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Ejercicios · Bloque 5: Cálculo en varias variables — 5.3 Derivadas direccionales
12 ejercicios resueltos paso a paso.
5.3 Derivadas direccionales
1.
Calcula la derivada direccional de la función \( f(x, y)=x+2xy-3y^2 \) en el punto \((x_0, y_0)=(1, 2) \) según la dirección \( v=(3/5, 4/5) \)
empezaremos por observar que \( f \) es un polinomio, luego es de clase \( C^1 \) y por tanto diferenciable en todo punto; esto nos autoriza a usar el teorema que da la derivada direccional como producto escalar del gradiente por la dirección. A continuación calcularemos el gradiente en el punto, comprobaremos que la dirección es unitaria y haremos el producto escalar. Para terminar, daremos el valor de la derivada direccional.
Calcula la derivada direccional de la función \( f(x, y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}\) en el punto \((x_0, y_0)=(1, 0) \) según la dirección \( v=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2, 1) \)
empezaremos por observar que \( f \) es de clase \( C^1 \) en su dominio, que contiene al punto \((1, 0) \), luego es diferenciable allí y podemos aplicar el teorema \( D_v f=\nabla f\cdot v \). A continuación calcularemos el gradiente en el punto, comprobaremos que la dirección es unitaria y haremos el producto escalar. Para terminar, daremos el valor de la derivada direccional.
Un astronauta se halla en una situación comprometida mientras navega cerca de la cara soleada de Mercurio.
La nave se encuentra en el punto de coordenadas \((1, 1, 1) \), donde el sistema de coordenadas cartesianas \((x, y, z) \) se ha tomado de forma que el Sol está en el origen y que la unidad de longitud (ul.. ) es la décima parte de una unidad astronómica (ua).
La temperatura del casco de la nave en grados centígrados viene dada por \( T(x, y, z)=Ce^{-x^2-2y^2-3z^2}\) en función de las coordenadas de posición \((x, y, z) \) de la nave medidas en ul.. , donde \( C \) es una determinada constante positiva. ¿En qué dirección ha de viajar para enfriar la nave lo más rápidamente posible?
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: si la función es diferenciable y el gradiente no es nulo, la dirección de máximo crecimiento es \(\nabla T/\|\nabla T\| \) y la de máximo decrecimiento es la opuesta. Como queremos enfriar lo más rápido posible, buscaremos la dirección de máximo decrecimiento. A continuación calcularemos el gradiente de \( T \) con la regla de la cadena y lo evaluaremos en \((1, 1, 1) \). Para terminar, normalizaremos el vector obtenido.
En la situación del enunciado anterior (nave en \((1, 1, 1) \) con \( T(x, y, z)=Ce^{-x^2-2y^2-3z^2}\) ), si la nave está viajando a \( e^8 \) ul. por segundo, ¿con qué velocidad bajará la temperatura si se mueve en la dirección de enfriamiento más rápido?
empezaremos por recordar que la tasa de variación de la temperatura por unidad de longitud recorrida en la dirección de máximo decrecimiento es \(-\|\nabla T\| \), según el teorema de la dirección de máximo crecimiento. Como la nave recorre \( e^8 \) unidades de longitud por segundo, la velocidad de enfriamiento será esa tasa multiplicada por la velocidad. A continuación calcularemos \(\|\nabla T(1, 1, 1)\| \). Para terminar, multiplicaremos por la velocidad y daremos la velocidad de bajada de la temperatura.
En la misma situación, el metal del casco de la nave se agrietará si se enfría a una velocidad mayor de \( C\sqrt{14}\, e^2 \) grados por segundo.
Describe las posibles direcciones en que puede moverse para enfriar la temperatura sin peligro de que el casco se agriete.
empezaremos por expresar la velocidad de enfriamiento en una dirección unitaria arbitraria \(\mathbf{u} \) como \(-e^8D_{\mathbf{u}}T(1, 1, 1) \), pues la nave viaja a \( e^8 \) ul.. /s. A continuación usaremos el teorema \( D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot\mathbf{u} \) con el gradiente ya calculado. Después impondremos las dos condiciones de seguridad: que realmente se enfríe (velocidad no negativa) y que la velocidad de enfriamiento no supere el umbral de agrietamiento. Para terminar, describiremos geométricamente el conjunto de direcciones admisibles.
Sea \( T(x, y)=1-ax^2-by^2 \), con \( a>0 \), \( b>0 \), la temperatura en cada punto \( P(x, y) \) del plano.
Un insecto friolero está situado en el punto \((x_0, y_0)\neq(0, 0) \)
Determina el camino que seguirá el insecto si en cada momento intenta estar lo más caliente posible.
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: en cada punto, la dirección en la que la temperatura aumenta más deprisa es la del gradiente \(\nabla T \). Por tanto el camino del insecto es en cada instante tangente al gradiente, es decir, es una curva integral del campo \(\nabla T \). A continuación calcularemos el gradiente y plantearemos la ecuación diferencial \( dy/dx=T_y/T_x \) que describe esas curvas. Después resolveremos la ecuación separando variables. Para terminar, impondremos que la curva pase por \((x_0, y_0) \) y describiremos el sentido del recorrido.
La temperatura de una plancha de metal plana viene dada por la función \( T(x, y)=\dfrac{100}{x^2+y^2-2x-2y+6}\). ¿Cuál es la temperatura del punto \( P=(0, 0) \) y en qué dirección va el flujo de calor en este punto? Describe la curva isoterma que pasa por \( P \) y encuentra la ecuación paramétrica de la recta normal por \( P \)
empezaremos por evaluar \( T \) en \((0, 0) \). A continuación calcularemos el gradiente en ese punto, pues el calor fluye de las zonas calientes a las frías, es decir, en la dirección de máximo decrecimiento \(-\nabla T \). Después hallaremos la isoterma (curva de nivel) que pasa por \( P \) igualando \( T(x, y) \) al valor en \( P \) y completando cuadrados. Para terminar, escribiremos la recta normal a la isoterma en \( P \), que tiene la dirección del gradiente.
En la plancha del enunciado anterior, ¿dónde se halla la fuente de calor (es decir, el punto de temperatura máxima) y cuál es su temperatura?
empezaremos por observar que la temperatura \( T(x, y)=\frac{100}{x^2+y^2-2x-2y+6} \) es máxima cuando su denominador es mínimo, pues el numerador es constante y positivo. A continuación completaremos cuadrados en el denominador para hallar su valor mínimo y el punto donde se alcanza. Para terminar, calcularemos la temperatura en ese punto.
En la misma plancha de metal, ¿cuáles son los puntos del disco \( x^2+y^2\le 1 \) con temperatura máxima y mínima?
empezaremos por observar que el disco cerrado es compacto y \( T(x, y)=\frac{100}{x^2+y^2-2x-2y+6} \) es continua en él (el denominador nunca se anula), luego por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación buscaremos los candidatos: los puntos críticos interiores con \(\nabla T=(0, 0) \) y el estudio sobre la circunferencia frontera, que parametrizaremos. Para terminar, evaluaremos \( T \) en los candidatos y compararemos.
Una gota de agua se deposita en el punto \((0, 0) \) de la superficie de ecuación \( S(x, y)=e^x\cos y+e^y\cos x \) ¿En qué dirección correrá?
empezaremos por observar que la gota correrá en la dirección de máximo decrecimiento de la altura \( S \), que según el teorema de la dirección de máximo crecimiento es \(-\nabla S/\|\nabla S\| \), siempre que el gradiente no sea nulo. A continuación calcularemos el gradiente de \( S \) derivando respecto de cada variable con la regla del producto y lo evaluaremos en \((0, 0) \). Para terminar, normalizaremos el vector obtenido.
El nivel de radiaciones tóxicas existente en cierto territorio se cuantifica mediante la fórmula \( f(x, y)=3x^2-5y^2 \)
Si un individuo está situado en el punto de coordenadas \((-1, 1) \) del territorio, ¿en qué dirección se hace máximo el riesgo? ¿Hacia dónde ha de correr para disminuirlo al máximo?
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: si la función es diferenciable y el gradiente no es nulo, el riesgo aumenta más deprisa en la dirección \(\nabla f/\|\nabla f\| \) y disminuye más deprisa en la dirección opuesta. A continuación calcularemos el gradiente en \((-1, 1) \) y su norma. Para terminar, normalizaremos para obtener ambas direcciones.
Para la función \( f(x, y)=x^3-x+y^2-y+2xy \) calcula la dirección de máximo decrecimiento de \( f(x, y) \) en el punto \((1, -1) \) y el valor de la derivada direccional correspondiente.
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: si la función es diferenciable y el gradiente no es nulo, la dirección de máximo decrecimiento es \(-\nabla f/\|\nabla f\| \) y la derivada direccional en esa dirección vale \(-\|\nabla f\| \). A continuación calcularemos el gradiente en \((1, -1) \) y su norma. Para terminar, daremos la dirección normalizada y el valor de la derivada direccional.