Ejercicios · Tema 1: Cinemática — 11. Movimiento circular
4 ejercicios resueltos paso a paso.
11. Movimiento circular
1.
Un volante gira alrededor de su eje a \( 300 \, \text{rpm} \). Un freno lo para en \( 20 \, \text{s} \). Calcula su aceleración angular (supuesta constante) y el número de vueltas que da hasta que se para. Si el volante tiene \( 10 \, \text{cm} \) de radio, encuentra las componentes tangencial y normal de la aceleración en un punto de la periferia del volante en el instante en que la rueda ha dado \( 40 \) vueltas. Encuentra también la aceleración resultante en ese momento.
2.
David es un experto con la honda, y por eso se mantiene alejado de Goliat preparado para atacar. La honda consiste en una cuerda de longitud \( R \) que sostiene una piedra de masa \( m \) en uno de sus extremos. David hace girar la piedra (inicialmente en reposo en un plano vertical y dirigida verticalmente hacia abajo) con una aceleración angular constante \( \alpha \), completando 5 vueltas y, justo después, la lanza cuando la cuerda forma un ángulo \( \theta \) respecto de la vertical, de manera que la piedra sale disparada formando un ángulo de \( 30^{\circ} \) respecto de la horizontal y describiendo un tiro parabólico con rozamiento.
a) ¿Cuál es la aceleración tangencial, \( \vec{a}_t \), y la aceleración centrípeta, \( \vec{a}_n \), cuando la piedra ha hecho exactamente dos vueltas completas? ¿Cuál es la velocidad inicial \( \vec{v}_0 \) con la que sale disparada la piedra? Nota que debes dar tanto el módulo como la dirección de las magnitudes que se piden.
b) ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar la altura máxima si el rozamiento con el aire provoca que la piedra esté sometida a una aceleración \( \vec{a}_r = -k\vec{v} \)?
c) ¿Cuál es la altura máxima?
Datos: \( m = 0, 5 \, \text{kg} \), \( R = 50 \, \text{cm} \), \( k = 1 \, \text{s}^{-1} \), \( \alpha = 30 \, \text{rad/s}^2 \). (Toma \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).. )
a) ¿Cuál es la aceleración tangencial, \( \vec{a}_t \), y la aceleración centrípeta, \( \vec{a}_n \), cuando la piedra ha hecho exactamente dos vueltas completas? ¿Cuál es la velocidad inicial \( \vec{v}_0 \) con la que sale disparada la piedra? Nota que debes dar tanto el módulo como la dirección de las magnitudes que se piden.
b) ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar la altura máxima si el rozamiento con el aire provoca que la piedra esté sometida a una aceleración \( \vec{a}_r = -k\vec{v} \)?
c) ¿Cuál es la altura máxima?
Datos: \( m = 0, 5 \, \text{kg} \), \( R = 50 \, \text{cm} \), \( k = 1 \, \text{s}^{-1} \), \( \alpha = 30 \, \text{rad/s}^2 \). (Toma \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).. )
3.
En el patio de la universidad hay un ventilador de juguete inicialmente en reposo. De repente, un golpe de viento de \( 9 \) segundos acelera el ventilador hasta obtener una velocidad angular \( \omega_f \)
a) Suponiendo que la aceleración angular \( \alpha \) ejercida por el aire es constante, ¿cuál es la aceleración tangencial, \( \vec{a}_t \), y la aceleración centrípeta, \( \vec{a}_n \), del punto \( P \) situado a una distancia \( r \) del centro en la dirección vertical (ver dibujo) después de realizar 3 vueltas? ¿Cuál es la velocidad \( \vec{v} \) del punto \( P \) en el instante \( t \)? Nota que debes dar tanto el módulo como la dirección de las magnitudes que se piden.
b) En realidad, la aceleración angular no es constante sino que depende de \( \omega \) siguiendo la expresión \( \alpha = \dfrac{k}{\omega} \). ¿Cuál es el valor de la constante \( k \)? ¿Cuál es el módulo de la aceleración lineal del punto \( P \) en el instante \( t \)?
c) ¿Cuántas vueltas ha realizado el ventilador en el instante \( t \)? ¿Qué error (en %) se produce si realizamos el mismo cálculo pero suponiendo que la aceleración es constante?
Datos: \( \omega_f = 18 \, \text{rad/s} \), \( r = 5 \, \text{cm} \), \( t = 4 \, \text{s} \)
a) Suponiendo que la aceleración angular \( \alpha \) ejercida por el aire es constante, ¿cuál es la aceleración tangencial, \( \vec{a}_t \), y la aceleración centrípeta, \( \vec{a}_n \), del punto \( P \) situado a una distancia \( r \) del centro en la dirección vertical (ver dibujo) después de realizar 3 vueltas? ¿Cuál es la velocidad \( \vec{v} \) del punto \( P \) en el instante \( t \)? Nota que debes dar tanto el módulo como la dirección de las magnitudes que se piden.
b) En realidad, la aceleración angular no es constante sino que depende de \( \omega \) siguiendo la expresión \( \alpha = \dfrac{k}{\omega} \). ¿Cuál es el valor de la constante \( k \)? ¿Cuál es el módulo de la aceleración lineal del punto \( P \) en el instante \( t \)?
c) ¿Cuántas vueltas ha realizado el ventilador en el instante \( t \)? ¿Qué error (en %) se produce si realizamos el mismo cálculo pero suponiendo que la aceleración es constante?
Datos: \( \omega_f = 18 \, \text{rad/s} \), \( r = 5 \, \text{cm} \), \( t = 4 \, \text{s} \)
4.
Un coche de alta gama puede pasar de \( 0 \) a \( 100 \, \text{km/h} \) en \( 3 \) segundos.
a) ¿Qué aceleración angular tienen los neumáticos si consideramos que la aceleración angular de las ruedas de radio \( R \) es constante? ¿Cuántas vueltas han dado las ruedas en \( 2 \) segundos después de arrancar? ¿Qué aceleración normal y tangencial tienen en ese instante de tiempo? Ayuda: considera que la aceleración del coche coincide con la aceleración tangencial de las ruedas.
b) Consideramos que la aceleración constante que permite pasar de \( 0 \) a \( 100 \, \text{km/h} \) en \( 3 \) segundos es la aceleración máxima del coche. Si el rozamiento con el aire provoca una aceleración contraria \( \vec{a}_r = -k\vec{v} \), ¿a qué velocidad irá el coche al pasar \( 6 \) segundos de haberse puesto en marcha e ir a aceleración máxima? ¿Cuál es la velocidad máxima que puede conseguir el vehículo?
Datos: \( R = 30 \, \text{cm} \); \( k = 0, 1 \, \text{s}^{-1} \). (Toma \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).. )
a) ¿Qué aceleración angular tienen los neumáticos si consideramos que la aceleración angular de las ruedas de radio \( R \) es constante? ¿Cuántas vueltas han dado las ruedas en \( 2 \) segundos después de arrancar? ¿Qué aceleración normal y tangencial tienen en ese instante de tiempo? Ayuda: considera que la aceleración del coche coincide con la aceleración tangencial de las ruedas.
b) Consideramos que la aceleración constante que permite pasar de \( 0 \) a \( 100 \, \text{km/h} \) en \( 3 \) segundos es la aceleración máxima del coche. Si el rozamiento con el aire provoca una aceleración contraria \( \vec{a}_r = -k\vec{v} \), ¿a qué velocidad irá el coche al pasar \( 6 \) segundos de haberse puesto en marcha e ir a aceleración máxima? ¿Cuál es la velocidad máxima que puede conseguir el vehículo?
Datos: \( R = 30 \, \text{cm} \); \( k = 0, 1 \, \text{s}^{-1} \). (Toma \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).. )