Empezaremos desarrollando el cuadrado del binomio y multiplicando el resultado por \( x^3 \) para transformar el integrando en un polinomio. A continuación aplicaremos la linealidad de la integral para descomponerla en una suma de integrales de potencias. Para terminar, aplicaremos a cada una la fórmula general de la potencia y reuniremos los resultados con una única constante de integración.
Aplicaremos la linealidad de la integral para separar la suma en dos integrales de exponenciales. A continuación usaremos la fórmula general de la exponencial de base constante en cada una y reuniremos los resultados con una única constante de integración.
Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, empezaremos efectuando la división para separar la parte polinómica del resto. A continuación integraremos cada trozo por separado: la parte polinómica es inmediata y el resto se reducirá a la primitiva de la arcotangente tras sacar factor común y ajustar la constante que falta.
Empezaremos simplificando la raíz anidada con las propiedades de las potencias hasta escribir el integrando como una suma de potencias de \( x \). A continuación aplicaremos la linealidad y la fórmula general de la potencia a cada sumando, reuniendo los resultados con una única constante de integración.
Empezaremos utilizando la identidad trigonométrica que relaciona la tangente al cuadrado con la secante al cuadrado para transformar el integrando en una diferencia de dos primitivas inmediatas de la tabla. Después integraremos cada término por separado.
Reconoceremos la estructura de primitiva inmediata generalizada del arcoseno: escribiremos el radicando en la forma \( 1-u^2 \) con \( u \) una función lineal de \( x \). Ajustaremos la constante que falta para completar la derivada de \( u \) y aplicaremos la fórmula de la tabla.
Efectuaremos el cambio de variable \( u^2 = x^2-2 \), que racionaliza la raíz cuadrada. Tras sustituir todas las apariciones de \( x \) obtendremos una integral del tipo arcotangente, que resolveremos sacando factor común y ajustando la constante. Para terminar desharemos el cambio.
Reconoceremos una primitiva inmediata generalizada de tipo potencial: el numerador es, salvo una constante, la derivada del radicando. Ajustaremos esa constante multiplicando y dividiendo por ella y aplicaremos la fórmula de la potencia generalizada.
Empezaremos por observar que la presencia de \(\sqrt{4-x^2} \) sugiere el cambio trigonométrico \( x = 2\, \operatorname{sen} t \), que elimina la raíz gracias a la identidad fundamental. La integral resultante contendrá \(\cos^2 t \), que rebajaremos con la fórmula del ángulo doble. Para terminar desharemos el cambio con el arcoseno.