela el costo de pedido y transporte de un producto es \( C(x) = 100\left( \frac{200}{x^2} + \frac{x}{x+30} \right) \) para \( x \ge 1 \). Encontrar la razón de cambio de dicho costo cuando el tamaño del pedido alcanza \( x = 20 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la derivada del costo en el valor x = 20, realizando los cálculos aritméticos exactos y decimales.
Para la función de costo de pedido y transporte \( C(x) = 100\left( \frac{200}{x^2} + \frac{x}{x+30} \right) \), habiendo obtenido que las razones de cambio son \( C'(10) = -38{, }125 \), \( C'(15) \approx -10{, }37 \) y \( C'(20) = -3{, }8 \), analizar qué implican estas razones de cambio a medida que el tamaño del pedido aumenta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por examinar el signo y la magnitud en valor absoluto de las derivadas evaluadas, deduciendo el significado económico del costo decreciente y el fenómeno de los rendimientos marginales decrecientes de ahorro.
Una población inicial de 500 bacterias introducidas en un cultivo aumenta en función del tiempo según la ecuación \( P(t) = 500\left( 1 + \frac{4t}{50 + t^2} \right) \), donde \( t \) se mide en horas. Calcular el ritmo de cambio instantáneo al que crece la población bacteriana en el instante \( t = 2\text{ horas} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función población P(t) con respecto al tiempo aplicando la regla del cociente, y evaluaremos el resultado en t = 2 para hallar la tasa instantánea de proliferación.
En un lago en calma se deja caer una piedra provocando ondas circulares concentricas. Si el radio \( r \) del círculo exterior crece a una razón constante de \( 30\text{ cm/s} \), ¿a qué razón está cambiando el área \( A \) de la región circular perturbada cuando el radio alcanza exactamente \( 1\text{ metro} \)?
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la relación geométrica entre el área y el radio del círculo, derivando ambos miembros respecto del tiempo mediante la regla de la cadena para obtener la razón de cambio del área.
5.4 Monotonía y extremos de funciones. Optimización
352.
Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = e^{-x^2} \) en el intervalo cerrado \( [-1, 1] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos críticos en el interior del intervalo igualando la primera derivada a cero, y a continuación compararemos los valores de la función en dichos puntos críticos y en los extremos del intervalo para determinar los valores extremos absolutos por el teorema de Weierstrass.
Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = \frac{1}{2x^4 - x^2 + 1} \) en el intervalo cerrado \( [0, 1] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función racional respecto de x, localizar los puntos estacionarios en el interior del intervalo [0, 1] y evaluar la función tanto en los puntos críticos como en los extremos del intervalo.
Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = x^2\log x \) en el intervalo cerrado \( [e^{-1}, e] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada aplicando la regla del producto para determinar los puntos estacionarios dentro del intervalo dado, evaluando posteriormente f en los candidatos y en los bordes.
Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función polinómica \( f(x) = x^3 - x^2 - 8x + 1 \) en el intervalo cerrado \( [-2, 2] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del polinomio, hallar sus raíces para ubicar los puntos críticos en el interior del intervalo [-2, 2] y comparar los valores de la función en dichos puntos y en los extremos del intervalo.
Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = \frac{x+1}{x^2+1} \) en el intervalo cerrado \( [-1, 2] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función racional, hallar sus puntos críticos interiores al intervalo [-1, 2] y evaluar los valores de la función en ellos y en los extremos del intervalo.
Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 \) en el intervalo cerrado \( \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del polinomio, factorizarla para hallar todos los puntos críticos interiores al intervalo y comparar sus valores funcionales con los de los extremos.
Sea la función \( f(x) = ax - \frac{x^3}{1+x^2} \). Demostrar que \( f \) es monótona creciente en todo \( \mathbb{R} \) si y sólo si el parámetro satisface \( a \ge \frac{9}{8} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de f(x), formular la condición de monotonía creciente estricta en términos de la no negatividad de la derivada para todo x real, y determinar el valor máximo de la componente que debe ser superada por el parámetro a.
Hallar el número exacto de soluciones reales de la ecuación \( 3x^5 + 15x - 8 = 0 \) y determinar dos enteros consecutivos entre los que se encuentra cada una de sus soluciones.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la monotonía de la función asociada mediante su derivada para demostrar la unicidad de la raíz mediante el Teorema de Rolle, y aplicaremos el Teorema de Bolzano para acotar la raíz entre dos enteros consecutivos.
Hallar el número de soluciones reales que tiene la ecuación \( x^5 - 5x = 1 \) y encontrar dos números enteros consecutivos entre los que se sitúa cada una de sus soluciones.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la función f(x) = x^5 - 5x - 1, analizar sus puntos críticos mediante la primera derivada para identificar los intervalos de monotonía y aplicar el Teorema de Bolzano evaluando en valores enteros.
Hallar el número de soluciones reales de la ecuación \( 2x^3 - 9x^2 + 12x = 1 \) y determinar dos enteros consecutivos entre los que se encuentra cada una.
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la función f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1, hallar sus extremos relativos mediante la primera derivada para estudiar la posición de sus crestas y valles respecto del eje de abscisas, y deducir el número de cortes con el eje horizontal.
Hallar el número de soluciones reales de la ecuación \( 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 12 = 0 \) y encontrar dos enteros consecutivos entre los que se ubica cada solución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la derivada de la función polinómica para determinar sus extremos relativos, analizar la alternancia de signo de los valores en los extremos locales y aislar las raíces reales entre números enteros mediante el Teorema de Bolzano.
Demostrar rigurosamente que entre dos ceros distintos de una función derivable en un intervalo real, existe al menos un cero de su función derivada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por enunciar las hipótesis del Teorema de Rolle y aplicarlas al intervalo cerrado delimitado por dos ceros arbitrarios de la función, deduciendo la existencia del punto donde la derivada se anula.
Comprobar que la ecuación \( 2x^5 + 8x^3 + 5x - 6 = 0 \) tiene una y sólo una raíz real.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el Teorema de Bolzano para certificar la existencia de al menos una raíz real, y utilizaremos la positividad estricta de la derivada junto con el Teorema de Rolle para demostrar que dicha raíz es única.
Demostrar que la ecuación \( 3x^5 + 15x - 8 = 0 \) sólo tiene una raíz real.
Para resolver este ejercicio empezaremos por justificar la existencia de al menos una solución mediante el Teorema de Bolzano y argumentaremos por contradicción apoyándonos en el Teorema de Rolle y la monotonía que no pueden existir dos o más soluciones.
Entre todas las rectas que pasan por el punto \( (1, 2) \), hallar la recta que forma con los semiejes positivos de coordenadas un triángulo de área mínima y determinar el valor de dicha área.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación general de la familia de rectas que pasan por el punto (1, 2) con pendiente negativa, calcular los puntos de corte con los ejes cartesianos, construir la función área en términos de la pendiente y minimizarla mediante derivación.
Hallar las coordenadas de los puntos de la parábola \( y = x^2 \) que se encuentran más cercanos al punto de coordenadas \( (0, 1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la distancia euclídea al cuadrado entre un punto genérico de la curva y el punto (0, 1), transformándola en una función de una sola variable para derivarla y encontrar los puntos mínimos.
En una piscina circular de \( R \) metros de radio, una persona se está ahogando en el punto \( A \) situado sobre el radio a una distancia de \( R/2 \) del centro. ¿Qué trayectoria debe seguir un socorrista situado en el punto perimetral \( B \) en el extremo opuesto para rescatarla en el menor tiempo posible, si corre por la orilla a \( 6\text{ m/s} \) y nada a \( 1{, }2\text{ m/s} \)?
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar la ruta en función del ángulo recorrido por el perímetro en tierra antes de arrojarse al agua, formulando la función de tiempo total mediante cinemática y trigonometría, para minimizarla derivando respecto al ángulo.
Se dispone de una longitud total de \( L \) metros de tela metálica para cercar un terreno rectangular aprovechando un muro de piedra en uno de sus lados. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo para que el área cercada sea máxima?
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar las dimensiones del rectángulo mediante la ecuación de la restricción del perímetro vallado, despejar una de las variables para expresar el área en función de una única incógnita y maximizarla mediante la derivada.
Inscribir en una elipse de semiejes \( a \) y \( b \) dada por \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) un rectángulo de la mayor área posible con lados paralelos a los ejes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar el vértice del primer cuadrante del rectángulo usando coordenadas elípticas angulares, escribir el área en función del ángulo y encontrar su valor máximo aplicando trigonometría y derivadas.
Sea \( P(x_0, y_0) \) un punto fijo del primer cuadrante. Hallar la recta que pasa por \( P \) y corta a los semiejes positivos \( OX \) en \( A \) y \( OY \) en \( B \) de modo que la longitud del segmento \( AB \) sea mínima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación segmentaria de la recta, expresar la longitud del segmento AB en función del ángulo de inclinación respecto al eje horizontal y derivar para localizar el ángulo que minimiza dicha hipotenusa.
Sea \( P(x_0, y_0) \) un punto del primer cuadrante. Hallar la recta que pasa por \( P \) y corta a los semiejes positivos en \( A(a, 0) \) y \( B(0, b) \) de modo que la suma \( OA + OB \) sea mínima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la suma a + b bajo la condición de que la recta pasa por el punto P(x0, y0), expresándola en términos de la abscisa a y derivando para encontrar el punto crítico que minimiza dicha suma.
Sea \( P(x_0, y_0) \) un punto del primer cuadrante. Hallar la recta que pasa por \( P \) y corta a los semiejes positivos en \( A(a, 0) \) y \( B(0, b) \) de modo que el producto \( OA \cdot OB \) sea mínimo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la función producto de segmentos interceptados p = a por b, expresarla en función de la coordenada a mediante la pertenencia del punto P a la recta y encontrar el mínimo mediante cálculo diferencial.
Una empresa fabrica recipientes con forma de cilindro circular recto cerrado en su base y coronado en su parte superior por una semiesfera. Si el volumen total requerido es \( V = \frac{5\pi}{3} \), calcular las dimensiones del radio y la altura del cilindro para que el área superficial total sea mínima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las fórmulas del volumen total y del área superficial exterior del cuerpo compuesto, despejar la altura cilíndrica a partir del volumen fijado y minimizar la función de área resultante mediante su primera derivada.
Se tiene un rectángulo de \( 12\text{ cm} \) de perímetro. Sobre cada uno de sus cuatro lados se construyen exteriormente semicircunferencias que tienen dichos lados por diámetro. Hallar la superficie total mínima de la figura obtenida.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar las dimensiones del rectángulo a partir de su perímetro constante, formular el área total sumando el área del rectángulo y la de los cuatro semicírculos adosados, y minimizar la función cuadrática resultante.
Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área entre todos aquellos que tienen perímetro igual a \( 4 \) unidades.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar los lados del triángulo en términos de una sola variable usando la restricción del perímetro, formular el área mediante el teorema de Pitágoras para la altura, y encontrar el valor de los lados que maximiza el área.
Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro total de la ventana es de \( 4\text{ m} \), hallar las dimensiones de la ventana para que deje pasar la máxima cantidad de luz (área máxima).
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la relación perimétrica en función del radio del semicírculo y la altura del rectángulo, construir la función área total y maximizarla mediante cálculo diferencial.
Buscar todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de radio \( 1 \) que tengan dos vértices en los extremos del diámetro y el tercer vértice sobre el arco, de modo que el área del triángulo sea máxima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la fórmula geométrica del área con la base fija coincidente con el diámetro, expresar la altura en términos de la posición angular del tercer vértice y deducir la posición de área máxima.
Se desea construir una lata de conserva con forma de cilindro circular recto con tapas de volumen fijado \( V \). Sabiendo que la soldadura se aplica en las costuras circulares de ambas tapas y en la unión longitudinal del lateral, calcular el radio y la altura del cilindro para que la longitud total de material soldado sea mínima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las costuras soldadas requeridas en la fabricación de la lata cilíndrica, expresar su longitud total en función del radio mediante la restricción del volumen V y encontrar el radio que minimiza la longitud de soldadura.
Dos postes verticales, uno de \( 4\text{ metros} \) de altura y el otro de \( 8\text{ metros} \), están separados por una distancia horizontal de \( 9\text{ metros} \). Se sostienen mediante dos cables conectados a una única estaca fijada en el suelo entre ambos postes y dirigidos a la parte superior de cada uno. ¿A qué distancia del poste de 4 metros debe colocarse la estaca para que la longitud total de cable sea mínima?
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la suma de longitudes de ambos cables mediante el teorema de Pitágoras en función de la posición x de la estaca, derivar la función para hallar el punto crítico y resolver la ecuación resultante.
Un espejo cuadrado de lado \( L \) se rompe por una de sus esquinas desprendiéndose un triángulo rectángulo cuyos catetos miden \( 2 \) y \( 3 \) unidades (con \( L > 3 \) ). Del material remanente se desea cortar un espejo rectangular con sus lados paralelos a los bordes originales del espejo que tenga la mayor superficie posible. Hallar sus dimensiones.
Para resolver este ejercicio empezaremos por situar el corte oblicuo de la esquina en un sistema de ejes coordenados, definir la frontera de la rotura mediante la ecuación de la recta de la hipotenusa y maximizar el área del rectángulo inscrito resultante.
Una empresa fabrica caramelos con forma de cilindro circular recto rematado en un extremo por un cono del mismo radio. Si el radio común es \( R = \sqrt{5} \) y el volumen total fijado es \( V = 20\pi \), calcular las dimensiones (altura del cono y altura del cilindro) para que el área superficial total sea mínima sabiendo que el área lateral del cono es \( \pi R\sqrt{h_c^2 + R^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la condición del volumen total relacionando la altura del cilindro con la del cono, formular el área superficial total exterior en función de la altura del cono y minimizarla mediante derivación.
Se dispone de un triángulo isósceles de perímetro constante igual a \( 30\text{ cm} \). Al girar sobre su altura genera un cono circular recto. Calcular las medidas de los lados del triángulo para que el volumen del cono resultante sea máximo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el radio y la altura del cono en términos de la base y los lados del triángulo isósceles, formular el volumen del cono en función de una única variable usando la restricción del perímetro y maximizarlo mediante derivación.
Se desea construir un depósito abierto en su parte superior con forma de prisma recto de base cuadrada y volumen fijado de \( 50\text{ m}^3 \). Hallar las dimensiones del depósito para que la superficie total de material empleado en su construcción sea mínima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la relación del volumen constante para despejar la altura en términos del lado de la base, formular el área superficial de la base y las cuatro paredes laterales, y minimizar la función mediante su derivada.
5.7 Uso de la monotonía para obtener desigualdades
385.
Demostrar rigurosamente que para todo \( x \in (0, 1] \) se verifica la doble desigualdad \( x - \frac{x^3}{3} < \operatorname{arctg} x < x - \frac{x^3}{6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la doble desigualdad en dos desigualdades independientes, definiendo funciones auxiliares de diferencia, comprobando que valen cero en el origen y estudiando el signo de sus derivadas para certificar su crecimiento estricto en el intervalo dado.
Demostrar que para todo \( x \ge 0 \) se verifica la desigualdad \( e^x \ge 1 + x + \frac{x^2}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir una función diferencia entre la función exponencial y su aproximación polinómica, evaluarla en cero y estudiar el signo de sus derivadas sucesivas para deducir su monotonía creciente.
Demostrar que para todo \( x > -1 \) con \( x \ne 0 \) se verifica la desigualdad estricta \( \frac{x}{1+x} < \log(1+x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la función de diferencia f(x) = log(1+x) - x/(1+x), calcular su derivada en el dominio x > -1 y analizar su signo para x positivo y negativo, demostrando que f(0) = 0 es un mínimo estricto absoluto.
Demostrar que para todo \( x > 0 \) se satisface la doble desigualdad \( x - \frac{x^3}{6} < \operatorname{sen} x < x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la doble desigualdad en dos funciones auxiliares crecientes independientes para x > 0, derivándolas hasta términos conocidos para comprobar su signo estricto.
Demostrar que para todo \( x > 0 \) con \( x \ne e \) se satisface la desigualdad estricta \( \frac{\log x}{x} < \frac{1}{e} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la función f(x) = log(x) / x en todo su dominio (0, +inf), calcular su primera derivada para identificar su punto crítico y demostrar que en x = e se alcanza un máximo absoluto estricto.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = x - \log(1+x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de la función, calcular la primera derivada para identificar los extremos relativos y calcular la segunda derivada para analizar la concavidad y la presencia de puntos de inflexión.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = x^2 e^{1/x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio descartando el punto singular x = 0, calcular la primera derivada para ubicar los extremos y la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 8}{x^2 + 5x - 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador para hallar las asíntotas y el dominio, calcular la primera derivada para determinar los puntos críticos y la segunda derivada para estudiar los puntos de inflexión.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = \frac{x+1}{x(x^2 - 4)^{1/3}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por delimitar el dominio de definición donde el denominador no se anule, calcular la primera derivada mediante la técnica de derivación logarítmica o de cociente y clasificar sus puntos críticos y curvatura.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función polinómica \( f(x) = x^5(x - 1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expandir el polinomio f(x) = x^6 - x^5, calcular su primera derivada para identificar extremos locales y su segunda derivada para determinar los puntos de inflexión exactos.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función trigonométrica \( f(x) = 2\operatorname{sen}(2x) + \operatorname{sen}(4x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por constatar la periodicidad de la función con periodo pi, calcular su primera derivada factorizándola mediante identidades trigonométricas de ángulo doble para hallar los extremos locales, y obtener la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = \operatorname{sen}^4 x - \cos^4 x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar algebraicamente la expresión mediante la identidad de diferencia de cuadrados y el coseno del ángulo doble, reduciendo el problema a una función trigonométrica armónica elemental.
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = x(\operatorname{sen}(\log x) - \cos(\log x)) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por notar que el dominio es el semieje positivo real, calcular la primera derivada por la regla del producto y simplificarla para hallar los extremos locales, y derivar nuevamente para localizar los puntos de inflexión.
Realizar el estudio analítico completo y determinar los elementos para la representación gráfica de la función \( f(x) = \frac{x - 1}{x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio y puntos de corte con los ejes, estudiar el comportamiento asintótico horizontal y vertical mediante límites, y analizar la monotonía y concavidad mediante sus derivadas primera y segunda.
Realizar el estudio analítico completo y determinar las asíntotas y extremos para representar la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por fijar el dominio, calcular las asíntotas vertical y oblicua mediante división de polinomios o límites, hallar los extremos locales mediante la primera derivada y analizar los intervalos de crecimiento.
Realizar el estudio analítico y trazar las características de la gráfica de la función impar \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio y la simetría impar de la función, descomponerla en suma de términos simples para obtener inmediatamente su asíntota oblicua y estudiar su monotonía y curvatura mediante derivadas.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función \( f(x) = \frac{x^3}{(x+1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio, obtener las asíntotas vertical y oblicua, calcular la primera derivada para localizar los extremos locales y la segunda para los puntos de inflexión.
Realizar el estudio analítico y bosquejar la representación gráfica de la función impar racional \( f(x) = \frac{x}{1 - x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por constatar el dominio y la simetría impar de la función, estudiar las asíntotas verticales y horizontales, y analizar el signo de las derivadas para determinar su monotonía y curvatura.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función par \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio y la simetría par respecto al eje vertical, calcular las asíntotas y determinar los extremos locales y la curvatura mediante derivación.
Realizar el estudio analítico completo y representar la función impar racional \( f(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 9} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar el dominio y la simetría impar de la curva, determinar sus asíntotas verticales y oblicuas, y hallar los puntos críticos y la curvatura mediante sus derivadas.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 5x + 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar numerador y denominador para determinar raíces y asíntotas, simplificar la función restando la unidad y analizar los extremos y las regiones de crecimiento.
Realizar el estudio analítico completo y determinar las asíntotas y gráfica de la función irracional \( f(x) = \sqrt{4x^2 - x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el dominio exigiendo la no negatividad del radicando, determinar las asíntotas oblicuas en más y menos infinito mediante límites, y analizar la monotonía mediante la derivada.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función \( f(x) = \frac{1}{\log x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio descartando los puntos donde el logaritmo no existe o se anula, calcular los límites en las fronteras para hallar las asíntotas y determinar la monotonía y concavidad mediante derivadas.
Realizar el estudio analítico completo y determinar las asíntotas y gráfica de la función irracional \( f(x) = \sqrt{\frac{x(x+1)}{x-1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de existencia estudiando el signo del cociente bajo la raíz, calcular la asíntota vertical y la asíntota oblicua, y analizar la monotonía mediante la derivada.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función \( f(x) = \frac{e^x}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio con su discontinuidad en el origen, calcular las asíntotas y determinar el punto de mínimo local y la convexidad mediante derivadas.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función con singularidad esencial \( f(x) = \frac{x}{1 + e^{1/x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio excluyendo x = 0, calcular los límites laterales en el origen que presentan comportamientos marcadamente asimétricos, y determinar las asíntotas oblicuas en ambos infinitos.
Realizar el estudio analítico completo y trazar la gráfica de la función logarítmica \( f(x) = \log\left(\frac{x-1}{2x-1}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio exigiendo la positividad estricta del cociente interior, estudiar las asíntotas verticales en los bordes finitos y la asíntota horizontal en el infinito, y analizar el signo de la derivada.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función trigonométrica inversa \( f(x) = \operatorname{arcsen}\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el argumento del arcoseno permanece acotado entre -1 y 1 para todo x real, estudiar la simetría par y los puntos angulosos de la derivada, y hallar sus valores extremos.
Realizar el estudio analítico completo y determinar las asíntotas y ramas infinitas para representar la gráfica de la función \( f(x) = x^2 e^{1/x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar el comportamiento asintótico en el origen y en los infinitos mediante desarrollos de Taylor de la exponencial para hallar su asíntota oblicua parabólica o lineal, integrando los extremos relativos obtenidos previamente.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función trascendente \( f(x) = x + \log(x^2 + 1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que el dominio es toda la recta real al ser el argumento del logaritmo estrictamente positivo, calcular la primera derivada para estudiar la monotonía y la segunda para los puntos de inflexión.
Realizar el estudio analítico completo y determinar la gráfica de la función periódica \( f(x) = \operatorname{tg}^2 x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el dominio descartando las asíntotas periódicas de la tangente, estudiar la periodicidad pi y la simetría par, y determinar los extremos y la curvatura mediante sus derivadas.
Calcular de forma razonada el perímetro del pentágono de área máxima que puede inscribirse dentro de una circunferencia de longitud \( 4\pi \)
Determinamos el radio de la circunferencia dada y optimizamos la función de área del polígono inscrito para demostrar que el polígono regular alcanza el área máxima y calcular su perímetro.
Considérese la elipse de ecuación cartesiana:
\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \)
En ella se inscribe un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Calcular de forma razonada el área máxima que puede alcanzar dicho rectángulo.
Expresamos el área del rectángulo en función de las coordenadas de su vértice en el primer cuadrante y aplicamos las técnicas de derivación para hallar el punto crítico máximo.
Demostrar de forma analítica que se verifica la siguiente desigualdad:
\( e^x \ge \frac{x}{2} + 1 \)
para todo número real \( x \ge 0 \)
Definimos una función diferencia auxiliar, calculamos su derivada primera para demostrar que es estrictamente creciente y comparamos sus valores con el punto frontera.
Probar de forma analítica la desigualdad:
\( e^x \ge x + 1 \)
para todo número real \( x \in \mathbb{R}\), determinando en qué puntos se alcanza la igualdad.
Construimos una función auxiliar, determinamos sus puntos críticos mediante la primera derivada y probamos su convexidad estricta para identificar su mínimo absoluto global.
Sea el polinomio de cuarto grado definido por:
\( p(x) = x^4 - 7x^3 + 17x^2 - 17x + 6 \)
(
a) Hallar todas sus raíces reales y determinar el conjunto \( A = \{x \in \mathbb{R}: p(x) \le 0\}\)
(
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( p(x) \), así como sus extremos relativos y absolutos.
Factorizamos el polinomio mediante la regla de Ruffini para encontrar sus raíces y el conjunto de negatividad, y estudiamos su primera derivada para deducir la monotonía.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una función derivable. Se conoce que la función derivada \( f'(x) \) es continua y posee las siguientes características:
- Se anula únicamente en \( x = -1 \), \( x = 1 \) y \( x = 3 \)
- Es estrictamente positiva en \((-\infty, -1) \) y en \((1, 3) \), y estrictamente negativa en \((-1, 1) \) y en \((3, +\infty) \)
- Posee un mínimo local en \( x = 0 \) y un máximo local en \( x = 2 \)
Determinar de forma razonada los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \), sus extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y la localización de sus puntos de inflexión.
Aplicamos los teoremas fundamentales del cálculo diferencial que relacionan el signo de la primera derivada con el crecimiento y el signo de la segunda derivada con la concavidad.
Dada la parábola \( f(x) = x^2 \), el punto fijo \( F = (0, 1) \) y un punto móvil sobre la curva \( A = (a, a^2) \) con \( a > 0 \):
(
a) Hallar la ecuación de la recta secante \( r \) que pasa por \( F \) y \( A \), y determinar los puntos de corte de \( r \) con la parábola.
(
b) Calcular el área \( S(a) \) de la región encerrada entre la recta secante \( r \) y la parábola.
(
c) Determinar el valor de \( a > 0 \) que hace mínima dicha área.
Calculamos la ecuación de la recta secante, hallamos sus intersecciones con la parábola, integramos la diferencia para obtener el área y minimizamos la función de área mediante derivadas.
Dada la función racional de variable real:
\( f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2}\)
(
a) Determinar su dominio natural y calcular todas sus asíntotas (verticales y oblicuas).
(
b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y calcular las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión.
Descomponemos la función racional mediante división euclídea para extraer las asíntotas y calculamos la segunda derivada para determinar la curvatura y los puntos de inflexión.
Considerando la desigualdad funcional \(\ln(1+t) \le t \) válida para todo \( t > -1 \):
Calcular de forma analítica los máximos y mínimos absolutos de la función real:
\( f_2(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}, & \text{si } x \neq 0 \\[2mm] 1, & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
en todo su dominio \(\mathbb{R}\)
Utilizamos la acotación funcional teórica para acotar superiormente la función y analizamos su comportamiento en el infinito para clasificar sus extremos absolutos.
Sea el polinomio dependiente del parámetro real \( a \in \mathbb{R} \):
\( p(x) = -3x^4 + 16x^3 - 30x^2 + 24x - a \)
Determinar la cantidad exacta de raíces reales del polinomio \( p(x) \) en función de todos los valores posibles de \( a \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar el parámetro lineal aislando la función polinómica auxiliar. A continuación estudiaremos los extremos relativos y el signo de la derivada mediante el teorema de Rolle y Bolzano para contar exactamente el número de soluciones reales.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una función derivable cuya derivada \( f'(x) \) es continua y verifica que sus únicos puntos de corte con el eje de abscisas son \( x = -1 \), \( x = 1 \) y \( x = 2 \). Se sabe además que:
\( f'(x) > 0 \text{ en } (-\infty, -1) \cup (1, 2) \quad \text{y} \quad f'(x) < 0 \text{ en } (-1, 1) \cup (2, +\infty) \)
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \)
b) Clasificar todos los extremos relativos de \( f \)
c) Razonar si es posible que \( f \) tenga puntos de inflexión.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el signo de la función derivada para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. A continuación utilizaremos la información de monotonía y convexidad para deducir las propiedades cualitativas de la función original.
\( p(x) = x^4 - 7x^3 + 17x^2 - 17x + 6 \)
a) Hallar todas sus raíces reales.
b) Determinar el conjunto \( A = \{x \in \mathbb{R}: p(x) \leq 0\} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por buscar las raíces enteras del polinomio evaluando los divisores del término independiente mediante la regla de Ruffini. A continuación factorizaremos completamente el polinomio y analizaremos la tabla de signos de los factores.
\( e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}, \quad \forall x \geq 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir una función diferencia entre ambos miembros de la desigualdad. A continuación calcularemos sus derivadas sucesivas para probar su signo positivo y aplicar el crecimiento monótono desde el punto base.
Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que tiene su base apoyada sobre el eje \( OX \), sus lados verticales paralelos al eje \( OY \), y sus dos vértices superiores situados sobre la parábola de ecuación:
\( y = 12 - x^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el área del rectángulo en función de la coordenada horizontal x de sus vértices. A continuación derivaremos la función de área resultante e igualaremos a cero para hallar el punto crítico y verificar que es un máximo absoluto.
6.1 Aproximación polinómica local. Polinomios de Taylor
431.
Calcular la derivada n-ésima general y la fórmula de Taylor de orden \( n \) en el punto \( c = 1 \) de la función racional \( f(x) = \frac{1}{a - bx} \), siendo \( a, b \in \mathbb{R} \) constantes con \( a \ne b \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las primeras derivadas sucesivas de la función, inducir la ley general del término n-ésimo evaluado en x y en el centro c = 1, y construir el polinomio de Taylor con su término complementario.
Calcular la derivada n-ésima general y la fórmula de Taylor en el punto \( c = \pi \) de la función trigonométrica \( f(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{3x}{2}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular la derivada de orden arbitrario de la función seno mediante el desfase angular de pi medios, evaluarla en el punto c = pi para determinar los coeficientes pares e impares, y escribir el polinomio de Taylor centrado en pi.
Calcular la derivada n-ésima y el polinomio de Maclaurin de orden \( n \) (Taylor en \( c = 0 \) ) de la función \( f(x) = \log(1 - 2x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las derivadas sucesivas para deducir la ley general del orden n, evaluarlas en el origen c = 0 y construir la fórmula de Maclaurin con su término de resto.
Calcular la derivada n-ésima general y la fórmula de Maclaurin en el punto \( c = 0 \) de la función trigonométrica \( f(x) = \cos^2 x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por linealizar la potencia del coseno mediante la identidad del ángulo doble, reduciendo la función a un coseno simple para derivarla n veces y construir su desarrollo de Taylor en el origen.
Calcular la derivada n-ésima y la fórmula de Maclaurin en \( c = 0 \) de la función \( f(x) = \operatorname{sen}^2(2x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula del ángulo doble para linealizar el cuadrado del seno, derivar n veces el coseno armónico resultante y escribir el desarrollo polinómico de Maclaurin.
Calcular la derivada n-ésima general y la fórmula de Taylor en el punto \( c = -1 \) de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2} \), siendo \( a > 0 \) con \( a \ne 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la fracción racional en fracciones simples, derivar cada término simple n veces mediante la fórmula de potencias y construir el desarrollo de Taylor centrado en c = - 1.
Calcular la derivada n-ésima general y la fórmula de Taylor de orden \( n \) en el punto \( c = 3 \) de la función irracional \( f(x) = \sqrt{1 + x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como exponente un medio, calcular las derivadas sucesivas para deducir la ley del producto de números impares y factoriales, evaluarlas en el punto c = 3 y formular el polinomio de Taylor.
Calcular la derivada n-ésima general y la fórmula de Maclaurin en \( c = 0 \) de la función impar racional \( f(x) = \frac{x}{a^2 - b^2 x^2} \), con \( a, b > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la función en fracciones simples o utilizar la serie geométrica para derivar el término general y obtener los coeficientes de Taylor en el origen.
Mediante la regla de Leibniz, hallar la derivada n-ésima de la función \( y(x) = (x^2 + 1)e^{2x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos factores del producto, calcular sus derivadas sucesivas notando que las derivadas del polinomio se anulan a partir del orden 3, y aplicar la fórmula del binomio de Leibniz.
Mediante la regla de Leibniz, hallar la derivada n-ésima general de la función \( y(x) = \operatorname{sen} x - x\cos x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada primera para simplificar la función, o aplicar la regla de Leibniz directamente sobre el producto x por coseno de x restándolo de la derivada n-ésima del seno.
Mediante la regla de Leibniz, hallar la derivada n-ésima de la función polinómica \( y(x) = x^2(1 + x)^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir los dos factores polinómicos, aplicar la regla de Leibniz truncada en el orden 2 del factor cuadrático y simplificar los coeficientes combinatorios resultantes.
Mediante la regla de Leibniz, hallar la derivada n-ésima general de la función \( y(x) = \frac{1}{x - 1} + x^2\operatorname{sen} x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada n-ésima del término racional simple y aplicar la regla de Leibniz para el producto de x al cuadrado por la función seno, sumando ambos resultados.
Calcular el orden y la parte principal respecto al infinitésimo patrón \( x \) cuando \( x \to 0 \) de la función \( f(x) = x - \operatorname{sen} x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la función seno mediante su fórmula de Maclaurin en potencias de x, identificar el primer término no nulo del desarrollo de la diferencia y deducir su orden de infinitud y su parte principal.
Calcular el orden y la parte principal respecto al infinitésimo patrón \( x \) cuando \( x \to 0 \) del infinitésimo \( f(x) = 1 - \cos x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar el desarrollo de Taylor del coseno en torno a cero, calcular la diferencia respecto a 1 y obtener la potencia y coeficiente de la parte principal.
Determinar el orden de infinitud y la parte principal cuando \( x \to 0 \) de la función \( f(x) = \operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por emplear los desarrollos de Maclaurin de la tangente y del seno hasta orden 3, restar ambas expresiones y determinar el orden y coeficiente principal.
Calcular el orden y la parte principal respecto al infinitésimo patrón \( x \) cuando \( x \to 0^+ \) de la función \( f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{\operatorname{sen} x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por la expresión conjugada de la diferencia de raíces cuadradas, sustituir el numerador por su desarrollo conocido y simplificar las potencias resultantes.
Calcular el orden y la parte principal respecto a \( x \) cuando \( x \to 0 \) del infinitésimo \( f(x) = \cosh x - 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin de la función coseno hiperbólico a partir de la definición de exponenciales reales y deducir su orden de contacto con el eje horizontal.
Calcular el orden y la parte principal respecto a \( x \) cuando \( x \to 0 \) del infinitésimo \( f(x) = \operatorname{arcsen} x - x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener el desarrollo de Maclaurin de la función arcoseno integrando la serie binomial de su derivada, calculando la diferencia con x para aislar el término principal.
Calcular el orden y la parte principal respecto a \( x \) cuando \( x \to 0 \) de la función \( f(x) = \log(x + \sqrt{1 - x^2}) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la raíz cuadrada por la fórmula binomial, introducir su resultado en el desarrollo del logaritmo neperiano de uno más u, e identificar la menor potencia no nula de x.
Calcular el orden y la parte principal respecto a \( x \) cuando \( x \to 0 \) del infinitésimo \( f(x) = \operatorname{tg} x - x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin de la función tangente hasta grado 3, restar la variable independiente x y obtener la potencia y constante de la parte principal.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, la igualdad de límites \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación 0/0 producida por la raíz común x = 1 en ambos polinomios cúbicos, aplicar la regla de Ruffini para factorizar el binomio (x - 1) y simplificar la fracción algebraica.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir la fracción por el binomio conjugado del numerador para eliminar la raíz cuadrada, cancelando la variable x que produce la indeterminación cero entre cero.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, la igualdad de límites \( \lim_{x \to a} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}}{x - a} = \frac{1}{n\sqrt[n]{a^{n-1}}} \), para \( a > 0 \) y \( n \in \mathbb{N} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable algebraico que transforme las raíces n-ésimas en potencias enteras para utilizar la identidad algebraica de la suma geométrica finita.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, la igualdad \( \lim_{x \to 1} \frac{x - (n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(1 - x)^2} = \frac{n(n+1)}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador mediante la suma geométrica finita y sus derivadas o mediante reordenación de términos telescopeantes, factorizando (1 - x)^2 del numerador.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, que para constantes positivas \( a, b, c, d > 0 \) con \( c \ne d \) se verifica \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{c^x - d^x} = \frac{\log a - \log b}{\log c - \log d} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por restar y sumar la unidad en numerador y denominador, dividir ambos por el infinitésimo x y aplicar el límite notable fundamental de la función exponencial.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, la igualdad de límites \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \operatorname{sen} x - 1}{\log(1+x)} = 2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar los términos en el numerador para reconocer límites notables elementales, dividiendo numerador y denominador entre x.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, la igualdad \( \lim_{x \to 0} \frac{\pi}{x \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)} = \frac{\pi^2}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar la cotangente en tangente en el numerador, aplicando el límite trigonométrico notable de la tangente en el origen.
Demostrar, sin aplicar la regla de L'Hôpital, la igualdad \( \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{a^{1/x} + b^{1/x} + c^{1/x}}{3} \right)^x = \sqrt[3]{abc} \), para constantes positivas \( a, b, c > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación uno elevado a infinito, transformar la base mediante la fórmula del número e y utilizar el límite notable exponencial.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo 1 elevado a infinito, aplicar la transformación exponencial con el número e y calcular el límite del exponente mediante un cambio de variable y trigonometría.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito elevado a cero, tomar logaritmos neperianos para transformar la potencia en un producto cero por infinito y aplicar infinitésimos equivalentes.
Calcular el límite \( \lim_{x \to 0} \left( \operatorname{cotg} x - \frac{1}{x} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la cotangente como cociente de coseno entre seno, reducir a común denominador y aplicar desarrollos de Taylor de orden 3 en el numerador y denominador.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador, emplear los desarrollos de Taylor de orden 2 para ambas funciones logarítmicas en el origen y simplificar los términos dominantes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación uno elevado a infinito, aplicar la regla del número e transformando el exponente en un cociente algebraico inmediato y evaluar el resultado.
Determinar los límites laterales y la existencia del límite \( \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{1 - \cos x}} \operatorname{sen} x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento del exponente cuando x tiende a cero, observar que diverge a más infinito y estudiar el signo del seno en los límites laterales por la izquierda y por la derecha.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la equivalencia infinitesimal del seno en el numerador y descomponer el logaritmo de coseno en el denominador mediante equivalencias notables en torno a cero.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir a común denominador, emplear el desarrollo de Taylor de orden 2 de la función exponencial y calcular el valor del límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir la resta a común denominador, aplicar los desarrollos de Maclaurin de orden 3 para las funciones hiperbólicas y calcular el límite simplificando potencias.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo cero elevado a cero, tomar logaritmos neperianos para linealizar el exponente y aplicar infinitésimos equivalentes.
Calcular el límite lateral \( \lim_{x \to 0^+} x^n \log x \) para cualquier constante \( n > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable exponencial que transforme la indeterminación cero por infinito en un cociente de órdenes de infinitud en el infinito.
Para resolver este ejercicio empezaremos por trasladar el punto de límite al origen mediante el cambio de variable t = x - 1, reducir a común denominador y aplicar el desarrollo de Taylor del logaritmo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar ambas razones trigonométricas en sus expresiones en términos de seno y coseno, simplificando el factor que produce la indeterminación infinito entre infinito.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la función exponencial mediante la fórmula de Taylor de orden 3 en el origen, agrupar los términos semejantes del numerador y simplificar con el denominador cúbico.
Calcular utilizando desarrollos limitados de Taylor en el origen el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{3\operatorname{sen}(ax) - 3ax - a^3 x^3}{6bx - 6\operatorname{sen}(bx) + b^3 x^3} \), con \( b \ne 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la función seno hasta orden 3 para ambos argumentos ax y bx, sustituir en numerador y denominador para cancelar los términos lineales y calcular el cociente de los términos cúbicos dominantes.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor el límite \( \lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \log x}{1 - \sqrt{2x - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por centrar el límite en el origen mediante el cambio de variable t = x - 1, desarrollar el logaritmo y el radical hasta orden cuadrático y simplificar el cociente.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor el límite en el infinito \( \lim_{x \to +\infty} \left[ 1 - x(1 + x)\log\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right] \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable t = 1/x para trasladar el límite al origen, desarrollar el logaritmo hasta orden 3 en t y simplificar los términos algebraicos.
Calcular utilizando desarrollos limitados de Taylor en el origen el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x - \operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} x - \operatorname{arcsen} x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por emplear los desarrollos de Maclaurin hasta orden 3 de las cuatro funciones elementales involucradas, cancelar los términos lineales y calcular el cociente de coeficientes de orden 3.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \sqrt{1 - x}}{\operatorname{sen} x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el coseno, la raíz cuadrada y el seno hasta orden lineal y cuadrático en torno al origen para calcular el valor del límite.
Calcular mediante desarrollos de Taylor el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{(\operatorname{sen}(3x) - 3\operatorname{sen} x)^2}{(\cos(2x) - \cos x)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el desarrollo de Taylor del interior del numerador hasta orden 3 para elevarlo al cuadrado, y del interior del denominador hasta orden 2 para elevarlo al cubo.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{(\log(1+x) - (e^x - 1))^3}{(\sinh x - \operatorname{tg} x)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el interior del numerador hasta orden 2 elevándolo al cubo, y el interior del denominador hasta orden 3 elevándolo al cuadrado para igualar las potencias de orden 6.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor el límite \( \lim_{x \to 0} (1 + x^2)^{\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación del tipo uno elevado a infinito y transformar la función mediante el número e, utilizando la equivalencia infinitesimal del seno.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor en el origen el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 e^x - \log(1 + x^2)}{x^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la exponencial y el logaritmo hasta el orden suficiente para alcanzar potencias de grado 3 en el numerador, cancelando los términos de grado inferior.
Calcular mediante desarrollos de Taylor en el origen el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{arctg} x}{\log(x^2 + 1) - \log(x^2 + x + 1)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el numerador hasta orden cúbico usando los desarrollos de la tangente y del arcotangente, y el denominador mediante el desarrollo del logaritmo hasta el orden lineal dominante.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor en el origen el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{(\operatorname{sen}(2x) - 2\sinh x)^2}{(\sqrt[3]{1 + x^2} - 1)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el interior del numerador hasta orden 3 para elevarlo al cuadrado, y la raíz cúbica del denominador hasta orden 2 para elevarla al cubo, igualando ambos a potencias de orden 6.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor el límite \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x\operatorname{sen} x} - \frac{1}{x^2} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir a común denominador, emplear el desarrollo de Taylor del seno hasta orden 3 en el numerador y calcular el límite simplificando con el denominador de orden 4.
Calcular utilizando desarrollos limitados de Taylor el límite \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{\operatorname{sen} x} \right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir a común denominador, emplear los desarrollos de Maclaurin de orden 2 del seno y del logaritmo neperiano, y calcular el límite del cociente cuadrático resultante.
Calcular utilizando desarrollos de Taylor en el origen el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)\log(1+x) - x}{e^x - x - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el logaritmo y la exponencial hasta orden cuadrático en el origen, agrupar los términos de grado 2 y calcular el límite simplificando con el denominador.
Obtener una cota rigurosa del error que se comete al aproximar la función seno mediante su polinomio de Taylor de grado 2 centrado en \( \frac{\pi}{4} \), dado por \( \operatorname{sen} x \simeq \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)^2 \), cuando \( x \) recorre el intervalo \( \left(\frac{4\pi}{18}, \frac{5\pi}{18}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula del resto de Lagrange de orden 2, calcular la derivada tercera de la función seno, acotar la derivada en el intervalo dado y evaluar la máxima distancia al centro pi/ 4.
Demostrar que si \( |x| \le \frac{1}{10} \), el error cometido al sustituir la función \( \cos^2(3x) \) por su aproximación polinómica \( 1 - 9x^2 + 27x^4 \) es estrictamente menor que \( 4 \times 10^{-5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por linealizar la función mediante el ángulo doble, formular el desarrollo de Taylor con el resto de Lagrange de orden 5 o 6, y acotar el módulo del resto para |x| <= 0, 1.
Calcular una aproximación numérica del valor de \( \sqrt{e} = e^{1/2} \) garantizando un error absoluto estrictamente menor que \( 10^{-6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el desarrollo de Maclaurin de la función exponencial e^x en el punto x = 1/2, acotar el resto de Lagrange para determinar el número mínimo n de términos necesarios y calcular la suma parcial.
Calcular una aproximación del valor de \( \log(1{, }03) \) garantizando un error absoluto menor que \( 10^{-6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la serie alternada de Maclaurin de la función log(1+
x) evaluada en x = 0, 03, acotar el error mediante el criterio de Leibniz para series alternadas y calcular la suma parcial requerida.
Utilizar la identidad trigonométrica de Machin \( \frac{\pi}{4} = 4\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{5}\right) - \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{239}\right) \) y los desarrollos de Taylor del arcotangente para obtener una aproximación numérica del número \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el desarrollo de Maclaurin de la función arcotangente, sustituir los argumentos 1/5 y 1/239 calculando sus sumas parciales y despejar la aproximación de pi multiplicando por 4.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \left(\frac{n! }{3 \cdot 5 \cdots (2n+1)}\right)^2 x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general de la serie de potencias, aplicar la fórmula de D'Alembert para radios de convergencia mediante el cociente de términos consecutivos simplificando los factoriales y productos de números impares, y calcular el límite resultante.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = n! \left(\frac{x}{n}\right)^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el término general agrupando los coeficientes independientes de x, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert simplificando los factoriales y utilizar el límite fundamental que define el número e.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{3^n}{n \cdot 4^n} x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente numérico de la serie, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert separando las partes exponenciales de las racionales algebraicas y calcular el límite correspondiente.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{\log n}{n} x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el coeficiente de la serie de potencias, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert separando el cociente polinómico y el cociente de logaritmos, y resolver el límite resultante.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \binom{2n}{n} x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el número combinatorio en su forma factorial explícita, plantear el cociente de términos consecutivos según el criterio de D'Alembert, simplificar los factores factoriales y calcular el límite correspondiente.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{2^n}{n^2} x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente de la serie, aplicar el criterio de D'Alembert para series de potencias dividiendo coeficientes consecutivos, simplificar las potencias y polinomios y evaluar el límite.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{(-1)^n}{n^2 \cdot 4^n} x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por tomar el valor absoluto del coeficiente eliminando el factor alternado (-1)^n, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert simplificando las potencias de base 4 y los términos cuadráticos, y calcular el límite resultante.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{x^n}{\sqrt{n}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente general, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert introduciendo la división bajo un único radical y evaluar el límite resultante.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = n! x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el coeficiente factorial, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert simplificando la división entre factoriales consecutivos y deducir el radio de convergencia resultante.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{2^n}{n! } x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente general, aplicar la fórmula de D'Alembert para el radio de convergencia simplificando potencias y factoriales, y evaluar el comportamiento al infinito.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \sqrt{n} x^n \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar el coeficiente radical, aplicar el criterio del cociente de D'Alembert unificando la raíz cuadrada y calcular el límite de la función racional resultante.
Determinar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyo término general es \( a_n x^n = \frac{x^n}{n \cdot 2^n} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el término general numérico, plantear el cociente de D'Alembert simplificando las potencias de base 2 y los términos polinómicos en n, y evaluar el límite final.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{2x^2 - 3}{(x - 1)^2} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el denominador como (1 - x)^2, expresar el inverso cuadrático como la derivada de la serie geométrica y multiplicar por el polinomio del numerador para obtener el término general y el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \log(a + x) \) con \( a > 0 \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el factor común constante a dentro del argumento logarítmico para transformarlo en log(1 + x/a), aplicar la serie de Maclaurin conocida de log(1 + u) y deducir el radio y el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \sqrt[3]{8 + x} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer 8 como factor común de la raíz para obtener la forma 2*(1 + x/8)^(1/3), aplicar la serie binomial generalizada de Newton con exponente alfa = 1/3 y determinar el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \cos^2 x \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por linealizar la función mediante la identidad trigonométrica del ángulo doble, sustituir el desarrollo en serie de potencias de Maclaurin de la función coseno y reagrupar los coeficientes.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{4x}{1 + x^2} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la fracción como el producto de 4x por una serie geométrica de razón -x^2, expandir la serie y multiplicar el término monomial.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{1 + x}{(1 - x^2)^2} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la base del denominador para simplificar el factor (1 +
x) del numerador, o expandir (1 - x^2)^(-2) como serie de potencias en potencias pares de x y distribuir el numerador (1 + x).
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división polinómica para separar la parte entera, reescribir la fracción restante en función de la serie geométrica y determinar el intervalo de validez.
Desarrollar en serie de potencias de x la función polinómica \( f(x) = x^2 + x - 1 \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la estructura algebraica del polinomio y justificar por qué toda función polinómica ya está expresada de forma finita en serie de potencias centrada en el origen, deduciendo su radio de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \operatorname{arcsen} x \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función arcoseno, expandirla mediante la serie binomial con exponente -1/2 en potencias de x^2, e integrar término a término utilizando la condición f(0) = 0.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{x}{9 + x^2} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer 9 como factor común del denominador para conseguir la estructura 1/(1 + u), aplicar la serie geométrica alternada multiplicada por x/9 y determinar el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \log\frac{1 + x}{1 - x} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el logaritmo del cociente en la resta log(1 + x) - log(1 - x), sustituir las series de Maclaurin de ambos logaritmos y comprobar que los términos de grado par se anulan mutuamente.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la serie binomial generalizada con exponente 1/2 a la variable u = x^2, desarrollar los coeficientes binomiales y determinar el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x}} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar (1 - x)^(-1/2) mediante la serie binomial de Newton, multiplicar término a término por el monomio x y determinar el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \log(1 - 2x) \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la serie de Maclaurin conocida de log(1 - u), sustituir u = 2x, obtener el término general de la serie de potencias y estudiar el radio y el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por (1 -
x) para obtener una diferencia de cubos en el denominador, aplicar la serie geométrica en potencias de x^3 y distribuir el numerador.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{1}{x - 1} + x^2 \operatorname{sen} x \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar cada sumando por separado (la fracción racional mediante la serie geométrica y la parte trigonométrica multiplicando el desarrollo del seno por x^2), sumar término a término e intersecar sus intervalos de validez.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{x}{x + 1} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fracción como el producto de x por la serie geométrica alternada de 1/(1 + x), multiplicar término a término y determinar el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \arctan x \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la derivada de la arcotangente, expandirla mediante la serie geométrica alternada en potencias de x^2, integrar término a término e identificar el intervalo de validez incluyendo los extremos.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{1}{4 - x^4} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer 4 como factor común del denominador, aplicar la serie geométrica en potencias de x^4/4 y determinar el radio y el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función, observar que se simplifica a (1 + x^2)^(-1/2), expandirla mediante la serie binomial con potencias de x^2 e integrar término a término.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = (1 + x)e^{-x} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la serie de Maclaurin de la exponencial e^(-x), multiplicar por el binomio (1 +
x) reagrupando potencias semejantes de x y determinar su radio de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \frac{1}{1 + 2x} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la función como una serie geométrica de razón -2x, expandir la potencia n-ésima de la razón y determinar el radio y el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \sqrt{1 + x^3} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como potencia con exponente 1/2, aplicar la serie binomial generalizada de Newton a la variable u = x^3 y determinar el intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - x \cos x \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir los desarrollos de Maclaurin de las funciones seno y coseno, multiplicar el coseno por x, restar los términos correspondientes agrupando potencias impares idénticas y deducir el radio de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función integral \( f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar la función exponencial integrando mediante su serie de Maclaurin, integrar término a término respecto a la variable t y evaluar los límites de integración de 0 a x.
Desarrollar en serie de potencias de x la función sinc \( f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{x} \) (extendida con \( f(0) = 1 \) ), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la serie de Maclaurin de la función seno, dividir cada término entre x para rebajar el grado de las potencias impares y comprobar el radio de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de x la función \( f(x) = (x^2 + 1)e^{2x} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el desarrollo de Maclaurin de e^(2x), multiplicar por (x^2 + 1) separando las sumas correspondientes a x^2*e^(2x) y e^(2x), y reagrupar los coeficientes para obtener el término general.
Desarrollar en serie de potencias de (x - 1) la función \( f(x) = (a + bx)^{-1} \) con \( a + b \ne 0 \) y \( b \ne 0 \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x - 1 para centrar la expresión en el punto x0 = 1, normalizar el binomio para aplicar la serie geométrica y determinar el radio e intervalo de convergencia.
Desarrollar en serie de potencias de (x - 3) la función \( f(x) = \sqrt{1 + x} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x - 3, transformar el radicando en la forma 4 + u = 4*(1 + u/4), aplicar la serie binomial generalizada de Newton con exponente 1/2 y determinar el intervalo de validez.
Desarrollar en serie de potencias de (x - pi) la función \( f(x) = \operatorname{sen}\frac{3x}{2} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x - pi, aplicar identidades trigonométricas de desfase de ángulos para transformar el seno en coseno y sustituir el desarrollo en serie de potencias de la función coseno.
Desarrollar en serie de potencias de (x - 2) la función \( f(x) = \log 2x - \frac{1}{x - 1} \), indicando el intervalo en el que es válido el desarrollo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable u = x - 2, desarrollar por separado el término logarítmico y la fracción racional mediante sus respectivas series centradas en el origen respecto de u, sumar los coeficientes e intersecar los dominios de convergencia.
Probar utilizando derivación que para todo \( |x| < 1 \) se verifica la igualdad \( \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{4n-1}}{4n-1} = \frac{1}{4}\log\frac{1+x}{1-x} - \frac{1}{2}\arctan x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la suma de la serie como una función S(x), derivar término a término dentro del intervalo de convergencia para obtener una suma geométrica de potencias cuartas, descomponer la función racional resultante en fracciones simples e integrar entre 0 y x.
Desarrollar en serie de potencias de x indicando su radio de convergencia y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0) para la función \( f(x) = -\frac{1}{2}x\sqrt{1 - x^2} + \frac{\operatorname{arcsen} x}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primera derivada de la función simplificándola a x^2/sqrt(1 - x^2), expandir mediante la serie binomial, integrar para obtener el desarrollo de f(
x) e identificar las derivadas de órdenes 1000 y 1001 a través de la relación de Taylor f^(m)(0) = m! * a_m.
Desarrollar en serie de potencias de x indicando su radio de convergencia y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0) para la función \( f(x) = \frac{\arctan x}{2} + \frac{1}{4}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función, simplificarla a 1/(1 - x^4), expandir como serie geométrica de potencias cuartas, integrar para obtener f(
x) y calcular los coeficientes de Taylor en órdenes 1000 y1001.
Desarrollar en serie de potencias de x indicando su radio de convergencia y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0) para la función \( f(x) = -\frac{1}{3}\sqrt{1-x^2}(2+x^2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de f(
x) simplificándola a x^3/sqrt(1 - x^2), desarrollar mediante serie binomial en potencias pares de x, integrar e identificar las derivadas de órdenes 1000 y1001.
Desarrollar en serie de potencias de x indicando su radio de convergencia y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0) para la función \( f(x) = \operatorname{arcsen}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la función reconociendo la identidad trigonométrica que la reduce exactamente a arctan(x), escribir su desarrollo de Maclaurin y calcular directamente las derivadas de orden 1000 y1001.
Desarrollar en serie de potencias de x indicando su radio de convergencia y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0) para la función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{3}\log(1+x) - \frac{1}{6}\log(x^2 - x + 1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de f(x), comprobar que se simplifica maravillosamente a 1/(1 + x^3), expandirla como serie geométrica de potencias cúbicas, integrar término a término y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0).
Desarrollar en serie de potencias de x indicando su radio de convergencia y calcular f^(1000)(0) y f^(1001)(0) para la función \( f(x) = \arctan\left(\frac{x+1}{1-x}\right) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de f(
x) y observar que coincide exactamente con 1/(1 + x^2), deducir que la función es pi/4 + arctan(x), escribir su desarrollo en serie de potencias y calcular las derivadas de órdenes 1000 y1001.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+2}{n! } x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador lineal en una suma que simplifique el factorial del denominador, identificar las series resultantes con la serie exponencial y calcular la función suma y su conjunto de convergencia.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{5n^2+4n+1}{5^n} x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la variable u = x/5, expresar la serie en función de las series geométricas estándar de potencias de u, u*n y u*n^2, sumar las expresiones algebraicas racionales y restituir la variable x.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3n+1}{3^n} x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por introducir la variable u = x/3, descomponer la serie en sus componentes aritmético-geométrica y geométrica pura, operar las expresiones racionales y devolver la función en términos de x.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+n+1}{2^n} x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir u = x/2, aplicar las fórmulas de sumación de series geométricas para los órdenes 0, 1 y 2, reducir la fracción resultante a su mínima expresión y sustituir u por x/ 2.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3n^2+2n+1}{n! } x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el polinomio cuadrático del numerador en base de polinomios factoriales descendentes n(n-1) y n, simplificar los factoriales del denominador para identificar las series exponenciales y sumar los términos.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+7n-2}{n! } x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el numerador como n(n - 1) + 8n - 2, descomponer la serie en tres componentes exponenciales simplificando los factoriales del denominador y sumar la expresión resultante.
Hallar la suma de la serie de potencias \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+2n+3}{n! } x^n \), indicando el conjunto de valores de x en los que converge.
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir n^2 + 2n + 3 como n(n - 1) + 3n + 3, simplificar los factoriales del denominador para reducirlos a sumas exponenciales y calcular la función suma y su dominio.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{x}{6e^{4x}} - \frac{1}{24e^{4x}}\)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de \( x \), indicando de forma justificada su radio de convergencia.
(
b) Calcular el valor exacto de la derivada de orden 2025 en el origen, \( f^{(2025)}(0) \)
Expresamos la función como producto de un polinomio por la serie exponencial de Maclaurin para agrupar las potencias y extraer la derivada de orden superior mediante el coeficiente de Taylor.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = -3\ln(2 - x^2) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias centrada en el origen, indicando su radio de convergencia.
(
b) Calcular el valor de la derivada de orden 2024 evaluada en el origen, \( f^{(2024)}(0) \)
Factorizamos la constante dentro del argumento del logaritmo para aplicar la serie de Maclaurin estándar y deducir la derivada de orden superior mediante el coeficiente correspondiente.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{2x}{3} - \frac{2}{9}\ln(3x+1) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de \( x \), determinando su radio de convergencia.
(
b) Calcular razonadamente el valor de \( f^{(201)}(0) \) y \( f^{(202)}(0) \)
Desarrollamos el término logarítmico en serie de Maclaurin para cancelar el término lineal y deducir las derivadas de orden superior mediante la fórmula de Taylor.
Calcular la suma en forma cerrada de la serie de potencias:
\( S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n^2 - 1}{n! } x^n \)
determinando de forma justificada su radio de convergencia.
Descomponemos el polinomio del numerador en factoriales descendentes para simplificar los denominadores y expresar la suma mediante la función exponencial y sus derivadas.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \ln(9 + x^2) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de \( x \), determinando su intervalo de convergencia.
(
b) Calcular el valor exacto de la derivada de orden 2022 en el origen, \( f^{(2022)}(0) \)
Factorizamos la constante 9 dentro del argumento para expresar la función mediante la serie geométrica integrada y obtener la derivada mediante el término correspondiente.
Hallar en forma cerrada la suma de la serie de potencias:
\( S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 + 2n - 1}{2^n} x^n \)
indicando de forma justificada su radio de convergencia.
Definimos la variable auxiliar u = x/2 para calcular la suma derivando sucesivamente la serie geométrica fundamental y agrupando los términos racionales.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{1}{4}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{1}{2}\arctan x \)
Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de Maclaurin centrada en el origen e indicar su radio de convergencia.
Desarrollamos los términos logarítmico y trigonométrico inverso por separado en series de potencias impares y cancelamos los términos alternantes para obtener la serie resultante.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{x}{\sqrt{9 + x^2}}\)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias de Maclaurin indicando su radio de convergencia.
(
b) Calcular razonadamente el valor de la derivada \( f^{(2023)}(0) \)
Aplicamos el teorema del binomio de Newton para exponente fraccionario menos un medio y multiplicamos por el factor x para obtener la serie y su derivada de orden2023.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \arctan\left(\frac{x+1}{1-x}\right) \)
(
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias centrada en el origen, indicando de forma justificada su radio de convergencia.
(
b) Calcular el valor de la derivada de orden 2019 en el origen, \( f^{(2019)}(0) \)
Derivamos la función para demostrar que coincide con la derivada del arco tangente ordinario, integramos la serie geométrica y calculamos la derivada pedida.
Dada la función racional elemental:
\( f(x) = \frac{1}{1 + 2x}\)
(
a) Hallar el desarrollo en serie de potencias de \((x - 1) \) de la función \( f(x) \)
(
b) Determinar el intervalo de convergencia del desarrollo obtenido.
(
c) Deducir el valor exacto de la derivada de orden mil evaluada en uno, \( f^{(1000)}(1) \)
Efectuamos un cambio de variable para centrar el desarrollo en el punto x = 1, aplicamos la serie geométrica y deducimos la derivada de orden mil.
Dadas las siguientes cuestiones sobre funciones y desarrollos en serie de potencias:
a) Desarrollar la función \( f(x) = \sqrt{2 + x} \) en serie de potencias centrada en \( (x - 3) \), determinando de forma justificada su intervalo de validez y radio de convergencia.
b) Utilizar el teorema de Taylor para aproximar, mediante un polinomio de grado 4, el valor de \( \sqrt[3]{e} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la función en términos de la variable desplazada x menos a. A continuación utilizaremos el desarrollo en serie geométrica o de Taylor conocido para obtener la serie de potencias centrada en el punto deseado y su radio de convergencia.
\( f(x) = -3 \log(2 - x^2) \)
a) Desarrollar \( f(x) \) en serie de potencias centrada en el origen, indicando su radio de convergencia.
b) Calcular el valor exacto de la derivada de orden 2024 en el origen: \( f^{(2024)}(0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la función logarítmica en suma de logaritmos canónicos. A continuación desarrollaremos en serie de potencias e identificaremos el coeficiente general con la fórmula de Taylor para deducir el valor exacto de la derivada n-ésima.
\( S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n^2 - 1}{n! } x^n \)
a) Determinar su radio de convergencia.
b) Calcular su función suma explícita en términos de funciones elementales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el radio de convergencia de la serie entera. A continuación relacionaremos la serie con la derivada o primitiva de una función elemental conocida para obtener la expresión analítica de su suma exacta.
Calcular las primitivas de la función polinómica \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 5 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la propiedad de linealidad de la integral indefinida, integrar cada monomio utilizando la regla de la potencia y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^4 + 3x^3 - 2x^2 - x + 3}{x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir cada término del numerador entre el denominador monómico x^2 para convertir la fracción en una suma de potencias simples y un término logarítmico, e integrar término a término.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir los radicales como potencias con exponentes racionales, aplicar la regla de integración de potencias a cada sumando y expresar el resultado final en forma de radicales simplificados.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} + \frac{3}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar la integral en dos sumandos, normalizar el primer término a la forma de la derivada del arcoseno, normalizar el segundo a la forma de la derivada de la arcotangente y sumar ambos resultados.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz en el numerador con exponente negativo, observar que la derivada de x^2 + 4 es 2x e integrar directamente ajustando la constante numérica.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{5x + 3}{\sqrt{4 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador lineal en dos fracciones independientes, resolver la primera como una potencia compuesta ajustando la derivada del radicando y la segunda como una inmediata tipo arcoseno.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \operatorname{sen}^2 x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por linealizar la potencia par del seno utilizando la identidad trigonométrica del ángulo doble cos(2x) = 1 - 2sen^2(x), e integrar los términos resultantes de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \operatorname{tg}^2 x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar y restar 1 para expresar la tangente al cuadrado en términos de 1 + tg^2(x), reconocer que 1 + tg^2(
x) es la derivada directa de la tangente e integrar de forma inmediata.
Calcular las primitivas de la función hiperbólica \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la función como la semisuma de exponenciales opuestas (el coseno hiperbólico), integrar término a término cada función exponencial y expresar la primitiva en función de exponenciales y de la función seno hiperbólico.
Calcular las primitivas de la función racional simple \( f(x) = \frac{2}{x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer la constante numérica del numerador y reconocer la derivada del denominador para aplicar la regla de integración logarítmica.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x - 2)^3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la base del binomio x - 2 tiene derivada igual a 1, aplicar directamente la regla de la potencia compuesta y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función exponencial mixta \( f(x) = 2^x + \frac{1}{e^x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir 1/e^x como e^(-x), aplicar la fórmula de integración para bases generales a^x y la regla exponencial para base e, y sumar los resultados.
Calcular las primitivas de la función radical \( f(x) = \sqrt{x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz cuadrada como potencia fraccionaria (x + 2)^(1/2), aplicar la regla de la potencia y simplificar el coeficiente fraccionario.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{(x - 2)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la fracción como la potencia entera negativa (x - 2)^(-3), aplicar la regla general de integración de potencias y reescribir la solución en forma de fracción algebraica.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir cada término del numerador entre la raíz cuadrada de x, expresar cada cociente como potencia fraccionaria e integrar cada sumando de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 + 4x + 3}{x^3 + 2x^2 + 3x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del polinomio del denominador, verificar que coincide exactamente con el polinomio del numerador y aplicar de forma directa la fórmula del logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que el factor x del numerador es proporcional a la derivada del radicando -2x, ajustar la constante numérica y aplicar la regla de integración de potencias compuestas.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por normalizar el radicando extrayendo 4 como factor común para obtener la estructura estándar de la derivada del arcoseno y deducir la primitiva de forma inmediata.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la derivada del denominador x^2 + 4 es 2x, multiplicar y dividir por 2 para completar la derivada e integrar mediante el logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por normalizar el denominador extrayendo 4 como factor común para obtener la estructura 1/(1 + u^2) y aplicar la derivada de la función arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x + 2}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador lineal en una componente proporcional a la derivada del denominador 2x y otra componente constante, integrando la primera mediante un logaritmo y la segunda mediante una arcotangente.
Calcular las primitivas de la combinación trigonométrica \( f(x) = \operatorname{sen} 2x + \cos 3x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la propiedad de linealidad de la integral, integrar el término del seno de 2x ajustando la constante 2 e integrar el término del coseno de 3x ajustando la constante 3.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \cos^2 x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por linealizar la función mediante la identidad trigonométrica cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2, integrar término a término e incluir la constante arbitraria de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{\cos(\log x)}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la derivada de la función interior u = log(x), reconocer que 1/x es su diferencial exacto e integrar directamente mediante la regla inmediata del seno.
Calcular las primitivas de la función exponencial trigonométrica \( f(x) = 2^{\cos x} \operatorname{sen} x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la derivada del exponente cos(
x) es -sen(x), ajustar el signo negativo y aplicar la regla de integración para potencias de base a.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{\operatorname{arcsen} x}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que 1/sqrt(1 - x^2) es la derivada exacta de la función arcoseno, aplicar la regla de la potencia u*u' e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{1}{(1 + x^2)\operatorname{arctg} x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la fracción puede reescribirse con la derivada de la arcotangente en el numerador, aplicar la regla del logaritmo neperiano e incluir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x^4 - 3}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que x^3 es proporcional a la derivada del radicando x^4 - 3, ajustar la constante multiplicando y dividiendo por 4 y aplicar la regla de la potencia con exponente -1/ 2.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por notar que 1/cos^2(u) es la derivada de la tangente, observar que la derivada de sqrt(
x) es 1/(2*sqrt(x)), ajustar la constante 2 e integrar de forma inmediata.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica racional \( f(x) = \frac{\operatorname{sen} 2x}{1 + \cos^2 x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador 1 + cos^2(x), utilizar la identidad del seno del ángulo doble para comprobar que coincide con el numerador salvo un signo menos, e integrar mediante el logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^{19}}{x^{20} - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la derivada del denominador x^20 - 1 es 20*x^19, multiplicar y dividir por 20 para ajustar la constante e integrar aplicando la regla del logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = e^x \operatorname{sen}(e^x + 1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que e^x es la derivada exacta del argumento interior e^x + 1, aplicar la regla de integración del seno e incluir la constante arbitraria.
Calcular las primitivas de la función radical \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la raíz en forma de potencia con exponente -1/2, ajustar la constante multiplicando y dividiendo por 2 e integrar directamente mediante la regla de la potencia compuesta.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x^4 - 3}} \) mediante el método de cambio de variable.
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el cambio de variable formal u = x^4 - 3, calcular el diferencial du = 4x^3 dx, sustituir en la integral para reducirla a una potencia elemental e invertir el cambio al final.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^2 \sqrt{x^3 + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la raíz como potencia fraccionaria con exponente 1/2, observar que x^2 es proporcional a la derivada interna 3x^2, ajustar la constante 3 e integrar la potencia compuesta.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = x^4 \cos(x^5 + 1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que x^4 es proporcional a la derivada del argumento x^5 + 1, ajustar el factor 5 e integrar directamente mediante la regla inmediata del seno.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica con argumento inverso \( f(x) = \frac{\operatorname{sen}(1/x)}{x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que 1/x^2 es el opuesto de la derivada de 1/x, ajustar el signo negativo y aplicar la regla inmediata de integración del seno para obtener el coseno.
Calcular las primitivas de la función logarítmica potencial \( f(x) = \frac{(\log x)^3}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por notar que 1/x es la derivada exacta de log(x), reconocer la estructura u^3 * u' y aplicar la regla de la potencia para obtener (log x)^4 / 4.
Calcular las primitivas de la función polinómica compuesta \( f(x) = (x^2 + 1)^{10} x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que x es proporcional a la derivada interna de x^2 + 1, ajustar el factor constante multiplicando y dividiendo por 2 e integrar la potencia compuesta.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \operatorname{sen}^2 x \cos x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por notar que cos(
x) es la derivada exacta de sen(x), reconocer la estructura u^2 * u' e integrar directamente mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^2 e^x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de integración por partes u*v - integral de v*du asignando u al polinomio cuadrático y dv a la exponencial, iterar el proceso dos veces para rebajar el grado polinómico y agrupar los términos.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (2x + 3)2^x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u al binomio lineal y dv a la exponencial 2^x, aplicar la fórmula de integración por partes integrando la exponencial con su factor logarítmico en el denominador y agrupar el resultado.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = 2^x \cos x \) mediante integración por partes cíclica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por llamar I a la integral indefinida, aplicar integración por partes dos veces consecutivas eligiendo consistentemente u como la función exponencial, despejar la integral I de la ecuación algebraica resultante y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \log(x + 2) \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u al logaritmo y dv al diferencial dx, aplicar la fórmula de integración por partes calculando la integral racional resultante y reagrupar la función primitiva.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^3 \log x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u a la función logaritmo para eliminarla por derivación y dv a la potencia cúbica x^3, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar la potencia resultante.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x^2 - 3x + 1)\operatorname{sen} 2x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes dos veces consecutivas asignando u al polinomio para reducir sucesivamente su grado, integrar cuidadosamente las funciones armónicas ajustando los factores constantes y simplificar los coeficientes resultantes.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \operatorname{arcsen} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arcsen(
x) y dv = x dx, aplicar la fórmula de integración por partes, descomponer la integral radical resultante mediante la suma y resta de la unidad y simplificar los términos algebraicos.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x^2 \operatorname{arctg} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arctg(
x) y dv = x^2 dx, aplicar la fórmula de integración por partes, resolver la integral racional resultante mediante división polinómica y agrupar la función solución.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \cos 2x \cos 5x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el producto de funciones trigonométricas en una suma de cosenos simples mediante la identidad de Werner, e integrar cada término resultante de forma inmediata.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función en la forma x^2 * e^(-x), aplicar la integración por partes dos veces consecutivas asignando u a los términos polinómicos y factorizar la solución final.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x^3 + x^2 - 2x + 1)e^x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la fórmula general de integración por partes iterada para productos de polinomios por la función exponencial e^x mediante la suma alternada de derivadas sucesivas del polinomio, simplificar y factorizar.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = e^x \operatorname{sen} x \) mediante integración por partes cíclica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como I, aplicar integración por partes dos veces consecutivas eligiendo consistentemente la función exponencial como u, despejar I de la ecuación resultante y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \operatorname{sen} 2x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u al factor lineal x para eliminarlo mediante derivación y dv al seno de 2x, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar el coseno resultante.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \log x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = log(
x) y dv = dx, aplicar la fórmula de integración por partes, simplificar la integral algebraica resultante y factorizar la solución.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \log(x + 2) \) mediante integración por partes tomando v igual a x.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar integración por partes eligiendo u = log(x + 2) y v = x, resolver la fracción racional resultante sumando y restando 2 en el numerador y reagrupar los términos logarítmicos.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \operatorname{arcsen} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arcsen(
x) y dv = dx, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar el radical inverso restante mediante una inmediata potencial.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \arctan x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arctan(
x) y dv = dx, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar la fracción racional resultante como un logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{\log x}{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que 1/x es la derivada exacta de la función logaritmo, reconocer la estructura u*u' e integrar como la potencia cuadrada de la función logaritmo.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = 2^x \operatorname{sen} 2x \) mediante integración por partes cíclica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como I, aplicar integración por partes dos veces consecutivas asignando u a la exponencial 2^x, despejar I de la ecuación resultante y añadir la constante de integración.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \cos^2 x \) mediante integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer cos^2(
x) como cos(x)*cos(x), aplicar integración por partes asignando u = cos(
x) y dv = cos(
x) dx, utilizar la identidad fundamental sen^2(x) = 1 - cos^2(
x) para generar una ecuación cíclica y despejar la integral.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 9}} \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador como x * x/sqrt(x^2 + 9), aplicar integración por partes eligiendo u = x y dv = x/sqrt(x^2 + 9) dx, resolver la integral de la raíz resultante e integrar la expresión final.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer x^2 como x * x/sqrt(9 - x^2), aplicar integración por partes eligiendo u = x y dv = x/sqrt(9 - x^2) dx, resolver la integral de la raíz circular resultante y simplificar.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \arctan x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = arctan(
x) y dv = x dx, aplicar la fórmula de integración por partes, resolver la fracción racional resultante sumando y restando 1 e integrar de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = x \operatorname{senh} x \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por asignar u = x para derivar y dv = senh(
x) dx para integrar, aplicar la fórmula de integración por partes e integrar directamente el coseno hiperbólico resultante.
Calcular las primitivas de la función mixta trigonométrica-hiperbólica \( f(x) = \operatorname{sen} x \cosh x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el coseno hiperbólico en forma de exponenciales reales (e^x + e^(-x))/2, separar en dos integrales estándar de tipo e^(ax)*sen(
x) resueltas por partes y combinar algebraicamente los resultados en funciones hiperbólicas.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = (x^2 - 2x + 5)\operatorname{senh}(2x) \) mediante el método de integración por partes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la integración por partes dos veces consecutivas para reducir el polinomio de grado 2 a una constante, integrando sucesivamente las funciones hiperbólicas dobles y agrupando los coeficientes de cosh(2x) y senh(2x).
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador en factores lineales reales simples (x - 2)(x + 2), descomponer en fracciones simples, calcular los coeficientes e integrar mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2x - 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el trinomio del denominador hallando sus raíces reales, descomponer la fracción propia en suma de fracciones simples e integrar los términos logarítmicos resultantes.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador escribiendo x + 3 como (x + 2) + 1, separar la fracción en una componente logarítmica y una potencia inversa de grado 2, e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^4 - x^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer x^3 como factor común en el denominador, plantear la descomposición en fracciones simples para una raíz triple en 0 y una simple en 1, calcular los coeficientes e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 5x + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división de polinomios para separar la parte entera polinómica del resto propio, factorizar el denominador del resto y descomponerlo en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x^3 + x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador extrayendo x como factor común x(x^2 + 1), plantear la descomposición en una fracción simple lineal y otra cuadrática, resolver los coeficientes e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^4}{(x^2 - 1)(x + 2)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el denominador para efectuar la división polinómica, descomponer el resto propio en tres fracciones simples correspondientes a las raíces 1, -1 y -2, e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 4x^2 + x - 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el polinomio cúbico del denominador buscando sus raíces por la regla de Ruffini, plantear la descomposición en tres fracciones simples, hallar los numeradores e integrar mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función racional bicuadrada \( f(x) = \frac{x^4}{x^4 + 5x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división polinómica separando la unidad, factorizar el denominador bicuadrado en dos factores cuadráticos irreducibles (x^2 + 1)(x^2 + 4), descomponer en fracciones simples e integrar mediante funciones arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^3 - 3x + 6}{(x^2 - 2x + 5)(x - 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la descomposición en fracciones simples para el factor cuadrático irreducible x^2 - 2x + 5 y la raíz doble (x - 1)^2, resolver los coeficientes, descomponer el numerador lineal sobre el cuadrático en partes logarítmica y arcotangente e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{1 - x^4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador como diferencia de cuadrados (1 - x^2)(1 + x^2), descomponer en fracciones simples lineales e irreducibles cuadráticas e integrar combinando logaritmos y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^5}{(x^2 - 4)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x^2 - 4 para simplificar drásticamente el denominador al monomio u^2, expresar x^4 como (u + 4)^2, expandir la fracción resultante e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división polinómica separando la unidad, descomponer la fracción restante en fracciones simples lineales sobre x - 2 y x + 2 e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador en (x - 1)(x - 2), plantear la descomposición en fracciones simples, calcular los coeficientes e integrar mediante logaritmos.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 - 2}{x^2 - x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica de x^3 - 2 entre x^2 - x para aislar el cociente lineal x + 1, descomponer el resto en fracciones simples con raíces 0 y 1 e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x}{x + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar y restar 2 en el numerador para dividir la fracción en su parte entera y una fracción simple, e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador en una parte proporcional a la derivada del denominador 2x y otra parte constante, e integrar de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador no tiene raíces reales (discriminante negativo), completar el cuadrado para llevarlo a la forma (x - 1)^2 + 2 e integrar como una función arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador 2x + 2, descomponer el numerador en una parte proporcional a dicha derivada y una parte constante, completar el cuadrado en el denominador e integrar combinando logaritmo y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x + 3}{(x + 1)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el numerador como (x + 1) + 2, dividir término a término entre (x + 1)^3 para obtener dos potencias inversas e integrar directamente mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^3 + 2x^2 - x - 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el denominador agrupando por pares de términos, descomponer la fracción en tres sumandos simples e integrar mediante logaritmos.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica de x^3 + 2 entre x^2 - x, factorizar el denominador del resto y descomponerlo en fracciones simples para integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador carece de raíces reales, completar el cuadrado para expresarlo en la forma (x + 1/2)^2 + 3/4 e integrar mediante la fórmula de la arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir cada sumando del numerador entre el denominador monómico x^2 para obtener tres términos elementales e integrar directamente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x^4}{x^5 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la derivada del denominador x^5 - 1 es 5*x^4, ajustar la constante multiplicando y dividiendo por 5 y aplicar directamente la regla de integración del logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 - x + 2}{(x - 1)^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u = x - 1 para expandir el numerador en potencias de u, dividir cada término entre u^3 e integrar de forma elemental.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del denominador x^3 + x, verificar que coincide de forma idéntica con el numerador y aplicar la regla inmediata del logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \sin(3x)\cos(5x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el producto de funciones trigonométricas con distintos argumentos en una suma de senos mediante la identidad trigonométrica correspondiente, lo que permitirá integrar cada sumando de forma directa e inmediata.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \sin^3(x)\cos^4(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la potencia del seno es impar, lo que permite reservar un factor seno para la diferencial, expresar los senos restantes en términos del coseno mediante la identidad fundamental y realizar el cambio de variable u igual a coseno de x.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\cos^3(x)}{\sin^4(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar un factor coseno en el numerador para formar la diferencial del seno, transformar el coseno cuadrado restante mediante la identidad pitagórica y efectuar el cambio de variable u igual a seno de x.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)(2 + \cos(x) - 2\sin(x))} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la sustitución universal t igual a tangente de x medios para convertir la función trigonométrica en una función racional algebraica, que luego descompondremos en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la función es invariante ante el cambio simultáneo de signo de seno y coseno, por lo que dividimos numerador y denominador por el coseno al cuadrado para expresar el integrando en términos de la tangente y su derivada, la secante al cuadrado.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica racional lineal \( f(x) = \frac{\sin(x) + 2\cos(x) - 3}{\sin(x) - 2\cos(x) + 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el numerador como una combinación lineal del denominador, de la derivada del denominador y de una constante, permitiendo separar la integral en una parte polinómica, una logarítmica y una integral trigonométrica residual resuelta mediante el ángulo mitad.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica cosecante al cubo \( f(x) = \frac{1}{\sin^3(x)} = \csc^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la cosecante al cubo en el producto de cosecante por cosecante al cuadrado para aplicar el método de integración por partes y resolver la ecuación cíclica resultante.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin^2(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir numerador y denominador entre el coseno al cuadrado de x para convertir el integrando en una expresión con tangente y secante al cuadrado, resolviendo la integral mediante el cambio u igual a tangente de x.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica elemental \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reconocer la función como la derivada elemental de la función tangente, aplicando directamente la tabla de derivadas e integrales inmediatas.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por dos para reconocer en el denominador el seno del ángulo doble, o alternativamente dividir por el coseno al cuadrado para obtener una derivada logarítmica directa de la tangente.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica cosecante \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)} = \csc(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por seno de x para expresar el denominador como uno menos coseno al cuadrado, efectuando el cambio de variable u igual a coseno de x y resolviendo la integral racional resultante mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \cos(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar y restar uno en el numerador para simplificar el cociente en una constante menos una fracción reducible mediante la fórmula del coseno del ángulo mitad.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica secante \( f(x) = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir el integrando por la suma de la secante y la tangente, reconociendo que el numerador resultante coincide con la derivada exacta del denominador, lo que conduce a una integración logarítmica inmediata.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica secante al cubo \( f(x) = \frac{1}{\cos^3(x)} = \sec^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la secante al cubo en el producto de secante por secante al cuadrado, aplicar integración por partes y resolver algebraicamente la integral cíclica que reaparece tras aplicar la identidad fundamental de la tangente al cuadrado.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \cos^5(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar un factor coseno para la diferencial, expresar los cuatro cosenos restantes como el cuadrado de uno menos seno al cuadrado y efectuar el cambio de variable u igual a seno de x.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{25 - 3x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común 25 del radicando para llevar la integral a la forma canónica del arcoseno, efectuando a continuación un cambio de variable lineal.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - 9x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer 4 de la raíz cuadrada y expresar el término con x como el cuadrado de tres medios de x, aplicando la regla de integración del arcoseno.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \sqrt{16 + 4x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el factor común constante 4 fuera de la raíz cuadrada y aplicar la sustitución trigonométrica de la tangente para eliminar el radical.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \sqrt{9 - (4 - x)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable de traslación u igual a cuatro menos x para simplificar el radicando a una forma estándar tipo raíz de a cuadrado menos u cuadrado, resolviéndola mediante sustitución trigonométrica.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{3x^2 - 25} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la diferencia de cuadrados del denominador, descomponer la fracción racional en fracciones simples con coeficientes simétricos e integrar mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 4x - 35}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado del trinomio de segundo grado bajo la raíz para reducir el integrando a la forma canónica diferencial de u entre la raíz de u cuadrado menos a cuadrado, cuya primitiva es el logaritmo de u más la raíz.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 + 4x + 5}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común 2 del trinomio bajo la raíz, completar cuadrados en los términos dependientes de x y aplicar la integración tipo argumento seno hiperbólico o logaritmo neperiano.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{-4x^2 + 2x + 1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado del trinomio bajo la raíz reconociendo el coeficiente negativo de x al cuadrado, reduciéndolo a la forma diferencial de u entre la raíz de a cuadrado menos u cuadrado para integrar directamente como arcoseno.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 3x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el término cuadrático como el cuadrado de la raíz de 3 por x, efectuando un cambio de variable elemental para identificar la función como la derivada de un arcoseno.
Calcular las primitivas de la función racional con raíces múltiples \( f(x) = \frac{2}{(x^2 - 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la base del denominador en factores lineales reales simples (x - 1)(x + 1), descomponer la fracción racional con factores dobles en cuatro fracciones simples e integrar mediante logaritmos y potencias inmediatas.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^4}{x^3 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división euclídea del numerador entre el denominador para separar la parte polinómica entera del resto propio, factorizando a continuación el denominador cúbico e integrando mediante fracciones simples y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \sin(x)\cos^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la derivada de la función coseno es menos seno, permitiendo resolver la integral de forma directa e inmediata mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \sin^2(x)\cos^4(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por agrupar los factores en potencias de seno por coseno para utilizar el seno del ángulo doble, reduciendo el grado del integrando mediante identidades trigonométricas de reducción de exponente.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica paramétrica \( f(x) = \frac{1}{a + \cos(x)} \quad (a > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el cambio de variable universal t igual a tangente de x medios para transformar el integrando trigonométrico en una fracción racional elemental y clasificar la integral según el parámetro a.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por el binomio conjugado uno menos seno de x para convertir el denominador en coseno al cuadrado y descomponer la integral en dos integrales inmediatas.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{\cos^6(x)} = \sec^6(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aislar un factor secante al cuadrado para la diferencial, expresar las secantes restantes en potencias de la tangente mediante la identidad fundamental y aplicar el cambio de variable u igual a tangente de x.
Calcular las primitivas de la función irracional algebraica \( f(x) = \frac{\sqrt{x+1} + 2}{(x+1)^2 - \sqrt{x+1}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el radical mediante el cambio de variable u igual a raíz de x más 1, transformando el integrando en una función racional que descompondremos en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función exponencial racional \( f(x) = \frac{1}{e^{3x} + e^{2x} + e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable u igual a e a la x para reducir la expresión a una integral racional, factorizando el denominador mediante agrupación de términos y descomponiendo en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{(1 + \sqrt{x})^2}{2 + \sqrt{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el radical cuadrático mediante el cambio u igual a raíz de x, transformando el integrando en una fracción racional impropia que simplificaremos mediante división euclídea.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{x+1}\frac{\sqrt{3+x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x+3}}{x^2 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por suprimir el radical mediante el cambio u igual a raíz de x más 3, expresando la variable x y la diferencial en términos de u y descomponiendo la función racional resultante en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{x(\sqrt{1+x} - 2)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar la raíz cuadrada mediante la sustitución u igual a raíz de 1 más x, transformando el producto del denominador en un polinomio factorizable que descompondremos en fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{4\cos^3(x) - 3\cos(x)}{\sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común coseno de x en el numerador para asociarlo a la diferencial, transformar el coseno cuadrado restante en senos y aplicar el cambio de variable u igual a seno de x.
Calcular las primitivas de la función con arcoseno \( f(x) = \frac{\arcsin^2(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la derivada de la función arcoseno de x está presente en el integrando como factor diferencial, resolviendo la integral de forma inmediata mediante la regla de la potencia.
Calcular las primitivas de la función algebraica irracional \( f(x) = x^5 \sqrt{1 - x^3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer x a la quinta en x al cubo por x al cuadrado para utilizar x al cuadrado como la diferencial de x al cubo, efectuando el cambio u igual a uno menos x al cubo para transformar la integral en potencias simples de u.
Calcular las primitivas de la función racional bicuadrada \( f(x) = \frac{x}{x^4 + 3x^2 + 2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar la presencia del factor x en el numerador, lo que sugiere el cambio de variable u igual a x al cuadrado para convertir el polinomio bicuadrado en un trinomio de segundo grado factorizable e integrar mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{(1 + \cos(x))\sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por seno de x para expresar la parte del seno como uno menos coseno al cuadrado, aplicando el cambio de variable u igual a coseno de x y resolviendo la fracción algebraica resultante mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{1}{2 + 3\tan(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente como seno entre coseno para convertir el integrando en un cociente de combinación lineal de senos y cosenos, descomponiendo el numerador en función del denominador y de su derivada.
Calcular las primitivas del producto trigonométrico y logarítmico \( f(x) = \cos(x)\ln(1 + \cos(x)) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes asignando la función logarítmica a derivar y la función trigonométrica coseno a integrar, simplificando la integral residual mediante identidades pitagóricas.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x e^x}{(1 + x)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes reconociendo que uno entre (1 +
x) al cuadrado es la derivada exacta de menos uno entre (1 + x), lo que conduce a una simplificación inmediata tras derivar el numerador.
Calcular las primitivas de la función secante al cubo \( f(x) = \sec^3(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la secante al cubo en el producto secante por secante al cuadrado, aplicar integración por partes y resolver algebraicamente la integral cíclica que reaparece al aplicar la identidad fundamental de la tangente.
Calcular las primitivas de la función con exponentes fraccionarios \( f(x) = \frac{3x^{2/3} - 7}{x - 7x^{1/3} + 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar los exponentes fraccionarios de denominador 3 mediante el cambio de variable u igual a x a la un tercio, convirtiendo el integrando en una función racional que descompondremos mediante división euclídea y fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \ln^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de integración por partes asignando la función logarítmica elevada al cuadrado a derivar y la diferencial de x a integrar, reduciendo sucesivamente la potencia del logaritmo hasta alcanzar una integral inmediata.
Calcular las primitivas del producto exponencial y trigonométrico \( f(x) = \frac{\cos(2x)}{e^x} = e^{-x}\cos(2x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función como el producto de e a la menos x por el coseno de dos x, aplicando dos iteraciones del método de integración por partes para plantear y resolver la ecuación lineal resultante.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{x\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar integración por partes eligiendo la función arcoseno para derivar y reconociendo en la fracción restante la derivada exacta de menos la raíz de uno menos x al cuadrado.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\cos(2x)}{\cos^4(x) + \sin^4(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar la suma de potencias cuartas del denominador en una expresión dependiente del seno del ángulo doble, realizando el cambio u igual a seno de 2x para resolver la integral mediante logaritmos neperianos.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 9}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por separar el numerador en x por x para aplicar integración por partes, reduciendo el problema a una integral cíclica que se despeja directamente.
Calcular las primitivas de la función exponencial compuesta \( f(x) = x e^{x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que el factor x es proporcional a la derivada del exponente x al cuadrado, resolviendo la integral de forma inmediata mediante un ajuste de coeficientes.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{2x - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el numerador como combinación lineal de la derivada del radicando y una constante, separando la integral en una inmediata de tipo potencia y otra inmediata de tipo arcoseno.
Calcular las primitivas de la función racional simple \( f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fracción como una potencia de exponente negativo de base lineal con derivada unitaria, aplicando directamente la regla elemental de la potencia.
Calcular las primitivas de la función racional impropia \( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar la división polinómica entre el numerador y el denominador, separando el resto en una fracción logarítmica y una fracción tipo arcotangente.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{x^3 - 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la diferencia de cubos del denominador en un factor lineal y un trinomio cuadrático irreducible, descomponer en fracciones simples e integrar mediante logaritmos y arcotangente.
Calcular las primitivas de la función exponencial \( f(x) = \frac{1}{e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por e a la menos x para obtener en el numerador la derivada del denominador salvo el signo, integrando de forma logarítmica inmediata.
Calcular las primitivas de la función exponencial \( f(x) = \frac{e^{2x} - e^x}{e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u igual a e a la x para reducir la expresión a una integral racional simple, que resolveremos mediante división polinómica e integración elemental.
Calcular las primitivas de la función irracional \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado en el trinomio bajo el radical para reducir la integral a la forma inmediata de la derivada de un arcoseno.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \tan(3x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente como seno entre coseno, reconociendo que el numerador es proporcional a la derivada del denominador para resolver la integral de forma logarítmica inmediata.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{x - 1}{3x^2 - 6x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada del trinomio del denominador y observar que coincide exactamente, salvo por un factor constante, con el numerador lineal, procediendo a una integración logarítmica directa.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\sin^3(x)}{1 - \cos(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el seno al cubo en seno por seno al cuadrado para aplicar la identidad pitagórica, simplificando algebraicamente el denominador y resolviendo las integrales inmediatas resultantes.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{2x - 3}{x^3 + 3x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer factor común x al cuadrado en el denominador para identificar la raíz doble en cero y la raíz simple en menos tres, descomponer la función en fracciones simples e integrar.
Calcular las primitivas de la función racional \( f(x) = \frac{1}{(x - 2)(x + 1)^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la fracción racional con una raíz simple y una raíz doble en tres fracciones simples, determinando sus coeficientes e integrando mediante logaritmos y potencias.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = (1 + \tan(x))^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar el cuadrado del binomio, reagrupar los términos para identificar la derivada de la tangente secante al cuadrado y resolver las integrales inmediatas resultantes.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \frac{\sin(2x) - 1}{\cos^2(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula del seno del ángulo doble en el numerador, separar el cociente en dos fracciones simples e integrar mediante las derivadas inmediatas de la tangente y del logaritmo.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica par \( f(x) = \sin^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir el exponente cuadrático utilizando la identidad del coseno del ángulo doble, transformando el integrando en una suma de funciones elementales de integración inmediata.
Calcular las primitivas de la función exponencial racional \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el exponente negativo multiplicando por e a la x, aplicando el cambio de variable u igual a e a la x para convertir la función en una fracción racional reducible mediante fracciones simples.
Calcular las primitivas de la función compuesta \( f(x) = \cos(\ln(x)) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable t igual a logaritmo de x para transformar la función compuesta en el producto exponencial por coseno, resolviendo la integral cíclica estándar mediante partes.
Calcular las primitivas del producto algebraico-trigonométrico \( f(x) = x^3 \cos(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar iterativamente el método de integración por partes derivando el factor polinómico x al cubo hasta anularlo e integrando el factor trigonométrico coseno de forma alternada.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica racional \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin(x)} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar numerador y denominador por uno menos seno de x para convertir el denominador en coseno al cuadrado y descomponer el integrando en dos funciones de integración inmediata.
Calcular las primitivas de la función trigonométrica \( f(x) = \tan^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la identidad trigonométrica fundamental que relaciona la tangente al cuadrado con la secante al cuadrado, transformando el integrando en la derivada de la tangente menos una constante.
Calcular las primitivas de la función racional con raíces complejas \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 5} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar el cuadrado del trinomio de segundo grado del denominador para llevar la expresión a la forma canónica de la derivada de un arcotangente.
Calcular las primitivas de la función \( f(x) = \frac{\arctan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable u igual a raíz de x para simplificar el argumento y absorber el denominador en la diferencial, aplicando a continuación integración por partes sobre la arcotangente simple.
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial \( F'(x) = \frac{1}{x^2} \quad (x > 0) \), y determinar la solución particular que satisface la condición inicial \( F(1) = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la derivada respecto de x para obtener la familia general de primitivas con una constante de integración indeterminada, y posteriormente determinaremos dicha constante imponiendo la condición inicial dada.
Utilizando como aceleración debida a la gravedad la constante \( a(t) = -9{, }8 \text{ m/s}^2 \), demostrar que la altura a la que llega un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde una posición inicial \( s_0 \) metros con velocidad inicial \( v_0 \) metros por segundo viene dada por la función horaria \( f(t) = -4{, }9t^2 + v_0 t + s_0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la aceleración constante para obtener la función velocidad determinando la constante mediante la condición inicial v(0) = v0, e integraremos sucesivamente la velocidad para obtener la función posición determinando la segunda constante con s(0) = s 0.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo. Tomando la aceleración de la gravedad como \( g = 9{, }8 \text{ m/s}^2 \), encontrar la función posición que expresa la altura \( s(t) \) en función del tiempo \( t \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la aceleración de la gravedad para hallar la función velocidad sujeta a la velocidad inicial dada, integrando a continuación la velocidad para obtener la función altura sujeta a la posición inicial.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo, estando su altura descrita por la función horaria \( s(t) = -4{, }9t^2 + 5t + 2 \). Determinar en qué instante de tiempo llegará la pelota al suelo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por igualar a cero la ecuación horaria de la altura para determinar cuándo la pelota hace contacto con el suelo, resolviendo la ecuación de segundo grado y seleccionando la raíz temporal físicamente positiva.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo bajo la aceleración de la gravedad \( g = 9{, }8 \text{ m/s}^2 \). Determinar con qué velocidad hará contacto con el suelo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por evaluar la función velocidad en el instante exacto en el que la pelota alcanza el suelo, comprobando el resultado mediante el teorema de conservación de la energía mecánica.
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura inicial de 2 metros con una velocidad inicial de 5 metros por segundo bajo la aceleración de la gravedad \( g = 9{, }8 \text{ m/s}^2 \). Calcular la altura máxima alcanzada por la pelota.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la altura máxima se alcanza en el instante en que la velocidad vertical se anula momentáneamente antes de iniciar el descenso, evaluando a continuación dicho tiempo en la función posición.
La tasa de crecimiento \( \frac{dP}{dt} \) de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo \( t \) en días ( \( 0 \le t \le 10 \) ), dada por \( \frac{dP}{dt} = k\sqrt{t} \). Sabiendo que el tamaño inicial de la población es de 500 bacterias y que tras un día la población ha alcanzado 600 bacterias, estimar el tamaño de la población después de 7 días.
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la ecuación diferencial para obtener la función del tamaño poblacional P(t), determinando la constante de integración con la población inicial P(0) = 500 y la constante de proporcionalidad k con P(1) = 600, para evaluar finalmente la población a los 7 días.
Calcular de forma analítica las siguientes primitivas indefinidas:
(a) \(\int \frac{x^2}{x^2 + 4x + 7} \, dx \)
(b) \(\int \frac{x}{\sqrt{4 - 2x^2}} \, dx \)
En este ejercicio calculamos la primera primitiva mediante división euclídea y descomposición en logaritmo y arcotangente, y resolvemos la segunda mediante la regla de la cadena para funciones compuestas.
Resolvemos la primera integral mediante división polinómica y fracciones simples sobre raíces reales con multiplicidad, y la segunda mediante sustitución trigonométrica impar.
Calcular de forma analítica las siguientes primitivas indefinidas:
(a) \(\int \ln^2(x) \, dx \)
(b) \(\int \frac{1}{(1 + \cos x)\operatorname{sen} x} \, dx \)
Aplicamos dos veces consecutivas el método de integración por partes en la primera integral y resolvemos la segunda multiplicando por seno para descomponer en fracciones racionales.
Calcular el valor de las primitivas indefinidas:
(a) \(\int \operatorname{sen}(\ln x) \, dx \)
(b) \(\int \frac{1}{x^2 - 6x + 11} \, dx \)
Resolvemos la primera integral aplicando integración por partes cíclica hasta despejar la integral incógnita y la segunda completando cuadrados para obtener un arco tangente.
Calcular las siguientes primitivas indefinidas:
(a) \(\int x^3 e^{x^2} \, dx \)
(b) \(\int \frac{\operatorname{sen} x + 3\cos x}{\operatorname{sen} x \cos x + 2\operatorname{sen} x} \, dx \)
Reducimos la primera primitiva mediante el cambio de variable cuadrático y el método de partes, y resolvemos la segunda separando la fracción sobre el factor común del denominador.
Calcular de forma analítica las siguientes primitivas indefinidas:
(a) \(\int x^3 \ln^2(x) \, dx \)
(b) \(\int \frac{1}{1 + \operatorname{sen}^2 x} \, dx \)
Empleamos el método de integración por partes dos veces reduciendo la potencia del logaritmo y resolvemos la segunda integral dividiendo por coseno al cuadrado.
Calcular de forma analítica las siguientes primitivas indefinidas:
(a) \(\int \frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)
(b) \(\int x \tan^2(x) \, dx \)
Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variable irracional de Euler y la segunda descomponiendo la tangente cuadrada para integrar por partes.
Calcular de forma analítica la primitiva indefinida de la función irracional:
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x - 1}} \, dx \)
determinando la familia completa de funciones primitivas.
Completamos el cuadrado en el radicando para transformar la expresión en una integral de tipo argumento coseno hiperbólico o logaritmo estándar.
Calcular la primitiva indefinida:
\(\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx \)
mediante el método de integración por partes y descomposición en fracciones simples.
Derivamos la función arco tangente e integramos la potencia negativa de equis para reducir la expresión a una integral racional elemental.
Calcular la primitiva indefinida trigonométrica:
\(\int \frac{1}{\cos^2(x)(\tan^2 x + 3\tan x - 4)} \, dx \)
mediante el cambio de variable natural y descomposición en fracciones parciales.
Aprovechamos la presencia del factor coseno al cuadrado en el denominador para aplicar la sustitución inmediata de la tangente y descomponer en fracciones racionales simples.
Calcular mediante integración por partes el valor de la siguiente integral definida:
\( I = \int_{1}^{10} \frac{\log x}{x^4} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por elegir adecuadamente u como la función logarítmica y diferencial de v como la parte algebraica para integrar por partes. A continuación simplificaremos la nueva integral resultante mediante descomposición en fracciones racionales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar la división polinómica si el grado del numerador es mayor o igual que el denominador. A continuación completaremos el cuadrado en el denominador para transformar la integral cuadrática en la derivada de una arcotangente.
Calcular la derivada de la función definida por la integral \( f(x) = \int_3^{x^2} \sin(t)\, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo conjuntamente con la regla de la cadena (fórmula de Leibniz), evaluando el integrando en el límite superior y multiplicando por la derivada del mismo.
Calcular la derivada de la función definida por la integral \( f(x) = \int_3^{5x-4} \cos^3(t)\, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena evaluando el integrando coseno al cubo en el extremo superior 5x - 4 y multiplicando por la derivada del extremo.
Calcular la derivada de la función integral con límites superior e inferior variables \( f(x) = \int_{2x+3}^{x^3} t^5\, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula general de Leibniz que descompone la derivada en la contribución del límite superior menos la contribución del límite inferior, evaluando el integrando y multiplicando por las respectivas derivadas de los extremos.
Calcular la derivada de la función definida por la integral no elemental \( f(x) = \int_3^{2x} e^{t^2}\, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo sin necesidad de resolver la integral no elemental gaussiana, sustituyendo el límite superior en el integrando y multiplicando por la derivada del argumento.
Calcular el área de la figura plana limitada por la hipérbola equilátera \( xy = a^2 \), el eje OX y las rectas verticales \( x = a \) y \( x = 2a \) con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la función y en términos de x, comprobar que la función es estrictamente positiva en el intervalo de integración [a, 2a] y calcular el área mediante la integral definida y la regla de Barrow.
Calcular el área de la figura plana limitada por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = \frac{1}{3}x^3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de intersección entre la parábola y la cúbica igualando sus ecuaciones, determinar qué curva domina en el intervalo comprendido e integrar la diferencia de funciones aplicando la regla de Barrow.
Calcular el área de la figura plana comprendida entre la parábola \( y = 4 - x^2 \) y el eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por encontrar los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas igualando a cero, aprovechar la simetría par de la función e integrar entre los extremos.
Hallar el área de la figura plana limitada por la curva \( y = x^3 \), la recta horizontal \( y = 8 \) y el eje OY.
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar respecto a la variable y expresando x en función de y desde el origen hasta y = 8, comprobando alternativamente el resultado mediante integración respecto a x en el rectángulo circunscrito.
Calcular el área de la figura plana limitada por las curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = \ln^2(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por encontrar los puntos de corte entre las dos curvas igualando sus ecuaciones, determinar la posición relativa de ambas e integrar la diferencia de funciones utilizando las primitivas del logaritmo.
Hallar el área de una de las regiones periódicas cerradas limitadas por las curvas trigonométricas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar dos puntos de intersección consecutivos de las curvas seno y coseno, determinar qué función domina en dicho intervalo e integrar la diferencia aplicando la regla de Barrow.
Hallar el área de una de las regiones acotadas limitadas por la curva \( y = x^3 \) y las dos rectas secantes \( y = 2x \) e \( y = x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las intersecciones mutuas entre la cúbica y las dos rectas en el semiplano positivo, descomponer el recinto cerrado en dos subintervalos donde cambian las funciones frontera e integrar las respectivas diferencias de ordenadas.
Hallar el área de la figura plana contenida en el primer cuadrante, situada en el interior de la circunferencia \( x^2 + y^2 = 3a^2 \) y limitada por las dos parábolas simétricas \( x^2 = 2ay \) e \( y^2 = 2ax \) con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar las intersecciones mutuas de las dos parábolas con la circunferencia en el primer cuadrante y aprovechar la simetría respecto a la bisectriz y = x para calcular el área mediante integración definida.
Calcular el área de la figura cerrada (lazo) limitada por la curva algebraica \( y^2 = x(x - 1)^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de definición de la curva para valores reales de y, identificar el lazo cerrado comprendido entre 0 y 1 y calcular su área mediante integración simétrica de potencias fraccionarias.
Hallar el área de la figura plana limitada por la parábola \( y = -x^2 - 2x + 3 \), su recta tangente en el punto \( (2, -5) \) y el eje OY.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la recta tangente a la parábola en el punto dado mediante la derivada, comprobar la posición relativa de ambas curvas entre el eje OY (x = 0) y el punto de tangencia (x = 2), e integrar la diferencia aplicando la regla de Barrow.
Hallar el área de la superficie plana limitada por la elipse en forma canónica \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la rama superior de la elipse, expresar el área total como cuatro veces el área del primer cuadrante y resolver la integral mediante una sustitución trigonométrica estándar.
Hallar el área de la figura plana limitada por el eje OX, la curva simétrica \( y = \frac{6a^3}{x^2 + 9a^2} \) y las rectas verticales \( x = 3a \) y \( x = -3a \) con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la curva es par y estrictamente positiva, aplicando la simetría para duplicar la integral sobre el semi-intervalo positivo y resolviendo mediante la función arcotangente.
Calcular el área de las dos partes en que la parábola \( y^2 = x \) divide al círculo centrado en el origen delimitado por \( x^2 + y^2 = 4 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el punto de intersección entre el círculo y la parábola en el primer cuadrante, descomponer la región interior de la parábola en dos integrales definidas para obtener la primera parte, y restar de la superficie total del círculo para hallar la segunda parte.
Hallar el área de la figura plana limitada por la hipérbola \( xy = a \), las rectas verticales \( x = a \) y \( x = 2a \), y el eje OX con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la función y en términos de x, verificar que la función es estrictamente positiva en el intervalo paramétrico [a, 2a] e integrar aplicando la regla de Barrow.
Hallar el área de la figura plana limitada por la curva racional \( y = \frac{1}{x^2 + 2} \) y la parábola \( y = \frac{x^2}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar las abscisas de corte entre ambas curvas bicuadradas resolviendo la ecuación de cuarto grado, identificar la curva superior en el intervalo simétrico e integrar la diferencia aplicando la regla de Barrow.
Hallar el área de la figura plana limitada por la curva polinómica \( y = x^4 - 6x^2 \) y la recta secante que pasa por sus puntos de inflexión.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la segunda derivada de la función para localizar sus puntos de inflexión, determinar la recta que los une, hallar los puntos de corte entre la curva y la recta e integrar la diferencia entre las dos funciones.
Hallar el área de la figura plana comprendida entre las dos ramas de la curva implícita \( (2x - y)^2 = x^3 \) y la recta vertical \( x = 4 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar y de la ecuación implícita para obtener las dos ramas explícitas de la curva, determinar el punto de unión cuspidal en el origen e integrar la diferencia de ordenadas hasta x = 4.
Hallar el volumen del cuerpo tridimensional limitado por el elipsoide general \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a, b, c > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por cortar el elipsoide mediante planos perpendiculares al eje OX, calcular el área de las secciones elípticas planas resultantes en función de x e integrar a lo largo del intervalo [-a, a] aplicando el principio de Cavalieri.
Calcular el volumen del segmento esférico de dos bases cortado de la esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 16 \) mediante los planos verticales paralelos \( x = 2 \) y \( x = 3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por cortar la esfera mediante secciones perpendiculares al eje OX, calcular el área circular de cada rebanada en función de x e integrar entre los planos delimitadores x = 2 y x = 3.
Sobre todas las cuerdas paralelas de un círculo de radio R se construyen segmentos parabólicos simétricos de la misma altura h, que cortan a la circunferencia y cuyos planos son perpendiculares al plano del círculo. Hallar el volumen del sólido así obtenido.
Para resolver este ejercicio empezaremos por orientar el círculo base en el plano xy con cuerdas paralelas al eje OY, calcular el área del segmento parabólico erigido sobre cada cuerda mediante el teorema de Arquímedes e integrar a lo largo del diámetro perpendicular.
La figura limitada por la sinusoide \( y = \sin(x) \) ( \( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \) ), el eje OY y la recta horizontal \( y = 1 \) gira alrededor del eje OY. Calcular el volumen del sólido de revolución así engendrado.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de capas cilíndricas coaxiales alrededor del eje de giro OY, identificando el radio de giro x y la altura vertical 1 - sen(x), e integrando mediante integración por partes.
Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la curva cerrada \( a^2 y^2 = ax^3 - x^4 \) alrededor del eje OX con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el intervalo de definición donde la curva es real para fijar los límites de integración, despejar y al cuadrado y calcular la integral de revolución mediante el método de discos.
Calcular el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la figura limitada por la catenaria \( y = a\cosh\left(\frac{x}{a}\right) \) y las rectas simétricas \( x = c \) y \( x = -c \) con \( a, c > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la integral de revolución mediante discos, utilizar la identidad hiperbólica del coseno hiperbólico al cuadrado para reducir el exponente e integrar aplicando la regla de Barrow.
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la porción de la hipérbola equilátera \( x^2 - y^2 = a^2 \) comprendida entre las rectas \( x = a \) y \( x = 2a \) con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar y al cuadrado de la ecuación de la hipérbola, sustituir en la fórmula de volumen de revolución por discos e integrar el polinomio cuadrático aplicando la regla de Barrow.
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la figura plana limitada por la curva \( y = x e^x \), el eje OX y la recta vertical \( x = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por elevar al cuadrado la función para obtener el integrando de discos pi por y al cuadrado, resolviendo la integral mediante integración por partes sucesiva entre 0 y 1.
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la figura plana limitada por la curva \( y = \arcsin(x) \), el eje OX y la recta vertical \( x = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la integral del cuadrado del arcoseno por el método de discos, resolver la integral indefinida mediante doble integración por partes y evaluar entre 0 y 1 aplicando la regla de Barrow.
Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la figura plana limitada por la parábola \( y = 2x - x^2 \) y el eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas, elevar al cuadrado el polinomio para obtener el integrando de discos e integrar aplicando la regla de Barrow.
Calcular el volumen del cuerpo tridimensional limitado por el paraboloide elíptico \( z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} \) y el plano horizontal \( z = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por cortar el paraboloide mediante planos horizontales z = constante desde el vértice z = 0 hasta la base superior z = 1, calcular el área de las secciones elípticas e integrar respecto a la altura z.
Deducir mediante cálculo de integrales de revolución la fórmula del volumen de un cono circular recto de radio básico R y altura H.
Para resolver este ejercicio empezaremos por modelar la generatriz del cono como un segmento rectilíneo en el plano coordenado que une el vértice con el borde de la base, rotándolo alrededor del eje de simetría para obtener el volumen mediante el método de discos.
La región del plano comprendida entre las parábolas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - x^2 \) gira en torno a la recta vertical \( x = 5 \). Hallar el volumen del cuerpo de revolución resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las intersecciones de ambas parábolas, plantear el método de tubos o capas cilíndricas con radio de giro relativo a la recta x = 5 e integrar el polinomio resultante.
La región interior limitada por la parábola horizontal \( x = 9 - y^2 \), la recta secante \( x - y - 7 = 0 \) y el eje OY ( \( x = 0 \) ) gira en torno a la recta horizontal \( y = 3 \). Hallar el volumen del cuerpo resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar las intersecciones de las curvas frontera respecto a la variable y, formular el método de capas cilíndricas horizontales con radio de giro relativo a la recta y = 3 e integrar la función cúbica resultante.
Hallar la longitud del arco de la curva \( y^2 = \frac{2}{3}(x - 1)^3 \) interceptado por la curva \( y^2 = \frac{x}{3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el punto de intersección entre ambas curvas para fijar los límites de integración, calcular la derivada de la curva para formar el elemento diferencial de arco e integrar aprovechando la simetría de ambas ramas.
Calcular la longitud del arco de la curva \( x = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{4}\ln(y) \) comprendida entre las rectas horizontales \( y = 1 \) e \( y = e \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar x respecto a y, formar el radical del elemento de arco comprobando que el radicando es un trinomio cuadrado perfecto e integrar directamente entre 1 y e.
Calcular la longitud del arco de la curva algebraica (cisoide) \( y^2 = \frac{x^3}{2a - x} \) interceptado por la recta vertical \( x = \frac{5a}{3} \) con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada implícita de la curva para construir el elemento de arco, simplificar algebraicamente el radicando y resolver la integral resultante mediante una sustitución racionalizadora e integración por partes.
Hallar la longitud del arco que la recta vertical \( x = \frac{4}{3} \) corta en la parábola semicúbica de Neil \( y^2 = x^3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la curva semicúbica, construir el elemento diferencial de arco e integrar de forma inmediata sumando la contribución de ambas ramas simétricas desde el origen hasta x = 4/ 3.
Calcular la longitud del arco de la curva \( y = \ln(\cos(x)) \) comprendido entre los puntos de abscisas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la derivada de la función, simplificar el elemento diferencial de arco mediante la identidad de la secante e integrar directamente aplicando la regla de Barrow.
Hallar la longitud del lazo cerrado de la curva \( 9y^2 = x(x - 3)^2 \) comprendido entre sus puntos de corte con el eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los cortes con el eje OX para definir los límites de integración, calcular la derivada de la curva para simplificar el elemento de arco a un trinomio cuadrado perfecto e integrar sumando la contribución de ambas ramas simétricas.
Calcular la longitud del arco de la curva de ecuación \( y = \ln\left(\frac{e^x + 1}{e^x - 1}\right) \) comprendida en el intervalo \( 1 \le x \le 2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer el logaritmo de la fracción en diferencia de logaritmos, calcular la derivada para formar el elemento diferencial de arco mediante la cotangente hiperbólica e integrar en el intervalo dado.
Hallar la longitud del arco de la curva de ecuación \( y = \arcsin(e^{-x}) \) comprendida en el intervalo \( 0 \le x \le 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la función arcoseno compuesta, simplificar algebraicamente el elemento diferencial de arco y resolver la integral mediante un cambio de variable exponencial.
Hallar la longitud del arco de la curva semicúbica trasladada \( x^2 = (y + 1)^3 \) comprendido entre sus puntos de corte con la recta horizontal \( y = 4 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar x en función de y para simplificar los cálculos sobre el eje OY, calcular la derivada respecto a y para formar el elemento diferencial de arco e integrar considerando ambas ramas simétricas.
Hallar la longitud del arco de la rama derecha de la curva tractriz de ecuación \( x = -\sqrt{a^2 - y^2} + a\ln\left|\frac{a + \sqrt{a^2 - y^2}}{y}\right| \) desde la ordenada \( y = a \) hasta la ordenada \( y = b \) con \( 0 < b \le a \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por derivar la ecuación explícita x(y) respecto de la variable y, simplificar algebraicamente el elemento diferencial de arco e integrar entre las cotas b y a.
Hallar la longitud del arco de la curva de ecuación \( y = \ln\sqrt{\sec(2x)} \) comprendida entre los puntos de abscisas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la función mediante las propiedades de los logaritmos, calcular la derivada para formar el elemento diferencial de arco e integrar la secante mediante la regla de Barrow.
Calcular el área de la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el arco de la curva cúbica \( 3y - x^3 = 0 \) comprendido entre las rectas verticales \( x = 0 \) y \( x = a \) con \( a > 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar y en función de x, calcular la derivada para construir el elemento de superficie de revolución alrededor del eje OX e integrar mediante un ajuste potencial inmediato.
Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar alrededor del eje OX la curva trigonométrica \( y = \sin(x) \) en el intervalo completo de un periodo \( 0 \le x \le 2\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el elemento de área de revolución alrededor del eje de abscisas, aprovechar la simetría de los dos semiperiodos del seno y resolver la integral resultante mediante cambio de variable y funciones hiperbólicas.
Hallar el área del elipsoide de revolución (esferoide prolato) formado al girar alrededor del eje OX la elipse de ecuación \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la rama positiva de la elipse, calcular el elemento diferencial de superficie de revolución, introducir la excentricidad geométrica de la elipse e integrar mediante sustitución trigonométrica.
Hallar el área de la superficie generada al girar alrededor del eje OY la porción de la parábola \( y = \frac{x^2}{2} \) cortada por la recta horizontal \( y = \frac{3}{2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite de integración horizontal sustituyendo la altura dada, formular la integral de superficie de revolución alrededor del eje vertical OY con radio de giro x y resolver mediante integración inmediata.
Hallar el área de la superficie generada al girar alrededor del eje OX la porción de la parábola horizontal \( y^2 = 4 + x \) cortada por la recta vertical \( x = 2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el vértice de la parábola para fijar el extremo inferior de integración, calcular el producto y por ds para simplificar el radical e integrar la función lineal resultante.
Calcular el área de la superficie esférica y el volumen de una esfera de radio a utilizando cálculo integral de sólidos de revolución.
Para resolver este ejercicio empezaremos por considerar la semicircunferencia generatriz en el intervalo [-a, a], calcular el área superficial generada al rotar alrededor del eje de simetría OX y deducir a continuación el volumen mediante el método de discos.
Calcular el área de la superficie y el volumen de un toro circular de radio mayor a y radio menor b ( \( a > b > 0 \) ), formado al girar sobre el eje OY la circunferencia \( (x - a)^2 + y^2 = b^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar los dos teoremas clásicos de Pappus-Guldin que relacionan la superficie y el volumen de revolución con la trayectoria circular descrita por el centroide de la curva y de la región plana generatriz.
Hallar el área de la figura plana limitada por las cuatro parábolas \( y^2 = x \), \( y^2 = 2x \), \( y = x^2 \) y \( 2y = x^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir un sistema de coordenadas curvilíneas adaptadas que transformen el cuadrilátero curvilíneo en un rectángulo coordenado simple, calculando el determinante jacobiano de la transformación para evaluar el área mediante una integral doble inmediata.
Hallar el área de la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el contorno cerrado formado por las dos parábolas parabólicas \( y = x^2 \) y \( x = y^2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos de corte de ambas parábolas en (0, 0) y (1, 1), descomponer el contorno cerrado en el arco superior raíz de x y el arco inferior x al cuadrado, calcular la superficie de revolución de cada arco alrededor del eje OX y sumarlas.
Dada la parábola \( f(x) = x^2 \), el punto fijo focal \( F = (0, 1) \) y el punto móvil sobre la curva \( A = (a, a^2) \) con \( a > 0 \):
Calcular de forma analítica mediante la regla de Barrow el área \( S(a) \) de la región del plano comprendida entre la recta secante que une \( F \) y \( A \) y la parábola.
En este ejercicio calculamos los puntos de intersección entre la recta secante focal y la parábola y aplicamos la regla de Barrow sobre la diferencia de funciones para determinar el área exacta.
Dada la función real definida mediante una integral dependiente de un límite superior variable:
\( F(x) = \int_0^{x^2} \frac{\operatorname{sen} t}{1 + t^2} \, dt \)
(
a) Calcular su función derivada \( F'(x) \) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena.
(
b) Determinar todos los puntos críticos de \( F(x) \) en el intervalo cerrado \([0, \sqrt{\pi}]\) y clasificar sus extremos relativos.
Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo combinado con la regla de la cadena de Leibniz para derivar la función y analizamos los ceros de la derivada para hallar extremos.
Calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar alrededor del eje \( OX \) la región plana acotada por la curva parabólica \( y = 4 - x^2 \) y el eje de abscisas.
Hallamos los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas para fijar los límites de integración y aplicamos el método de los discos circulares.
Calcular el área exacta del recinto cerrado acotado por la gráfica de la curva cúbica \( y = x^3 - 3x \) y la recta secante de ecuación \( y = x \)
Hallamos las abscisas de corte entre la curva cúbica y la recta, analizamos la posición relativa de ambas en cada tramo e integramos mediante la regla de Barrow.
Calcular la longitud exacta del arco de curva dado por la función:
\( y = \ln(\cos x) \)
comprendido entre las abscisas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{4}\)
Calculamos la primera derivada de la función, simplificamos el elemento de línea diferencial mediante identidades trigonométricas e integramos la secante resultante.
Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar alrededor del eje vertical \( OY \) la región plana acotada por la curva \( y = \operatorname{sen}(x^2) \), el eje de abscisas y las rectas verticales \( x = 0 \) y \( x = \sqrt{\pi}\)
Empleamos el método de los casquetes cilíndricos coaxiales para plantear la integral del volumen de rotación en torno al eje de ordenadas y la resolvemos mediante una sustitución inmediata.
Calcular mediante la regla de Barrow el valor de la integral definida:
\( I = \int_0^3 |x^2 - 4| \, dx \)
desglosando la función según el signo del argumento e interpretando geométricamente el resultado como un área.
Determinamos los puntos donde se anula el binomio dentro del valor absoluto para separar la integral en dos intervalos regulares y aplicar la regla de Barrow en cada uno.
Dada la función real \( f(x) = \sqrt{x}\) definida en el intervalo cerrado \([0, 4]\):
(
a) Calcular el valor medio integral \(\mu \) de la función en dicho intervalo.
(
b) Hallar el punto exacto \( c \in (0, 4) \) cuya existencia garantiza el Teorema del Valor Medio del cálculo integral tal que \( f(c) = \mu \)
Calculamos el promedio continuo de la función mediante la integral definida y resolvemos la ecuación algebraica para hallar el punto interior garantizado por el teorema.
Calcular el área de la región del plano limitada superiormente por la circunferencia \( x^2 + y^2 = 8 \) e inferiormente por la parábola \( y = \frac{x^2}{2}\)
Hallamos los puntos de intersección resolviendo el sistema no lineal, separamos la integral en su componente trigonométrica circular y polinómica y aplicamos Barrow.
Dada la función racional par \( f(x) = \frac{x^2}{(1 + x^2)^2}\):
Calcular de forma analítica el área de la región del plano comprendida entre la gráfica de la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales \( x = -1 \) y \( x = 1 \)
Resolvemos la integral definida mediante el cambio de variable trigonométrico estándar del arco tangente y aplicamos la regla de Barrow.
Calcular el valor del parámetro real \( a > 0 \) para que el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje \( OX \) la región delimitada por la curva:
\( f(x) = \log x + \frac{a}{x} \)
entre las rectas verticales \( x = 1 \) y \( x = e \), sea exactamente igual a \( V = (e - 2)\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la integral del volumen de revolución mediante la fórmula de discos pi por la integral del cuadrado de la función. A continuación integraremos en el intervalo correspondiente e igualaremos el resultado al volumen prescrito para despejar el parámetro.
Calcular la siguiente integral impropia probando previamente que es convergente:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto de discontinuidad en el extremo superior y evaluaremos el límite de la integral definida mediante la función arco seno.
Calcular la siguiente integral impropia probando previamente su convergencia:
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo superior y calcularemos la primitiva inmediata de tipo casi-inmediata o potencial.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito con constantes positivas a y b:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{a^2+b^2x^2} \quad (a, b > 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el denominador para identificar la derivada del arco tangente y calcularemos el límite cuando el extremo superior tiende a más infinito.
Calcular la siguiente integral impropia probando previamente su convergencia:
\(\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo superior tres y calcularemos el límite de la primitiva arco seno escalada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que racionaliza el denominador y demostraremos que la integral se anula por antisimetría bajo inversión.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar un cambio de variable logarítmico para convertirla en una integral de potencias inmediata y evaluaremos el límite en el infinito.
Calcular la siguiente integral impropia en toda la recta real:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+2x+2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar cuadrados en el trinomio del denominador para identificar una función arco tangente desplazada y calcularemos los límites en ambos extremos infinitos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva de la función oscilatoria amortiguada mediante doble integración por partes y evaluaremos el límite al infinito.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \frac{\log x}{\sqrt{1-x}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que racionaliza el denominador y resolveremos la integral resultante mediante integración por partes.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la sustitución trigonométrica estándar para eliminar el radical y resolveremos la integral trigonométrica resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva mediante doble integración por partes y evaluaremos los límites para obtener el valor analítico de la transformada de Laplace.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \log x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el límite impropio en el extremo cero y calcularemos su valor mediante la primitiva logarítmica estándar.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos puntos singulares en uno y en infinito y utilizaremos una sustitución trigonométrica o de inversión para obtener la primitiva.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la sustitución trigonométrica estándar sobre el intervalo simétrico y resolveremos la integral trigonométrica resultante.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \log^2 x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral impropia en el origen y calcularemos su valor exacto aplicando dos veces consecutivas la integración por partes.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo inferior cero y evaluaremos la primitiva de la función potencia.
Calcular la siguiente integral impropia con singularidad interior en el origen:
\(\int_{-1}^{8} \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la singularidad se encuentra en el punto interior cero, descomponiendo la integral en dos sumandos y evaluando cada límite por separado.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como el límite de la integral definida en un intervalo acotado y evaluaremos la función exponencial en el infinito.
Calcular la siguiente integral impropia en la recta real completa:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la simetría impar de la función integrando y verificaremos su convergencia absoluta calculando la primitiva elemental.
Analizar la convergencia y calcular, si procede, la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{4} \frac{dx}{(4-x)^{3/2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo superior cuatro y evaluaremos el límite de la primitiva para determinar si converge o diverge.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} x \log x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por formular el límite impropio en el extremo cero y calcularemos la primitiva aplicando la fórmula de integración por partes.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} x^3 e^{-x} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar la integral con la función Gamma de Euler o aplicar integración por partes reiterada para obtener el valor factorial correspondiente.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo acotado simétrico:
\(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las singularidades en ambos extremos y aprovecharemos la simetría par del integrando para calcular su valor exacto.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que la derivada de la raíz cuadrada aparece en el denominador y calcularemos la primitiva casi inmediata.
Estudiar la convergencia y calcular, si procede, la siguiente integral impropia:
\(\int_{-\infty}^{6} \frac{dx}{(4-x)^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la presencia de puntos singulares en el interior del intervalo de integración y analizaremos la convergencia en torno al polo.
Calcular el área de la superficie, en el primer cuadrante, comprendida entre la curva de ecuación y^2 = x^4 / (4 - x^2), su asíntota vertical y el eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la función explícita en el primer cuadrante, identificaremos la asíntota vertical y calcularemos el área mediante una integral impropia con sustitución trigonométrica.
Calcular el área total de la región simétrica comprendida entre la curva de ecuación y^2 = (4 - x) / x y su asíntota vertical.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de definición de la curva, identificaremos su asíntota vertical en el origen y calcularemos el área total duplicando el área de la rama superior.
Calcular el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y = 8 / (4 + x^2) y su asíntota horizontal en toda la recta real.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la asíntota horizontal en el infinito y calcularemos la integral impropia en toda la recta real mediante la primitiva del arco tangente.
Calcular el área de la superficie, en el primer cuadrante, comprendida entre la curva de ecuación y = x e^(-x^2/2) y su asíntota horizontal.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la asíntota horizontal de la función en el infinito y calcularemos la integral impropia mediante una primitiva exponencial casi inmediata.
Calcular la longitud total del lazo cerrado de la curva de ecuación 9y^2 = x^2(2x + 3).
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos de corte de la curva con los ejes para delimitar el lazo cerrado y calcularemos la longitud mediante la fórmula del arco de curva diferenciable.
Calcular la longitud total de la curva cerrada del astroide de ecuación x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3), con parámetro a estrictamente positivo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar el astroide mediante funciones trigonométricas y calcularemos la longitud total cuadruplicando la longitud del arco del primer cuadrante.
Calcular la longitud total del lazo cerrado de la curva de ecuación y^2 = x(3 - x)^2.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos de corte de la curva con los ejes para delimitar el lazo cerrado y evaluaremos la integral de la longitud de arco.
Consideramos la superficie comprendida entre la curva de hipérbola equilátera xy = 1, el eje OX y la recta vertical x = 1 en el intervalo infinito [1, +infinito). Demostrar que su área es infinita.
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la integral impropia de primera especie que representa el área bajo la hipérbola y evaluaremos el límite de la primitiva logarítmica.
Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región comprendida entre la curva xy = 1, el eje OX y la recta x = 1 alrededor del eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el método de los discos circulares para el volumen de revolución alrededor del eje de abscisas y calcularemos la integral impropia de Riemann.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y = e^(-|x|) y su asíntota horizontal.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la asíntota horizontal de la campana exponencial bilateral y calcularemos el área total duplicando la integral del semieje positivo.
Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar el recinto plano comprendido entre la curva y = e^(-|x|) y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de los discos circulares para sólidos de revolución y calcularemos la integral impropia cuadrática en toda la recta real.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación (1 + x)y^2 = 1 - x y su asíntota vertical.
Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar la ecuación explícita de la curva, identificaremos su asíntota vertical en x igual a menos uno y calcularemos el área mediante sustitución trigonométrica.
Hallar el área total de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y^2 = x^2 / (1 - x^2) y sus dos asíntotas verticales.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las dos asíntotas verticales en x igual a más y menos uno y calcularemos el área total aprovechando la doble simetría par de la curva.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de ecuación y = 1 / (x^2 - 1), la recta vertical x = 3 y el eje OX en el semieje no acotado [3, +infinito).
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que no existen singularidades en el intervalo considerado y calcularemos el área mediante descomposición en fracciones simples y paso al límite en el infinito.
Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva y = e^(-2x), el eje OX y el eje OY en el primer cuadrante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por delimitar el intervalo de integración a partir de los ejes de coordenadas y evaluaremos la integral impropia exponencial de primera especie.
Hallar el volumen del sólido que engendra la superficie comprendida entre la curva y = e^(-2x), el eje OX y el eje OY al girar entorno al eje OX.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de los discos para sólidos de revolución alrededor del eje de abscisas y evaluaremos la integral impropia resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el tipo de integral impropia y los puntos conflictivos del intervalo de integración, analizando a continuación el comportamiento asintótico del integrando para aplicar un criterio de comparación adecuado.
Determinar si converge la siguiente integral impropia de segunda especie:
\(\int_{0}^{\pi/4} x^{-1/3} \cos x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por localizar la singularidad del integrando en el intervalo de integración y utilizar un criterio de comparación por paso al límite con una integral de Riemann de referencia.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto de discontinuidad infinita en el extremo superior y calcular directamente el límite de la integral definida mediante su primitiva elemental.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \log^2 x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y evaluaremos la convergencia calculando la primitiva mediante integración por partes reiterada y aplicando la regla de L'Hôpital al límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento asintótico de la función integrando cuando equis tiende a infinito y aplicaremos el criterio de comparación por cociente con una p-integral de Riemann.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar el crecimiento asintótico del logaritmo frente a potencias algebraicas para establecer una cota superior con una p-integral convergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la convergencia absoluta del integrando utilizando las propiedades de acotación de la función seno trigonométrica.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo abierto en el origen:
\(\int_{0}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x} |\log x|}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el origen, comprobando que el logaritmo tiende a infinito y aplicando el criterio de comparación con una p-integral de Riemann.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente:
\(\int_{0}^{1} e^{x} x^{-1/4} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo cero y acotaremos la función exponencial mediante su valor máximo en el intervalo compacto de integración.
Para resolver este ejercicio empezaremos por desarrollar en serie de Taylor la función seno en torno a cero para hallar su infinitésimo equivalente y compararla con una integral de Riemann.
Determinar si converge la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x^{1/4}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y calcularemos su valor exacto mediante la técnica de integración por partes.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el origen y aplicar el criterio de comparación por paso al límite con una integral de Riemann estándar.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente y hallar su valor:
\(\int_{0}^{1} \log x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir formalmente la integral impropia de segunda especie en el extremo inferior cero y evaluaremos su primitiva inmediata mediante paso al límite.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo inferior equis igual a uno y utilizaremos el desarrollo en serie de Taylor del logaritmo para determinar el orden de convergencia.
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que no existen singularidades en el intervalo cerrado de integración y analizaremos el comportamiento asintótico en el infinito comparándolo con una p-integral convergente.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^4+x+1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el polinomio del denominador no posee raíces reales positivas y aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con una p-integral de grado cuatro en el infinito.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la integral en dos integrales impropias, una con singularidad en cero y otra en el infinito, analizando la convergencia independiente de cada una.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia simétrica:
\(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las singularidades en ambos extremos del intervalo de integración y calcularemos los límites de las primitivas en las dos subdivisiones.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente:
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x-x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el radicando para aislar los puntos singulares en ambos extremos cero y uno, analizando la convergencia en cada uno mediante comparación asintótica.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4-1}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que existen dos singularidades: en el extremo inferior equis igual a uno y en el límite superior infinito, subdividiendo el intervalo y aplicando criterios de comparación en cada extremo.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{\cosh x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar el coseno hiperbólico en su definición exponencial y calcularemos la primitiva explícita de la función mediante un cambio de variable estándar.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos puntos impropios en cero y en más infinito, descomponiendo la integral en dos intervalos y aplicando criterios de comparación asintótica en cada extremo.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{e^{2x}-3}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que no existen ceros del denominador en el intervalo de integración y aplicaremos el criterio de comparación asintótica en el infinito.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(e^x-1)^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función en el intervalo y aplicaremos una comparación asintótica con la función exponencial decreciente en el infinito.
Demostrar la convergencia de la integral impropia de Euler-Gauss:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la integral en el intervalo compacto cero a uno y el intervalo infinito uno a más infinito, acotando la exponencial cuadrática por una exponencial lineal decreciente.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3-1}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los dos puntos singulares en el extremo inferior uno y en el infinito, subdividiendo el intervalo y aplicando criterios de comparación asintótica en cada tramo.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{1} \log x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la convergencia absoluta del integrando, acotando la función trigonométrica seno por la unidad y comparando con la integral del logaritmo natural.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-(x^2+x-2)} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la constante exponencial independiente y acotar la función integrando mediante la campana de Gauss en el infinito.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia en la recta real completa:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aprovechar la simetría par del integrando en toda la recta real y aplicaremos la técnica de integración por partes para relacionarla con la integral de Gauss.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito negativo:
\(\int_{-\infty}^{-1} \frac{dx}{1+x^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral impropia como el límite cuando el extremo inferior tiende a menos infinito y calcularemos su valor exacto mediante la primitiva del arco tangente.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{9+x^2}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el orden de magnitud del integrando cuando equis tiende a más infinito y aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con una p-integral de Riemann.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{2}^{4} \frac{dx}{\sqrt{-x^2+6x-8}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el trinomio bajo el radical para identificar los puntos de indeterminación en ambos extremos del intervalo y calcularemos la primitiva completando cuadrados.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo no acotado:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como el límite de la integral definida en un intervalo acotado y calcularemos su valor exacto mediante la primitiva del arco tangente.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad en el intervalo de integración y calcularemos su valor analítico exacto mediante descomposición en fracciones simples.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el denominador es estrictamente positivo en todo el dominio y acotaremos la fracción racional por la unidad.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{2}^{+\infty} e^{-x^3} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comparar el crecimiento del exponente cúbico con una función exponencial lineal en el intervalo considerado.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la convergencia absoluta del integrando en ambos extremos infinitos y utilizaremos la propiedad de simetría impar de la función.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función en el intervalo cerrado de integración y analizaremos su comportamiento asintótico en el infinito comparándola con la integral armónica divergente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la convergencia absoluta del integrando en el intervalo infinito y acotaremos la función coseno por la unidad.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y utilizaremos el criterio de comparación por paso al límite con una integral de Riemann.
Determinar si converge la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^3-4x^2+4x}}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el radicando cúbico para localizar la posición de las singularidades y analizaremos el orden del polo en el extremo superior.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo acotado:
\(\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{x}(3+x)}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo inferior cero y aplicaremos el criterio de comparación asintótica con una p-integral de Riemann.
Demostrar la convergencia de la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x+e^x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la continuidad de la función en todo el intervalo y acotaremos el integrando mediante la función exponencial decreciente.
Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia:
\(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto singular en el extremo superior uno y aplicaremos el criterio de comparación asintótica con una integral de Riemann.
Demostrar que la siguiente integral impropia es convergente y calcular su valor exacto:
\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la integral en dos intervalos simétricos debido a la presencia del valor absoluto y calcularemos su valor exacto mediante las primitivas elementales.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito es divergente:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x+1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral como el límite de la integral definida en un intervalo acotado y calcularemos su valor mediante la primitiva logarítmica.
Probar que la siguiente integral impropia es divergente:
\(\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\log x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar la función logaritmo mediante una función lineal para aplicar el criterio de comparación con la integral armónica divergente.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo acotado es divergente:
\(\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{x} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la función armónica.
Probar que la siguiente integral impropia en el intervalo acotado es divergente:
\(\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{cotg} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el punto impropio en el extremo cero y calcularemos el límite de la primitiva exacta de la cotangente.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo acotado es divergente:
\(\int_{0}^{\pi/2} \sec x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo superior pi medios y evaluaremos el límite de la primitiva elemental de la función secante.
Probar que la siguiente integral impropia de segunda especie es divergente:
\(\int_{0}^{1/2} \frac{dx}{x \log x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación en el origen y calcularemos la primitiva inmediata mediante un cambio de variable logarítmico.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la singularidad en el extremo inferior cero y calcularemos la primitiva inmediata identificando la derivada del denominador en el numerador.
Demostrar que la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito es divergente por oscilación:
\(\int_{0}^{+\infty} \operatorname{sen} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la integral impropia de primera especie como el límite de la integral sobre un intervalo finito y demostraremos que dicho límite no existe debido a la oscilación periódica del coseno.
Probar que la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito es divergente:
\(\int_{0}^{+\infty} x \operatorname{sen} x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva mediante el método de integración por partes y demostraremos que el límite cuando el extremo superior tiende a infinito oscila con amplitudes crecientes ilimitadas.
Calcular la siguiente integral definida mediante funciones eulerianas o cambio de variable inmediato:
\(\int_{0}^{\pi/2} (\log(\operatorname{sen} x))^8 \cos x \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar un cambio de variable trigonométrico que transforme la integral en una integral tipo Gamma para la función logaritmo.
Calcular la siguiente integral definida en el intervalo unidad utilizando las funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el radicando para expresarlo en la forma estándar de la función Beta de Euler y utilizaremos la relación entre Beta y Gamma.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito utilizando funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar un cambio de variable algebraico que transforme el denominador en la segunda forma estándar de la función Beta y aplicaremos la fórmula de reflexión de Euler.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que convierte el término potencial en una variable lineal y expresaremos el resultado mediante la función Beta y la función Gamma.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito para un parámetro n estrictamente mayor que cuatro utilizando funciones eulerianas:
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable que normalice el denominador y utilizaremos la representación de la función Beta en intervalo no acotado junto con la fórmula de reflexión.
Para resolver este ejercicio empezaremos por transformar el argumento logarítmico mediante un cambio de variable exponencial y lo identificaremos con la definición estándar de la función Gamma.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable que linealice el exponente y expresaremos el resultado en términos de la función Gamma de Euler.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la tangente en términos de senos y cosenos para relacionarla con la forma trigonométrica de la función Beta y aplicaremos la fórmula de reflexión de Euler.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^5 e^{-t} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el integrando con la definición de la función Gamma de Euler y evaluaremos el factorial correspondiente.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^{3/2} e^{-t} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la integral como el valor de la función Gamma en un argumento semientero y aplicaremos la propiedad de recurrencia.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito negativo:
\(\int_{-\infty}^{0} t^3 e^t \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable de simetría para trasladar la integral al semieje positivo y la relacionaremos con la función Gamma.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^4 e^{-t/2} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable que normalice el exponente a e elevado a menos u y utilizaremos la definición factorial de Gamma.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} t^{-1/2} e^{-2t} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un escalado en la variable de integración para obtener la forma estándar de la función Gamma y evaluaremos en un medio.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el integrando con la segunda forma de la función Beta y calcularemos su valor mediante la relación con la función Gamma.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{(1+2t)^4} \, dt \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un escalado en la variable de integración para reducir el binomio a la forma uno más u y aplicaremos la función Beta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los exponentes del integrando con la definición fundamental de la función Beta y calcularemos el valor factorial mediante Gamma.
Para resolver este ejercicio empezaremos por descomponer la raíz en potencias fraccionarias de seno y coseno y utilizaremos la forma trigonométrica de la función Beta.
Calcular la integral impropia de Euler-Gauss en el semieje positivo utilizando la función Gamma:
\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable cuadrático para linealizar el exponente y evaluaremos el valor exacto de la función Gamma en un medio.
Calcular la siguiente integral impropia en el semieje positivo mediante funciones eulerianas:
\(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^3} \, dx \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el cambio de variable que linealiza la potencia cúbica en el exponente y expresaremos el resultado en términos de la función Gamma.
Calcular la siguiente integral impropia en el intervalo semiinfinito mediante la función Beta de Euler:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^6}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable cuadrático para reducir la fracción a la segunda especie de Beta y calcularemos su valor exacto mediante la función Gamma.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar un cambio de variable cuadrático para expresar la fracción en términos de la función Beta y evaluaremos el cociente de funciones Gamma.
Para resolver este ejercicio empezaremos por efectuar el cambio de variable que racionaliza el binomio del denominador y aplicaremos la segunda especie de la función Beta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los exponentes pares con la forma trigonométrica estándar de la función Beta y calcularemos el valor exacto mediante factoriales dobles o Gamma.
Dada la función real de variable real:
\( f(x) = \frac{e^{3x}}{(2 + e^x)^4}\)
(
a) Justificar rigurosamente si la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular, si es posible, el valor exacto de la integral impropia \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx \)
En este ejercicio estudiamos la convergencia analizando el decaimiento asintótico en ambos infinitos y calculamos su valor exacto mediante el cambio de variable exponencial.
Dada la función real \( f(x) = x^2(\ln x)^4 \) definida en el intervalo \((0, 1]\):
(
a) Justificar de forma rigurosa si la integral impropia \(\int_0^1 x^2(\ln x)^4 \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable logarítmico y la función Gamma de Euler.
Analizamos la acotación de la singularidad en el origen mediante órdenes de infinitud y resolvemos la integral transformándola en la función Gamma de Euler.
Calcular de forma rigurosa el valor de la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_1^\infty \frac{\arctan x}{x^2} \, dx \)
aplicando la definición formal mediante el paso al límite del extremo superior.
Determinamos la primitiva en el intervalo finito acotado mediante integración por partes y calculamos el límite cuando el extremo superior tiende a más infinito.
Dada la función racional real \( f(x) = \frac{x^2}{(1 + x^2)^4}\):
(
a) Demostrar que la integral impropia \(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio trigonométrico del arco tangente y la función Beta de Euler.
Demostramos la convergencia mediante el criterio de comparación por paso al límite en el infinito y calculamos su valor exacto mediante integrales trigonométricas de Wallis.
Dada la función real \( f(x) = \ln(x^2) \) definida en el intervalo \((0, 1]\):
(
a) Decidir razonadamente si la integral impropia \(\int_0^1 \ln(x^2) \, dx \) es convergente.
(
b) Calcular su valor numérico exacto mediante la regla de Barrow en el límite del extremo inferior.
Aplicamos las propiedades algebraicas del logaritmo para simplificar el integrando, integramos por partes y evaluamos el límite cuando el extremo inferior tiende a cero por la derecha.
Sea la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln^2 x}{x^2} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que es convergente sin calcular previamente su valor.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el método de integración por partes.
Demostramos la convergencia comparando con una p-integral convergente de orden intermedio y calculamos su valor exacto aplicando partes dos veces consecutivas.
Dada la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{8 + x^3} \, dx \)
(
a) Probar de forma justificada que la integral es convergente analizando el origen y el infinito.
(
b) Calcular su valor exacto mediante el cambio de variable y la fórmula de reflexión de la función Beta.
Analizamos la regularidad en el origen y la cota asintótica en el infinito y calculamos el valor exacto reduciendo la integral a la función Beta y su fórmula de reflexión.
Integrando mediante el método de partes, calcular el valor exacto de la integral impropia:
\( I = \int_1^\infty \frac{\ln x}{x^4} \, dx \)
Calculamos la primitiva mediante integración por partes asignando la derivada al logaritmo y evaluamos el límite cuando el extremo superior tiende a más infinito.
Calcular de forma analítica el valor de la integral impropia de primera especie:
\( I = \int_4^\infty \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \, dx \)
descomponiendo previamente el integrando en fracciones simples.
Factorizamos el denominador cuadrático para verificar la ausencia de singularidades en el intervalo de integración, descomponemos en fracciones simples y evaluamos el límite en el infinito.
Calcular de forma exacta las siguientes integrales impropias utilizando las propiedades de las funciones especiales de Euler:
(a) \( I_1 = \int_0^\infty x^6 e^{-2x} \, dx \), empleando la función Gamma de Euler.
(b) \( I_2 = \int_0^1 x^3(1 - x)^4 \, dx \), empleando la función Beta de Euler.
Aplicamos las definiciones y relaciones factoriales canónicas de las funciones Gamma y Beta de Euler para evaluar ambas integrales impropias de forma inmediata sin recurrir a partes iteradas.
\( I = \int_{0}^{1} x^2 (\log x)^4 \, dx \)
a) Justificar rigurosamente si la integral es convergente.
b) Calcular su valor exacto empleando la función Gamma de Euler o integración por partes reiterada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los puntos singulares del intervalo de integración y descomponer la integral si es necesario. A continuación calcularemos la primitiva analítica mediante integración por partes y evaluaremos el límite en los extremos para determinar su valor de convergencia.