Ejercicios · Bloque 1: Cálculo diferencial en una variable — 1.3 Máximos y mínimos absolutos

empezaremos por comprobar que la función es continua en el intervalo cerrado \([0, 2] \), lo que por el teorema de Weierstrass garantiza que alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos. A continuación la derivaremos aplicando la regla del producto y, en el factor con raíz, la regla de la cadena, y resolveremos la ecuación \( f''(x) = 0 \) en el interior del intervalo para hallar los puntos críticos. Para terminar, evaluaremos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo y compararemos los valores obtenidos.

empezaremos por comprobar que la función es continua en el intervalo cerrado, lo que por el teorema de Weierstrass garantiza la existencia de máximo y mínimo absolutos. A continuación la derivaremos aplicando la regla de la cadena a cada potencia del seno y resolveremos la ecuación \( f''(x) = 0 \) en el interior del intervalo para hallar los puntos críticos. Para terminar, evaluaremos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo y compararemos los valores.

empezaremos por calcular la derivada y estudiar su signo para localizar el único punto crítico de la función. A continuación usaremos el signo de la segunda derivada para comprobar que dicho punto es un mínimo local y analizaremos los límites en los extremos del dominio para deducir que se trata del mínimo absoluto. Para terminar, combinaremos la monotonía, la convexidad y el comportamiento en los extremos para describir el esbozo de la gráfica.