Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega xy^2 \, dxdy \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 3\}\)
empezaremos por describir el recinto como rectángulo y plantear la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. A continuación calcularemos la integral interior respecto de la variable y tratando x como constante, mostrando su primitiva. Para terminar, integraremos el resultado respecto de x.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega (x^2+y^2) \, dxdy \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 1 \le y \le 2\}\)
empezaremos por describir el recinto como rectángulo y plantear la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. A continuación calcularemos la integral interior respecto de y tratando x como constante. Para terminar, integraremos el resultado respecto de x.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega e^x y^3 \, dxdy \) donde \(\Omega = \{-1 \le x \le 1, \, -1 \le y \le 1\}\)
empezaremos por observar que el recinto es un cuadrado y que el integrando factoriza como producto de una función de x por una de y, por lo que la integral doble es el producto de dos integrales simples. A continuación calcularemos cada una, mostrando sus primitivas. Para terminar, multiplicaremos los valores.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega \sqrt{xy} \, dxdy \) donde \(\Omega = \{y \le x \le y^2, \, 0 \le y \le 1\}\)
empezaremos por describir la región comprendida entre las curvas \( x = y^2 \) y \( x = y \) como recinto de tipo II y plantearemos la integral iterada según Fubini. Para terminar, integraremos primero en x tratando y como constante y después en y.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega x^3y^2 \, dxdy \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le x^2\}\)
empezaremos por describir el recinto como de tipo I, bajo la parábola y igual a x al cuadrado. A continuación plantearemos la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. Para terminar, integraremos primero en y tratando x como constante y después en x.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega (4-y^2) \, dxdy \) donde \(\Omega \) es la región acotada entre \( y^2 = 2x \) e \( y^2 = 8 - 2x \)
empezaremos por hallar los puntos de corte de las dos parábolas y describir la región como recinto de tipo II. A continuación plantearemos la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. Para terminar, integraremos primero en x tratando y como constante y después en y.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega e^{-y^2/2} \, dxdy \) donde \(\Omega \) es el triángulo limitado por el eje de las \( y \) la recta \( 2y = x \) y la recta \( y = 1 \)
empezaremos por describir el triángulo como recinto de tipo II, ya que el integrando no depende de x. A continuación plantearemos la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. Para terminar, integraremos primero en x, lo que deja una integral en y que se resuelve con un cambio de variable.
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