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625 ejercicios resueltos paso a paso.
1.1 Derivadas elementales y reglas de derivación
1.
Hallar la derivada de \( y=\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc tg}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\right) \)
2.
Hallar la derivada de \( y=\cos\left(\operatorname{arc tg}\frac{1}{e^{x}+x^{2}}\right) \)
3.
Se considera la función \( f(x)=\begin{cases} (x-1)^{4}\cos^{2}\frac{1}{x-1} & \text{si } x\ne 1 \\ 0 & \text{si } x=1 \end{cases} \). Hallar \( f'(1) \) y \( f''(1) \)
4.
Hallar la derivada tercera de la función \( y=\frac{\operatorname{sen} x}{1+\cos x} \)
5.
Hallar la derivada tercera de la función \( y=e^{\operatorname{arc tg} x} \)
6.
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a \( f(x)=x^{3}-2x^{2}+4 \) en el punto \((2, 4) \)
7.
Dada la función \( f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<-1 \\ -x & \text{si } -1\le x \end{cases} \), hallar su función derivada.
8.
Se ha construido un depósito cúbico y la medida del lado \( L \) del cubo resulta ser \( 11, 35 \) m con una cota de error estimado de \( 0, 2 \) m. Aplicar el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen \( V \) del depósito.
9.
Con los datos (lado medido \( L=11, 35 \) m), estimar el máximo error en la medida de \( L \) para que el error propagado al calcular el volumen no supere el \( 3\% \)
11.
Hallar la derivada primera de \( f(x)=\operatorname{tg}^{2}(x^{2}) \)
12.
Hallar la derivada primera de \( g(x)=\ln\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) \)
13.
Se desea calcular el área \( A \) de un triángulo cuya altura mide el doble de la base. Si se obtiene un valor de \( 10, 4 \) m al medir la longitud de la base \( b \) con un error máximo de \( 5 \) cm, hallar el máximo error porcentual cometido en el cálculo del área del triángulo.
14.
Con los datos (base medida \( b=10, 4 \) m, altura doble de la base), ¿cuál ha de ser el máximo error porcentual permitido en la medida de la longitud de la base para que el error cometido en el cálculo del área no supere los \( 0, 3 \) m²?
15.
Sean \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \). Hallar \( f'(x) \)
16.
Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \), hallar \( g'(x) \)
17.
Con las funciones \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x) \) y \( g(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(3x^{2})}{1+\cos(3x^{2})}} \), hallar \((f\circ g)'(x) \)
18.
Sean \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x^{2}) \) y \( g(x)=\ln(\sqrt{x}) \). Hallar las derivadas \( f'(x) \) y \( g'(x) \)
19.
Con \( f(x)=\operatorname{arc tg}(x^{2}) \) y \( g(x)=\ln(\sqrt{x}) \), aplicando la regla de la cadena hallar la derivada \((g\circ f)'(x) \)
20.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=2^{\operatorname{tg} x} \)
21.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}(2x) \)
22.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}^{2}x \)
23.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}(x^{2}) \)
24.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\operatorname{tg}\left(2^{x}\right) \)
25.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\ln\left(\sqrt{\frac{1+\operatorname{tg} x}{-1+\operatorname{tg} x}}\right) \)
26.
Hallar, indicando todos los pasos intermedios, la derivada de \( y=\left(\frac{x+1}{x}\right)^{1/x} \)
27.
Un balón se infla de tal forma que su volumen crece a razón de \( 100 \) cm³/s. Hallar la variación del radio cuando \( r=10 \) cm.
1.2 Monotonía, extremos locales y concavidad
28.
Se considera la función \( f(x)=\begin{cases} (x-1)^{4}\cos^{2}\frac{1}{x-1} & \text{si } x\ne 1 \\ 0 & \text{si } x=1 \end{cases} \). ¿Existe un mínimo relativo en \( x=1 \)?
30.
Sea \( y=f(x) \) una función cuya gráfica es la que aparece en la página 79 del PDF (pág. 79, ejercicio 25). Indicar si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones:
a) \( f \) es continua en todo \(\mathbb{R} \)
b) \( f \) es derivable en todo \(\mathbb{R} \)
c) \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x=b \)
d) \( f \) está acotada inferiormente.
e) \( f \) tiene máximos relativos en \( x=a \) y en \( x=d \)
f) \( f \) está acotada superiormente.
g) \( f \) tiene puntos de inflexión en \( x=a \), \( x=b \) y \( x=d \)
h) \( f \) tiene una asíntota vertical en \( x=c \) y una asíntota horizontal de ecuación \( y=0 \)
i) \( f'(x)=0 \) en \( x=a \) y en \( x=d \)
a) \( f \) es continua en todo \(\mathbb{R} \)
b) \( f \) es derivable en todo \(\mathbb{R} \)
c) \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x=b \)
d) \( f \) está acotada inferiormente.
e) \( f \) tiene máximos relativos en \( x=a \) y en \( x=d \)
f) \( f \) está acotada superiormente.
g) \( f \) tiene puntos de inflexión en \( x=a \), \( x=b \) y \( x=d \)
h) \( f \) tiene una asíntota vertical en \( x=c \) y una asíntota horizontal de ecuación \( y=0 \)
i) \( f'(x)=0 \) en \( x=a \) y en \( x=d \)
31.
Demostrar que si \( 0\leq a\leq b \) entonces \(\frac{a}{a+1}\leq\frac{b}{b+1} \)
1.3 Máximos y mínimos absolutos
33.
Sea \( f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-2} & \text{si } x<2 \\[4pt] \dfrac{x^{2}}{x-2} & \text{si } x>2 \end{cases} \). ¿Está \( f \) acotada en \((-\infty, 0] \)? ¿Tiene máximo y mínimo en ese intervalo?
1.4 Teorema de Bolzano y localización de soluciones
34.
Estudiar la continuidad de la función \( f(x)=\begin{cases} 1+\operatorname{tg}\frac{x}{2} & \text{si } x<0 \\ \cos(x^{2}) & \text{si } 0\le x\le\sqrt{\pi} \\ \ln x & \text{si } x>\sqrt{\pi} \end{cases} \)
35.
Demostrar que el polinomio \( p(x)=x^{3}+x^{2}+x-1 \) tiene una única raíz real positiva.
36.
Demostrar que la ecuación \( e^{x}=x+1 \) no tiene más solución real que \( x=0 \)
37.
Demostrar que si \( x>0 \), entonces \(\frac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac{1}{x} \)
38.
Demostrar que \( f(x)=4x^{3}+x-3 \) tiene exactamente una solución real de la ecuación \( f(x)=0 \)
39.
Dada la función \( f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<-1 \\ -x & \text{si } -1\le x \end{cases} \), estudiar su continuidad.
40.
Un vehículo circula a \( 90 \) km/h por el km \( 100 \) de una autopista; diez minutos después está en el km \( 125 \), donde le para la policía y le multa. ¿Por qué?
41.
Razonar si puede aplicarse el teorema de Rolle a la función \( f(x)=\ln(x^{2}) \) en el intervalo \([-1, 1] \)
42.
La función \( f(x)=\sqrt[5]{x^{2}}-1 \) se anula en los extremos del intervalo \([-1, 1] \). Al mismo tiempo es \( f'(x)\ne 0 \). Explicar por qué no se verifica la tesis del teorema en este ejemplo.
43.
Aplicando el teorema del valor medio a la función \( f(x)=\ln x \) en un intervalo adecuado, demostrar que \(\frac{1}{2}<\ln 2<1 \)
44.
Estudiar la continuidad de la función \( f(x)=\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} \)
45.
Dada la función \( f(x)=\begin{cases} -3\operatorname{sen} x & \text{si } x\le -\frac{\pi}{2} \\ A\operatorname{sen} x+B & \text{si } -\frac{\pi}{2}
46.
Sea la función continua definida por \( f(x)=\frac{x-\operatorname{sen} x}{x^3} \) si \( x\neq 0 \), y \( f(0)=\alpha \). Hallar \(\alpha \) para que efectivamente la función sea continua en \( x=0 \)
1.5 Estudio y representación gráfica de funciones
47.
Sea la función \( f(x) = x e^{1/x} \)
Halla el dominio de la función.
Halla el dominio de la función.
48.
Sea la función \( f(x) = x e^{1/x} \)
Estudia el signo de \( f(x) \) en función de \( x \)
Estudia el signo de \( f(x) \) en función de \( x \)
50.
Sea la función \( f(x) = x e^{1/x} \)
Estudia su crecimiento y decrecimiento y halla sus máximos y mínimos relativos.
Estudia su crecimiento y decrecimiento y halla sus máximos y mínimos relativos.
51.
Sea la función \( f(x) = x e^{1/x} \)
Estudia su concavidad y convexidad y halla sus puntos de inflexión.
Estudia su concavidad y convexidad y halla sus puntos de inflexión.
52.
Sea la función \( f(x) = x e^{1/x} \)
Halla los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
Halla los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
53.
Sea la función \( f(x) = x e^{1/x} \)
Dibuja su gráfica aproximada.
Dibuja su gráfica aproximada.
54.
Sea la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x^3}} \)
Halla el dominio de la función.
Halla el dominio de la función.
55.
Sea la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x^3}} \)
Estudia el signo de \( f(x) \) en función de \( x \)
Estudia el signo de \( f(x) \) en función de \( x \)
56.
Sea la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x^3}} \)
Halla sus asíntotas.
Halla sus asíntotas.
57.
Sea la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x^3}} \)
Estudia su crecimiento y decrecimiento y halla sus máximos y mínimos relativos.
Estudia su crecimiento y decrecimiento y halla sus máximos y mínimos relativos.
58.
Sea la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x^3}} \)
Halla los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
Halla los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
59.
Sea la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x^3}} \)
Dibuja su gráfica aproximada.
Dibuja su gráfica aproximada.
60.
Dada la función \( f(x) = \frac{x^2}{x-1} \)
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos.
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos.
61.
Dada la función \( f(x) = \frac{x^2}{x-1} \)
Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
62.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Prueba que \( f(x) \) es continua y derivable en todo \(\mathbb{R} \)
Prueba que \( f(x) \) es continua y derivable en todo \(\mathbb{R} \)
63.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Prueba que \( f(x) \) es periódica de periodo \( T = 2\pi \)
Prueba que \( f(x) \) es periódica de periodo \( T = 2\pi \)
64.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Utilizando las fórmulas \(\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta + \cos\alpha\operatorname{sen}\beta \), \(\operatorname{sen}(2\alpha) = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha \) y \(\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha \), prueba que \( f(x) = \frac{4}{3}\operatorname{sen}^3 x \)
Utilizando las fórmulas \(\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta + \cos\alpha\operatorname{sen}\beta \), \(\operatorname{sen}(2\alpha) = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha \) y \(\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha \), prueba que \( f(x) = \frac{4}{3}\operatorname{sen}^3 x \)
65.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Halla los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas en el intervalo \([0, 2\pi] \)
Halla los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas en el intervalo \([0, 2\pi] \)
66.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Prueba que su gráfica no posee asíntotas horizontales, verticales ni oblicuas.
Prueba que su gráfica no posee asíntotas horizontales, verticales ni oblicuas.
67.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Calcula sus extremos relativos y sus puntos de inflexión en el intervalo \([0, 2\pi] \)
Calcula sus extremos relativos y sus puntos de inflexión en el intervalo \([0, 2\pi] \)
68.
Dada la función \( f(x) = \operatorname{sen} x - \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \)
Deduce los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad en el intervalo \([0, 2\pi] \)
Deduce los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad en el intervalo \([0, 2\pi] \)
69.
Realiza un estudio completo de la función \( y = x^3 + 2x^2 + x \): dominio, signo, simetrías, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, cortes con los ejes y gráfica aproximada.
70.
Realiza un estudio completo de la función \( f(x) = x^2 e^{1/x} \): dominio, signo, simetrías, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, cortes con los ejes y gráfica aproximada.
71.
Realiza un estudio completo de la función \( g(x) = (x^2-4)^{2/3} \): dominio, signo, simetrías, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, cortes con los ejes y gráfica aproximada.
72.
Dada la función \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \)
Calcula su dominio.
Calcula su dominio.
73.
Dada la función \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \)
Estudia sus simetrías.
Estudia sus simetrías.
74.
Dada la función \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \)
Calcula sus puntos críticos.
Calcula sus puntos críticos.
76.
Dada la función \( y = \frac{x^3}{2x^2-8} \)
Estudia sus simetrías.
Estudia sus simetrías.
77.
Dada la función \( y = \frac{x^3}{2x^2-8} \)
Calcula sus puntos críticos.
Calcula sus puntos críticos.
78.
Dada la función \( y = \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} \)
Calcula su dominio.
Calcula su dominio.
79.
Dada la función \( y = \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} \)
Estudia sus simetrías.
Estudia sus simetrías.
80.
Dada la función \( y = \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} \)
Calcula sus puntos críticos.
Calcula sus puntos críticos.
81.
Haz un estudio y representa gráficamente la curva \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \), que es la función de densidad de la distribución normal de media \( 0 \) y desviación típica \( 1 \)
83.
Representa gráficamente la función \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x+1} \)
84.
Dada la curva \( f(x) = -\frac{240x(3x^4-10x^2+3)}{(x^2+1)^6} \)
Haz un estudio de la función: dominio, signo, simetrías, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, cortes con los ejes y gráfica aproximada.
Haz un estudio de la función: dominio, signo, simetrías, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, cortes con los ejes y gráfica aproximada.
85.
Halla el dominio y haz un estudio de las asíntotas, el crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexión, y representa gráficamente la función \( f(x) = x - \sqrt{x^2-x} \)
86.
Hallar el dominio de la función \( f(x)=\ln(\operatorname{sen} x) \)
87.
Hallar el dominio de la función \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}}+\sqrt{|x+2|-1} \)
88.
Hallar el dominio de la función \( f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\sqrt{\frac{2-x}{2+x}} \)
89.
Hacer un estudio completo y representar gráficamente la función \( f(x)=\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+x} \)
90.
Dada la función \( f(x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{1+\operatorname{sen} x} \), hallar su dominio.
91.
Dada la función \( f(x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{1+\operatorname{sen} x} \), hallar sus asíntotas.
93.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}} \), hallar su dominio.
94.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x}} \), hallar su dominio.
96.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^2+1} \) se pide representarla gráficamente.
1.6 Indeterminaciones sin L'Hôpital
102.
Calcular \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{6x^{2}+2x+1}{5x^{2}-3x+4} \)
1.7 Regla de L'Hôpital
111.
Hallar \(\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}+\operatorname{sen} x}{e^{x}+\cos x} \)
112.
Hallar \(\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x}}{\operatorname{sen} x} \)
2.1 Primitivas inmediatas
113.
Determinar la curva que pasa por el punto \((4\pi^{2}, 1) \) y cuya pendiente, en cada punto \((x, y) \), tal que \( x>0 \), es \(\frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \)
114.
Determinar la curva que pasa por el punto \((e, 2) \) y cuya pendiente en cada punto \((x, y) \), tal que \( x>0 \), es \(\ln\sqrt{x} \)
115.
Determinar la curva que pasa por el punto \((e, 2) \) y cuya pendiente en cada punto \((x, y) \), tal que \( x>0 \), es \(\ln x \)
2.6 Integral definida y teorema fundamental del cálculo
116.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
\( F(x)=\int_{x}^{x^{2}}e^{-t}(\operatorname{sen} t+\cos t)\, dt \)
\( F(x)=\int_{x}^{x^{2}}e^{-t}(\operatorname{sen} t+\cos t)\, dt \)
117.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
\( G(x)=\int_{0}^{x^{3}}\operatorname{sen} x\cos t\, dt \)
\( G(x)=\int_{0}^{x^{3}}\operatorname{sen} x\cos t\, dt \)
118.
Hallar el valor de \(\mu \) que cumpla que \(\int_{0}^{2}f(x)\, dx=2\mu \), siendo \( f(x)=\begin{cases}3 & \text{si } 0\leq x\leq 1 \\ 5 & \text{si } 1
119.
La tasa de variación en la población de conejos es \(\frac{dP}{dt}=\frac{100-25t}{t^{2}-8t+16{, }1} \) ( \( t \) tiempo en años). Hallar:
a) Al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
a) Al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
120.
La tasa de variación en la población de conejos es \(\frac{dP}{dt}=\frac{100-25t}{t^{2}-8t+16{, }1} \) ( \( t \) tiempo en años). Hallar:
b) Si la población inicial de conejos es de \( 50 \) unidades, hallar el número máximo de conejos.
b) Si la población inicial de conejos es de \( 50 \) unidades, hallar el número máximo de conejos.
121.
La tasa de variación en la población de conejos es \(\frac{dP}{dt}=\frac{100-25t}{t^{2}-8t+16{, }1} \) ( \( t \) tiempo en años). Hallar:
c) ¿Se extinguirán los conejos?
c) ¿Se extinguirán los conejos?
122.
a) Demostrar que si \( y=\operatorname{arg\, th} x \), entonces \( y'=\frac{1}{1-x^{2}} \)
123.
b) Calcular la derivada de la siguiente función: \( F(x)=\int_{\ln x}^{x^{3}}e^{t^{2}}\, dt \)
124.
a) Demostrar que si \( y=\operatorname{arg\, sh} x \), entonces \( y'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \)
125.
b) Calcular la derivada de la siguiente función: \( F(x)=\int_{e^{2}}^{x^{3}}\frac{\ln t}{t}\, dt \)
126.
a) Demostrar la siguiente relación: \(\operatorname{arg\, sh} x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)
127.
b) Calcular la derivada de la siguiente función: \( F(x)=\int_{x}^{x^{3}}\frac{\operatorname{sen} t}{\sqrt{t}}\, dt \)
128.
a) Demostrar la siguiente relación: \(\operatorname{ch}^{2}x+\operatorname{sh}^{2}x=\operatorname{ch}(2x) \)
129.
b) Calcular la derivada de la siguiente función: \( F(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\, dt \)
130.
a) Sea \( f(x)=\begin{cases}\cos x & \text{si } x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}, 0\right] \\[6pt] 4+\operatorname{sen} x & \text{si } x\in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]\end{cases} \)
a1) Hallar \( I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\, dx \)
a2) Hallar el valor de \( k \) tal que \( I=\pi\cdot k \)
a3) ¿Existe algún punto \( c \) del intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) tal que \( f(c)=k \)?
a4) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
a1) Hallar \( I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\, dx \)
a2) Hallar el valor de \( k \) tal que \( I=\pi\cdot k \)
a3) ¿Existe algún punto \( c \) del intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) tal que \( f(c)=k \)?
a4) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
131.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) \( F(x)=\int_{5}^{x^{3}}\ln(t^{2})\, dt \)
a) \( F(x)=\int_{5}^{x^{3}}\ln(t^{2})\, dt \)
132.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
b) \( G(x)=\int_{5x}^{x^{4}}(\ln x)\sqrt{t}\, dt \)
b) \( G(x)=\int_{5x}^{x^{4}}(\ln x)\sqrt{t}\, dt \)
133.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
c) \( H(x)=\int_{2}^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sen} t\, dt \)
c) \( H(x)=\int_{2}^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sen} t\, dt \)
134.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
d) \( I(x)=\int_{\operatorname{sen} x}^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sen} x\cos t\, dt \)
d) \( I(x)=\int_{\operatorname{sen} x}^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sen} x\cos t\, dt \)
135.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
e) \( J(x)=\int_{3}^{\ln x}\operatorname{tg} t\, dt \)
e) \( J(x)=\int_{3}^{\ln x}\operatorname{tg} t\, dt \)
136.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
f) \( K(x)=\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\operatorname{tg} x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
f) \( K(x)=\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\operatorname{tg} x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
137.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
g) \( L(x)=\int_{1}^{x^{3}}\cos t\, dt \)
g) \( L(x)=\int_{1}^{x^{3}}\cos t\, dt \)
138.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
h) \( M(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\cos x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
h) \( M(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\cos x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
139.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
i) \( N(x)=\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\operatorname{tg} x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
i) \( N(x)=\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\operatorname{tg} x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
140.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
b) \( G(x)=\int_{\cos x}^{\ln x}\cos x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
b) \( G(x)=\int_{\cos x}^{\ln x}\cos x\, \operatorname{sen} t\, dt \)
141.
La tasa de variación de una población de conejos es \(\frac{dP}{dt}=\frac{100-25t}{t^{2}-8t+16{, }1} \), con \( t \) el tiempo en años. Hallar al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
142.
La tasa de variación de una población de conejos es \(\frac{dP}{dt}=\frac{100-25t}{t^{2}-8t+16{, }1} \), con \( t \) el tiempo en años. Si la población inicial es de \( 50 \) conejos, hallar el número máximo de conejos.
143.
La tasa de variación de una población de conejos es \(\frac{dP}{dt}=\frac{100-25t}{t^{2}-8t+16{, }1} \), con \( t \) el tiempo en años, y la población inicial es de \( 50 \) conejos. ¿Se extinguirán los conejos?
144.
Demostrar que si \( y=\operatorname{arg th}x \), entonces \( y'=\frac{1}{1-x^{2}} \)
145.
Calcular la derivada de la función \( F(x)=\int_{\ln x}^{x^{3}}e^{t^{2}}\, dt \)
146.
Demostrar que si \( y=\operatorname{arg sh}x \), entonces \( y'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \)
147.
Calcular la derivada de la función \( F(x)=\int_{e^{2}}^{x^{3}}\frac{\ln t}{t}\, dt \)
148.
Demostrar la relación \(\operatorname{arg sh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)
149.
Calcular la derivada de la función \( F(x)=\int_{x}^{x^{3}}\frac{\operatorname{sen}t}{t}\, dt \)
150.
Demostrar la relación \(\operatorname{ch}^{2}x+\operatorname{sh}^{2}x=\operatorname{ch}(2x) \)
151.
Calcular la derivada de la función \( F(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\frac{\operatorname{sen}t}{t}\, dt \)
152.
Sea \( f(x)=\begin{cases} \cos x & \text{si } x\in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right] \\ 4+\operatorname{sen}x & \text{si } x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \end{cases} \). Hallar \( I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\, dx \)
153.
Sea \( f(x)=\begin{cases} \cos x & \text{si } x\in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right] \\ 4+\operatorname{sen}x & \text{si } x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \end{cases} \). Con la integral ( \( I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\, dx=2(1+\pi) \) ), hallar el valor de \( k \) tal que \( I=\pi\cdot k \)
154.
Con la función \( f \) del ejercicio 77a1 y \( k=\frac{2(1+\pi)}{\pi} \), ¿existe algún punto \( c \) del intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) tal que \( f(c)=k \)?
155.
Con la función \( f \) del ejercicio 77a1, ¿contradice el resultado del apartado a3 el teorema del valor medio integral?
156.
Calcular la derivada de \( F(x)=\int_{5}^{x^{3}}\ln(t^{2})\, dt \)
157.
Calcular la derivada de \( G(x)=(\ln x)\int_{5x}^{x^{4}}\sqrt{t}\, dt \)
158.
Calcular la derivada de \( H(x)=\int_{2}^{\operatorname{tg}x}\operatorname{sen}t\, dt \)
159.
Calcular la derivada de \( I(x)=\int_{\operatorname{sen}x}^{\operatorname{tg}x}\operatorname{sen}x\, \cos t\, dt \)
160.
Calcular la derivada de \( J(x)=\int_{3}^{\ln x}\operatorname{tg}t\, dt \)
161.
Calcular la derivada de \( K(x)=\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\operatorname{tg}x\, \operatorname{sen}t\, dt \)
163.
Calcular la derivada de \( M(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\cos x\, \operatorname{sen}t\, dt \)
164.
Calcular la derivada de \( N(x)=\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\operatorname{tg}x\, \operatorname{sen}t\, dt \)
165.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) \( F(x)=\int_{3}^{\ln x}\cos t\, dt \)
166.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones: b) \( G(x)=\cos x\int_{\cos x}^{\ln x}\operatorname{sen}t\, dt \)
2.7 Aplicaciones: áreas planas
167.
Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
\( y_{1}=\frac{1}{x^{2}-1} \), \( y_{2}=\frac{1}{x^{3}+x} \):
a) En el intervalo \([2, 3] \)
\( y_{1}=\frac{1}{x^{2}-1} \), \( y_{2}=\frac{1}{x^{3}+x} \):
a) En el intervalo \([2, 3] \)
168.
Dada la función \( f(x)=2x\sqrt{1-x^{2}} \) se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
169.
Dada la hipérbola \( x^{2}-y^{2}=1 \). Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva.
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva.
170.
Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{sen}(2x) \) y \( g(x)=\operatorname{tg} x \), se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre \(-\pi/2 \) y \(\pi/2 \)
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre \(-\pi/2 \) y \(\pi/2 \)
171.
Dadas las funciones \( f(x)=\operatorname{sen}(2x) \) y \( g(x)=\operatorname{tg} x \), se pide:
a) Hallar los puntos de corte de ambas funciones.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de corte hallados.
a) Hallar los puntos de corte de ambas funciones.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de corte hallados.
172.
Dada la función \( f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
173.
Dada la función \( f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
b) Calcular el área encerrada por \( f(x) \) y el eje \( X \) en el intervalo \([-1, 0] \)
b) Calcular el área encerrada por \( f(x) \) y el eje \( X \) en el intervalo \([-1, 0] \)
174.
Para la función \( f(x)=\left(1+\frac{x^{2}}{5}\right)^{-3} \), determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
175.
Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de lado \( 10 \) m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es \( 12 \) m, calcular la superficie de hierba que puede comer la vaca.
176.
Hallar:
c) Área limitada por la elipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
c) Área limitada por la elipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
177.
b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas:
\( y^{2}=2\left(x+\frac{1}{2}\right) \); \( y^{2}=4(x+1) \); \( y^{2}=6\left(\frac{3}{2}-x\right) \); \( y^{2}=4(1-x) \)
\( y^{2}=2\left(x+\frac{1}{2}\right) \); \( y^{2}=4(x+1) \); \( y^{2}=6\left(\frac{3}{2}-x\right) \); \( y^{2}=4(1-x) \)
178.
c) Hallar el área encerrada entre la función \(\frac{\cos x}{\sqrt{1-\operatorname{sen} x}} \) y el eje \( x \) entre \( 0 \) y \(\pi \)
179.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen} x-x\cos x \). Calcular aproximadamente el valor de:
a) El área encerrada por \( f(x) \) y las rectas \( x=-\pi \), \( x=\pi \) y el eje \( OX \)
a) El área encerrada por \( f(x) \) y las rectas \( x=-\pi \), \( x=\pi \) y el eje \( OX \)
180.
Hallar el área encerrada entre las funciones \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) y \( g(x)=\frac{1}{x^{3}} \) para \( x\geq 3 \)
181.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) se pide:
a) Representar la función
a) Representar la función
182.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) se pide:
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
183.
Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función \( f(x) \) y el eje \( OX \) siendo
\( f(x)=\begin{cases}\dfrac{x-6}{x^{4}+6} & \text{si } -6
a) Encerrada por la función \( f(x) \) y el eje \( OX \) siendo
\( f(x)=\begin{cases}\dfrac{x-6}{x^{4}+6} & \text{si } -6
184.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
a) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), \( x=-2 \) y el eje \( Y \)
185.
Hallar el área limitada por las regiones: \( x^{2}+y^{2}\geq 2x \); \( x^{2}+y^{2}\leq 4x \); \( y\leq x \); \( y\geq 0 \)
186.
a) Hallar el área limitada por las regiones
\( x^{2}+y^{2}\geq 2x \); \( x^{2}+y^{2}\leq 4x \); \( y\leq x \); \( y\geq 0 \)
\( x^{2}+y^{2}\geq 2x \); \( x^{2}+y^{2}\leq 4x \); \( y\leq x \); \( y\geq 0 \)
187.
Hallar el área limitada por la elipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)
188.
Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas: \( y^2=2\left(x+\frac{1}{2}\right) \), \( y^2=4(x+1) \), \( y^2=6\left(\frac{3}{2}-x\right) \) e \( y^2=4(1-x) \)
189.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen}x-x\cos x \). Calcular el área encerrada por \( f \), las rectas \( x=-\pi \) y \( x=\pi \) y el eje \( OX \)
190.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^2+1} \), calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas.
191.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), calcular el área encerrada por \( f \), la recta \( x=-2 \) y el eje OY.
192.
Hallar el área limitada por las regiones \( x^{2}+y^{2}\ge 2x \); \( x^{2}+y^{2}\le 4x \); \( y\le x \); \( y\ge 0 \)
193.
a) Hallar el área interior al círculo \( r=1 \) y exterior a la cardioide \( r=1-\cos\alpha \)
194.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
a) Período de la curva.
a) Período de la curva.
195.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
196.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
a) Período de la curva.
a) Período de la curva.
197.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
198.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), se pide:
a) Período de la curva.
a) Período de la curva.
199.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), se pide:
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
b) Dominio de \( r(\alpha) \)
200.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), se pide:
c) Área encerrada por la curva y el eje \( OY \) (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
c) Área encerrada por la curva y el eje \( OY \) (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
201.
Calcular:
b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \)
b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \)
202.
Calcular:
c) El área interior común a la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \) y a \( r^2=5\operatorname{sen}(2\alpha) \)
c) El área interior común a la curva \( r^2=5\cos(2\alpha) \) y a \( r^2=5\operatorname{sen}(2\alpha) \)
203.
Hallar el área sombreada de la figura que es simultáneamente exterior a la curva en polares \( r=2+\cos(3\alpha) \) e interior a \( r=2-\cos(3\alpha) \)
204.
Las ecuaciones paramétricas \(\begin{cases}x=\dfrac{4t}{1+t^3} \\ y=\dfrac{4t^2}{1+t^3}\end{cases} \) describen la curva denominada folium de Descartes, se pide:
a) El intervalo de \( t \) para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo.
a) El intervalo de \( t \) para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo.
205.
Hallar el área común al círculo \(\rho_1=3\cos\alpha \) y a la cardioide \(\rho_2=1+\cos\alpha \)
206.
Calcular el área encerrada dentro de la curva de ecuaciones paramétricas \( x(t) = 3 + 2\cos t \) y \( y(t) = 2 + 5\operatorname{sen} t \)
207.
Calcular la longitud y el área encerrada por la curva de ecuaciones paramétricas \( x(t) = \frac{\cos t\, (2 - \cos(2t))}{4} \) y \( y(t) = \frac{\operatorname{sen} t\, (2 + \cos(2t))}{4} \)
208.
Para un arco de cicloide de ecuaciones paramétricas \( x(t) = a(t - \operatorname{sen} t) \) e \( y(t) = a(1 - \cos t) \), hallar el área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
209.
Para la cardioide de ecuación \( r = 1 + \cos\alpha \), hallar el área encerrada por la curva.
210.
Sean \( r = 2 \) y \( r^2 = 8\operatorname{sen}(2\alpha) \) las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante.
211.
Hallar el área común a los círculos \( r = 2\cos\alpha \), \( r = 1 \) y \( r = 2\operatorname{sen}\alpha \)
2.8 Aplicaciones: volúmenes de revolución
212.
Dada la función \( f(x)=2x\sqrt{1-x^{2}} \) se pide:
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
213.
Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación es: \( y=c\, \operatorname{ch}\left(\frac{x}{c}\right) \)
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa \( x \)
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa \( x \)
214.
Un depósito esférico de \( 50 \) m de radio está al \( 21{, }6 \) % de su capacidad. ¿Cuál es la profundidad del agua?
215.
Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje \( x \) y el arco de curva \( y=\operatorname{sen} x \) entre \( x=0 \) y \( x=\pi \) y cuyas secciones planas perpendiculares al eje \( x \) son cuadrados con base en la región.
216.
Dada la hipérbola \( x^{2}-y^{2}=1 \). Hallar:
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la hipérbola respecto del eje \( X \) siendo \( x\in\left[1, \sqrt{2}\right] \)
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la hipérbola respecto del eje \( X \) siendo \( x\in\left[1, \sqrt{2}\right] \)
217.
Para la función \( f(x)=\left(1+\frac{x^{2}}{5}\right)^{-3} \), determinar:
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva \( y=f(x) \) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva \( y=f(x) \) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
218.
Calcular la longitud de una elipse de semiejes \( 3 \) y \( 4 \)
219.
b) Hallar el volumen generado por la curva \( y^{2}=\frac{x^{2}}{1-x^{2}} \) cuando gira alrededor del eje \( x \), entre \( 0 \) y \( 1/2 \)
220.
Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura, de ecuación \( y=\sqrt{4ax} \). Sabiendo que el material reflectante del faro tiene un precio de \( 10 \) euros/m², hallar el precio de dicho material para \( a=0{, }15 \) m.
221.
Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras geométricas:
a) Esfera
a) Esfera
222.
Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras geométricas:
b) Cilindro recto de radio \( R \) y altura \( H \)
b) Cilindro recto de radio \( R \) y altura \( H \)
223.
Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras geométricas:
c) Cono recto de radio \( R \) y altura \( H \)
c) Cono recto de radio \( R \) y altura \( H \)
224.
Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras geométricas:
d) Tronco de cono recto de radios \( R_{1} \) y \( R_{2} \) y altura \( H \)
d) Tronco de cono recto de radios \( R_{1} \) y \( R_{2} \) y altura \( H \)
225.
a) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región limitada por las funciones \(\begin{cases}y=x^{2}+2 \\ y=x+4\end{cases} \) alrededor del eje de abscisas.
226.
a) La base de un sólido es la región comprendida entre las parábolas \( x=y^{2} \), \( x=3-2y^{2} \). Hallar el volumen del sólido sabiendo que las secciones perpendiculares al eje son triángulos equiláteros.
227.
Dada la curva plana \( y^{2}=\frac{(2-x)^{3}}{x} \) (cisoide), se pide:
a) Longitud del arco de curva para \( x\in[1, 2] \)
a) Longitud del arco de curva para \( x\in[1, 2] \)
228.
Dada la curva plana \( y^{2}=\frac{(2-x)^{3}}{x} \) (cisoide), se pide:
c) Volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide y su asíntota al girar alrededor del eje de abscisas.
c) Volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide y su asíntota al girar alrededor del eje de abscisas.
229.
Dada la curva plana \( y^{2}=\frac{(2-x)^{3}}{x} \) (cisoide), se pide:
d) Área de la superficie de revolución para \( x\in[1, 2] \)
d) Área de la superficie de revolución para \( x\in[1, 2] \)
230.
a) Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en torno al eje \( y \), la gráfica de la función \( y=\sqrt{9-x^{2}} \) en \( 0\leq x\leq 2 \)
231.
a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva \( y=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{4} \) y la recta \( y=1 \)
233.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen} x-x\cos x \). Calcular aproximadamente el valor de:
b) La longitud del arco de curva de la función \( y=f(x) \) entre los puntos \((-\pi, -\pi) \) y \((\pi, \pi) \)
b) La longitud del arco de curva de la función \( y=f(x) \) entre los puntos \((-\pi, -\pi) \) y \((\pi, \pi) \)
234.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen} x-x\cos x \). Calcular aproximadamente el valor de:
c) La superficie de revolución generada por el arco de la curva \( y=f(x) \) entre los puntos \((-\pi, -\pi) \) y \((\pi, \pi) \) al girar alrededor del eje de abscisas.
c) La superficie de revolución generada por el arco de la curva \( y=f(x) \) entre los puntos \((-\pi, -\pi) \) y \((\pi, \pi) \) al girar alrededor del eje de abscisas.
235.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \) se pide:
c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por \( f(x) \) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por \( f(x) \) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
236.
Dada la función \( f(x)=x^{2} \) obtener los siguientes volúmenes de revolución:
a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje \( OX \), entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje \( OX \)
a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje \( OX \), entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje \( OX \)
237.
Dada la función \( f(x)=x^{2} \) obtener los siguientes volúmenes de revolución:
b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje \( OX \), entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje \( OY \)
b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje \( OX \), entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje \( OY \)
238.
Determinar las áreas siguientes:
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje \( OX \), el lazo de la curva \( 9y^{2}=x(3-x)^{2} \)
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje \( OX \), el lazo de la curva \( 9y^{2}=x(3-x)^{2} \)
239.
Calcular:
a) La longitud del arco de la parábola \( y=x^{2}-2x+5 \) comprendido entre los puntos \((1, 4) \) y \(\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right) \)
a) La longitud del arco de la parábola \( y=x^{2}-2x+5 \) comprendido entre los puntos \((1, 4) \) y \(\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right) \)
240.
c) Calcular el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva \( y=x^{2} \) el eje \( OX \), entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje \( OX \)
241.
c) La curva \( y^{2}=e^{-2x} \) gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva, el eje de abscisas \((OX) \) cuando \( x>0 \)
242.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \). Se pide:
b) Calcular el volumen generado por la función \( f(x) \) al girar alrededor de su asíntota.
b) Calcular el volumen generado por la función \( f(x) \) al girar alrededor de su asíntota.
243.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \). Se pide:
c) Hallar la longitud de la función \( f(x) \) en el intervalo \([0, 1] \)
c) Hallar la longitud de la función \( f(x) \) en el intervalo \([0, 1] \)
244.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \). Se pide:
d) La función \( f(x) \) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie obtenida en el intervalo \([-1, 1] \)
d) La función \( f(x) \) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie obtenida en el intervalo \([-1, 1] \)
245.
a) Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la circunferencia de ecuación \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=1 \) cuando gira alrededor del eje \( OX \)
246.
La elipse de ecuación \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \) gira alrededor del eje de abscisas. Calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
248.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas del arco de la curva \( y=\ln x \) comprendido entre \( 0 \) y \( 1 \). Indica, en su caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
249.
Calcular la longitud de la curva \( y=\sqrt{x(1-x)} \). Indica, en su caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
250.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas del arco de la curva \( y=xe^{-x} \) para \( x\geq 0 \). Indica, en su caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
251.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas de la curva \( y=\frac{1}{x^{4}+1} \). Indica, en su caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
252.
Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva \( y^{2}=\frac{3-x}{\sqrt[3]{x}} \) alrededor del eje de abscisas. Indica, en su caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
253.
Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida entre \( y=x^{2} \) e \( y=2x \) alrededor del eje \( X \)
254.
Hallar la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de ecuación \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=1 \) cuando gira alrededor del eje \( OX \)
255.
Hallar la longitud de las siguientes curvas:
a) Arco de la parábola \( y=x^{2}-2x+5 \) entre \( x=1 \) y \( x=3/2 \)
a) Arco de la parábola \( y=x^{2}-2x+5 \) entre \( x=1 \) y \( x=3/2 \)
256.
Calcular, mediante integrales definidas, la superficie y el volumen de una esfera de radio \( r \)
257.
Calcular, mediante integrales definidas, la superficie lateral y el volumen de un cilindro recto de radio \( R \) y altura \( H \)
258.
Calcular, mediante integrales definidas, la superficie lateral y el volumen de un cono recto de radio \( R \) y altura \( H \)
259.
Calcular, mediante integrales definidas, la superficie lateral y el volumen de un tronco de cono recto de radios \( R_1 \) y \( R_2 \) y altura \( H \)
260.
Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar alrededor del eje de abscisas la región limitada por las funciones \( y=x^2+2 \) e \( y=x+4 \)
261.
La base de un sólido es la región comprendida entre las parábolas \( x=y^2 \) y \( x=3-2y^2 \). Hallar el volumen del sólido sabiendo que las secciones perpendiculares al eje \( X \) son triángulos equiláteros.
262.
Dada la curva plana \( y^2=\frac{(2-x)^3}{x} \) (cisoide), hallar la longitud del arco de curva para \( x \) entre \( 1 \) y \( 2 \)
263.
Hallar el volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide \( y^2=\frac{(2-x)^3}{x} \) y su asíntota al girar alrededor del eje de abscisas.
264.
Hallar el área de la superficie de revolución obtenida al girar la cisoide \( y^2=\frac{(2-x)^3}{x} \) alrededor del eje de abscisas para \( x \) entre \( 1 \) y \( 2 \)
265.
Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en torno al eje de ordenadas, la gráfica de la función \( y=\sqrt{9-x^2} \) en \( 0\leq x\leq 2 \)
266.
Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva \( y=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{4} \) y la recta \( y=1 \)
267.
Calcular el volumen del elipsoide de ecuación \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \)
268.
Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia \( x^2+(y-4)^2=1 \) al girar alrededor del eje \( OX \)
269.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen}x-x\cos x \). Hallar la longitud del arco de curva de la función \( y=f(x) \) entre los puntos \((-\pi, -\pi) \) y \((\pi, \pi) \)
270.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{sen}x-x\cos x \). Hallar la superficie de revolución generada por el arco de la curva \( y=f(x) \) entre los puntos \((-\pi, -\pi) \) y \((\pi, \pi) \) al girar alrededor del eje de abscisas.
271.
Para la función \( f(x)=\frac{1}{x^2+1} \), calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por \( f \) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
272.
Dada la función \( f(x)=x^{2} \), hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX, entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje OX.
273.
Dada la función \( f(x)=x^{2} \), hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX, entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje OY.
274.
Determinar la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el lazo de la curva \( 9y^{2}=x(3-x)^{2} \)
275.
Calcular la longitud del arco de la parábola \( y=x^{2}-2x+5 \) comprendido entre los puntos \((1, 4) \) y \(\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right) \)
276.
Calcular el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva \( y=x^{2} \) y el eje OX, entre \( x=0 \) y \( x=2 \), alrededor del eje OX.
277.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \), hallar la longitud de la función en el intervalo \([0, 1] \)
278.
La función \( f(x)=e^{-x^{2}} \) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie obtenida en el intervalo \([-1, 1] \)
279.
Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la circunferencia de ecuación \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=1 \) cuando gira alrededor del eje OX.
280.
Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el arco de la curva \( y=\operatorname{sen}^{2}x \) comprendido entre \( x=0 \) y \( x=\pi \)
281.
Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida entre \( y=x^2 \) e \( y=2x \) alrededor del eje de abscisas.
282.
Hallar la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de ecuación \((x-2)^2+(y-4)^2=1 \) cuando gira alrededor del eje de abscisas.
284.
Obtener el área de la superficie generada por la curva \( r^2=2\cos(2\alpha) \) al girar alrededor del eje polar.
285.
Hallar el volumen engendrado al rotar la curva \( y^2=x^2-x^4 \) alrededor del eje de abscisas.
286.
Hallar la longitud de la elipse de ecuación \( r=\frac{5}{3-2\cos\alpha} \)
287.
Hallar el volumen engendrado al rotar la curva \( y^2=\frac{x^2(3-x)}{1+x} \) (trisectriz de Maclaurin) alrededor del eje de abscisas.
288.
Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros: \( x^2+y^2=r^2 \); \( y^2+z^2=r^2 \)
289.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
c) Longitud de la curva (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
c) Longitud de la curva (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
290.
Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva \( y^2=x-(3-x)^2 \) alrededor del eje de abscisas.
291.
Dada la curva en coordenadas polares \( r=\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \), se pide:
c) Longitud de la curva (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
c) Longitud de la curva (para valores de \(\alpha \) dentro del dominio de la función).
292.
Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva \( x^2=(y+1)^2-y^4 \) alrededor del eje de ordenadas.
293.
Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva \(\begin{cases}x=\cos^2 t \\ y=\operatorname{tg}t\end{cases} \) y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
295.
Calcular:
a) La longitud de la curva en polares \( r^2=5\cos(2\alpha) \)
a) La longitud de la curva en polares \( r^2=5\cos(2\alpha) \)
296.
Dada la función \( f(x)=2x\sqrt{1-x^2} \), calcular el volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de ordenadas.
297.
Las ecuaciones paramétricas \(\begin{cases}x=\dfrac{4t}{1+t^3} \\ y=\dfrac{4t^2}{1+t^3}\end{cases} \) describen la curva denominada folium de Descartes, se pide:
b) La longitud del lazo.
b) La longitud del lazo.
298.
Las ecuaciones paramétricas \(\begin{cases}x=\dfrac{4t}{1+t^3} \\ y=\dfrac{4t^2}{1+t^3}\end{cases} \) describen la curva denominada folium de Descartes, se pide:
c) La superficie de revolución engendrada al girar el lazo alrededor del eje de abscisas.
c) La superficie de revolución engendrada al girar el lazo alrededor del eje de abscisas.
299.
Las ecuaciones paramétricas \(\begin{cases}x=\dfrac{4t}{1+t^3} \\ y=\dfrac{4t^2}{1+t^3}\end{cases} \) describen la curva denominada folium de Descartes, se pide:
d) El volumen engendrado al girar el lazo alrededor del eje de abscisas.
d) El volumen engendrado al girar el lazo alrededor del eje de abscisas.
300.
Hallar la longitud de las siguientes curvas:
a) Arco de la parábola \( y=x^2-2x+5 \) entre \( x=1 \) y \( x=\frac{3}{2} \)
a) Arco de la parábola \( y=x^2-2x+5 \) entre \( x=1 \) y \( x=\frac{3}{2} \)
301.
Hallar la longitud de las siguientes curvas: b) \( x(t)=2\cos t \); \( y(t)=2\operatorname{sen}t \)
302.
Hallar la longitud de las siguientes curvas: c) \( r=\operatorname{sen}^3\left(\frac{\alpha}{3}\right) \)
303.
La curva \( y^2=2xe^{-2x} \) gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada.
304.
Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas polares \( r^2 = 3\operatorname{sen}(2\alpha) \)
305.
Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas polares \( r = 2\operatorname{sen}(3\alpha) \) (rosa de tres pétalos).
306.
Para un arco de cicloide de ecuaciones paramétricas \( x(t) = a(t - \operatorname{sen} t) \) e \( y(t) = a(1 - \cos t) \), hallar la longitud del arco.
307.
Para un arco de cicloide de ecuaciones paramétricas \( x(t) = a(t - \operatorname{sen} t) \) e \( y(t) = a(1 - \cos t) \), hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X alrededor del eje OX.
308.
Para un arco de cicloide de ecuaciones paramétricas \( x(t) = a(t - \operatorname{sen} t) \) e \( y(t) = a(1 - \cos t) \), hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X alrededor del eje OY.
309.
Para un arco de cicloide de ecuaciones paramétricas \( x(t) = a(t - \operatorname{sen} t) \) e \( y(t) = a(1 - \cos t) \), hallar la superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide respecto del eje X.
310.
Para la cardioide de ecuación \( r = 1 + \cos\alpha \), hallar su longitud.
311.
Para la cardioide de ecuación \( r = 1 + \cos\alpha \), hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X alrededor del eje OX.
312.
Para la cardioide de ecuación \( r = 1 + \cos\alpha \), hallar la superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje X.
313.
Hallar la longitud total de la curva, dada en coordenadas polares, \( r = \operatorname{sen}^3\left(\frac{\alpha}{3}\right) \)
314.
Hallar el área de la superficie de revolución obtenida al girar, alrededor del eje de abscisas, la curva de ecuaciones paramétricas \( x(t) = e^t\cos t \) e \( y(t) = e^t\operatorname{sen} t \) para \( t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)
315.
Hallar la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones paramétricas \( x(t) = \ln t \) e \( y(t) = t^2 \) en el intervalo \( 1 \le t \le 2 \)
316.
Hallar el perímetro de la curva (astroide) de ecuaciones paramétricas \( x = a\cos^3 t \) e \( y = a\operatorname{sen}^3 t \)
317.
Hallar la longitud de la cardioide de ecuaciones paramétricas \( x = 2\operatorname{sen} t - \operatorname{sen}(2t) \) e \( y = 2\cos t - \cos(2t) \)
318.
Hallar la longitud de la espiral de ecuación polar \( r = e^{\alpha} \) para \(\alpha < 0 \)
319.
Hallar la longitud del arco de curva dada en coordenadas polares \( r = 4 + 2\sec(\alpha) \) en el intervalo \(\left[\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right] \)
2.9 Integrales impropias
320.
Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes integrales:
\(\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}} \)
\(\int_{2}^{3}\frac{dx}{(3-x)^{2}} \)
\(\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}} \)
\(\int_{2}^{3}\frac{dx}{(3-x)^{2}} \)
321.
Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el área encerrada entre la función \( f(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} \) y el eje de abscisas \((OX) \) en el intervalo \([-2, 2] \)
322.
Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
\( y_{1}=\frac{1}{x^{2}-1} \), \( y_{2}=\frac{1}{x^{3}+x} \):
b) Para \( x\geq 3 \)
\( y_{1}=\frac{1}{x^{2}-1} \), \( y_{2}=\frac{1}{x^{3}+x} \):
b) Para \( x\geq 3 \)
323.
Calcular \(\beta\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \) y \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \)
324.
Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias:
\(\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} x}{x^{p}}\, dx \) con \( p>0 \)
\(\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} x}{x^{p}}\, dx \) con \( p>0 \)
325.
Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias:
\(\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} x\cos x}{x^{3}}\, dx \)
\(\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} x\cos x}{x^{3}}\, dx \)
326.
Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias:
\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\, dx \)
\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\, dx \)
327.
Dada la hipérbola \( x^{2}-y^{2}=1 \). Hallar:
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo \( x\geq 1 \)
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo \( x\geq 1 \)
328.
Dada la función \( f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por \( f(x) \) y la recta \( y=1 \) en \([2, \infty) \)?
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por \( f(x) \) y la recta \( y=1 \) en \([2, \infty) \)?
329.
Analizar, aplicando algún criterio de convergencia, el carácter de las integrales siguientes:
\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{3}+x}\, dx \)
\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{3}+x}\, dx \)
330.
Analizar, aplicando algún criterio de convergencia, el carácter de las integrales siguientes:
\(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\, dx \)
\(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\, dx \)
331.
a) Hallar el área limitada por la curva \( y^{2}=\frac{x^{2}}{1-x^{2}} \) y sus asíntotas.
332.
Calcular \(\int_{0}^{1}(1-x)^{\frac{1}{2}}x^{-\frac{1}{2}}\, dx \)
333.
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\, dx \)
334.
Dada la curva plana \( y^{2}=\frac{(2-x)^{3}}{x} \) (cisoide), se pide:
b) Área de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
b) Área de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
335.
c) Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral \(\int_{0}^{3}\frac{1}{x^{2}-2x}\, dx \)
336.
Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los valores de \( p \)
\(\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^{p}} \) y calcularla cuando sea convergente.
\(\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^{p}} \) y calcularla cuando sea convergente.
337.
a) Estudiar si la integral \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\operatorname{sen}\alpha}}\, d\alpha \) es impropia y, en su caso, decir de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la definición.
338.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{p}} \) siendo \( p \) un número real tal que \( p>1 \) se pide:
a. Calcular paso a paso la integral \(\int_{a}^{\infty}f(x)\, dx \) siendo \( a>1 \) un número real
a. Calcular paso a paso la integral \(\int_{a}^{\infty}f(x)\, dx \) siendo \( a>1 \) un número real
339.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{p}} \) siendo \( p \) un número real tal que \( p>1 \) se pide:
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
340.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{p}} \) siendo \( p \) un número real tal que \( p<1 \) se pide:
a. Calcular paso a paso la integral \(\int_{0}^{a}f(x)\, dx \) siendo \( a>1 \) un número real.
a. Calcular paso a paso la integral \(\int_{0}^{a}f(x)\, dx \) siendo \( a>1 \) un número real.
341.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{p}} \) siendo \( p \) un número real tal que \( p<1 \) se pide:
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
342.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
b) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), y el eje \( X \) en \([2, \infty) \)
b) Calcular el área encerrada por \( f(x) \), y el eje \( X \) en \([2, \infty) \)
343.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
c) Estudiar la convergencia de \(\int_{1}^{2}f(x)\, dx \)
c) Estudiar la convergencia de \(\int_{1}^{2}f(x)\, dx \)
344.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), cuya gráfica es la de la figura, se pide:
d) Estudiar la convergencia de \(\int_{0}^{\infty}f(x)\, dx \)
d) Estudiar la convergencia de \(\int_{0}^{\infty}f(x)\, dx \)
347.
c) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de \( f(x)=\operatorname{tg} x \) en el intervalo \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)
349.
d) Calcular \(\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) \), sabiendo que \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \)
350.
c) La integral \(\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\, dx \), ¿es impropia? Calcularla.
352.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \). Se pide:
a) Calcular el área encerrada por la función \( f(x) \) y su asíntota.
a) Calcular el área encerrada por la función \( f(x) \) y su asíntota.
353.
Calcular, si son convergentes, las integrales:
a) \(\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{5-2x}\, dx \)
a) \(\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{5-2x}\, dx \)
354.
Calcular, si son convergentes, las integrales:
b) \(\int_{0}^{\infty}x^{p-1}e^{-ax}\, dx \) con \( a>0 \)
b) \(\int_{0}^{\infty}x^{p-1}e^{-ax}\, dx \) con \( a>0 \)
356.
Hallar \( p \) y \( q \) para que \( 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{5}t\cos^{3}t\, dt=\beta(p, q) \) y calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{5}t\cos^{3}t\, dt \)
357.
Lo mismo para \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{4}t\cos^{6}t\, dt \)
358.
Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{tg} x\, dx \)
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{tg} x\, dx \)
359.
Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
b) \(\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x-1}} \)
b) \(\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x-1}} \)
360.
Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
c) \(\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{4-x}} \)
c) \(\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{4-x}} \)
361.
Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
d) \(\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}-2^{x}} \)
d) \(\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{e^{x}-2^{x}} \)
362.
Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
e) \(\int_{\pi}^{\infty}\frac{2+\cos x}{x}\, dx \)
e) \(\int_{\pi}^{\infty}\frac{2+\cos x}{x}\, dx \)
364.
Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral \(\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\, (1+x)} \)
365.
Hallar el área de la región comprendida entre la cisoide \( y^2=\frac{(2-x)^3}{x} \) y su asíntota.
366.
Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral \(\int_{0}^{3}\frac{dx}{x^2-2x} \)
367.
Estudiar la naturaleza de la integral \(\int_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^p} \) en función de los valores de \( p \), y calcularla cuando sea convergente.
368.
Estudiar si la integral \(\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\operatorname{sen}\alpha}}\, d\alpha \) es impropia y, en su caso, decir de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la definición.
369.
Hallar el área encerrada entre la función \( f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1-\operatorname{sen}x}} \) y el eje de abscisas entre \( 0 \) y \(\pi \)
370.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^p} \), siendo \( p \) un número real tal que \( p>1 \), calcular paso a paso la integral \(\int_{a}^{\infty}f(x)\, dx \) siendo \( a>1 \) un número real.
371.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^p} \), siendo \( p \) un número real tal que \( p>1 \), indicar de qué tipo de integral impropia se trata \(\int_{a}^{\infty}f(x)\, dx \) con \( a>1 \)
372.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^p} \), siendo \( p \) un número real tal que \( p<1 \), calcular paso a paso la integral \(\int_{0}^{a}f(x)\, dx \) siendo \( a>1 \) un número real.
373.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^p} \), siendo \( p \) un número real tal que \( p<1 \), indicar de qué tipo de integral se trata \(\int_{0}^{a}f(x)\, dx \) con \( a>1 \)
374.
Determinar el área encerrada por la función \( f(x)=\begin{cases} \dfrac{x-6}{x^{4}+6} & \text{si } -6
375.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), calcular el área encerrada por \( f \) y el eje OX en \([2, +\infty) \)
376.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), estudiar la convergencia de \(\int_{1}^{2}f(x)\, dx \)
377.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+x^{2}-2} \), estudiar la convergencia de \(\int_{0}^{+\infty}f(x)\, dx \)
380.
Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de \( f(x)=\operatorname{tg}x \) en el intervalo \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)
382.
La curva \( y^{2}=e^{-2x} \) gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva y el eje de abscisas cuando \( x>0 \)
383.
Calcular \(\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) \), sabiendo que \(\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi} \)
384.
La integral \(\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\, dx \), ¿es impropia? Calcularla.
386.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \), calcular el área encerrada por la función y su asíntota.
387.
Dada la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \), calcular el volumen generado al girar alrededor de su asíntota.
388.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas del arco de la curva \( y=\ln x \) comprendido entre \( 0 \) y \( 1 \). Indicar, en su caso, si la integral utilizada es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
389.
Calcular la longitud de la curva \( y=\sqrt{x(1-x)} \). Indicar, en su caso, si la integral utilizada es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
390.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas del arco de la curva \( y=xe^{-x} \) para \( x\ge 0 \). Indicar, en su caso, si la integral utilizada es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
391.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje de abscisas de la curva \( y=\frac{1}{x^{4}+1} \). Indicar, en su caso, si la integral utilizada es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
392.
Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva \( y^{2}=\frac{3-x}{\sqrt[3]{x}} \) alrededor del eje de abscisas. Indicar, en su caso, si la integral utilizada es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
393.
Estudiar si el área de la región comprendida entre la curva de ecuaciones \(\begin{cases}x(t)=2\operatorname{tg}t \\ y(t)=2\cos^2 t\end{cases} \) y su asíntota es finita o no.
394.
Hallar el área encerrada entre la curva \(\begin{cases}x=\cos^2 t \\ y=\operatorname{tg}t\end{cases} \) y su asíntota.
395.
Hallar el área encerrada entre la curva \(\begin{cases}x=\dfrac{1}{\operatorname{tg}t} \\ y=\operatorname{sen}^2 t\end{cases} \) y su asíntota.
396.
Hallar el área de la superficie engendrada por la revolución alrededor del eje \( OX \), del arco de la curva \( y=e^{-x} \) para \( x>0 \)
3.4 Desarrollos en serie de Taylor
397.
Obtener la fórmula de Taylor de la función \( f(x) = \ln x \) en un entorno de \( a = 1 \)
399.
Dado el polinomio de Maclaurin \( T_n(e^x, 0) \) obtenido en el Apartado a: , se pide calcular: i) \( T_n(e^{2x}, 0) \) ii) \( T_n(e^{2x+3}, 0) \) iii) \( T_n(e^{x^2}, 0) \)
401.
Deducir a partir del Apartado a: el polinomio \( T_n(\cos x^2, 0) \)
402.
Demostrar que si \( y = f(x) \) es una función impar, entonces \( T_n(f(x), 0) \) solo tiene potencias impares. Análogamente, si \( f(x) \) es una función par, entonces \( T_n(f(x), 0) \) solo tiene potencias pares.
403.
Desarrollar \(\operatorname{tg}x \) en potencias de \( x \) hasta el término de grado 5, empleando la igualdad \(\operatorname{tg}x = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x} \)
404.
Hallar la fórmula de Taylor de la función \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) en el punto \( a = 1 \)
405.
Explicar la procedencia de las siguientes igualdades aproximadas, válidas para valores pequeños de \( x > 0 \), y acotar el error cometido en las mismas: \(\ln(\cos x) \approx -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} \); \(\operatorname{tg}x \approx x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} \); \(\operatorname{arcsen}x \approx x + \frac{x^3}{6} \); \(\operatorname{arctg}x \approx x - \frac{x^3}{3} \); \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \approx 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \); \(\ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) \approx x - \frac{x^3}{6} \)
406.
Sea \( f(x) = xe^x + \operatorname{tg}(x) \). Hallar la fórmula de Maclaurin de orden 3 de \( f \)
407.
Escribir la fórmula de Maclaurin de grado 3 de la función \( y = \operatorname{arctg}x \)
408.
Dada la función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}} \), hallar el polinomio de Maclaurin de grado 4 de la función \( f \)
409.
¿Es desarrollable la función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}} \) en serie de Taylor en \( a = 2 \)? Justifica la respuesta.
410.
Obtener el polinomio de Maclaurin de grado 2 de la función \( f(x) = \operatorname{argsh}x = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) \)
411.
Dada la función \( f(x) = \ln(1+x) \), obtener la expresión de la derivada n-ésima de la función.
412.
Dada la función \( f(x) = \ln(1+x) \), obtener la expresión de \( f^{(n)}(0) \)
413.
Dada la función \( f(x) = \ln(1+x) \), obtener los polinomios de Maclaurin de grado 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
414.
Representar gráficamente los polinomios de Maclaurin de grados 3 a 10 junto con la propia función \( f(x) = \ln(1+x) \)
415.
Escribir la expresión de las fórmulas de Maclaurin de \( f(x) = \ln(1+x) \) de grado 3, 4 y 5.
416.
¿Es posible utilizar Maclaurin para calcular una aproximación de \(\ln(2, 5) \)?
417.
Desarrollar en serie de Maclaurin la función \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \), con \(\alpha \in \mathbb{R} \)
418.
Dada la función \( f(x) = \frac{x}{e^x} \), escribir la fórmula de Maclaurin.
419.
Dada la función \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \), calcular el polinomio de Maclaurin para \( n = 5 \)
420.
Dada la función \( f(x) = \log_{10}\left(\frac{x+1}{2}\right) \), escribir la fórmula de Taylor en el punto \( a = 1 \)
421.
Dada la función \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{1+x}} \), escribir la fórmula de Maclaurin de grado 4 de \( f \)
3.5 Polinomio de Taylor y resto
422.
Calcular \(\ln(1, 1) \) con el polinomio de Taylor de grado 5 de la función \( f(x) = \ln x \) en \( a = 1 \) y estimar el error cometido.
423.
Calcular \(\ln(1, 1) \) con un error menor que una diezmilésima, es decir, menor que \( 10^{-4} \), utilizando el polinomio de Taylor de la función \( f(x) = \ln x \) en \( a = 1 \)
424.
Hallar una aproximación del valor numérico de \(\ln 2 \), dando una cota del error cometido, utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función \( f(x) = \ln(1+x) \). Escribir la fórmula de Maclaurin de \( f \)
425.
Hallar una aproximación del valor numérico de \(\ln 2 \), dando una cota del error cometido, utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función \( g(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \). Escribir la fórmula de Maclaurin de \( g \)
426.
Calcular de forma aproximada \(\sqrt{e} \) tomando el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función \( f(x) = e^x \)
427.
Acotar el error cometido en la aproximación de \(\sqrt{e} \) obtenida con el polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f(x) = e^x \)
428.
Calcular \( n \) en la fórmula de Maclaurin para obtener un valor aproximado de \(\sqrt{e} \) con un error menor que \( 10^{-6} \)
429.
Calcular \(\cos 1 \) con un error menor que \( 10^{-7} \) utilizando el polinomio de Maclaurin del coseno.
430.
La aproximación \(\sqrt[3]{x} \approx \frac{5x^3 - 24x^2 + 60x + 40}{81} \) se utiliza cuando \(|x - 1| \) es pequeño, es decir, para \( x \) próximos a
1. Acotar el error cometido en dicha aproximación cuando \(|x - 1| \leq 0, 01 \)
1. Acotar el error cometido en dicha aproximación cuando \(|x - 1| \leq 0, 01 \)
431.
Para cada una de las funciones siguientes y para los valores de \( a \) y \( n \) indicados, hallar el polinomio de Taylor: \( f(x) = \sqrt{x} \) para \( a = 4 \) y \( n = 3 \); \( f(x) = \sqrt{1+x} \) para \( a = 0 \) y \( n = 4 \); \( f(x) = \ln(\cos x) \) para \( a = 0 \) y \( n = 3 \); \( f(x) = \cos x \) para \( a = \frac{\pi}{3} \) y \( n = 4 \); \( f(x) = \operatorname{sen}x \) para \( a = \frac{\pi}{4} \) y \( n = 4 \); \( f(x) = \operatorname{arctg}x \) para \( a = 1 \) y \( n = 3 \)
432.
Escribir el resto de Lagrange correspondiente a cada uno de los polinomios de Taylor obtenidos en el Apartado a: .
433.
Utilizando los polinomios y los restos de Lagrange correspondientes hallar el valor aproximado y una estimación del error cometido para: \(\sqrt{5} \), \(\cos 1 \) y \(\operatorname{arctg}\sqrt{2} \)
434.
Hallar una aproximación del valor \( f(0, 01) \) con el polinomio de Maclaurin de orden 3 de la función \( f(x) = xe^x + \operatorname{tg}(x) \)
435.
Acotar el error cometido en el cálculo de \( f(0, 01) \) en el Apartado b: , siendo \( f(x) = xe^x + \operatorname{tg}(x) \)
436.
Hallar el polinomio de Maclaurin de la función \( f(x) = \cos x \), de grado mínimo, que aproxime \(\cos\left(\frac{\pi}{30}\right) \) con un error menor que 0,
0
0
0
5. A continuación calcular el valor aproximado de \(\cos\left(\frac{\pi}{30}\right) \) (con las cifras decimales que delimita el error permitido).
0
0
0
5. A continuación calcular el valor aproximado de \(\cos\left(\frac{\pi}{30}\right) \) (con las cifras decimales que delimita el error permitido).
437.
Calcular el valor aproximado de \(\operatorname{arctg}(0, 1) \), utilizando el polinomio de Maclaurin del Apartado a: y acotar el error cometido.
438.
Dada la función \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \), calcular el polinomio de Maclaurin de grado 4 y hallar el valor aproximado de \( f(0, 1) \) utilizando dicho polinomio.
439.
¿Para qué valores de \( x \) podemos tomar \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) por \(\operatorname{sen}x \) con un error menor que 0, 0001?
440.
Utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 2 de la función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}} \), hallar \(\frac{1}{\sqrt{0, 9^5}} \), dando una estimación del error cometido.
441.
Utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 2 hallar \( f(0, 1) \), siendo \( f(x) = \operatorname{argsh}x = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) \)
442.
Acotar el error cometido al aproximar \( f(0, 1) \) mediante el polinomio de Maclaurin de grado 2 de \( f(x) = \operatorname{argsh}x \)
443.
Utilizar cada uno de los desarrollos del apartado
e) para obtener una aproximación de \(\ln(1, 1) \)
e) para obtener una aproximación de \(\ln(1, 1) \)
444.
Acotar el error cometido en cada caso del apartado f) al aproximar \(\ln(1, 1) \)
445.
Si se quiere obtener el valor aproximado de \(\ln(1, 1) \) con diez cifras decimales exactas, ¿cuál es el menor orden del desarrollo de Maclaurin de \( f(x) = \ln(1+x) \) que habrá que usar?
446.
Usando el Apartado a: para el valor de \(\alpha \) adecuado, calcular \(\frac{1}{\sqrt[3]{1, 1}} \), tomando los cuatro primeros términos del desarrollo. ¿Cuántas cifras exactas se obtienen con este método?
447.
Hallar el grado mínimo del polinomio de Maclaurin para calcular \( f(0, 5) \), siendo \( f(x) = \ln(1+x) \), con un error menor que 0, 001.
448.
Hallar el grado mínimo del polinomio de Maclaurin para calcular \( f(0, 6) \), siendo \( f(x) = \cos(\pi x^2) \), con un error menor que 0, 001.
449.
Hallar el grado del polinomio que aproxima el valor de \(\frac{1}{e} \) con un error \(|R_n| < 0, 00005 \). Con el polinomio obtenido, hallar el valor aproximado de \(\frac{1}{e} \) con el número de cifras decimales que delimita el error permitido.
450.
Hallar el valor aproximado de \( f(0, 1) \) que se obtiene con el polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \), es decir, \( T_5(x) = 1 - x^2 + x^4 \)
451.
Estimar el error cometido al aproximar \( f(0, 1) \) mediante el polinomio de Maclaurin de grado 5 \( T_5(x) = 1 - x^2 + x^4 \) de \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \), y corregir dicha aproximación.
452.
Si tomamos polinomios de Maclaurin de grado cada vez mayor ( \( n \to \infty \) ), el error al aproximar \( f(0, 1) \), siendo \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \), ¿aumenta o disminuye? ¿Y para \( f(1) \)?
453.
Acotar el error cometido en el cálculo de \(\log_{10}(1, 1) \) utilizando el polinomio de grado 3 de la función \( f(x) = \log_{10}\left(\frac{x+1}{2}\right) \)
454.
Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de \(\log_{10}(1, 1) \) con un error menor que \( 10^{-6} \), usando la función \( f(x) = \log_{10}\left(\frac{x+1}{2}\right) \)
455.
Dada la función \( f(x) = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \), utilizar el polinomio de Maclaurin de grado 10 para calcular \( f(1) \)
456.
Estimar el error cometido al aproximar \( f(1) \) mediante el polinomio de Maclaurin de grado 10 de \( f(x) = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \), y dar \( f(1) \) con las cifras decimales exactas.
457.
Obtener \(\sqrt[5]{1, 5} \) con un error menor que una diezmilésima, utilizando el polinomio de Maclaurin de la función \( f(x) = \sqrt[5]{1+x} \)
458.
Dar un valor aproximado de \(\sqrt{1, 5} \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 4 siendo \( f(x) = \sqrt{\frac{1}{1+x}} \)
460.
Dada la función \( f(x) = \cos\left(\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)\right) \), hallar el polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f \) y el resto de Lagrange correspondiente a dicho polinomio.
461.
Calcular el valor aproximado de \(\cos\left(\ln\left(\frac{1}{0, 9}\right)\right) \) mediante el polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f(x) = \cos\left(\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)\right) \) y acotar el error cometido.
462.
Dada la función \( y=e^{\cos x} \), se pide calcular sus tres primeras derivadas \( y' \), \( y'' \) e \( y''' \)
463.
Dada la función \( y=e^{\cos x} \), se pide escribir su polinomio de Maclaurin de segundo grado.
464.
Obtener el polinomio de Maclaurin de grado \( n \) de la función \( f(x)=xe^{-x^2} \) a partir del polinomio de grado \( n \) de \( e^{-x} \), que es \( T_n(x)=1-x+\frac{x^2}{2! }-\frac{x^3}{3! }+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{n! } \)
465.
Dada la función \( f(x)=(x+1)e^{\frac{x-1}{x+1}} \), comprobar si se verifica la identidad \((x+1)^2f'(x)-(x+3)f(x)-1=0 \)
466.
Dada la función \( f(x)=(x+1)e^{\frac{x-1}{x+1}} \), escribir su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \)
467.
Dada la función \( f(x)=(x+1)e^{\frac{x-1}{x+1}} \), decidir si existe algún valor \( x=a \) para el cual no se cumplan las hipótesis de la fórmula de Taylor.
468.
Dada la función \( f(x)=\sqrt[3]{1+2x} \), calcular su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \)
469.
Obtener el polinomio de Maclaurin de grado \( n \) de la función \( f(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \)
470.
Dada la función \( f(x)=\operatorname{arctg} x \), escribir su fórmula de Taylor de grado \( 5 \) en el punto \( a=1 \)
471.
Obtener el polinomio de Taylor de orden dos de la función \( f(x)=\frac{\ln x}{x} \) en el punto de abscisa \( 1 \)
472.
Sea \( f(x)=\frac{x-\operatorname{sen} x}{x^3} \) si \( x\neq 0 \), y \( f(0)=\frac{1}{6} \). Obtener su polinomio de Maclaurin de grado \( 4 \)
473.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+x} \), escribir su fórmula de Maclaurin.
474.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{x} \), escribir su fórmula de Taylor para \( a=1 \)
475.
Dada la función \( f(x)=\cos(\pi\ln x) \), hallar su polinomio de Taylor de grado \( 4 \) en \( a=e \)
476.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}} \), hallar su polinomio de Maclaurin de grado \( 3 \)
477.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}} \), decidir si existe la fórmula de Taylor de \( f \) de algún orden en \( a=-1 \)
478.
Si \( p_3(x)=5-3(x-4)^2+9(x-4)^3 \) es el polinomio de Taylor de grado \( 3 \) de una función \( f(x) \) en el punto \( a=4 \), hallar \( f(4) \), \( f'(4) \) y \( f''(4) \)
479.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x}} \), hallar su polinomio de Maclaurin de grado \( 3 \)
480.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x}} \), decidir si existe la fórmula de Taylor de \( f \) de algún orden en \( a=1 \)
481.
Si \( p_3(x)=4+(x-2)^2+6(x-2)^3 \) es el polinomio de Taylor de grado \( 3 \) de una función \( f(x) \) en el punto \( a=2 \), hallar \( f(2) \), \( f'(2) \) y \( f''(2) \)
482.
Sea la función \( f(x)=\ln(x+2) \). Hallar su polinomio de Taylor de orden \( 3 \) en \( a=-1 \)
483.
Dada la función \( f(x)=10xe^{-x} \), hallar sus polinomios de aproximación de Taylor de grado \( 5 \) en los puntos \( a=0 \) y \( a=1 \)
484.
Hallar el polinomio de Taylor de la función \( f(x)=\operatorname{tg} x \) en \( a=0 \) y \( n=2 \)
485.
Hallar el polinomio de Taylor de la función \( f(x)=xe^x \) en \( a=0 \) y \( n=2 \)
486.
Hallar el polinomio de Taylor de la función \( f(x)=\operatorname{arcsen} x \) en \( a=0 \) y \( n=2 \)
487.
Sea \( f(x)=\operatorname{arcsen}(2x) \). Teoría: escribir la definición del polinomio de Maclaurin de grado \( n \)
488.
Dada la función \( f(x)=x^2e^{-x} \), escribir su fórmula de Maclaurin.
489.
Dada la función \( f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x} \), escribir su fórmula de Taylor para \( n=4 \) y \( a=1 \)
490.
Dada la función \( f(x)=e^{-3x} \), se pide hallar el grado \( n \) del polinomio de Maclaurin que se necesita utilizar para aproximar \( e^{-3} \) con un error menor que \( 0, 001 \)
491.
Dada la función \( f(x)=\ln\sqrt{x} \) se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=4 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \(\ln\sqrt{2} \) con el polinomio obtenido en
a) y una cota del error cometido.
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=4 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \(\ln\sqrt{2} \) con el polinomio obtenido en
a) y una cota del error cometido.
492.
Dada la función \( f(x)=\ln(1+x) \), se pide hallar el grado \( n \) del polinomio de Maclaurin que se necesita utilizar para aproximar \(\ln 1, 5 \) con un error menor que \( 0, 001 \)
493.
Dada la función \( f(x)=e^{\sqrt{x}} \), se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=4 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \( e^{\sqrt{2}} \) con el polinomio obtenido en
a) y una cota del error cometido.
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=4 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \( e^{\sqrt{2}} \) con el polinomio obtenido en
a) y una cota del error cometido.
494.
Dada la función \( f(x)=\ln(1-x) \), se pide hallar el grado \( n \) del polinomio que se necesita utilizar para aproximar \( f(0, 5) \) con un error menor que \( 0, 001 \)
495.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \) se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=4 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \(\frac{1}{\sqrt{1, 5}} \) con el polinomio obtenido en
a) y una cota del error cometido.
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=4 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \(\frac{1}{\sqrt{1, 5}} \) con el polinomio obtenido en
a) y una cota del error cometido.
496.
Dada la función \( f(x)=e^{-5x} \), se pide hallar el grado \( n \) del polinomio de Maclaurin que se necesita utilizar para aproximar \( e^{-5} \) con un error menor que \( 0, 001 \)
497.
a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de la función \( f(x)=\operatorname{sen}x \) en \( a=-\frac{\pi}{6} \)
b) Utilizando el polinomio calcular \(\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{12}\right) \)
c) Estimar el error cometido al calcular \(\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{12}\right) \) con el polinomio del Apartado a: .
b) Utilizando el polinomio calcular \(\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{12}\right) \)
c) Estimar el error cometido al calcular \(\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{12}\right) \) con el polinomio del Apartado a: .
498.
Dada la función \( f(x)=\ln(1+2x) \), se pide:
a) Obtener el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función \( f(x) \), así como la fórmula de Maclaurin para \( n=5 \)
b) Calcular un valor aproximado de \(\ln\frac{3}{2} \) y una cota del error cometido utilizando los resultados.
c) Usando el procedimiento que consideres más adecuado, calcula el grado de polinomio que se necesita aplicar para obtener una aproximación de \(\ln\frac{3}{2} \) que tenga las 3 primeras cifras decimales exactas.
a) Obtener el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función \( f(x) \), así como la fórmula de Maclaurin para \( n=5 \)
b) Calcular un valor aproximado de \(\ln\frac{3}{2} \) y una cota del error cometido utilizando los resultados.
c) Usando el procedimiento que consideres más adecuado, calcula el grado de polinomio que se necesita aplicar para obtener una aproximación de \(\ln\frac{3}{2} \) que tenga las 3 primeras cifras decimales exactas.
499.
Dada la función \( f(x)=e^{\operatorname{sen}x} \), con \(-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2} \), se pide:
a) Polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f \)
b) Calcular de forma aproximada \(\sqrt{e} \), utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
a) Polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f \)
b) Calcular de forma aproximada \(\sqrt{e} \), utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
500.
Dada la función \( f(x)=e^{\operatorname{sen}(x+\pi)} \), con \(-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2} \), se pide:
a) Polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f \)
b) Calcular de forma aproximada \(\sqrt{e} \), utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
a) Polinomio de Maclaurin de grado 5 de \( f \)
b) Calcular de forma aproximada \(\sqrt{e} \), utilizando el polinomio anterior.
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
501.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{arcsen}x \)
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en \( a=0 \) y \( n=3 \)
b) Calcular la fórmula de Maclaurin de \( f(x) \) para \( n=3 \)
c) Calcular \(\operatorname{arcsen}(0, 1) \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acotar el error cometido en la aproximación anterior.
d) Dar \(\operatorname{arcsen}(0, 1) \) con las cifras decimales exactas que los cálculos de
c) te permitan asegurar.
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en \( a=0 \) y \( n=3 \)
b) Calcular la fórmula de Maclaurin de \( f(x) \) para \( n=3 \)
c) Calcular \(\operatorname{arcsen}(0, 1) \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acotar el error cometido en la aproximación anterior.
d) Dar \(\operatorname{arcsen}(0, 1) \) con las cifras decimales exactas que los cálculos de
c) te permitan asegurar.
502.
Dada la función \( f(x)=x\ln(x+1) \), hallar el grado del polinomio de Maclaurin de la función \( f(x) \) necesario para aproximar \( f(0, 1) \) con un error menor que \( 10^{-4} \)
503.
Sea la función \( f(x)=x\operatorname{sen}x \)
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en \( a=0 \) y \( n=3 \)
b) Calcular la fórmula de Maclaurin de \( f(x) \) para \( n=3 \)
c) Calcular \( f\left(\frac{\pi}{9}\right) \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acotar el error cometido en la aproximación anterior.
d) Dar \( f\left(\frac{\pi}{9}\right) \) con las cifras decimales exactas que los cálculos de
c) te permitan asegurar.
a) Comprobar que verifica las condiciones del teorema de Taylor en \( a=0 \) y \( n=3 \)
b) Calcular la fórmula de Maclaurin de \( f(x) \) para \( n=3 \)
c) Calcular \( f\left(\frac{\pi}{9}\right) \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 3 y acotar el error cometido en la aproximación anterior.
d) Dar \( f\left(\frac{\pi}{9}\right) \) con las cifras decimales exactas que los cálculos de
c) te permitan asegurar.
504.
Dada la función \( f(x)=xe^{-x} \), hallar el grado del polinomio de Maclaurin de la función \( f(x) \) necesario para aproximar \(\frac{1}{e} \) con un error menor que \( 10^{-4} \)
505.
a) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función \( f(x)=\cos^{2}x \) en el punto \( a=\frac{\pi}{4} \) y utilizar el polinomio anterior para calcular un valor aproximado de \(\cos^{2}\left(1, 1\cdot\frac{\pi}{4}\right) \)
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
506.
Obtener un valor del número \( e \) con un error inferior a una millonésima.
507.
Dada la función \( f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x} \). Obtener la expresión del polinomio de Maclaurin de grado
3. Calcular \(\ln 3 \) con dicho polinomio y acotar el error cometido.
3. Calcular \(\ln 3 \) con dicho polinomio y acotar el error cometido.
508.
Dada la función \( f(x)=\ln\frac{x+1}{2} \), se pide:
a) Calcular la derivada n-ésima de \( f(x) \)
b) Escribir la fórmula de Taylor en el punto \( a=1 \)
c) Acotar el error cometido en el cálculo de \(\ln(1, 1) \) utilizando el polinomio de grado
3.
d) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de \(\ln(1, 1) \) con un error menor que \( 10^{-6} \)
a) Calcular la derivada n-ésima de \( f(x) \)
b) Escribir la fórmula de Taylor en el punto \( a=1 \)
c) Acotar el error cometido en el cálculo de \(\ln(1, 1) \) utilizando el polinomio de grado
3.
d) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de \(\ln(1, 1) \) con un error menor que \( 10^{-6} \)
509.
Dada la función \( f(x)=\operatorname{sen}x+\cos x \)
a) Hallar el polinomio de Maclaurin de grado 1 de la función \( f(x) \)
b) Utilizar el polinomio del Apartado a: para calcular un valor aproximado de \( f(18^{\circ}) \). Nota: utilizar \(\pi=3, 1416 \)
a) Hallar el polinomio de Maclaurin de grado 1 de la función \( f(x) \)
b) Utilizar el polinomio del Apartado a: para calcular un valor aproximado de \( f(18^{\circ}) \). Nota: utilizar \(\pi=3, 1416 \)
510.
Dada la función \( f(x)=e^{\sqrt{x}} \) se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=3 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \( e^{\sqrt{1/2}} \), con el polinomio obtenido en a).
c) Hallar una cota del error cometido en b).
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=3 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \( e^{\sqrt{1/2}} \), con el polinomio obtenido en a).
c) Hallar una cota del error cometido en b).
511.
Dada la función \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \) se pide:
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=3 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \(\frac{1}{\sqrt{2}} \), con el polinomio obtenido en a).
c) Hallar una cota del error cometido en b).
a) Escribir la fórmula de Taylor de la función \( f(x) \) para \( n=3 \) y \( a=1 \)
b) Hallar el valor aproximado de \(\frac{1}{\sqrt{2}} \), con el polinomio obtenido en a).
c) Hallar una cota del error cometido en b).
512.
Dada la función \( f(x)=e^{x}+4\operatorname{arctg}(x) \). Se pide:
a) Si es posible, hallar el polinomio de Maclaurin de \( f \) de grado
3.
b) Calcular de manera aproximada el valor de \( e+\pi \) utilizando el polinomio anterior.
c) Calcular una cota del error cometido en la aproximación.
d) ¿De qué grado debe ser el polinomio de Taylor en \( a=0 \) utilizado para calcular \( f(0, 1) \) y poder asegurar que el error sea menor de una cienmilésima?
a) Si es posible, hallar el polinomio de Maclaurin de \( f \) de grado
3.
b) Calcular de manera aproximada el valor de \( e+\pi \) utilizando el polinomio anterior.
c) Calcular una cota del error cometido en la aproximación.
d) ¿De qué grado debe ser el polinomio de Taylor en \( a=0 \) utilizado para calcular \( f(0, 1) \) y poder asegurar que el error sea menor de una cienmilésima?
3.6 Aplicaciones del polinomio de Taylor
513.
Usar el Apartado c: para estimar \(\int_0^{1/2}\cos(x^2)\, dx \) con tres cifras decimales exactas.
514.
Calcular \(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}x - \operatorname{sen}x}{x^3} \)
515.
Calcular \(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}(x) - x}{4x^3} \)
516.
Usando la fórmula de Taylor, calcular \(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}^2x - \operatorname{arcsen}x^2}{\sqrt{1+x^2} - \cos x - \frac{5}{6}\ln(1-x)} \)
517.
Usando la fórmula de Taylor, calcular \(\lim_{x\to 0}\frac{x - \operatorname{sen}x}{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}} \)
518.
Usando la fórmula de Taylor, calcular \(\lim_{x\to 0}\left[\cos(xe^x) - \ln(1-x) - x\right]^{\operatorname{cotg}x^3} \)
519.
Usando la fórmula de Taylor, calcular \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln^2(1+x) - \operatorname{sen}^2x}{1 - e^{-x^2}} \)
520.
Obtener la aproximación de la integral de la función \( f(x) = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \) entre 0 y 1 utilizando el polinomio del Apartado a: .
521.
Usando el polinomio de Maclaurin de segundo grado de la función \( y=e^{\cos x} \), calcular aproximadamente \( e^{\cos(\pi/3)} \) y acotar el error cometido en dicha aproximación.
522.
Sea la función \( f(x)=xe^{-x^2} \). Hallar una aproximación de \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) y estimar el error cometido al usar el polinomio de Taylor de \( f \) para \( a=1 \) y \( n=7 \)
523.
Sea la función \( f(x)=xe^{-x^2} \). Hallar una aproximación de \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) y estimar el error cometido al usar el polinomio de Maclaurin de grado \( 7 \) de \( f \)
524.
Sea \( f(x)=xe^{-x^2} \). Argumentar cuál de los dos polinomios de los apartados anteriores (Taylor en \( a=1 \) o Maclaurin, ambos de grado \( 7 \) ) es el más adecuado para aproximar \( f\left(\frac{1}{2}\right) \)
525.
Dada la función \( f(x)=(x+1)e^{\frac{x-1}{x+1}} \), calcular un valor aproximado de \( f(0, 1) \) con su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \)
526.
Dada la función \( f(x)=(x+1)e^{\frac{x-1}{x+1}} \), estimar el error cometido al aproximar \( f(0, 1) \) con su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \)
527.
Dada la función \( f(x)=4\operatorname{arctg} x \), hallar una aproximación del valor de \( f(1) \) utilizando su polinomio de Maclaurin de grado \( 10 \)
528.
Dada la función \( f(x)=4\operatorname{arctg} x \), estimar el error cometido al aproximar \( f(1) \) con su polinomio de Maclaurin de grado \( 10 \) usando el resto de Lagrange.
529.
Calcular aproximadamente \(\cosh 1 \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado \( 10 \) de la función \(\cosh x \)
530.
Acotar el error cometido al aproximar \(\cosh 1 \) con el polinomio de Maclaurin de grado \( 10 \) de la función \(\cosh x \), usando el resto de Lagrange.
531.
Calcular aproximadamente \(\operatorname{argsenh} 1 \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado \( 10 \) de la función \(\operatorname{argsenh} x \)
532.
Acotar el error cometido al aproximar \(\operatorname{argsenh} 1 \) con el polinomio de Maclaurin de grado \( 10 \) de la función \(\operatorname{argsenh} x \), usando el resto de Lagrange.
533.
Utilizar el polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \) de \( f(x)=\sqrt[3]{1+2x} \) para obtener un valor aproximado de \(\sqrt[3]{3} \), estimando una cota máxima del error cometido.
534.
Utilizar el polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \) de \( f(x)=\sqrt[3]{1+2x} \) para obtener un valor aproximado de \(\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt[3]{1+2x}\, dx \)
535.
Tomando \( n=3 \) en el polinomio de Maclaurin de \( f(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \), calcular aproximadamente \(\ln\sqrt{\frac{11}{9}} \) y acotar el error en la aproximación.
536.
Dar un valor aproximado de \(\operatorname{arctg}(0, 8) \) utilizando el polinomio de Taylor de grado \( 5 \) de \( f(x)=\operatorname{arctg} x \) en \( a=1 \)
537.
Acotar el error cometido al aproximar \(\operatorname{arctg}(0, 8) \) con el polinomio de Taylor de grado \( 5 \) de \( f(x)=\operatorname{arctg} x \) en \( a=1 \)
538.
Sea \( f(x)=x^{80}-x^{40}+x^{20} \). Obtener \( f(1, 005) \) usando su polinomio de Taylor de grado \( 2 \) en potencias de \((x-1) \)
539.
¿Qué error se comete al tomar como valor del número \( e \) la fracción \(\frac{65}{24} \)?
540.
Calcular \(\operatorname{sen} 20^{\circ} \) tomando \( n=3 \) en el desarrollo de Maclaurin del seno. Hallar una cota del error cometido en dicho cálculo.
541.
Calcular los polinomios de Maclaurin de grado tres de las funciones \(\cos x \) y \(\operatorname{sen}(2x) \), con sus correspondientes restos de Lagrange. Acotar el error cometido en el cálculo de \(\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) \) y de \(\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{10}\right) \) con los dos polinomios anteriores.
542.
Aproximar \( f(1) \) utilizando el polinomio de Maclaurin de grado \( 4 \) de \( f(x)=\frac{x-\operatorname{sen} x}{x^3} \) (con \( f(0)=\frac{1}{6} \) ) y estimar el error cometido.
543.
Hallar el valor aproximado de \(\sqrt{1, 1} \) tomando hasta el término de grado \( 3 \) en el desarrollo de Maclaurin de \( f(x)=\sqrt{1+x} \)
544.
Acotar el error cometido al aproximar \(\sqrt{1, 1} \) tomando hasta el término de grado \( 3 \) en el desarrollo de Maclaurin de \( f(x)=\sqrt{1+x} \)
545.
Hallar el valor aproximado de \(\sqrt{1, 1} \) tomando hasta el término de grado \( 5 \) en el desarrollo de Taylor de \( f(x)=\sqrt{x} \) en \( a=1 \)
546.
Acotar el error cometido al aproximar \(\sqrt{1, 1} \) tomando hasta el término de grado \( 5 \) en el desarrollo de Taylor de \( f(x)=\sqrt{x} \) en \( a=1 \)
547.
Dada la función \( f(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\, dt \), hallar el valor aproximado de \( f(0, 5) \) tomando hasta el término de grado \( 5 \) en el desarrollo de su polinomio de Maclaurin.
548.
Dada la función \( f(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\, dt \), acotar el error cometido al aproximar \( f(0, 5) \) tomando hasta el término de grado \( 5 \) en el desarrollo de su polinomio de Maclaurin.
549.
Hallar el grado mínimo del polinomio de Maclaurin para calcular \( f(0, 5) \), con un error menor que \( 0, 001 \), siendo \( f(x)=1+x^3\operatorname{sen} x \)
550.
Acotar el error cometido si utilizamos el polinomio de Taylor de grado \( 4 \) de \( f(x)=\cos(\pi\ln x) \) en \( a=e \) para evaluar \( f(2) \)
551.
Calcular, sin usar Derive, \(\lim_{x\to e}\frac{1+\cos(\pi\ln x)}{e-x} \) utilizando el polinomio de Taylor de grado \( 4 \) de \( f(x)=\cos(\pi\ln x) \) en \( a=e \)
553.
Para valores de \( x \) entre \( 40^{\circ} \) y \( 50^{\circ} \), obtener una cota del error que se comete al efectuar la aproximación \(\operatorname{sen} x\approx\frac{\sqrt{2}}{2}\left[1+\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2\right] \)
554.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}} \), calcular de forma aproximada \( f(1) \) utilizando su polinomio de Maclaurin de grado \( 3 \)
555.
Dar una acotación del error cometido al aproximar \( f(1) \) con el polinomio de Maclaurin de grado \( 3 \) de \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}} \), y expresar \( f(1) \) solo con cifras decimales exactas.
556.
Si \( p_3(x)=5-3(x-4)^2+9(x-4)^3 \) es el polinomio de Taylor de grado \( 3 \) de una función \( f(x) \) en el punto \( a=4 \), decidir si la función tiene un máximo o un mínimo relativo en \( a=4 \)
557.
Si \( p_3(x)=5-3(x-4)^2+9(x-4)^3 \) es el polinomio de Taylor de grado \( 3 \) de una función \( f(x) \) en el punto \( a=4 \), decidir si \( f \) es cóncava o convexa en un entorno de \( a=4 \)
558.
Dada la función \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x}} \), calcular de forma aproximada \( f(-1) \) utilizando su polinomio de Maclaurin de grado \( 3 \)
559.
Dar una acotación del error cometido al aproximar \( f(-1) \) con el polinomio de Maclaurin de grado \( 3 \) de \( f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x}} \), y expresar \( f(-1) \) solo con cifras decimales exactas.
560.
Si \( p_3(x)=4+(x-2)^2+6(x-2)^3 \) es el polinomio de Taylor de grado \( 3 \) de una función \( f(x) \) en el punto \( a=2 \), decidir si la función tiene un máximo o un mínimo relativo en \( a=2 \)
561.
Si \( p_3(x)=4+(x-2)^2+6(x-2)^3 \) es el polinomio de Taylor de grado \( 3 \) de una función \( f(x) \) en el punto \( a=2 \), decidir si \( f \) es cóncava o convexa en un entorno de \( a=2 \)
562.
Dada la función \( f(x)=x^2\ln(x+1) \), hallar una aproximación de \( f(0, 5) \) usando su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \)
563.
Dada la función \( f(x)=x^2\ln(x+1) \), acotar el error cometido al aproximar \( f(0, 5) \) con su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \)
564.
Sea la función \( f(x)=\ln(x+2) \). Hallar su aproximación lineal en un entorno de \( a=-1 \)
565.
Calcular de forma aproximada \(\ln(0, 9) \) utilizando el polinomio de Taylor de orden \( 3 \) de \( f(x)=\ln(x+2) \) en \( a=-1 \)
566.
Acotar el error cometido al aproximar \(\ln(0, 9) \) con el polinomio de Taylor de orden \( 3 \) de \( f(x)=\ln(x+2) \) en \( a=-1 \), y dar \(\ln(0, 9) \) con cifras decimales exactas.
567.
¿De qué grado debería ser el polinomio de aproximación de \( f(x)=\ln(x+2) \) en \( a=-1 \) para que el error al aproximar \(\ln(0, 9) \) fuera menor que una cienmilésima?
568.
Dada la función \( f(x)=10xe^{-x} \), hallar el valor aproximado de \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) con cada uno de los polinomios de Taylor de grado \( 5 \) en \( a=0 \) y en \( a=1 \)
569.
Dada la función \( f(x)=10xe^{-x} \), calcular la cota del error cometido en cada una de las aproximaciones de \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) obtenidas con los polinomios de Taylor de grado \( 5 \) en \( a=0 \) y en \( a=1 \)
570.
Dada la función \( f(x)=10xe^{-x} \), razonar cuál de las dos aproximaciones de \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) (con el polinomio de Taylor de grado \( 5 \) en \( a=0 \) o en \( a=1 \) ) es más precisa.
571.
Dada la función \( f(x)=\ln(x+1) \), averiguar el grado que hay que tomar en su polinomio de Maclaurin para aproximar \(\ln(1, 5) \) con un error menor que \( 0, 0001 \)
572.
Sea la función \( f(x)=\operatorname{tg}(2x) \). Hallar una aproximación del valor \(\operatorname{tg}(0, 5) \) con el polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \) y acotar el error cometido.
573.
Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de \( e \) (como \( f(1) \) con \( f(x)=xe^x \) ) con un error menor que \( 10^{-4} \)
574.
Hallar una aproximación del valor \(\operatorname{arcsen}(0, 1) \) con el polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \) de \( f(x)=\operatorname{arcsen} x \) y acotar el error cometido.
575.
Sea \( f(x)=\operatorname{arcsen}(2x) \). Hallar una aproximación del valor \(\operatorname{arcsen}(0, 1) \) con su polinomio de Maclaurin de grado \( 5 \) y acotar el error cometido.
576.
Dada la función \( f(x)=x^2e^{-x} \), acotar el error cometido en el cálculo de \( f\left(\frac{1}{5}\right) \) utilizando el polinomio de grado \( 5 \)
577.
Dada la función \( f(x)=x^2e^{-x} \), calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de \( f\left(\frac{1}{5}\right) \) con un error menor que \( 10^{-6} \)
578.
Hallar el valor aproximado de \(\operatorname{arctg}\sqrt{0, 5} \) con el polinomio de Taylor de \( f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x} \) para \( n=4 \) y \( a=1 \), y dar una cota del error cometido.
579.
La medida del radio \( R \) de una esfera ha dado \( 6 \) cm con una cota de error de \( 0, 02 \) cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el volumen de la esfera.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( R \) para que el error cometido al calcular el volumen no supere el \( 0, 6\% \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el volumen de la esfera.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( R \) para que el error cometido al calcular el volumen no supere el \( 0, 6\% \)
580.
Hallar, utilizando polinomios de Taylor, el valor de los siguientes límites:
a) \(\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{tg}x}{4x^{3}} \)
b) \(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}(x)-x}{-\operatorname{sen}(x^{2})} \)
c) \(\lim_{x\to 0}\frac{(\operatorname{arcsen}x+2x)^{2}}{1-\cos x} \)
d) \(\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\cos x}{\operatorname{sen}x} \)
a) \(\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{tg}x}{4x^{3}} \)
b) \(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}(x)-x}{-\operatorname{sen}(x^{2})} \)
c) \(\lim_{x\to 0}\frac{(\operatorname{arcsen}x+2x)^{2}}{1-\cos x} \)
d) \(\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\cos x}{\operatorname{sen}x} \)
581.
Un topógrafo está a \( 30 \) m de la base de un árbol y mide el ángulo de elevación (a la copa) obteniendo \(\alpha=71^{\circ} \) con una cota de error de \( 0, 5^{\circ} \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular la altura \( h \) del árbol (pasar \(\alpha \) a radianes).
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \(\alpha \) para que el error cometido al calcular la altura del árbol no supere el \( 1\% \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular la altura \( h \) del árbol (pasar \(\alpha \) a radianes).
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \(\alpha \) para que el error cometido al calcular la altura del árbol no supere el \( 1\% \)
582.
La medida del radio \( R \) de la base de un mástil ha dado \( 14 \) cm con una cota de error de \( 0, 25 \) cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el área de la base del mástil.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( R \) para que el error cometido al calcular el área no supere el \( 1\% \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el área de la base del mástil.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( R \) para que el error cometido al calcular el área no supere el \( 1\% \)
583.
La medida del lado \( L \) de un cristal cuadrado es de \( 28 \) cm con una cota de error de \( 0, 5 \) cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el área del cristal.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( L \), para que el error cometido al calcular el área no supere el \( 1\% \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el área del cristal.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( L \), para que el error cometido al calcular el área no supere el \( 1\% \)
584.
La medida del lado \( L \) de un cubo o exaedro regular ha sido \( 14 \) cm con una cota de error de \( 0, 25 \) cm.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el volumen del cubo.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( L \) para que el error cometido al calcular el volumen no supere el \( 1\% \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error porcentual posible cometido al calcular el volumen del cubo.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( L \) para que el error cometido al calcular el volumen no supere el \( 1\% \)
585.
La medida del área de una pieza circular ha sido \( 25 \) cm² con una cota de error de \( 0, 3 \) cm².
a) Aproximar, mediante diferenciales, el porcentaje del error propagado (cota) cuando calculamos el radio de la pieza.
b) Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del área para que el error cometido al calcular el radio no supere el \( 1\% \)
a) Aproximar, mediante diferenciales, el porcentaje del error propagado (cota) cuando calculamos el radio de la pieza.
b) Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del área para que el error cometido al calcular el radio no supere el \( 1\% \)
586.
Calcular con 3 cifras decimales (exactas) las siguientes integrales utilizando polinomios de Maclaurin de la función integrando e indica el menor grado del polinomio necesario:
\(\int_{0}^{0, 1}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\, dx \); \(\int_{0}^{0, 1}e^{-x^{2}}\, dx \)
\(\int_{0}^{0, 1}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\, dx \); \(\int_{0}^{0, 1}e^{-x^{2}}\, dx \)
587.
La clotoide es una curva (plana) de enlace de vías de comunicación cuyas ecuaciones paramétricas son \( x=\int_{0}^{s}\cos\frac{t^{2}}{2a^{2}}\, dt \), \( y=\int_{0}^{s}\operatorname{sen}\frac{t^{2}}{2a^{2}}\, dt \), donde \( a \) es el parámetro de la clotoide y \( s \) es la longitud del arco. Las integrales que las definen no admiten primitiva por lo que se aproximan utilizando polinomios de Maclaurin para las funciones integrando. Se pide obtener unas ecuaciones para \( a=\frac{1}{2} \) con cuatro términos no nulos.
588.
Construido un depósito esférico para almacenamiento de líquidos, se le pide a un topógrafo que estime con la mayor precisión posible el volumen que puede contener. El topógrafo mide el radio \( R \) de la esfera que resulta ser de \( 11, 35 \) m con una cota de error estimado \( dR<0, 20 \) m.
a) Aplique el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen \( V \) del depósito.
b) Estimar el máximo error en la medida de \( R \), para que el error propagado al calcular el volumen no supere el \( 3\% \)
a) Aplique el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen \( V \) del depósito.
b) Estimar el máximo error en la medida de \( R \), para que el error propagado al calcular el volumen no supere el \( 3\% \)
589.
Para el control de calidad de una pieza cilíndrica de un cohete, con la medida de la altura igual al diámetro de la base, se le pide a un topógrafo que mida el radio \( R \) de la base con alta precisión y el resultado es de \( 6, 14 \) m con una cota de error \( dR<0, 06 \) m.
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error propagado cometido, en términos porcentuales, al calcular el volumen del cilindro.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( R \) para que el error cometido al calcular el volumen no supere el \( 1\% \)
a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error propagado cometido, en términos porcentuales, al calcular el volumen del cilindro.
b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de \( R \) para que el error cometido al calcular el volumen no supere el \( 1\% \)
4.1 EDO: conceptos básicos y verificación de soluciones
590.
Dada la ecuación diferencial \( y^3 dx - x^2 (2y + x)dy = 0 \), clasificarla.
591.
Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial:
\((x^4 + 2x^2 + 2xy + 1)dx - (1 + x^2)dy = 0 \)
\((x^4 + 2x^2 + 2xy + 1)dx - (1 + x^2)dy = 0 \)
592.
Indicar de qué tipo es la siguiente ecuación diferencial y resolverla:
\( x dx - y\cos\left(\frac{y}{x}\right)dx + x\cos\left(\frac{y}{x}\right)dy = 0 \)
\( x dx - y\cos\left(\frac{y}{x}\right)dx + x\cos\left(\frac{y}{x}\right)dy = 0 \)
593.
Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial:
\( y' = \frac{x - y^2}{2xy + y} \)
\( y' = \frac{x - y^2}{2xy + y} \)
594.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \((2xy - 4x)dx + dy = 0 \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((2, 2) \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((2, 2) \)
595.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \((2x^3 + 3y)dx + (3x + y - 1)dy = 0 \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((1, 0) \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((1, 0) \)
596.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \( y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((1, 1) \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((1, 1) \)
597.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \((3y - 5)dx + \frac{1}{x}dy = 0 \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((2, 2) \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((2, 2) \)
598.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \( 3e^x\operatorname{tg}(y)\, dx + (2 - e^x)\operatorname{sec}^2(y)\, dy = 0 \)
599.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \( xy' - y = x^2\operatorname{sen}x \)
600.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \( x^2(y+1)dx + y^2(x-1)dy = 0 \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((2, 0) \)
Calcular también la solución particular que pasa por el punto \((2, 0) \)
601.
Clasificar y resolver la ecuación diferencial \( x\, dy - \left(y + xy^3(1 + \ln x)\right)dx = 0 \)
4.2 Ecuaciones de variables separadas
602.
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
\((2x + y - 4)dx + (5y - 1)dy = 0 \)
\((2x + y - 4)dx + (5y - 1)dy = 0 \)
603.
Obtener la solución general de la ecuación diferencial \((x-1)^2 y dx + x^2 (y+1) dy = 0 \)
Hallar la solución particular que pasa por el punto \((1, 1) \)
Hallar la solución particular que pasa por el punto \((1, 1) \)
604.
Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
\((3x + y - 5)dx + (6x + 2y - 1)dy = 0 \)
\((3x + y - 5)dx + (6x + 2y - 1)dy = 0 \)
605.
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial \((3x + y - 5)dx + (6x + 2y - 1)dy = 0 \) que pasa por el punto \((1, 2) \)
606.
Resolver la ecuación diferencial \( y^3 dx - x^2 (2y + x)dy = 0 \)
607.
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial \( y^3 dx - x^2 (2y + x)dy = 0 \) que pasa por el punto \((1, 3) \)
608.
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial \((x^4 + 2x^2 + 2xy + 1)dx - (1 + x^2)dy = 0 \) que pasa por el punto \((2, 3) \)
609.
Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
\((3x - y - 1)dx + (5x - y - 3)dy = 0 \)
\((3x - y - 1)dx + (5x - y - 3)dy = 0 \)
610.
Resolver la ecuación diferencial \( 2xy\ln y\, dx + \left(x^2 + y^2\sqrt{y^2 + 1}\right)dy = 0 \)
611.
Resolver la ecuación diferencial \(\frac{dy}{dx} = y\cos x + \operatorname{sen}(2x) \)
612.
Resolver la ecuación diferencial \((x^3 + y^4)dx + 8xy^3 dy = 0 \)
613.
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial \( y' = \frac{x - y^2}{2xy + y} \) que pasa por el punto \((0, 1) \)
614.
Resolver la ecuación diferencial \((x + y)dx + (3x + 3y - 4)dy = 0 \), reduciéndola a una ecuación de variables separables.
615.
Resolver la ecuación diferencial \((x + y - 2)dx + (2x - y + 4)dy = 0 \), reduciéndola a una ecuación homogénea.
620.
Resolver la ecuación \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\cos y + \operatorname{sen}(2y)} \)
4.3 Modelos y aplicaciones
622.
Está nevando con regularidad. A las 12 sale una máquina quitanieves que recorre en la primera hora \( 2 \) km y en la segunda \( 1 \) km. ¿A qué hora empezó a nevar?
Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance resulta inversamente proporcional a la altura de la nieve encontrada.
Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance resulta inversamente proporcional a la altura de la nieve encontrada.
623.
Suponiendo un modelo de desintegración lineal, los elementos radiactivos se desintegran a una velocidad proporcional a la cantidad de sustancia presente en cada instante, es decir, \(\frac{dx}{dt} = -kx \), donde \( x \) es la cantidad de sustancia y \( t \) el tiempo. Se pide deducir la ecuación que gobierna este tipo de reacción, así como la expresión de la constante de desintegración utilizando para ello el concepto de semivida.
624.
Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Si la mitad desaparece en \( 1600 \) años, ¿qué porcentaje desaparecerá en un año? ¿Qué porcentaje de la cantidad original quedará al cabo de \( 2600 \) años?
625.
La ley del interés compuesto establece que la rapidez de variación de la función con respecto a la variable para cualquier valor de la variable es proporcional al valor correspondiente de la función. Hallar la función \( y = f(x) \) del interés compuesto, cuando \( x = 1 \), \( y = 4 \); \( x = 2 \), \( y = 12 \)