Estudia la derivabilidad y calcula la función derivada de la función \( f(x) = (1 + e^{2x})^3(1 + e^{-x})^2 \)
empezaremos por justificar que la función está definida y es derivable en todo \(\mathbb{R} \), ya que se construye a partir de funciones elementales derivables mediante sumas, productos y composiciones. A continuación aplicaremos la regla del producto a los dos factores y, en cada uno de ellos, la regla de la cadena para derivar la potencia exterior y la exponencial interior. Para terminar, sustituiremos las derivadas de los factores en la fórmula del producto y factorizaremos el resultado para dejar la derivada en forma simplificada.
Calcula la función derivada de \( f(s) = \left(\dfrac{s + 6}{s^2 + 2}\right)^3 \)
empezaremos por observar que la función es el cubo de un cociente cuyo denominador nunca se anula, de modo que su dominio es todo \(\mathbb{R} \) y es derivable en él. A continuación aplicaremos la regla de la cadena para derivar la potencia exterior y la regla del cociente para derivar la fracción interior. Para terminar, simplificaremos la expresión obtenida.
Calcula la función derivada de \( f(t) = \dfrac{t}{\sqrt{t^4 + 1}}\)
empezaremos por observar que el denominador nunca se anula, de modo que la función está definida y es derivable en todo \(\mathbb{R} \). A continuación aplicaremos la regla del cociente y, para derivar el denominador, la regla de la cadena aplicada a la raíz cuadrada. Para terminar, simplificaremos la expresión multiplicando numerador y denominador por la raíz para eliminar el denominador compuesto.
Calcula la función derivada de \( f(x) = \sqrt{1 - x^2}\)
empezaremos por determinar el dominio de la función y precisar en qué puntos es derivable, observando que la raíz cuadrada solo se deriva donde su radicando es estrictamente positivo. A continuación aplicaremos la regla de la cadena para derivar la raíz y simplificaremos el resultado.
Estudia la derivabilidad y calcula la función derivada de la función \( f(x) = x^x \)
empezaremos por determinar el dominio de la función, que al tener la variable tanto en la base como en el exponente exige base positiva. A continuación aplicaremos la técnica de la derivación logarítmica: tomaremos logaritmos neperianos en ambos miembros para convertir la potencia variable en un producto, derivaremos implícitamente usando la regla de la cadena y la regla del producto, y para terminar despejaremos la derivada buscada.
Calcula la función derivada de \( f(x) = \operatorname{sen}(\cos(\operatorname{sen} x^3)) \)
empezaremos por descomponer la función en sus capas sucesivas para identificar el orden en que se aplican. A continuación aplicaremos la regla de la cadena de fuera hacia dentro, derivando cada capa y multiplicando por la derivada de la capa interior, hasta llegar a la derivada de \( x^3 \). Para terminar, escribiremos el producto completo de las derivadas parciales.
Calcula la función derivada de \( f(x) = \dfrac{1}{\cos^3(x^2)}\)
empezaremos por reescribir la función como una potencia de exponente negativo para aplicar directamente la regla de la cadena, observando que el denominador no se anula en su dominio. A continuación derivaremos la potencia exterior y multiplicaremos por la derivada del coseno interior y por la derivada de \( x^2 \). Para terminar, simplificaremos la expresión para dejarla como un cociente.
Calcula la función derivada de \( f(x) = 3^{\operatorname{arctan} x^2}\)
empezaremos por observar que se trata de una exponencial de base constante con exponente variable, definida y derivable en todo \(\mathbb{R} \). A continuación aplicaremos la regla de la cadena: derivaremos la exponencial exterior, lo que introduce el factor \(\ln 3 \), y multiplicaremos por la derivada del exponente, que a su vez requiere la regla de la cadena para el arco tangente de \( x^2 \)
Estudia la derivabilidad y calcula la función derivada de la función \( f(x) = |x^2 - 1| + |x + 3|\)
empezaremos por localizar los puntos donde se anula cada uno de los valores absolutos, pues son los únicos candidatos a puntos de no derivabilidad. A continuación estudiaremos el signo de cada expresión en los intervalos determinados por esos puntos para escribir la función sin valores absolutos en cada trozo. Después derivaremos cada trozo por separado y, para terminar, compararemos las derivadas laterales en los puntos de unión para decidir dónde la función es derivable.
Calcula la función derivada de \( f(x) = \ln(x\ln^2 x) \)
empezaremos por determinar el dominio de la función, exigiendo que el argumento del logaritmo exterior sea estrictamente positivo. A continuación aplicaremos la regla de la cadena para el logaritmo, que da la derivada como el cociente entre la derivada del argumento y el propio argumento, y calcularemos la derivada de dicho argumento con la regla del producto. Para terminar, simplificaremos el cociente obtenido.
Calcula la función derivada de \( f(x) = (\operatorname{sen} x)^{\cos x}\)
empezaremos por determinar el dominio de la función, que al tener la variable en el exponente exige base estrictamente positiva. A continuación aplicaremos la técnica de la derivación logarítmica: tomaremos logaritmos neperianos en ambos miembros para convertir la potencia en un producto, derivaremos implícitamente usando la regla del producto y la regla de la cadena, y para terminar despejaremos la derivada buscada.
Calcula la función derivada de \( f(x) = (1 - \tan x)^{\sqrt{x}}\)
empezaremos por determinar el dominio de la función, que al tener la variable en el exponente exige base estrictamente positiva, además de que estén definidos la raíz cuadrada y la tangente. A continuación aplicaremos la derivación logarítmica: tomaremos logaritmos neperianos en ambos miembros, derivaremos implícitamente usando la regla del producto y la regla de la cadena, y para terminar despejaremos la derivada buscada.
Calcula la función derivada de \( f(x) = \tan(\ln(\sqrt{1 + \operatorname{sen} x})) \)
empezaremos por determinar el dominio de la función, exigiendo que el argumento del logaritmo sea estrictamente positivo. A continuación aplicaremos la regla de la cadena de fuera hacia dentro: primero la tangente exterior, después el logaritmo, simplificando previamente el logaritmo neperiano de la raíz con las propiedades de los logaritmos, y por último el seno interior. Para terminar, multiplicaremos las tres derivadas parciales.
Comprueba que el polinomio \( p(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 \) tiene un máximo y un mínimo locales, y demuestra que su punto de inflexión es el punto medio del segmento que une estos dos puntos.
empezaremos por calcular la primera derivada y resolver la ecuación \( p''(x) = 0 \) para hallar los puntos críticos. A continuación aplicaremos el criterio de la segunda derivada para clasificar dichos puntos como máximo y mínimo locales. Después calcularemos la segunda derivada para localizar el punto de inflexión y, para terminar, comprobaremos algebraicamente que sus coordenadas son la media aritmética de las coordenadas de los dos extremos, para lo cual trasladaremos la función y así revelaremos su simetría respecto del punto de inflexión.
Estudia el crecimiento de la función \( f(x) = 2x - \ln x - 4 \) y deduce que la ecuación \( f(x) = 0 \) tiene una única solución entre \( 1 \) y \( 3 \)
Calcúlala y averigua si existen otras soluciones, determinándolas en su caso.
empezaremos por calcular la derivada y estudiar su signo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. A continuación evaluaremos la función en los extremos del intervalo \([1, 3] \) y aplicaremos el teorema de Bolzano, combinado con la monotonía estricta, para deducir la existencia y la unicidad de la solución en ese intervalo. Después aproximaremos dicha solución mediante el método de bisección y, para terminar, analizaremos el resto del dominio para localizar o descartar la existencia de otras soluciones.
Para cada parámetro \(\mu \in \mathbb{R}\) se considera la función \( f_\mu(x) = x^3 - 3x + \mu \)
Estudia el número de ceros en función de \(\mu \) hállalos cuando \(\mu = 1 \) e indica para qué valores de \(\mu \) puede garantizarse la existencia de ceros de \( f_\mu(x) \) en el intervalo \([0, 1]\)
empezaremos por derivar la función y localizar sus extremos locales, cuyos valores dependen del parámetro y deciden cuántas veces la gráfica corta al eje de abscisas. A continuación discutiremos el número de ceros según el signo de esos valores extremos, distinguiendo los casos en que son positivos, negativos o nulos. Después particularizaremos a \(\mu = 1 \) y localizaremos sus tres ceros mediante el teorema de Bolzano y el método de bisección, y para terminar aplicaremos el teorema de Bolzano en el intervalo \([0, 1] \) para determinar los valores de \(\mu \) que garantizan un cero en él.
Encuentra los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = x\sqrt{4 - x^2}\) en el intervalo \([0, 2]\)
empezaremos por comprobar que la función es continua en el intervalo cerrado \([0, 2] \), lo que por el teorema de Weierstrass garantiza que alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos. A continuación la derivaremos aplicando la regla del producto y, en el factor con raíz, la regla de la cadena, y resolveremos la ecuación \( f''(x) = 0 \) en el interior del intervalo para hallar los puntos críticos. Para terminar, evaluaremos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo y compararemos los valores obtenidos.
Encuentra los máximos y mínimos absolutos de la función \( f(x) = \operatorname{sen}^4 x - \operatorname{sen}^2 x \) en el intervalo \(\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]\)
empezaremos por comprobar que la función es continua en el intervalo cerrado, lo que por el teorema de Weierstrass garantiza la existencia de máximo y mínimo absolutos. A continuación la derivaremos aplicando la regla de la cadena a cada potencia del seno y resolveremos la ecuación \( f''(x) = 0 \) en el interior del intervalo para hallar los puntos críticos. Para terminar, evaluaremos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo y compararemos los valores.
Calcula el mínimo absoluto de la función \( g(x) = x^2 - \ln x \) en el intervalo \((0, \infty) \) y haz un esbozo de su gráfica.
empezaremos por calcular la derivada y estudiar su signo para localizar el único punto crítico de la función. A continuación usaremos el signo de la segunda derivada para comprobar que dicho punto es un mínimo local y analizaremos los límites en los extremos del dominio para deducir que se trata del mínimo absoluto. Para terminar, combinaremos la monotonía, la convexidad y el comportamiento en los extremos para describir el esbozo de la gráfica.
1.4 Teorema de Bolzano y localización de soluciones
20.
Un sábado a las 9 de la mañana un ciclista sale del pueblo A en dirección al pueblo B, donde pasa la noche. El domingo, de nuevo a las 9 de la mañana, el ciclista parte de B hacia A y, en un momento determinado del camino de vuelta, se da cuenta de que el día anterior pasó por ese mismo lugar a la misma hora. Haz una gráfica que represente el recorrido del ciclista en los dos días y justifica, utilizando las propiedades de las funciones continuas, que la impresión del ciclista no es ninguna casualidad.
empezaremos por modelizar la situación con dos funciones de posición, una para el viaje del sábado y otra para el del domingo, ambas en función del tiempo transcurrido desde las 9 de la mañana. A continuación consideraremos la función diferencia de ambas posiciones, comprobaremos que es continua y que cambia de signo entre el instante inicial y el final del intervalo común de tiempos, y aplicaremos el teorema de Bolzano para garantizar la existencia de un cero. Para terminar, interpretaremos dicho cero y describiremos la gráfica de los dos recorridos.
Demuestra que la ecuación \( x - \operatorname{sen} x - 5 = 0 \) tiene solución y razona por qué en este caso es muy fácil ver que dicha solución es única.
empezaremos por definir la función asociada a la ecuación y comprobar que es continua en todo \(\mathbb{R} \). A continuación encontraremos dos puntos donde la función tome valores de signo opuesto y aplicaremos el teorema de Bolzano para garantizar la existencia de al menos una solución. Para terminar, estudiaremos el signo de su derivada y deduciremos que la función es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R} \), lo que impide que pueda anularse más de una vez.
Demuestra que la ecuación \( x^7 + \dfrac{213}{2 + x^2 + \tan^2 x} = 12 \) tiene solución y discute si, a diferencia del caso anterior, puede afirmarse con la misma facilidad que la solución es única.
empezaremos por definir la función asociada a la ecuación y precisar su dominio, prestando atención a los puntos donde la tangente no está definida. A continuación buscaremos un intervalo cerrado donde la función sea continua y tome valores de signo opuesto en los extremos, y aplicaremos el teorema de Bolzano para garantizar la existencia de una solución. Para terminar, analizaremos la derivada de la función y comprobaremos que su signo no resulta evidente, a diferencia de lo que ocurría en el ejercicio anterior, por lo que la unicidad no puede afirmarse con la misma facilidad.
Demuestra que la ecuación \( 2^{-x} = x \) posee una única solución real y hállala.
empezaremos por definir la función diferencia asociada a la ecuación y comprobar su continuidad en todo \(\mathbb{R} \). A continuación evaluaremos la función en los extremos del intervalo \([0, 1] \) y aplicaremos el teorema de Bolzano para garantizar la existencia de una solución. Después estudiaremos el signo de su derivada para deducir que es estrictamente decreciente, lo que prueba la unicidad. Para terminar, aproximaremos la solución mediante el método de bisección.
Determina cuántas soluciones tiene la ecuación \( x^2 - \ln x - 5 = 0 \) y, para cada solución, da un intervalo de longitud menor o igual que \(\frac{1}{2}\) que contenga dicha solución.
empezaremos por estudiar la monotonía de la función asociada para dividir su dominio en intervalos donde sea estrictamente monótona. A continuación usaremos los límites en los extremos del dominio y el valor de la función en su punto de mínimo para deducir cuántas soluciones hay y dónde se encuentra cada una. Para terminar, aplicaremos el teorema de Bolzano en intervalos cada vez más pequeños hasta obtener para cada solución un intervalo de longitud menor o igual que \(\frac{1}{2} \)
Empezaremos desarrollando el cuadrado del binomio y multiplicando el resultado por \( x^3 \) para transformar el integrando en un polinomio. A continuación aplicaremos la linealidad de la integral para descomponerla en una suma de integrales de potencias. Para terminar, aplicaremos a cada una la fórmula general de la potencia y reuniremos los resultados con una única constante de integración.
Aplicaremos la linealidad de la integral para separar la suma en dos integrales de exponenciales. A continuación usaremos la fórmula general de la exponencial de base constante en cada una y reuniremos los resultados con una única constante de integración.
Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, empezaremos efectuando la división para separar la parte polinómica del resto. A continuación integraremos cada trozo por separado: la parte polinómica es inmediata y el resto se reducirá a la primitiva de la arcotangente tras sacar factor común y ajustar la constante que falta.
Empezaremos simplificando la raíz anidada con las propiedades de las potencias hasta escribir el integrando como una suma de potencias de \( x \). A continuación aplicaremos la linealidad y la fórmula general de la potencia a cada sumando, reuniendo los resultados con una única constante de integración.
Utilizaremos la identidad trigonométrica que relaciona la tangente al cuadrado con la secante al cuadrado para transformar el integrando en una diferencia de dos primitivas inmediatas de la tabla. Después integraremos cada término por separado.
Reconoceremos la estructura de primitiva inmediata generalizada del arcoseno: escribiremos el radicando en la forma \( 1-u^2 \) con \( u \) una función lineal de \( x \). Ajustaremos la constante que falta para completar la derivada de \( u \) y aplicaremos la fórmula de la tabla.
Efectuaremos el cambio de variable \( u^2 = x^2-2 \), que racionaliza la raíz cuadrada. Tras sustituir todas las apariciones de \( x \) obtendremos una integral del tipo arcotangente, que resolveremos sacando factor común y ajustando la constante. Para terminar desharemos el cambio.
Reconoceremos una primitiva inmediata generalizada de tipo potencial: el numerador es, salvo una constante, la derivada del radicando. Ajustaremos esa constante multiplicando y dividiendo por ella y aplicaremos la fórmula de la potencia generalizada.
La presencia de \(\sqrt{4-x^2} \) sugiere el cambio trigonométrico \( x = 2\, \operatorname{sen} t \), que elimina la raíz gracias a la identidad fundamental. La integral resultante contendrá \(\cos^2 t \), que rebajaremos con la fórmula del ángulo doble. Para terminar desharemos el cambio con el arcoseno.
Se trata del producto de un polinomio por una función trigonométrica, caso típico de integración por partes. La fórmula de integración por partes establece que \(\int u\, dv = uv - \int v\, du \). Aplicaremos el método dos veces seguidas, eligiendo siempre como \( u \) el polinomio, que es la función que más se simplifica al derivarla según el criterio de prioridad. En cada paso la nueva integral será de grado menor, hasta quedar una integral trigonométrica inmediata.
Se trata del producto de un polinomio por una exponencial, caso típico de integración por partes. Elegiremos como \( u \) el polinomio, que desaparece al derivarlo, y como \( dv \) la exponencial, que se integra de forma inmediata. La nueva integral será inmediata.
El integrando es una única función logarítmica, así que tomaremos \( dv = dx \), es decir, \( v = x \), y la función logaritmo hará el papel de \( u \) por tener prioridad según el criterio de elección. La nueva integral será una constante, inmediata de resolver.
El integrando es una única función inversa trigonométrica, así que tomaremos \( dv = dx \), es decir, \( v = x \), y el arcoseno hará el papel de \( u \) por tener prioridad según el criterio de elección. La nueva integral será una primitiva inmediata generalizada de tipo potencial, que resolveremos ajustando la constante.
El integrando es una única función inversa trigonométrica, así que tomaremos \( dv = dx \), es decir, \( v = x \), y la arcotangente hará el papel de \( u \) por tener prioridad según el criterio de elección. La nueva integral será del tipo logaritmo, que resolveremos ajustando la constante.
La fórmula de integración por partes establece que \(\int u\, dv = uv - \int v\, du \). Aplicaremos el método dos veces con el mismo criterio de elección, tomando siempre como \( u \) la exponencial. La integral original reaparecerá con signo contrario: es el caso cíclico, así que la trataremos como una incógnita algebraica y la despejaremos de la ecuación obtenida.
Propondremos como nueva variable el denominador, cuya derivada aparece exactamente en el numerador. Tras diferenciar el cambio y sustituir obtendremos una integral inmediata del tipo logaritmo, y desharemos el cambio al final.
Propondremos como nueva variable el radicando, cuya derivada aparece en el numerador salvo una constante. Tras diferenciar el cambio y ajustar esa constante obtendremos una integral de una potencia, inmediata de resolver, y desharemos el cambio al final.
Propondremos como nueva variable el argumento del seno, cuya derivada aparece en el integrando salvo el signo. Tras diferenciar el cambio y sustituir obtendremos una integral trigonométrica inmediata, y desharemos el cambio al final.
Empezaremos con el cambio \( t = e^x \), que deja una raíz del tipo \(\sqrt{1+t^2} \). A continuación aplicaremos el cambio trigonométrico \( t = \tan z \), que elimina la raíz y conduce a la integral de la secante. Calcularemos esta última multiplicando por una fracción unidad cuya derivada aparece en el numerador, y desharemos los dos cambios al final.
Propondremos como nueva variable el logaritmo, cuya derivada dividida por \( x \) aparece en el integrando. Tras diferenciar el cambio y sustituir obtendremos una integral de una potencia, inmediata de resolver, y desharemos el cambio al final.
Propondremos como nueva variable el coseno, cuya derivada salvo el signo es el seno del numerador. Tras diferenciar el cambio y ajustar el signo obtendremos una integral de una potencia, inmediata de resolver, y desharemos el cambio al final.
El grado del numerador es menor que el del denominador, así que empezaremos factorizando el denominador en factores lineales distintos. A continuación descompondremos la fracción en fracciones simples, hallaremos los coeficientes igualando numeradores y sumaremos los logaritmos resultantes con una única constante de integración.
El grado del numerador es menor que el del denominador, así que empezaremos factorizando el denominador en factores lineales distintos. A continuación descompondremos en fracciones simples, hallaremos los coeficientes igualando numeradores e integraremos cada sumando.
Como el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, empezaremos efectuando la división euclídea de polinomios para separar la parte polinómica del resto propio. A continuación integraremos el cociente, que es polinómico e inmediato, y el resto, que dará un logaritmo.
El grado del numerador es menor que el del denominador y este ya está factorizado, con una raíz doble. Descompondremos en fracciones simples con tres sumandos, correspondientes a las potencias uno y dos del factor repetido y al factor simple. Hallaremos los coeficientes igualando numeradores e integraremos cada fracción simple.
Comprobaremos que el denominador es irreducible sobre los reales y descompondremos el numerador como combinación de la derivada del denominador y una constante. El primer trozo dará un logaritmo neperiano y
el segundo, tras completar cuadrados, una arcotangente.
El denominador es un cuadrado perfecto, es decir, presenta una raíz doble. Descompondremos en fracciones simples con dos sumandos, hallaremos los coeficientes igualando numeradores e integraremos: un logaritmo y una potencia.
El exponente del coseno es impar, así que reservaremos un factor \(\cos x \) para formar la diferencial del cambio \( t = \operatorname{sen} x \). El resto del integrando se expresará en función del seno mediante la identidad fundamental y la integral quedará polinómica.
Se trata de un producto de seno y coseno de ángulos distintos, así que lo linealizaremos con la fórmula de suma a producto. Cada sumando será un seno de un múltiplo de \( x \), cuya primitiva es inmediata.
Ambos exponentes son pares, así que no hay factor que reservar para un cambio directo. Aplicaremos las fórmulas del ángulo doble para rebajar el grado: primero escribiremos el producto como potencias de \(\cos 2x \) y \(\cos 4x \). Tras desarrollar obtendremos una suma de cosenos de múltiplos de \( x \), inmediata de integrar.
La función es impar en el seno, así que usaremos el cambio económico \( t = \cos x \). Reservaremos un factor \(\operatorname{sen} x \) para la diferencial, expresaremos el resto en función del coseno y la integral quedará racional en \( t \), inmediata de resolver.
La función es impar en el seno, así que usaremos el cambio económico \( t = \cos x \), multiplicando antes el numerador y el denominador por \(\operatorname{sen} x \) para que aparezca la diferencial. Obtendremos una integral racional con denominador de raíces dobles, que resolveremos por fracciones simples, y desharemos el cambio al final simplificando el resultado.
Se trata de una función racional en el seno y el coseno sin paridades que permitan un cambio económico, así que aplicaremos el cambio universal \( t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \). Obtendremos una integral racional con denominador cuadrático de discriminante negativo, que resolveremos sacando factor común y completando la arcotangente. Para terminar desharemos el cambio.
2.6 Integral definida y teorema fundamental del cálculo
58.
\( f(x)=\displaystyle\int_x^0 e^{t^2}\, dt \) determina el valor de \( f'(3) \)
Empezaremos reescribiendo la función con el límite inferior fijo usando el convenio de intercambio de límites. A continuación aplicaremos el teorema fundamental del cálculo, que identifica la derivada de la función integral con el integrando evaluado en el límite superior, y evaluaremos en \( x = 3 \)
Empezaremos linealizando el integrando con las fórmulas del ángulo doble hasta dejar una suma de cosenos de múltiplos de \( x \). A continuación hallaremos una primitiva de cada sumando y aplicaremos la regla de Barrow evaluando entre \( 0 \) e \(\pi \)
Se trata del producto de un logaritmo por una potencia, así que aplicaremos la integración por partes definida, eligiendo como \( u \) el logaritmo por tener prioridad. Después evaluaremos el término de frontera y la nueva integral definida con la regla de Barrow.
Efectuaremos el cambio de variable \( t = \ln x \), transformando también los límites de integración para no tener que deshacer el cambio. La integral resultante se resolverá por partes y se evaluará con la regla de Barrow.
\( y=\sqrt{x}\) e \( y=x^2 \). Halla el área de la región limitada por estas curvas.
Empezaremos hallando los puntos de intersección de las dos curvas para fijar los límites de integración. A continuación determinaremos qué función está por encima en el intervalo evaluando en un punto interior. Para terminar integraremos la diferencia con la regla de Barrow.
\( y=5-x^2 \) e \( y=3-x \) Halla el área de la región limitada por estas curvas.
Empezaremos hallando los puntos de intersección resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta de igualar las funciones. A continuación determinaremos qué función está por encima evaluando en un punto interior del intervalo. Para terminar integraremos la diferencia con la regla de Barrow.
\( y=\operatorname{sen}\, x \) e \( y=\pi x-x^2 \). Halla el área de la región limitada por estas curvas.
Empezaremos localizando todos los puntos de intersección: veremos que solo se cortan en \( x = 0 \) e \( x = \pi \) estudiando el signo de la diferencia mediante su derivada. A continuación comprobaremos qué curva está por encima en el intervalo con un punto interior. Para terminar integraremos la diferencia con la regla de Barrow.
\( y=x+1 \), \( y=\cos x \) y la recta \( x=\pi \) Halla el área de la región limitada por estas curvas.
Empezaremos hallando dónde se cortan la recta y el coseno, probando que solo lo hacen en \( x = 0 \) mediante el estudio de la monotonía de su diferencia. Ese punto y la recta \( x = \pi \) fijarán los límites de integración. A continuación comprobaremos qué función está por encima en el intervalo y calcularemos el área con la regla de Barrow.
\( y=4x-x^2 \), el eje de abscisas y las rectas \( x=0 \) e \( x=4 \). Halla el área de la región limitada.
Empezaremos estudiando el signo de la función en el intervalo \([0, 4] \) para comprobar que no cambia de signo y que el área coincide con la integral. Después calcularemos la integral definida con la regla de Barrow.
\( x=8+2y-y^2 \), el eje de ordenadas y las rectas \( y=-1 \) e \( y=3 \). Halla el área de la región limitada.
Como la curva viene despejada en función de \( y \), integraremos respecto de \( y \) entre \(-1 \) e \( 3 \). Empezaremos comprobando que la curva queda a la derecha del eje de ordenadas en ese intervalo. Después calcularemos la integral con la regla de Barrow.
\( y=6x-x^2 \) e \( y=x^2-2x \) Halla el área de la región limitada por estas curvas.
Empezaremos hallando los puntos de intersección resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta de igualar las funciones. A continuación determinaremos qué parábola está por encima evaluando en un punto interior. Para terminar integraremos la diferencia con la regla de Barrow.
\( x^2+y^2=4 \) e \( x^2+y^2=4x \) Halla el área de la región encerrada entre estas circunferencias.
Se trata de dos circunferencias de radio \( 2 \) centradas en \((0, 0) \) e \((2, 0) \); la región encerrada entre ellas es su lente de intersección. Empezaremos hallando los puntos de corte. Como para cada \( y \) la frontera izquierda y derecha vienen dadas por ramas distintas de las circunferencias, integraremos respecto de \( y \) la distancia horizontal entre ambas ramas, con la regla de Barrow.
\( f(x)=-x^2+4 \) y \( g(x)=3x^2 \). Considera la región plana limitada por las gráficas de \( f \) y de \( g \) Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar esta región alrededor del eje de abscisas.
Empezaremos hallando los puntos de corte de las dos parábolas para fijar los límites de integración. Comprobaremos que ambas funciones son no negativas en el intervalo y cuál está por encima, para identificar el radio exterior y el interior de cada arandela. Después aplicaremos la fórmula del volumen por arandelas y calcularemos la integral con la regla de Barrow.
\( f(x)=-x^2+4 \) y \( g(x)=3x^2 \). Considera la región plana limitada por las gráficas de \( f \) y de \( g \) Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar esta región alrededor del eje de ordenadas.
Al girar alrededor del eje de ordenadas usaremos el método de las capas cilíndricas, que trabaja directamente con las funciones dadas. Como la región es simétrica respecto del eje \( OY \), las franjas en \( x \) e \(-x \) generan la misma capa, así que integraremos en \([0, 1] \). Hallaremos primero los cortes, plantearemos la integral de las capas y la calcularemos con la regla de Barrow.
\( y=\cos x \) con \( 0\le x\le \pi/2 \), y los ejes de coordenadas. Calcula el volumen engendrado por la región delimitada al girar alrededor del eje de abscisas.
La región está bajo la gráfica del coseno, que es no negativa en \([0, \pi/2] \), y sobre el eje de abscisas. Aplicaremos el método de los discos, integrando el cuadrado de la función, y calcularemos la integral rebajando el grado con el ángulo doble y usando la regla de Barrow.
\( y=\cos x \) con \( 0\le x\le \pi/2 \), y los ejes de coordenadas. Calcula el volumen engendrado por la región delimitada al girar alrededor del eje de ordenadas.
Al girar alrededor del eje de ordenadas usaremos el método de las capas cilíndricas, que trabaja directamente con la función dada sin necesidad de despejar \( x \). Verificaremos primero que se cumplen las hipótesis y después calcularemos la integral, que resolveremos por partes, con la regla de Barrow.
\( y^2=8x \) y la recta \( x=2 \). Calcula el volumen generado al hacer girar el área limitada por la parábola y la recta alrededor del eje \( y=0 \)
La parábola \( y^2 = 8x \) equivale a las dos ramas \( y = \pm\sqrt{8x} \), con \( x \) entre \( 0 \) e \( 2 \). Al girar alrededor del eje de abscisas cada sección es un disco de radio \(\sqrt{8x} \). Aplicaremos el método de los discos y calcularemos la integral con la regla de Barrow.
\( y^2=8x \) y la recta \( x=2 \). Calcula el volumen generado al hacer girar el área limitada por la parábola y la recta alrededor del eje \( x=0 \)
Al girar alrededor del eje de ordenadas usaremos el método de las capas cilíndricas: cada franja vertical de la región, de altura la distancia entre las dos ramas de la parábola, genera una capa de radio \( x \). Plantearemos la integral y la calcularemos con la regla de Barrow.
\( x^2+y^2=4 \). Calcula el volumen del toro generado por la rotación de la circunferencia alrededor de la recta \( x=3 \)
Al girar el disco de radio \( 2 \) alrededor de la recta vertical \( x = 3 \), cada sección horizontal es una arandela: la franja a altura \( y \), al girar, barre la corona entre la distancia mínima y la máxima al eje. Hallaremos esos dos radios despejando \( x \) de la circunferencia, plantearemos el volumen por arandelas integrando respecto de \( y \) y calcularemos la integral con la regla de Barrow.
\(\displaystyle\int_{e^2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln^3 x}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Se trata de una integral impropia de primera especie. Empezaremos calculando la integral definida hasta un límite finito \( b \) mediante el cambio de variable \( t = \ln x \). A continuación tomaremos el límite cuando \( b \) tiende a infinito para decidir la convergencia y obtener el valor.
\(\displaystyle\int_0^{\infty}x\, \operatorname{sen}\, x\, dx \) Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Se trata de una integral impropia de primera especie. Empezaremos calculando la integral definida hasta un límite finito \( b \) mediante integración por partes. A continuación estudiaremos el límite cuando \( b \) tiende a infinito: veremos que no existe ni siquiera como infinito, porque una subsucesión tiende a \(-\infty \), lo que prueba la divergencia.
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Se trata de una integral impropia de primera especie en un intervalo no acotado por los dos lados, así que la partiremos en un punto intermedio, por ejemplo \( 0 \), y exigiremos la convergencia de cada trozo por separado. Calcularemos cada integral definida hasta un límite finito completando cuadrados para reconocer la arcotangente, y tomaremos los límites laterales.
\(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x+\operatorname{sen}\, x}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Se trata de una integral impropia de segunda especie, porque el integrando no está acotado cerca de \( x = 0 \). Compararemos el integrando con \(\frac{1}{2x} \), cuya integral diverge por ser del tipo potencial con exponente \( 1 \). Para justificar la comparación probaremos la desigualdad elemental \(\operatorname{sen}\, x \le x \) en \([0, 1] \)
\(\displaystyle\int_3^5\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}\, dx \) Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Se trata de una integral impropia de segunda especie, porque el integrando no está acotado cerca de \( x = 3 \), donde se anula el radicando. Calcularemos la integral definida desde un punto \( c > 3 \) hasta \( 5 \) mediante el cambio \( t = x^2-9 \) y tomaremos el límite cuando \( c \) tiende a \( 3 \) por la derecha.
\(\displaystyle\int_{-3}^1\frac{dx}{x^2-4}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
El integrando tiene una asíntota vertical en \( x = -2 \), punto interior del intervalo, así que partiremos la integral en \(-2 \) y exigiremos la convergencia de cada trozo por separado. Bastará ver que uno de los trozos diverge: calcularemos su primitiva por fracciones simples y tomaremos el límite lateral correspondiente.
Para \( a > 0 \), considera el volumen engendrado por la región delimitada por \( y=\frac{1}{x^a}\), \( 1\le x<\infty \) y los ejes de coordenadas al girar alrededor del eje de abscisas.
Determina para qué valores de \( a \) se obtiene un cuerpo de revolución de volumen finito.
Aplicaremos el método de los discos: el volumen es \(\pi \) por la integral impropia de primera especie del cuadrado de la función. Calcularemos la integral definida hasta un límite finito \( b \) con la fórmula de la potencia y estudiaremos el límite cuando \( b \) tiende a infinito según el valor del exponente, distinguiendo los casos \( 2a > 1 \), \( 2a = 1 \) e \( 2a < 1 \)
Para \( a > 0 \), considera el volumen engendrado por la región delimitada por \( y=\frac{1}{x^a}\), \( 1\le x<\infty \) y los ejes de coordenadas al girar alrededor del eje de ordenadas.
Determina para qué valores de \( a \) se obtiene un cuerpo de revolución de volumen finito.
Aplicaremos el método de las capas cilíndricas, válido porque \( 1 > 0 \): el volumen es \( 2\pi \) por la integral impropia del producto \( x\cdot f(x) \). Calcularemos la integral definida hasta un límite finito \( b \) y estudiaremos el límite cuando \( b \) tiende a infinito distinguiendo los casos según el exponente.
\(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Es una integral impropia mixta: el integrando no está acotado cerca de \( x = 0 \) y el intervalo no está acotado por la derecha, así que la partiremos en \( x = 1 \) y estudiaremos cada trozo por separado. Hallaremos una primitiva con el cambio \( t^2 = e^x-1 \), que racionaliza la raíz, y tomaremos los límites correspondientes.
\(\displaystyle\int_0^{\infty}\left(\frac{\operatorname{sen}\, x}{x}\right)^2 dx \) Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Empezaremos extendiendo el integrando con continuidad a \( x = 0 \), donde presenta una singularidad evitable. Después probaremos la convergencia absoluta por comparación con \(\frac{1}{x^2} \), cuya integral converge por el criterio de la integral \( p \). Para el valor, reduciremos la integral a la clásica integral de Dirichlet mediante el ángulo doble y una integración por partes, cuyo valor \(\frac{\pi}{2} \) es un resultado clásico.
\(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{3+x^3}{x^5+3x+1}\, dx \) Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la función de referencia \( g(x) = \frac{1}{x^2} \), que recoge el comportamiento asintótico del integrando: el numerador es de grado \( 3 \) y el denominador de grado \( 5 \). Como la integral de referencia converge por el criterio de la integral \( p \), la dada también convergerá. El valor no admite expresión elemental cerrada, así que lo daremos numéricamente.
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\operatorname{sen}^{3/2}x}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Se trata de una integral impropia de segunda especie, porque el integrando no está acotado cerca de \( x = 0 \). Compararemos por paso al límite con \( g(x) = \frac{1}{x^{3/2}} \), que recoge el comportamiento del seno cerca del origen gracias al límite notable \(\frac{\operatorname{sen}\, x}{x}\to 1 \). La integral de referencia diverge por el criterio de la integral \( p \)
\(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x+4)}}\). Estudia su convergencia y, en caso de que converja, calcula su valor.
Antes de aplicar ninguna definición de integral impropia, estudiaremos el dominio del integrando: analizaremos el signo del radicando en el intervalo de integración. Veremos que es estrictamente negativo en \([0, 1) \), de modo que la raíz cuadrada no define un número real allí y el integrando carece de sentido como función real en el intervalo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia, que es siempre el primer paso del estudio: examinaremos si el término general tiende a cero. Si el límite no es cero, o ni siquiera existe, la serie diverge por el criterio del término general sin necesidad de aplicar ningún otro criterio.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{(\sqrt{2})^n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. La presencia de una potencia geométrica en el denominador hace que el criterio del cociente (d'Alembert) sea el adecuado, pues el cociente de términos consecutivos simplifica la expresión; verificaremos sus hipótesis (términos positivos e existencia del límite) antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4n}{3n-1}\right)^n \)
el término general contiene una potencia enésima explícita, por lo que el criterio de la raíz (Cauchy) es el adecuado: la raíz enésima simplifica drásticamente la expresión. Verificaremos sus hipótesis (términos no negativos e existencia del límite de la raíz enésima) e compararemos el límite con uno.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2n+1}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia, que es siempre el primer paso: calcularemos el límite del término general. Si no es cero, la serie diverge por el criterio del término general sin necesidad de ningún otro criterio.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n \)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. El término general contiene una potencia enésima explícita, por lo que el criterio de la raíz (Cauchy) es el adecuado: la raíz enésima simplifica la expresión; verificaremos sus hipótesis antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria de convergencia: veremos que el término general ni siquiera tiende a cero, lo que ya decide la divergencia por el criterio del término general. Para confirmarlo con más detalle, aplicaremos también el criterio del cociente, cuyas hipótesis (términos positivos e existencia del límite) se verifican fácilmente.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. La presencia de una potencia geométrica en el denominador frente a un polinomio en el numerador hace que el criterio del cociente (d'Alembert) sea el adecuado, pues el cociente simplifica la expresión; verificaremos sus hipótesis antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. Como el numerador e el denominador son polinomios, el término general se comporta asintóticamente como \( 1/n \); por ello aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la serie armónica, que diverge, verificando antes sus hipótesis (términos positivos e existencia del límite del cociente).
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! }{n^n}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. La presencia de un factorial hace que el criterio del cociente (d'Alembert) sea el adecuado, pues el cociente simplifica drásticamente los factoriales; verificaremos sus hipótesis (términos positivos e existencia del límite) antes de aplicarlo.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{n+2}}\)
empezaremos comprobando la condición necesaria: el término general tiende a cero, luego el criterio del término general no decide. El término general se comporta asintóticamente como una constante por \( 1/\sqrt{n} \); por ello aplicaremos el criterio de comparación por paso al límite con la serie p de exponente \( 1/2 \), que diverge, verificando antes sus hipótesis.
Estudia la convergencia de la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{2n+1}{3n-1}\right)^n \)
es una serie de signo alternado. Empezaremos estudiando la convergencia absoluta, pues si la serie de valores absolutos converge, el teorema de convergencia absoluta garantiza la convergencia de la serie. Como el término general contiene una potencia enésima explícita, aplicaremos el criterio de la raíz a la serie de valores absolutos, verificando antes sus hipótesis.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}\) es convergente y determina su suma.
empezaremos identificando la serie como geométrica: escribiremos el término general en la forma \( a\cdot r^n \) para leer la razón \( r \). A continuación comprobaremos que \(|r| < 1 \), lo que garantiza la convergencia por el teorema de la serie geométrica, e aplicaremos la fórmula general de la suma de la cola de una geométrica, que escribiremos primero con letras.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n! }\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, cuyas hipótesis se verifican fácilmente pues el factorial se simplifica en el cociente. Para la suma usaremos el desarrollo de Maclaurin de la exponencial, \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n! } \), evaluado en \( x = 1 \), e despejaremos la cola que empieza en \( n = 2 \)
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{n! }\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, pues el factorial del denominador se simplifica en el cociente de términos consecutivos. Para la suma factorizaremos la potencia de dos que no depende del índice de la serie de la exponencial e usaremos el desarrollo \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n! } \) evaluado en \( x = 2 \)
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}\) es convergente y determina su suma.
el término general es una fracción racional con denominador factorizado en factores lineales distintos, lo que sugiere la descomposición en fracciones simples. Veremos que la serie es telescópica: escribiremos el término general como diferencia de dos fracciones e calcularemos la suma parcial, donde casi todos los términos se cancelan, para tomar después el límite.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n! \, 3^{\, n-1}}\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, pues el factorial del denominador se simplifica en el cociente. Para la suma factorizaremos la potencia de tres para reconocer el desarrollo de Maclaurin de la exponencial evaluado en \( x = 1/3 \), e despejaremos la cola que empieza en \( n = 1 \)
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\) es convergente y determina su suma.
el denominador se factoriza como \((n-1)(n+1) \), lo que sugiere la descomposición en fracciones simples. Veremos que la serie es telescópica con un desfase de dos posiciones: escribiremos el término general como diferencia de dos fracciones, calcularemos la suma parcial observando qué términos quedan sin cancelar e tomaremos el límite.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n! }\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, pues el factorial se simplifica en el cociente de términos consecutivos. Para la suma descompondremos la fracción en dos sumandos usando la linealidad de la suma de series convergentes: uno telescopizará el factorial con el numerador e el otro será la cola del desarrollo de la exponencial.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\, 2^{\, n-2}}\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, pues la potencia de dos se simplifica en el cociente. Para la suma reconoceremos la serie como la evaluación en \( x = 1/2 \) de la serie de potencias \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} \); obtendremos su suma integrando término a término la serie geométrica (lo que es legítimo dentro de su intervalo de convergencia) e restaremos el término \( n = 1 \)
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n+2}}\) es convergente y determina su suma.
empezaremos escribiendo el término general en la forma \( a\cdot r^n \) para identificarla como serie geométrica e leer su razón \( r \). A continuación comprobaremos que \(|r| < 1 \), lo que garantiza la convergencia, e aplicaremos la fórmula general de la suma de la serie geométrica completa, que escribiremos primero con letras.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+2)! }\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, pues el factorial se simplifica en el cociente de términos consecutivos. Para la suma reindexaremos la serie para reconocerla como la cola del desarrollo de Maclaurin de la exponencial, \( e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n! } \), e restaremos los términos que faltan.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(2n+5)! }\) es convergente y determina su suma.
empezaremos comprobando la convergencia con el criterio del cociente, pues el factorial se simplifica. Observaremos que los índices \( 2n+5 \) recorren los impares desde el \( 9 \);
para sumar la serie usaremos los desarrollos de Maclaurin de \( e^x \) en \( x = 1 \) e en \( x = -1 \), cuya resta deja solo los términos de índice impar, e restaremos los impares menores que nueve.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3(-1)^n}{(2n+1)! \, 9^n}\) es convergente y determina su suma.
empezaremos estudiando la convergencia absoluta con el criterio del cociente aplicado a la serie de valores absolutos, pues el factorial se simplifica en el cociente. Para la suma reconoceremos la estructura del desarrollo de Maclaurin del seno, \(\operatorname{sen} x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)! } \), evaluado en \( x = 1/3 \), e ajustaremos las constantes e el índice inicial.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)! }\) es convergente y determina su suma.
empezaremos estudiando la convergencia absoluta con el criterio del cociente aplicado a la serie de valores absolutos, pues el factorial se simplifica. Para la suma reconoceremos la serie como la cola del desarrollo de Maclaurin del seno evaluado en \( x = 1 \), e restaremos los dos primeros términos.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+3}\) es convergente y determina su suma.
es una serie alternada. Empezaremos estudiando la convergencia absoluta: veremos que la serie de valores absolutos diverge por comparación con la armónica, luego aplicaremos el criterio de Leibniz verificando sus tres hipótesis (términos positivos, sucesión decreciente e límite cero). Para la suma la relacionaremos con el desarrollo de Maclaurin del arco tangente evaluado en \( x = 1 \), reindexando para ajustar los denominadores.
Comprueba que la serie \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+2}\) es convergente y determina su suma.
es una serie alternada. Empezaremos estudiando la convergencia absoluta: veremos que la serie de valores absolutos diverge por comparación con la armónica, luego aplicaremos el criterio de Leibniz verificando sus tres hipótesis. Para la suma la relacionaremos con el desarrollo de Maclaurin del logaritmo evaluado en \( x = 1 \), reindexando para ajustar los denominadores.
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^2 3^n x^n \) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos identificando el centro \( a \) e los coeficientes \( c_n \) de la serie de potencias. A continuación calcularemos el límite \( L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \) con el método del cociente, que es el adecuado porque los coeficientes contienen potencias; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar, el teorema del radio de convergencia garantiza la convergencia (absoluta) para \(|x-a| < R \), desigualdad que resolveremos para obtener el intervalo abierto \( I \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+3)^n}{n^2}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos identificando el centro \( a \) e los coeficientes \( c_n \) de la serie de potencias. A continuación calcularemos \( L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar, resolveremos la desigualdad \(|x-a| < R \), donde el teorema del radio de convergencia garantiza la convergencia absoluta.
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)x^{n-2}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos reindexando la serie para escribirla en la forma estándar \(\sum_{k}c_k(x-a)^k \) e identificar el centro \( a \) e los coeficientes \( c_k \). A continuación calcularemos \( L = \lim_{k\to+\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos reindexando la serie para escribirla en la forma estándar e identificar el centro \( a \) e los coeficientes \( c_k \). A continuación calcularemos \( L = \lim_{k\to+\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos reindexando la serie para escribirla en la forma estándar e identificar el centro \( a \) e los coeficientes \( c_k \). A continuación calcularemos \( L = \lim_{k\to+\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos reindexando la serie para escribirla en la forma estándar e identificar el centro \( a \) e los coeficientes \( c_k \). A continuación calcularemos \( L = \lim_{k\to+\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{x^n}{n^2-n}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos identificando el centro \( a \) e los coeficientes \( c_n \) de la serie de potencias, que ya está en forma estándar. A continuación calcularemos \( L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n(n+1)(n+2)}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos identificando el centro \( a \) e los coeficientes \( c_n \) de la serie de potencias, que ya está en forma estándar. A continuación calcularemos \( L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}(n-1)x^{n+2}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos reindexando la serie para escribirla en la forma estándar \(\sum_{k}c_k(x-a)^k \) e identificar el centro \( a \) e los coeficientes \( c_k \). A continuación calcularemos \( L = \lim_{k\to+\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n+1}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos identificando el centro \( a \) e los coeficientes \( c_n \) de la serie de potencias, que ya está en forma estándar. A continuación calcularemos \( L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}(x-2)^{n-1}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos reindexando la serie para escribirla en la forma estándar e identificar el centro \( a \) e los coeficientes \( c_k \). A continuación calcularemos \( L = \lim_{k\to+\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina el radio de convergencia \( R \) de la serie de potencias \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(x+1)^n}{n(n^2-1)}\) y explica en qué intervalo \( I=(a, b) \) puede garantizarse la convergencia de la serie.
empezaremos identificando el centro \( a \) e los coeficientes \( c_n \) de la serie de potencias, que ya está en forma estándar. A continuación calcularemos \( L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \) con el método del cociente; el radio será \( R = 1/L \). Para terminar resolveremos \(|x-a| < R \)
Determina la serie de Taylor, en el punto \( x_0=0 \), de la función \( f(x)=xe^{x/2}\)
se trata de una serie de Maclaurin (centrada en cero). Empezaremos escribiendo el desarrollo de Maclaurin de la exponencial, que es uno de los cinco desarrollos elementales de la teoría; a continuación sustituiremos \( x \) por \( x/2 \), lo que es válido para todo \( x \) real porque la serie de la exponencial converge en toda la recta;
para terminar multiplicaremos por \( x \) para obtener el desarrollo pedido.
Determina la serie de Taylor, en el punto \( x_0=0 \), de la función \( f(x)=\ln(2+3x) \)
se trata de una serie de Maclaurin. Empezaremos factorizando el argumento del logaritmo para dejarlo en la forma \( 2\left(1+\frac{3x}{2}\right) \) e usar la propiedad del logaritmo neperiano de un producto; a continuación aplicaremos el desarrollo elemental del logaritmo, \(\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}u^n}{n} \), con la sustitución \( u = 3x/2 \);
para terminar determinaremos los valores de \( x \) para los que la sustitución respeta el intervalo de validez del desarrollo original.
Determina la serie de Taylor, en el punto \( x_0=0 \), de la función \( f(x)=\sqrt{3-5x^2}\)
se trata de una serie de Maclaurin. Empezaremos sacando factor común \(\sqrt{3} \) para dejar la función en la forma \(\sqrt{3}\left(1-\frac{5x^2}{3}\right)^{1/2} \); a continuación aplicaremos el desarrollo del binomio con \(\alpha = \frac{1}{2} \), que es uno de los cinco desarrollos elementales de la teoría;
para terminar determinaremos el intervalo de validez a partir de la condición \(|u| < 1 \) del desarrollo del binomio.
Determina la serie de Taylor, en el punto \( x_0=0 \), de la función \( f(x)=\dfrac{x}{2-3x^2}\)
se trata de una serie de Maclaurin. Empezaremos sacando factor común \( 2 \) en el denominador para dejar la función en la forma \(\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{3x^2}{2}} \); a continuación aplicaremos el desarrollo de la serie geométrica, \(\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty}u^n \), con \( u = \frac{3x^2}{2} \), e multiplicaremos por \( x/2 \);
para terminar determinaremos el intervalo de validez a partir de la condición \(|u| < 1 \)
Determina la serie de Taylor, en el punto \( x_0=0 \), de la función \( f(x)=x+\operatorname{sen}(2x^2) \)
se trata de una serie de Maclaurin. Empezaremos escribiendo el desarrollo de Maclaurin del seno, que es uno de los cinco desarrollos elementales de la teoría; a continuación sustituiremos \( x \) por \( 2x^2 \), lo que es válido para todo \( x \) real porque la serie del seno converge en toda la recta;
para terminar sumaremos el término \( x \)
Determina la serie de Taylor, en el punto \( x_0=0 \), de la función \( f(x)=\cos(2x^2)-1 \)
se trata de una serie de Maclaurin. Empezaremos escribiendo el desarrollo de Maclaurin del coseno, que es uno de los cinco desarrollos elementales de la teoría; a continuación sustituiremos \( x \) por \( 2x^2 \), lo que es válido para todo \( x \) real porque la serie del coseno converge en toda la recta;
para terminar restaremos \( 1 \), que cancela el término \( n = 0 \) del desarrollo.
Encuentra la serie en potencias de \( x \) de la función \((e^x-1)/x \) y, derivando esta serie, calcula \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)! }\)
empezaremos escribiendo el desarrollo de Maclaurin de la exponencial e restando uno para obtener el de \( e^x-1 \); a continuación dividiremos por \( x \) término a término para obtener la serie pedida, válida para todo \( x \) real (definiendo su valor en cero por continuidad). Después derivaremos la serie término a término, lo que es legítimo dentro del intervalo de convergencia, e evaluaremos la derivada en \( x = 1 \) de dos formas: con la serie derivada e con la regla del cociente aplicada a \((e^x-1)/x \); igualando los resultados obtendremos la suma pedida.
Encuentra la serie en potencias de \( x \) de la función \( xe^x \) y, integrando esta serie, calcula \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n! (n+2)}\)
empezaremos escribiendo el desarrollo de Maclaurin de la exponencial e multiplicando por \( x \) para obtener la serie pedida, válida para todo \( x \) real. Después integraremos la serie término a término entre \( 0 \) e \( x \), lo que es legítimo dentro del intervalo de convergencia, e calcularemos la integral también por partes para obtener una expresión cerrada; evaluando en \( x = 1 \) e restando el término \( n = 0 \) obtendremos la suma pedida.
Suma la serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+3}\)
empezaremos sacando factor común la potencia \( x^3 \) para reconocer una serie geométrica de razón \( x^2 \); a continuación aplicaremos la fórmula de la suma de la serie geométrica, que escribiremos primero en forma general, e indicaremos para qué valores de \( x \) es válida.
Suma la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^{2n+1}\)
empezaremos sacando factor común \( x \) para reconocer la serie de potencias \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n} \); a continuación obtendremos su suma integrando término a término la serie geométrica entre \( 0 \) e \( t \) (legítimo dentro del intervalo de convergencia), lo que da el desarrollo del logaritmo;
para terminar evaluaremos en \( t = x^2 \) e indicaremos el intervalo de validez.
Suma la serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nx^n \)
empezaremos escribiendo la serie geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x} \), válida para \(|x| < 1 \); a continuación la derivaremos término a término, lo que es legítimo dentro del intervalo de convergencia e produce el factor \( n \) delante de cada potencia;
para terminar multiplicaremos por \( x \) para ajustar el exponente.
Suma la serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n! }x^{3n}\)
empezaremos escribiendo el desarrollo de Maclaurin de la exponencial, que es uno de los cinco desarrollos elementales de la teoría; a continuación sustituiremos \( x \) por \( x^3 \), lo que es válido para todo \( x \) real porque la serie de la exponencial converge en toda la recta.
Suma la serie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{(n-1)! }x^{3n-1}\)
empezaremos reindexando la serie con \( k = n-1 \) para dejar el factorial en la forma \( k! \) e sacar factor común las potencias que no dependen del nuevo índice; a continuación reconoceremos el desarrollo de Maclaurin de la exponencial con la sustitución \( u = x^3 \), válida para todo \( x \) real.
Suma la serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n! }x^{3n+1}\)
empezaremos sacando factor común \( x \) para dejar la serie en la forma \( x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^3)^n}{n! } \); a continuación reconoceremos el desarrollo de Maclaurin de la exponencial con la sustitución \( u = x^3 \), válida para todo \( x \) real.
Halla los primeros términos de la serie de potencias de la solución del problema de valor inicial \( y'+2y^2=0 \), \( y(0)=1 \)
buscaremos la solución en forma de serie de potencias centrada en cero, \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \), pues la condición inicial se da en \( x = 0 \). Empezaremos derivando la serie término a término e escribiendo \( y^2 \) con el producto de Cauchy de series; a continuación sustituiremos en la ecuación e igualaremos los coeficientes de las mismas potencias de \( x \) para obtener la relación de recurrencia;
para terminar usaremos la condición inicial \( a_0 = y(0) = 1 \) e calcularemos los primeros coeficientes uno por uno.
Halla los primeros términos de la serie de potencias de la solución del problema de valor inicial \( y'+2y^2+y=0 \), \( y(0)=1 \)
buscaremos la solución en forma de serie de potencias centrada en cero, \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \), pues la condición inicial se da en \( x = 0 \). Empezaremos derivando la serie término a término e escribiendo \( y^2 \) con el producto de Cauchy de series; a continuación sustituiremos en la ecuación e igualaremos los coeficientes de las mismas potencias de \( x \) para obtener la relación de recurrencia;
para terminar usaremos la condición inicial \( a_0 = y(0) = 1 \) e calcularemos los primeros coeficientes uno por uno.
Halla los primeros términos de la serie de potencias de la solución del problema de valor inicial \( y'+xy^2=0 \), \( y(0)=2 \)
buscaremos la solución en forma de serie de potencias centrada en cero, \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \), pues la condición inicial se da en \( x = 0 \). Empezaremos derivando la serie término a término e escribiendo \( y^2 \) con el producto de Cauchy; a continuación multiplicaremos por \( x \) (lo que desplaza los índices en uno), sustituiremos en la ecuación e igualaremos los coeficientes de las mismas potencias para obtener la recurrencia;
para terminar usaremos \( a_0 = y(0) = 2 \) e calcularemos los primeros coeficientes uno por uno.
Halla los primeros términos de la serie de potencias de la solución del problema de valor inicial \( y'+2xy-3x=0 \), \( y(0)=7 \)
buscaremos la solución en forma de serie de potencias centrada en cero, \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \), pues la condición inicial se da en \( x = 0 \). Empezaremos derivando la serie término a término e multiplicando por \( x \) (lo que desplaza los índices en uno); a continuación sustituiremos en la ecuación e igualaremos los coeficientes de las mismas potencias de \( x \) para obtener la recurrencia;
para terminar usaremos \( a_0 = y(0) = 7 \) e calcularemos los primeros coeficientes uno por uno.
Determina el polinomio de Taylor de grado 3 de la función \( f(x)=\operatorname{sen}\, 2x \) en un entorno del punto \( x_0=0 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado \( n \) centrado en \( c \), \( T_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k! }(x-c)^k \). A continuación calcularemos las derivadas sucesivas de \( f \) una por una, aplicando la regla de la cadena, e las evaluaremos en \( x_0 = 0 \);
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general.
Determina el polinomio de Taylor de grado 3 de la función \( f(x)=\cos 3x \) en un entorno del punto \( x_0=0 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado \( n \) centrado en \( c \). A continuación calcularemos las derivadas sucesivas de \( f \) una por una, aplicando la regla de la cadena, e las evaluaremos en \( x_0 = 0 \);
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general.
Determina el polinomio de Taylor de grado 3 de la función \( f(x)=\ln\dfrac{x}{2}\) en un entorno del punto \( x_0=1 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado \( n \) centrado en \( c \). Como \(\ln\frac{x}{2} = \ln x-\ln 2 \), calcularemos las derivadas sucesivas de \(\ln x \) una por una e las evaluaremos en \( x_0 = 1 \);
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general.
Determina el polinomio de Taylor de grado 3 de la función \( f(x)=xe^{x^2}\) en un entorno del punto \( x_0=0 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado \( n \) centrado en \( c \). A continuación calcularemos las derivadas sucesivas de \( f \) una por una, aplicando la regla del producto e la regla de la cadena, e las evaluaremos en \( x_0 = 0 \);
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general.
Halla el polinomio de Taylor \( P_n(x) \) de grado \( n=4 \) de la función \( f(x)=e^x \) en un entorno del punto \( a=1 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado \( n \) centrado en \( a \), \( P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k! }(x-a)^k \). A continuación calcularemos las derivadas sucesivas de la exponencial (que coinciden todas con la propia función) e las evaluaremos en \( a = 1 \);
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general.
Halla el polinomio de Taylor \( P_n(x) \) de grado \( n=10 \) de la función \( f(x)=\cos x \) en un entorno del punto \( a=\pi \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado \( n \) centrado en \( a \). A continuación calcularemos las derivadas sucesivas del coseno una por una: se repiten con periodo cuatro, e en \( a = \pi \) las de orden impar se anulan;
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general, donde solo sobreviven las potencias pares.
Halla el polinomio de Taylor \( P_n(x) \) de grado \( n=5 \) de la función \( f(x)=e^{\operatorname{sen}\, x}\) en un entorno del punto \( a=0 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado 5 centrado en cero. A continuación calcularemos las derivadas sucesivas de \( f \) una por una, aplicando la regla de la cadena e la regla del producto, e las evaluaremos en \( a = 0 \);
para terminar sustituiremos los valores en la fórmula general.
Halla el polinomio de Taylor \( P_n(x) \) de grado \( n=4 \) de la función \( f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\) en un entorno del punto \( a=0 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general del polinomio de Taylor de grado 4 centrado en cero. Para calcular las derivadas con comodidad, reescribiremos la función como \( f(x) = x-1+\frac{1}{x+1} \) (dividiendo los polinomios); a continuación calcularemos las derivadas sucesivas una por una e las evaluaremos en \( a = 0 \);
para terminar sustituiremos en la fórmula general.
Desarrolla el polinomio \( x^3-2x^2+3x+5 \) en potencias de \((x-2) \) para diversos grados ( \( n=0, 1, 2, 3, \dots \). ¿Cuál es el error que se comete en el intervalo \([0, 4]\)? ¿Para qué grados puedes garantizar que no se comete ningún error?
el desarrollo en potencias de \((x-2) \) es el polinomio de Taylor centrado en \( c = 2 \). Empezaremos escribiendo la fórmula general \( T_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(2)}{k! }(x-2)^k \); a continuación calcularemos las derivadas de \( P \) e las evaluaremos en \( 2 \);
para terminar escribiremos los polinomios para cada grado e analizaremos el resto \( R_n(x) = P(x)-T_n(x) \), acotándolo en \([0, 4] \)
Calcula una aproximación de \(\ln 2 \) a partir del polinomio de Taylor de grado 4 en el 0 de la función \(\ln(1+x) \). ¿Cuál es la cota del error teórico de la aproximación obtenida?
empezaremos escribiendo el polinomio de Taylor de grado 4 de \(\ln(1+x) \) centrado en cero, que es la suma parcial del desarrollo de Maclaurin del logaritmo; a continuación lo evaluaremos en \( x = 1 \) para aproximar \(\ln 2 \). Para terminar acotaremos el error con la forma de Lagrange del resto, escribiendo primero la fórmula general de la cota, identificando la derivada quinta e mayorándola en el intervalo \([0, 1] \)
Si se utilizan los polinomios de Taylor de grados 2, 4 y 6 en el punto \( a=0 \) de la función \(\cos x \) para aproximar \(\cos(1/2) \), ¿qué cota del error puede asegurarse?
empezaremos escribiendo la fórmula general de la cota del resto de Lagrange, \(|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)! }|x-c|^{n+1} \). A continuación observaremos que todas las derivadas del coseno (senos e cosenos) están acotadas por \( 1 \) en valor absoluto, luego podemos tomar \( M = 1 \);
para terminar sustituiremos \( n = 2, 4, 6 \), \( c = 0 \) e \( x = 1/2 \) en la fórmula.
Calcula \(\operatorname{sen}\, 1 \), \(\operatorname{sen}\, 0, 1 \) y \(\operatorname{sen}\, 0, 01 \) con tres cifras decimales exactas, y compara el número de términos que hay que tomar en cada uno de los cálculos.
usaremos el desarrollo de Maclaurin del seno, \(\operatorname{sen}\, x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)! } \), válido para todo \( x \) real. Para \( x > 0 \) pequeño, la serie es alternada con términos decrecientes en valor absoluto, luego por el criterio de Leibniz el error al truncar es menor que el primer término despreciado. Tres cifras decimales exactas exigen un error menor que \( 0{, }0005 \); en cada caso sumaremos términos hasta que el primero despreciado sea menor que esa tolerancia e compararemos cuántos han hecho falta.
Calcula \(\sqrt{1, 1}\) con un error menor que \( 10^{-4}\) utilizando el desarrollo de Taylor de la función \( f(x)=\sqrt{x+1}\) en un entorno de \( a=0 \)
empezaremos escribiendo el desarrollo del binomio con \(\alpha = \frac{1}{2} \) aplicado a \( f(x) = (1+x)^{1/2} \); a continuación lo evaluaremos en \( x = 0{, }1 \). Como para ese valor la serie es alternada con términos decrecientes en valor absoluto, el error al truncar es menor que el primer término despreciado por el criterio de Leibniz; sumaremos términos hasta que el primero despreciado sea menor que \( 10^{-4} \)
Calcula \(\sqrt{16, 1}\) con un error menor que \( 10^{-4}\) mediante un desarrollo de Taylor, cambiando si es necesario la función \( f \) empleada en el cálculo de \(\sqrt{1, 1}\)
aplicar directamente el desarrollo de \(\sqrt{1+x} \) en \( x = 15{, }1 \) no sirve, pues está fuera de su intervalo de convergencia. Empezaremos reescribiendo \(\sqrt{16{, }1} = 4\sqrt{1{, }00625} \), de modo que basta aproximar \( g(0{, }00625) \) con \( g(x) = \sqrt{1+x} \); como el resultado se multiplica por cuatro, el error en \( g \) debe ser menor que \( 2{, }5\cdot 10^{-5} \). A continuación usaremos el desarrollo del binomio, que para ese valor es una serie alternada con términos decrecientes, e truncaremos cuando el primer término despreciado sea menor que la tolerancia.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{\operatorname{sen}\, x}\)
se trata de una indeterminación del tipo \( 0/0 \). Empezaremos desarrollando el numerador e el denominador con la fórmula de Taylor con resto de Peano hasta el primer orden no nulo: \(\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2) \) e \(\operatorname{sen}\, x = x+o(x) \) cuando \( x \to 0 \); a continuación simplificaremos el cociente dividiendo por la potencia común de \( x \) e tomaremos el límite, teniendo en cuenta que los términos \( o \) desaparecen.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{x^4-256}{x^2-16}\)
se trata de una indeterminación del tipo \( 0/0 \). Empezaremos desarrollando el numerador e el denominador con la fórmula de Taylor de orden uno con resto de Peano centrada en \( x = 4 \): para \( f(x) = x^4 \) se tiene \( f(4) = 256 \) e \( f'(4) = 256 \), e para \( g(x) = x^2 \) se tiene \( g(4) = 16 \) e \( g'(4) = 8 \); a continuación simplificaremos el cociente dividiendo por \((x-4) \) e tomaremos el límite.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{xe^x}{1-e^x}\)
se trata de una indeterminación del tipo \( 0/0 \). Empezaremos desarrollando el numerador e el denominador con la fórmula de Taylor con resto de Peano hasta el primer orden no nulo: \( e^x = 1+x+o(x) \) cuando \( x \to 0 \); a continuación simplificaremos el cociente dividiendo por la potencia común de \( x \) e tomaremos el límite.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\operatorname{sen}\, x}\right) \)
empezaremos reduciendo la diferencia a un único cociente, \(\frac{\operatorname{sen}\, x-x}{x\operatorname{sen}\, x} \), que es una indeterminación del tipo \( 0/0 \). A continuación desarrollaremos el numerador e el denominador con la fórmula de Taylor con resto de Peano hasta el primer orden no nulo: \(\operatorname{sen}\, x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) \) cuando \( x \to 0 \);
para terminar simplificaremos dividiendo por la potencia común de \( x \) e tomaremos el límite.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln|e^x-1|}{x}\)
empezaremos analizando el signo de \( e^x-1 \) para \( x > 0 \) pequeño, lo que permite quitar el valor absoluto. A continuación haremos el cambio de variable \( t = e^x-1 \), de modo que \( x = \ln(1+t) \) e \( t \to 0^+ \) cuando \( x \to 0^+ \);
para terminar usaremos el desarrollo \(\ln(1+t) = t+o(t) \) e estudiaremos el cociente resultante.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x^3}-1}{\tan^3(2x)}\)
se trata de una indeterminación del tipo \( 0/0 \). Empezaremos desarrollando el numerador e el denominador con la fórmula de Taylor con resto de Peano hasta el primer orden no nulo: para el numerador usaremos \( e^u-1 = u+o(u) \) con \( u = 4x^3 \), e para el denominador \(\tan v = v+o(v) \) con \( v = 2x \), elevando después al cubo; a continuación simplificaremos el cociente dividiendo por la potencia común de \( x \) e tomaremos el límite.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^2(3x^2)}{\cos^4(2x^2)-1}\)
se trata de una indeterminación del tipo \( 0/0 \). Empezaremos desarrollando el numerador e el denominador con la fórmula de Taylor con resto de Peano hasta el primer orden no nulo: para el numerador usaremos \(\operatorname{sen}\, u = u+o(u) \) con \( u = 3x^2 \) e elevaremos al cuadrado;
para el denominador usaremos \(\cos v = 1-\frac{v^2}{2}+o(v^2) \) con \( v = 2x^2 \) e desarrollaremos la potencia cuarta con el binomio; a continuación simplificaremos el cociente e tomaremos el límite.
Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{\ln^4(2+x^3)}{(x+1)^4}\)
se trata de una indeterminación del tipo \( 0/0 \) (pues \( 2+(-1)^3 = 1 \) e \(\ln 1 = 0 \) ). Empezaremos haciendo el cambio de variable \( t = x+1 \), de modo que \( t \to 0 \) cuando \( x \to -1 \); a continuación desarrollaremos \( 2+x^3 \) en potencias de \( t \) e aplicaremos \(\ln(1+u) = u+o(u) \);
para terminar elevaremos a la cuarta, simplificaremos el cociente e tomaremos el límite.
Utiliza el método de Newton para encontrar \(\sqrt[3]{3}\)
empezaremos escribiendo la ecuación en la forma \( f(x) = 0 \) con \( f(x) = x^3-3 \), cuya raíz positiva es \(\sqrt[3]{3} \). A continuación escribiremos la fórmula general de iteración de Newton, \( x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \), e la particularizaremos calculando \( f'(x) \). Después localizaremos la raíz con el teorema de Bolzano para elegir un buen punto inicial \( x_0 \);
para terminar iteraremos la fórmula mostrando cada iteración completa hasta que dos aproximaciones consecutivas se estabilicen.
Utiliza el método de Newton para encontrar las soluciones de la ecuación \( x^3+5x-3=0 \)
empezaremos escribiendo la ecuación en la forma \( f(x) = 0 \) con \( f(x) = x^3+5x-3 \). A continuación escribiremos la fórmula general de iteración de Newton e la particularizaremos calculando \( f'(x) \). Después estudiaremos cuántas soluciones reales hay (observando el signo de la derivada) e localizaremos la raíz con el teorema de Bolzano para elegir \( x_0 \);
para terminar iteraremos mostrando cada iteración completa hasta la estabilización.
Utiliza el método de Newton para encontrar la solución de \( x^5+x^2-9x-3=0 \) que está entre \(-2 \) y \(-1 \)
empezaremos escribiendo la ecuación en la forma \( f(x) = 0 \) con \( f(x) = x^5+x^2-9x-3 \). A continuación escribiremos la fórmula general de iteración de Newton e la particularizaremos calculando \( f'(x) \). Después comprobaremos el cambio de signo en los extremos del intervalo \([-2, -1] \) para confirmar la localización e elegiremos \( x_0 \);
para terminar iteraremos mostrando cada iteración completa hasta la estabilización.
Emplea el método de Newton para determinar los puntos de intersección de las gráficas de las funciones \( f(x)=2^x+1 \) y \( g(x)=\sqrt{x+4}\)
los puntos de intersección son las soluciones de \( f(x) = g(x) \), es decir, de \( h(x) = 0 \) con \( h(x) = 2^x+1-\sqrt{x+4} \) (definida para \( x \ge -4 \) ). Empezaremos escribiendo la fórmula general de iteración de Newton e particularizándola con \( h'(x) \). Después localizaremos las raíces: veremos que \( x = 0 \) es solución exacta e que hay otra en \((-3, -2) \) por el teorema de Bolzano;
para terminar aplicaremos Newton a esta última mostrando cada iteración completa e calcularemos las ordenadas de los dos puntos.
Considera la función \( f(x)=x^2-a \) con \( a>0 \), cuyas raíces son \(\pm\sqrt{a}\)
Prueba que el método de Newton da lugar a la sucesión \( x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2 \) y comprueba que el límite de la sucesión coincide con las raíces de la ecuación \( x^2-a=0 \)
empezaremos escribiendo la fórmula general de iteración de Newton e particularizándola con \( f(x) = x^2-a \) e \( f'(x) = 2x \), simplificando la expresión hasta obtener la sucesión pedida. Después supondremos que la sucesión converge a un límite \( L \) e pasaremos al límite en la relación de recurrencia para ver qué valores puede tomar \( L \);
para terminar justificaremos la convergencia para \( x_0 > 0 \) (e por simetría para \( x_0 < 0 \) ) usando que la media aritmética mayora a la geométrica.
Considera la función \( f(x)=1/x-a \) con \( a\neq 0 \). ¿Cuál es la sucesión que proporciona el método de Newton para resolver la ecuación \( f(x)=0 \) en este caso? Comprueba que se trata de un método alternativo para calcular inversos sin usar el algoritmo de la división, y aplícalo para obtener \( 1/2, 75153 \) con cinco decimales.
empezaremos escribiendo la fórmula general de iteración de Newton e particularizándola con \( f(x) = 1/x-a \) e \( f'(x) = -1/x^2 \), simplificando hasta obtener una recurrencia que solo usa multiplicaciones e restas. Después observaremos que la ecuación \( f(x) = 0 \) equivale a \( x = 1/a \), luego el método aproxima el inverso de \( a \);
para terminar lo aplicaremos con \( a = 2{, }75153 \), eligiendo \( x_0 \) próximo al inverso e iterando hasta estabilizar cinco decimales.
4.1 EDO: conceptos básicos y verificación de soluciones
174.
Comprueba que la función \( y(x) = e^{-4x}(A+Bx) \) satisface la ecuación diferencial \( y''+8y'+16y = 0 \), e que la función \( x(t) = 3\cos t + \operatorname{sen}\, t + e^{2t} + e^t \) satisface las ecuaciones \( x''''-3x''+2x-10\, \operatorname{sen}\, t = 0 \) e \( x''''-3x'''+3x''-3x'+2x = 0 \)
empezaremos calculando la primera e la segunda derivada de la candidata por la regla del producto, e a continuación sustituiremos la función e sus derivadas en la ecuación para comprobar que el resultado es idénticamente cero.
Determina todas las funciones \( y = y(x) \) que satisfacen la ecuación \( y' = k \) donde \( k \) es una constante.
empezaremos por reconocer que la ecuación es el caso más simple de variables separadas, con el segundo miembro independiente de la incógnita; a continuación integraremos una vez respecto de la variable independiente para obtener todas las primitivas, introduciendo la constante arbitraria que parametriza la familia de soluciones.
Halla las funciones de la variable independiente \( x \) que cumplen \( y' = 2x \) e indica cuáles de ellas verifican que \( y = 2 \) cuando \( x = 0 \)
empezaremos integrando la ecuación para obtener la familia de todas las soluciones con su constante arbitraria; a continuación impondremos la condición \( y(0) = 2 \) sustituyendo explícitamente para determinar qué valor de la constante selecciona la solución pedida.
Determina la función \( y = y(x) \) que cumple \( y' = 2(10-y) \) con las condiciones iniciales \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 40 \)
empezaremos por reconocer una ecuación de variables separadas e dividir entre el factor que depende de \( y \), indicando dónde se anula; a continuación integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva, obtendremos la solución general con su constante e impondremos la condición inicial sustituyendo explícitamente para despejar la constante.
Encuentra la función \( y = y(x) \) tal que \((1+e^x)yy' = e^x \) con las condiciones iniciales \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \)
empezaremos por escribir la ecuación en la forma de variables separadas dividiendo entre el factor que solo depende de \( x \), que nunca se anula; a continuación integraremos los dos miembros usando el cambio de variable adecuado, e impondremos la condición inicial sustituyendo explícitamente para determinar la constante.
Determina todas las funciones \( x = x(t) \) que son solución de la ecuación \( x'''' = g \) donde \( g \) es una constante.
empezaremos integrando una vez la ecuación para obtener la primera derivada con su constante de integración, e a continuación integraremos de nuevo para obtener la función con una segunda constante arbitraria.
Resuelve la ecuación diferencial \( y' = x\, \operatorname{sen}\, x \)
empezaremos por observar que el segundo miembro no depende de la incógnita, por lo que basta integrar una vez respecto de \( x \); a continuación calcularemos esa primitiva por partes, derivando el factor polinómico e integrando el trigonométrico.
empezaremos por separar las variables dividiendo entre el factor que depende de \( y \), señalando dónde se anula; a continuación integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva, despejaremos la incógnita e comprobaremos por separado la función constante que anula el divisor.
empezaremos por separar las variables dividiendo entre la incógnita, señalando dónde se anula; a continuación integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva, despejaremos con exponenciales e reuniremos la solución constante en la familia general permitiendo que la constante valga cero.
Resuelve la ecuación diferencial \( y - 2 - (t-1)y' = 0 \)
empezaremos despejando la forma de variables separadas pasando términos al otro miembro; después dividiremos entre los factores que dependen de cada variable indicando dónde se anulan, integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva e reuniremos la solución constante en la familia general.
Resuelve la ecuación diferencial \( y' = 5(2-y)(3-y) \)
empezaremos por separar las variables dividiendo entre el producto que depende de \( y \), señalando sus ceros; después descompondremos el cociente en fracciones simples resolviendo los coeficientes, integraremos término a término e comprobaremos por separado las soluciones constantes.
Resuelve la ecuación diferencial \( y' = y^2-5y+4 \)
empezaremos factorizando el polinomio del segundo miembro para localizar sus raíces; después separaremos las variables dividiendo entre el producto, señalando las raíces; descompondremos en fracciones simples resolviendo los coeficientes, integraremos término a término e comprobaremos por separado las soluciones constantes.
Resuelve la ecuación diferencial \( y' = y^2+2y+2 \)
empezaremos completando el cuadrado del polinomio para comprobar que nunca se anula; después separaremos las variables dividiendo sin perder soluciones, reconoceremos la primitiva del arcotangente e despejaremos la incógnita.
Resuelve la ecuación diferencial \( y' = (y-1)(x-2) \)
empezaremos separando las variables dividiendo entre el factor que depende de \( y \), señalando su cero; después integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva e reuniremos la solución constante en la familia general permitiendo que la constante valga cero.
Resuelve la ecuación diferencial \( y' = (y^2-1)(y-2) \)
empezaremos factorizando el segundo miembro para localizar sus tres raíces; después separaremos las variables dividiendo entre el producto, señalando las raíces; descompondremos en fracciones simples resolviendo los coeficientes, integraremos término a término e comprobaremos por separado las soluciones constantes.
Resuelve el problema de valor inicial \( x^2+2yy' = 0 \), \( y(0) = 2 \)
empezaremos despejando la forma de variables separadas; después separaremos las variables, pues la ecuación ya está en la forma \( B(y)y' = A(x) \) sin necesidad de dividir; integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva, obtendremos la familia de soluciones e impondremos la condición inicial eligiendo el signo correcto de la raíz.
Resuelve el problema de valor inicial \( y' = y\, \operatorname{sen}\, x \) \( y(\pi) = -3 \)
empezaremos separando las variables dividiendo entre la incógnita, señalando dónde se anula; después integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva, despejaremos con exponenciales e impondremos la condición inicial sustituyendo explícitamente e eligiendo el signo adecuado del valor absoluto.
Resuelve el problema de valor inicial \( y' = 8t^3e^{-2y}\), \( y(1) = 0 \)
empezaremos multiplicando los dos miembros por la exponencial positiva para separar las variables sin dividir por ninguna expresión que se anule; después integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva e impondremos la condición inicial sustituyendo explícitamente para determinar la constante.
Resuelve el problema de valor inicial \( y' = y^2e^x \) \( y(2) = 1 \)
empezaremos separando las variables dividiendo entre el factor que depende de \( y \), señalando dónde se anula; después integraremos los dos miembros mostrando cada primitiva, impondremos la condición inicial sustituyendo explícitamente e despejaremos la incógnita.
Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfría una sustancia es proporcional a la diferencia de temperatura entre la sustancia e el ambiente.
Si la temperatura ambiente es de \( 30 \) grados e la sustancia se enfría de \( 100 \) grados a \( 70 \) grados en \( 15 \) minutos, ¿en qué momento se encontrará a \( 40 \) grados?
empezaremos traduciendo la ley física a la ecuación diferencial \(\frac{dT}{dt} = k(T-T_m) \), justificando el signo de la constante; a continuación escribiremos su solución general, usaremos la temperatura inicial para determinar la constante de integración e la medición a los quince minutos para determinar la constante de proporcionalidad;
para terminar impondremos la temperatura de cuarenta grados e despejaremos el tiempo.
El radio, elemento radiactivo, se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad de elemento aún presente, e tiene una vida media (el tiempo que tarda una cantidad en reducirse a la mitad) de \( 1600 \) años.
Expresa la cantidad de radio presente en función del tiempo e calcula qué porcentaje se desintegra en \( 100 \) años.
empezaremos traduciendo la ley de desintegración a la ecuación diferencial \(\frac{dQ}{dt} = -\lambda Q \), justificando el signo negativo; a continuación la resolveremos por separación de variables e usaremos la vida media para determinar la constante de desintegración.
Los tejidos de plantas e animales vivos contienen dos formas del elemento carbono, el carbono 12 (no radiactivo) e el carbono 14 (isótopo radiactivo), en proporción prácticamente invariable de \( 10^{12}: 1 \)
Cuando el organismo muere, sus tejidos conservan intacto el carbono 12 mientras que el carbono 14 se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad total de carbono 14 presente.
Se sabe que la vida media del carbono 14 es de \( 5750 \) años.
Unos arqueólogos han descubierto un enterramiento en el norte de Mongolia e, después de medir el carbono 12 e el carbono 14 de los restos hallados, obtienen una proporción de \( 10^{12}: 3/4 \). ¿Qué antigüedad atribuirán al enterramiento?
empezaremos traduciendo la desintegración del carbono 14 a la ecuación diferencial e escribiendo su solución general; a continuación determinaremos la constante de desintegración a partir de la vida media, expresaremos la proporción medida como fracción de la cantidad inicial e despejaremos el tiempo transcurrido desde la muerte del organismo.
En las mismas condiciones del enunciado anterior (proporción en vida de \( 10^{12}: 1 \) e vida media del carbono 14 de \( 5750 \) años), ¿cuál sería la antigüedad estimada si la proporción medida en los restos fuese de \( 10^{12}: 1/4 \)?
seguiremos el mismo procedimiento del ejercicio anterior: la fracción de carbono 14 que queda determina el tiempo mediante la ley de desintegración con la misma constante.
Un estudiante portador de un virus regresa a un campus universitario aislado que tiene \( 1000 \) estudiantes.
Suponiendo que la velocidad con la que se propaga el virus es proporcional al producto entre el número de estudiantes contagiados e el de no contagiados, halla el número de estudiantes contagiados después de seis días sabiendo que al cabo de cuatro días hay \( 50 \) contagiados. ¿Cuántos días han de pasar para que el contagio alcance a la mitad del campus? ¿E a las tres cuartas partes?
empezaremos traduciendo el enunciado a la ecuación logística \(\frac{dP}{dt} = kP(1000-P) \), justificando cada factor; a continuación la resolveremos por separación de variables con descomposición en fracciones simples, usaremos las dos condiciones conocidas para determinar las dos constantes e evaluaremos la fórmula en \( t = 6 \)
En el organismo de un enfermo se han encontrado, a las ocho de la mañana de cierto día, un millón de bacterias cuya vida media antes de dividirse en dos es de cuatro horas. Calcula el número de bacterias a las ocho de la tarde y determina aproximadamente cuándo comenzó la enfermedad.
empezaremos traduciendo el crecimiento bacteriano al modelo de Malthus \(\frac{dP}{dt} = kP \), justificando cada término; la vida media antes de dividirse es el tiempo de duplicación, que determina la constante de crecimiento; a continuación evaluaremos la fórmula doce horas después de la medición.
5.1 Funciones de varias variables: dominio y curvas de nivel
199.
Encuentra el dominio de definición de la función \( f(x, y)=\sqrt{1-x+y}\)
empezaremos por identificar las operaciones de la fórmula que imponen restricciones, que aquí es únicamente la raíz cuadrada. A continuación impondremos que su radicando sea no negativo, como exige la teoría para las raíces de índice par, y despejaremos la desigualdad para describir geométricamente el conjunto resultante. Para terminar, escribiremos el dominio en forma de conjunto.
Encuentra el dominio de definición de la función \( f(x, y)=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)
empezaremos por identificar la única operación con restricción, que es el cociente, cuyo denominador no puede anularse. A continuación resolveremos la condición \( x^2+y^2\ne 0 \) observando que una suma de cuadrados solo se anula cuando las dos variables son cero a la vez. Para terminar, describiremos el dominio como conjunto.
Encuentra el dominio de definición de la función \( f(x, y)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)
empezaremos por identificar las operaciones con restricción, que son los dos cocientes. A continuación impondremos que cada denominador sea distinto de cero, como exige la teoría. Para terminar, describiremos el dominio como conjunto.
Encuentra el dominio de definición de la función \( f(x, y)=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^2-y^2}}\)
empezaremos por identificar las dos operaciones con restricción: la raíz cuadrada del denominador y el propio cociente. A continuación impondremos que el radicando sea no negativo y que el denominador sea distinto de cero, y combinaremos ambas condiciones en una sola desigualdad estricta. Para terminar, describiremos geométricamente el conjunto obtenido.
Representa gráficamente y estudia las curvas de nivel de la función \( f(x, y)=x-y+2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las curvas de nivel \( C_k=\{(x, y): f(x, y)=k\} \). A continuación despejaremos \( y \) para reconocer la familia de curvas obtenida y describir su disposición en el plano. Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las curvas de nivel de la función \( f(x, y)=x^2+y \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las curvas de nivel \( C_k=\{(x, y): f(x, y)=k\} \). A continuación despejaremos \( y \) para reconocer la familia de curvas obtenida y describir su disposición en el plano. Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las curvas de nivel de la función \( f(x, y)=xy \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las curvas de nivel \( C_k=\{(x, y): xy=k\} \). A continuación analizaremos la forma de la curva según el signo de \( k \), distinguiendo los casos \( k>0 \), \( k<0 \) y \( k=0 \). Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las curvas de nivel de la función \( f(x, y)=x^2-y^2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las curvas de nivel \( C_k=\{(x, y): x^2-y^2=k\} \). A continuación analizaremos la forma de la curva según el signo de \( k \), distinguiendo los casos \( k>0 \), \( k<0 \) y \( k=0 \). Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las curvas de nivel de la función \( f(x, y)=x^2+2y^2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las curvas de nivel \( C_k=\{(x, y): x^2+2y^2=k\} \). A continuación analizaremos la forma de la curva según el signo de \( k \), distinguiendo los casos \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \). Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las superficies de nivel de la función \( f(x, y, z)=x^2+y^2+4z^2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las superficies de nivel \( S_k=\{(x, y, z): f(x, y, z)=k\} \). A continuación analizaremos la forma de la superficie según el signo de \( k \), distinguiendo los casos \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \). Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente y cuáles son sus trazas.
Representa gráficamente y estudia las superficies de nivel de la función \( f(x, y, z)=4x^2+y^2-z^2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las superficies de nivel \( S_k=\{(x, y, z): 4x^2+y^2-z^2=k\} \). A continuación analizaremos la forma de la superficie según el signo de \( k \), distinguiendo los casos \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \). Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las superficies de nivel de la función \( f(x, y, z)=x^2-2y^2-3z^2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las superficies de nivel \( S_k=\{(x, y, z): x^2-2y^2-3z^2=k\} \). A continuación analizaremos la forma de la superficie según el signo de \( k \), distinguiendo los casos \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \). Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente.
Representa gráficamente y estudia las superficies de nivel de la función \( f(x, y, z)=x^2-2y-3z^2 \)
empezaremos por escribir la ecuación general de las superficies de nivel \( S_k=\{(x, y, z): x^2-2y-3z^2=k\} \). A continuación despejaremos \( y \) para reconocer la familia de superficies obtenida, válida para todo \( k \) real. Para terminar, indicaremos cómo se representan gráficamente y cuáles son sus trazas.
Calcula el gradiente de la función \( f(x, y)=xy \)
empezaremos por recordar que el gradiente se forma con las derivadas parciales, \(\nabla f=(f_x, f_y) \). A continuación calcularemos \( f_x \) derivando respecto de \( x \) y tratando a \( y \) como constante, y después \( f_y \) derivando respecto de \( y \) y tratando a \( x \) como constante. Para terminar, reuniremos ambas en el vector gradiente.
Calcula el gradiente de la función \( f(x, y)=e^{xy}\)
empezaremos por recordar que \(\nabla f=(f_x, f_y) \). A continuación calcularemos \( f_x \) derivando respecto de \( x \) con \( y \) constante mediante la regla de la cadena, y \( f_y \) derivando respecto de \( y \) con \( x \) constante. Para terminar, formaremos el vector gradiente.
Calcula el gradiente de la función \( f(x, y)=\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\)
empezaremos por recordar que \(\nabla f=(f_x, f_y) \) y que el dominio excluye los puntos con \( x^2-y^2=0 \). A continuación calcularemos \( f_x \) con la regla del cociente derivando respecto de \( x \) y tratando a \( y \) como constante, y después \( f_y \) derivando respecto de \( y \). Para terminar, formaremos el vector gradiente.
Calcula el gradiente de la función \( f(x, y, z)=\dfrac{x}{y}\)
empezaremos por recordar que para tres variables \(\nabla f=(f_x, f_y, f_z) \) y que el dominio excluye los puntos con \( y=0 \). A continuación derivaremos respecto de cada variable tratando las otras dos como constantes. Para terminar, formaremos el vector gradiente.
Calcula el gradiente de la función \( f(x, y, z)=e^{zx}\cos(x+zy) \)
empezaremos por recordar que \(\nabla f=(f_x, f_y, f_z) \). A continuación derivaremos respecto de cada variable tratando las otras dos como constantes, usando la regla del producto y la regla de la cadena en cada caso. Para terminar, formaremos el vector gradiente.
Calcula el gradiente de la función \( f(x, y, z)=xe^{2y}\ln(x^2yz) \)
empezaremos por observar que el dominio exige \( x^2yz>0 \) para que el logaritmo tenga sentido. El vector gradiente es \(\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \). A continuación derivaremos respecto de cada variable tratando las otras dos como constantes, usando la regla del producto y la regla de la cadena para el logaritmo. Para terminar, formaremos el vector gradiente.
Calcula la derivada direccional de la función \( f(x, y)=x+2xy-3y^2 \) en el punto \((x_0, y_0)=(1, 2) \) según la dirección \( v=(3/5, 4/5) \)
empezaremos por observar que \( f \) es un polinomio, luego es de clase \( C^1 \) y por tanto diferenciable en todo punto; esto nos autoriza a usar el teorema que da la derivada direccional como producto escalar del gradiente por la dirección. A continuación calcularemos el gradiente en el punto, comprobaremos que la dirección es unitaria y haremos el producto escalar. Para terminar, daremos el valor de la derivada direccional.
Calcula la derivada direccional de la función \( f(x, y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}\) en el punto \((x_0, y_0)=(1, 0) \) según la dirección \( v=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2, 1) \)
empezaremos por observar que \( f \) es de clase \( C^1 \) en su dominio, que contiene al punto \((1, 0) \), luego es diferenciable allí y podemos aplicar el teorema \( D_v f=\nabla f\cdot v \). A continuación calcularemos el gradiente en el punto, comprobaremos que la dirección es unitaria y haremos el producto escalar. Para terminar, daremos el valor de la derivada direccional.
Un astronauta se halla en una situación comprometida mientras navega cerca de la cara soleada de Mercurio.
La nave se encuentra en el punto de coordenadas \((1, 1, 1) \), donde el sistema de coordenadas cartesianas \((x, y, z) \) se ha tomado de forma que el Sol está en el origen y que la unidad de longitud (ul.. ) es la décima parte de una unidad astronómica (ua).
La temperatura del casco de la nave en grados centígrados viene dada por \( T(x, y, z)=Ce^{-x^2-2y^2-3z^2}\) en función de las coordenadas de posición \((x, y, z) \) de la nave medidas en ul.. , donde \( C \) es una determinada constante positiva. ¿En qué dirección ha de viajar para enfriar la nave lo más rápidamente posible?
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: si la función es diferenciable y el gradiente no es nulo, la dirección de máximo crecimiento es \(\nabla T/\|\nabla T\| \) y la de máximo decrecimiento es la opuesta. Como queremos enfriar lo más rápido posible, buscaremos la dirección de máximo decrecimiento. A continuación calcularemos el gradiente de \( T \) con la regla de la cadena y lo evaluaremos en \((1, 1, 1) \). Para terminar, normalizaremos el vector obtenido.
En la situación del enunciado anterior (nave en \((1, 1, 1) \) con \( T(x, y, z)=Ce^{-x^2-2y^2-3z^2}\) ), si la nave está viajando a \( e^8 \) ul. por segundo, ¿con qué velocidad bajará la temperatura si se mueve en la dirección de enfriamiento más rápido?
empezaremos por recordar que la tasa de variación de la temperatura por unidad de longitud recorrida en la dirección de máximo decrecimiento es \(-\|\nabla T\| \), según el teorema de la dirección de máximo crecimiento. Como la nave recorre \( e^8 \) unidades de longitud por segundo, la velocidad de enfriamiento será esa tasa multiplicada por la velocidad. A continuación calcularemos \(\|\nabla T(1, 1, 1)\| \). Para terminar, multiplicaremos por la velocidad y daremos la velocidad de bajada de la temperatura.
En la misma situación, el metal del casco de la nave se agrietará si se enfría a una velocidad mayor de \( C\sqrt{14}\, e^2 \) grados por segundo.
Describe las posibles direcciones en que puede moverse para enfriar la temperatura sin peligro de que el casco se agriete.
empezaremos por expresar la velocidad de enfriamiento en una dirección unitaria arbitraria \(\mathbf{u} \) como \(-e^8D_{\mathbf{u}}T(1, 1, 1) \), pues la nave viaja a \( e^8 \) ul.. /s. A continuación usaremos el teorema \( D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot\mathbf{u} \) con el gradiente ya calculado. Después impondremos las dos condiciones de seguridad: que realmente se enfríe (velocidad no negativa) y que la velocidad de enfriamiento no supere el umbral de agrietamiento. Para terminar, describiremos geométricamente el conjunto de direcciones admisibles.
Sea \( T(x, y)=1-ax^2-by^2 \), con \( a>0 \), \( b>0 \), la temperatura en cada punto \( P(x, y) \) del plano.
Un insecto friolero está situado en el punto \((x_0, y_0)\neq(0, 0) \)
Determina el camino que seguirá el insecto si en cada momento intenta estar lo más caliente posible.
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: en cada punto, la dirección en la que la temperatura aumenta más deprisa es la del gradiente \(\nabla T \). Por tanto el camino del insecto es en cada instante tangente al gradiente, es decir, es una curva integral del campo \(\nabla T \). A continuación calcularemos el gradiente y plantearemos la ecuación diferencial \( dy/dx=T_y/T_x \) que describe esas curvas. Después resolveremos la ecuación separando variables. Para terminar, impondremos que la curva pase por \((x_0, y_0) \) y describiremos el sentido del recorrido.
La temperatura de una plancha de metal plana viene dada por la función \( T(x, y)=\dfrac{100}{x^2+y^2-2x-2y+6}\). ¿Cuál es la temperatura del punto \( P=(0, 0) \) y en qué dirección va el flujo de calor en este punto? Describe la curva isoterma que pasa por \( P \) y encuentra la ecuación paramétrica de la recta normal por \( P \)
empezaremos por evaluar \( T \) en \((0, 0) \). A continuación calcularemos el gradiente en ese punto, pues el calor fluye de las zonas calientes a las frías, es decir, en la dirección de máximo decrecimiento \(-\nabla T \). Después hallaremos la isoterma (curva de nivel) que pasa por \( P \) igualando \( T(x, y) \) al valor en \( P \) y completando cuadrados. Para terminar, escribiremos la recta normal a la isoterma en \( P \), que tiene la dirección del gradiente.
En la plancha del enunciado anterior, ¿dónde se halla la fuente de calor (es decir, el punto de temperatura máxima) y cuál es su temperatura?
empezaremos por observar que la temperatura \( T(x, y)=\frac{100}{x^2+y^2-2x-2y+6} \) es máxima cuando su denominador es mínimo, pues el numerador es constante y positivo. A continuación completaremos cuadrados en el denominador para hallar su valor mínimo y el punto donde se alcanza. Para terminar, calcularemos la temperatura en ese punto.
En la misma plancha de metal, ¿cuáles son los puntos del disco \( x^2+y^2\le 1 \) con temperatura máxima y mínima?
empezaremos por observar que el disco cerrado es compacto y \( T(x, y)=\frac{100}{x^2+y^2-2x-2y+6} \) es continua en él (el denominador nunca se anula), luego por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación buscaremos los candidatos: los puntos críticos interiores con \(\nabla T=(0, 0) \) y el estudio sobre la circunferencia frontera, que parametrizaremos. Para terminar, evaluaremos \( T \) en los candidatos y compararemos.
Una gota de agua se deposita en el punto \((0, 0) \) de la superficie de ecuación \( S(x, y)=e^x\cos y+e^y\cos x \) ¿En qué dirección correrá?
empezaremos por observar que la gota correrá en la dirección de máximo decrecimiento de la altura \( S \), que según el teorema de la dirección de máximo crecimiento es \(-\nabla S/\|\nabla S\| \), siempre que el gradiente no sea nulo. A continuación calcularemos el gradiente de \( S \) derivando respecto de cada variable con la regla del producto y lo evaluaremos en \((0, 0) \). Para terminar, normalizaremos el vector obtenido.
El nivel de radiaciones tóxicas existente en cierto territorio se cuantifica mediante la fórmula \( f(x, y)=3x^2-5y^2 \)
Si un individuo está situado en el punto de coordenadas \((-1, 1) \) del territorio, ¿en qué dirección se hace máximo el riesgo? ¿Hacia dónde ha de correr para disminuirlo al máximo?
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: si la función es diferenciable y el gradiente no es nulo, el riesgo aumenta más deprisa en la dirección \(\nabla f/\|\nabla f\| \) y disminuye más deprisa en la dirección opuesta. A continuación calcularemos el gradiente en \((-1, 1) \) y su norma. Para terminar, normalizaremos para obtener ambas direcciones.
Para la función \( f(x, y)=x^3-x+y^2-y+2xy \) calcula la dirección de máximo decrecimiento de \( f(x, y) \) en el punto \((1, -1) \) y el valor de la derivada direccional correspondiente.
empezaremos por recordar el teorema de la dirección de máximo crecimiento: si la función es diferenciable y el gradiente no es nulo, la dirección de máximo decrecimiento es \(-\nabla f/\|\nabla f\| \) y la derivada direccional en esa dirección vale \(-\|\nabla f\| \). A continuación calcularemos el gradiente en \((1, -1) \) y su norma. Para terminar, daremos la dirección normalizada y el valor de la derivada direccional.
Calcula el plano tangente a la gráfica de la función \( f(x, y)=2x^2-3y^2 \) en el punto \( P=(1, 2, -10) \)
empezaremos por comprobar que el punto pertenece a la gráfica, es decir, que \( f(1, 2)=-10 \). Como \( f \) es un polinomio, es diferenciable, y podremos aplicar la fórmula general del plano tangente \( z=f(a, b)+f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) \). A continuación calcularemos las derivadas parciales en el punto y las sustituiremos en la fórmula. Para terminar, simplificaremos la ecuación obtenida.
Calcula el plano tangente a la gráfica de la función \( f(x, y)=\dfrac{2x+y+1}{x+2y-1}\) en el punto \( P=(1, -1, -1) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) está en la gráfica y que el denominador no se anula en \((1, -1) \), lo que garantiza que \( f \) es diferenciable allí. Después aplicaremos la fórmula general \( z=f(a, b)+f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) \): calcularemos las derivadas parciales con la regla del cociente, las evaluaremos en el punto y las sustituiremos. Para terminar, simplificaremos la ecuación.
Calcula el plano tangente a la gráfica de la función \( f(x, y)=\operatorname{arctan}\left(\dfrac{x}{y}\right) \) en el punto \( P=\left(1, \sqrt{3}, \dfrac{\pi}{6}\right) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) está en la gráfica, es decir, que \( f(1, \sqrt{3})=\pi/6 \), y que \( f \) es diferenciable en \((1, \sqrt{3}) \). Después aplicaremos la fórmula general \( z=f(a, b)+f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) \): calcularemos las derivadas parciales con la regla de la cadena, las evaluaremos en el punto y las sustituiremos. Para terminar, escribiremos la ecuación del plano.
Calcula el plano tangente a la gráfica de la función \( f(x, y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\) en el punto \( P=(1, 0, 1) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) está en la gráfica y que \( f \) es diferenciable en \((1, 0) \). Después aplicaremos la fórmula general \( z=f(a, b)+f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) \): calcularemos las derivadas parciales con la regla de la cadena, las evaluaremos en el punto y las sustituiremos. Para terminar, simplificaremos la ecuación.
Da las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie \( x^2+y^2+z^2=3 \) en el punto \( P=(1, -1, 1) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) pertenece a la superficie y escribirla en la forma \( F(x, y, z)=0 \). Como \( F \) es de clase \( C^1 \), el vector \(\nabla F(P) \) es perpendicular a la superficie y nos dará tanto el plano tangente como la recta normal. A continuación calcularemos el gradiente en el punto y comprobaremos que no es nulo. Después escribiremos el plano con la fórmula general \( F_x(P)(x-a)+F_y(P)(y-b)+F_z(P)(z-c)=0 \) y la recta normal en paramétricas. Para terminar, simplificaremos ambas ecuaciones.
Da las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie \(\cos z=\operatorname{sen}(x+y) \) en el punto \( P=(\pi/2, \pi/2, \pi/2) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) pertenece a la superficie y escribirla en la forma \( F(x, y, z)=0 \). Como \( F \) es de clase \( C^1 \), el vector \(\nabla F(P) \) es perpendicular a la superficie. A continuación calcularemos el gradiente en el punto y comprobaremos que no es nulo. Después escribiremos el plano con la fórmula general y la recta normal en paramétricas. Para terminar, simplificaremos ambas ecuaciones.
Da las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie \( xyz=1 \) en el punto \( P=(1, 1, 1) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) pertenece a la superficie y escribirla en la forma \( F(x, y, z)=0 \). Como \( F \) es de clase \( C^1 \), el vector \(\nabla F(P) \) es perpendicular a la superficie. A continuación calcularemos el gradiente en el punto y comprobaremos que no es nulo. Después escribiremos el plano con la fórmula general y la recta normal en paramétricas. Para terminar, simplificaremos ambas ecuaciones.
Da las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie \(\ln\left(\dfrac{x}{y-z}\right)=0 \) en el punto \( P=(2, 5, 3) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) pertenece a la superficie y escribirla en la forma \( F(x, y, z)=0 \), simplificando el logaritmo. Como \( F \) es de clase \( C^1 \), el vector \(\nabla F(P) \) es perpendicular a la superficie. A continuación calcularemos el gradiente en el punto y comprobaremos que no es nulo. Después escribiremos el plano con la fórmula general y la recta normal en paramétricas. Para terminar, simplificaremos ambas ecuaciones.
Da las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie \( z=\cos x\cos y \) en el punto \( P=(0, \pi/2, 0) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) pertenece a la gráfica y recordar la fórmula general del plano tangente a una gráfica \( z=f(a, b)+f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) \), así como que el vector normal es \((f_x, f_y, -1) \). A continuación calcularemos las derivadas parciales en el punto. Después escribiremos el plano y la recta normal en paramétricas. Para terminar, simplificaremos ambas ecuaciones.
Da las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie \( z=\cos x\, \operatorname{sen}\, y \) en el punto \( P=(0, \pi/2, 1) \)
empezaremos por comprobar que \( P \) pertenece a la gráfica y recordar que el vector normal a una gráfica es \((f_x, f_y, -1) \). A continuación calcularemos las derivadas parciales en el punto. Después escribiremos el plano con la fórmula general y la recta normal en paramétricas. Para terminar, simplificaremos ambas ecuaciones.
Considera la función \( f(x, y)=x^3-x+y^2-y+2xy \)
Calcula la ecuación del plano tangente a la gráfica \( z=f(x, y) \) en el punto \((1, 1, 2) \)
empezaremos por comprobar que el punto pertenece a la gráfica, es decir, que \( f(1, 1)=2 \). Como \( f \) es un polinomio, es diferenciable, y aplicaremos la fórmula general \( z=f(a, b)+f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) \). A continuación calcularemos las derivadas parciales en el punto y las sustituiremos. Para terminar, simplificaremos la ecuación.
Escribe la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función \( g(x, y)=\dfrac{2x+y+1}{x+2y-1}\) en el punto \( P=(0, 1, g(0, 1)) \)
empezaremos por calcular \( g(0, 1) \) para concretar el punto y comprobar que el denominador no se anula, lo que garantiza que \( g \) es diferenciable allí. Después aplicaremos la fórmula general \( z=g(a, b)+g_x(a, b)(x-a)+g_y(a, b)(y-b) \): calcularemos las derivadas parciales con la regla del cociente, las evaluaremos en el punto y las sustituiremos. Para terminar, simplificaremos la ecuación.
Encuentra el plano tangente a la superficie \( x^2+2y^2+3z^2-6=0 \) en el punto \((1, 1, -1) \)
empezaremos por comprobar que el punto pertenece a la superficie y escribirla en la forma \( F(x, y, z)=0 \). Como \( F \) es de clase \( C^1 \), el vector \(\nabla F \) en el punto es perpendicular a la superficie. A continuación calcularemos el gradiente en el punto y comprobaremos que no es nulo. Después escribiremos el plano con la fórmula general \( F_x(x-a)+F_y(y-b)+F_z(z-c)=0 \). Para terminar, simplificaremos la ecuación.
Encuentra el plano tangente a la superficie \( x^2-2y^2-5z^2-6x+7y+10=0 \) en el punto \((-1, 3, -2) \)
empezaremos por comprobar que el punto pertenece a la superficie y escribirla en la forma \( F(x, y, z)=0 \). Como \( F \) es de clase \( C^1 \), el vector \(\nabla F \) en el punto es perpendicular a la superficie. A continuación calcularemos el gradiente en el punto y comprobaremos que no es nulo. Después escribiremos el plano con la fórmula general \( F_x(x-a)+F_y(y-b)+F_z(z-c)=0 \). Para terminar, simplificaremos la ecuación.
5.5 Regla de la cadena, matriz jacobiana y función implícita
244.
Calcula la matriz jacobiana, es decir, la matriz de las derivadas parciales, de la aplicación \( f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \), \((x, y)\mapsto(y, x) \)
empezaremos por identificar las componentes de la aplicación, \( f_1(x, y)=y \) y \( f_2(x, y)=x \). A continuación calcularemos las cuatro derivadas parciales, derivando cada componente respecto de cada variable y tratando la otra como constante. Para terminar, las colocaremos en la matriz jacobiana de \( 2\times 2 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de la componente \( f_i \)
Calcula la matriz jacobiana de la aplicación \( f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 \), \((x, y)\mapsto(xe^y+\cos y, x, x+e^y) \)
empezaremos por identificar las tres componentes \( f_1 \), \( f_2 \) y \( f_3 \). A continuación derivaremos cada componente respecto de \( x \) y respecto de \( y \), tratando la otra variable como constante. Para terminar, colocaremos las seis derivadas en la matriz jacobiana de \( 3\times 2 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de \( f_i \)
Calcula la matriz jacobiana de la aplicación \( f: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \), \((x, y, z)\mapsto(x^2+y+z, x-y+z^2, x^2+y^2+z^2) \)
empezaremos por identificar las tres componentes \( f_1 \), \( f_2 \) y \( f_3 \). A continuación derivaremos cada componente respecto de \( x \), \( y \) y \( z \), tratando las otras dos variables como constantes. Para terminar, colocaremos las nueve derivadas en la matriz jacobiana de \( 3\times 3 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de \( f_i \)
Calcula la matriz jacobiana de la aplicación \( f: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \), \((x, y, z)\mapsto(x^2-y^3+2z, x-2y+z^4) \)
empezaremos por identificar las dos componentes \( f_1 \) y \( f_2 \). A continuación derivaremos cada componente respecto de \( x \), \( y \) y \( z \), tratando las otras dos variables como constantes. Para terminar, colocaremos las seis derivadas en la matriz jacobiana de \( 2\times 3 \), cuya fila \( i \) es el gradiente traspuesto de \( f_i \)
Aplica la regla de la cadena para calcular \(\dfrac{\partial h}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial y}\), siendo \( h(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \) con \( f(u, v)=u^2+v^2 \), \( u(x, y)=xy \) \( v(x, y)=x+y \)
empezaremos por escribir la forma general de la regla de la cadena para dos variables intermedias: \(\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \) y la análoga para \( y \). A continuación calcularemos las seis derivadas parciales que intervienen. Para terminar, las combinaremos según la fórmula y expresaremos el resultado en función de \( x \) e \( y \)
Aplica la regla de la cadena para calcular \(\dfrac{\partial h}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial y}\), siendo \( h(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \) con \( f(u, v)=\dfrac{u^2+v^2}{u^2-v^2}\), \( u(x, y)=-x-y \) \( v(x, y)=xy \)
empezaremos por escribir la forma general de la regla de la cadena para dos variables intermedias. A continuación calcularemos las derivadas parciales de \( f \) con la regla del cociente y las de \( u \) y \( v \), que son inmediatas. Para terminar, combinaremos todas según la fórmula y simplificaremos.
Aplica la regla de la cadena para calcular \(\dfrac{\partial h}{\partial x}\) y \(\dfrac{\partial h}{\partial y}\), siendo \( h(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \) con \( f(u, v)=\sqrt{u^2+2uv}\), \( u(x, y)=\cos xy \) \( v(x, y)=\operatorname{sen}\, xy \)
empezaremos por escribir la forma general de la regla de la cadena para dos variables intermedias. A continuación calcularemos las derivadas parciales de \( f \) con la regla de la cadena para la raíz cuadrada y las de \( u \) y \( v \), que son inmediatas. Para terminar, combinaremos todas según la fórmula y simplificaremos.
Supón que la curva \( F(x, y)=0 \) define una función \( y(x) \) en un punto \((a, y(a)) \)
Calcula \( y''(a) \) cuando \( F(x, y)=x^2+xy-y^2-x \) en el punto \((1, 0) \)
empezaremos por comprobar que el punto \((1, 0) \) cumple la ecuación y que \( F_y(1, 0)\ne 0 \), que es la hipótesis del teorema de la función implícita. A continuación recordaremos la fórmula de derivación implícita \( y'=-\frac{F_x}{F_y} \), deducida derivando la identidad \( F(x, y(x))=0 \) con la regla de la cadena. Después calcularemos \( F_x \) y \( F_y \) en el punto. Para terminar, aplicaremos la fórmula.
En las mismas condiciones del enunciado anterior, calcula \( y''(a) \) cuando \( F(x, y)=x^2+y^2-1 \) en el punto \((3/5, -4/5) \)
empezaremos por comprobar que el punto \((3/5, -4/5) \) cumple la ecuación y que \( F_y\ne 0 \) en él, que es la hipótesis del teorema de la función implícita. A continuación recordaremos la fórmula de derivación implícita \( y'=-\frac{F_x}{F_y} \). Después calcularemos \( F_x \) y \( F_y \) en el punto. Para terminar, aplicaremos la fórmula.
Encuentra la recta tangente a la curva \( F(x, y)=x^2+xy-y^2-x-2=0 \) en el punto \((-1, 0) \)
empezaremos por comprobar que el punto \((-1, 0) \) pertenece a la curva y que \(\nabla F(-1, 0)\ne(0, 0) \), lo que garantiza que la curva es regular allí. A continuación recordaremos que el gradiente es perpendicular a la curva de nivel, luego la recta tangente es la que pasa por el punto con vector normal \(\nabla F(-1, 0) \), de ecuación \( F_x(x+1)+F_y\, y=0 \). Después calcularemos las derivadas parciales en el punto. Para terminar, escribiremos y simplificaremos la ecuación.
Encuentra la recta tangente a la curva \( F(x, y)=x^2+y^2-1=0 \) en el punto \((3/5, -4/5) \)
empezaremos por comprobar que el punto pertenece a la curva y que \(\nabla F\ne(0, 0) \) en él, lo que garantiza que la curva es regular. A continuación recordaremos que el gradiente es perpendicular a la curva de nivel, luego la recta tangente es la que pasa por el punto con vector normal \(\nabla F \). Después calcularemos las derivadas parciales en el punto. Para terminar, escribiremos y simplificaremos la ecuación.
Calcula \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\), \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\), \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\) y \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) para la función \( f(x, y)=\cos(xy^2) \)
empezaremos por calcular las derivadas parciales primeras \( f_x \) y \( f_y \), derivando respecto de cada variable y tratando la otra como constante, con la regla de la cadena para el coseno. A continuación derivaremos \( f_x \) respecto de \( x \) e \( y \) para obtener \( f_{xx} \) y \( f_{xy} \), y derivaremos \( f_y \) respecto de \( x \) e \( y \) para obtener \( f_{yx} \) y \( f_{yy} \). Para terminar, comprobaremos que las cruzadas coinciden, como exige el teorema de Schwarz al ser las derivadas continuas.
Calcula las mismas cuatro derivadas parciales segundas para la función \( f(x, y)=e^{x^2+y^2}\)
empezaremos por calcular \( f_x \) y \( f_y \) con la regla de la cadena. A continuación derivaremos cada una respecto de \( x \) e \( y \) para obtener las cuatro segundas, usando la regla del producto donde sea necesario. Para terminar, comprobaremos que las cruzadas coinciden según el teorema de Schwarz, pues las derivadas son continuas.
Calcula las mismas cuatro derivadas parciales segundas para la función \( f(x, y)=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\), con \((x, y)\neq(0, 0) \)
empezaremos por calcular \( f_x \) y \( f_y \) con la regla del cociente, válidas en el dominio \((x, y)\ne(0, 0) \). A continuación derivaremos cada una respecto de \( x \) e \( y \) para obtener las cuatro segundas, simplificando los numeradores. Para terminar, comprobaremos que las cruzadas coinciden según el teorema de Schwarz, pues las derivadas son continuas fuera del origen.
Encuentra todos los puntos críticos de \( f(x, y)=x^3-x+y^2-y+2xy \) especificando si son máximos, mínimos o puntos de silla.
empezaremos por calcular el gradiente y resolver el sistema \(\nabla f=(0, 0) \) para hallar los puntos críticos, pues todo extremo relativo con derivadas parciales existentes debe ser punto crítico. A continuación calcularemos las derivadas parciales segundas y formaremos el determinante del hessiano. Para terminar, aplicaremos el criterio del hessiano en cada punto crítico: si \( H>0 \) y \( f_{xx}>0 \) hay mínimo, si \( H>0 \) y \( f_{xx}<0 \) hay máximo, y si \( H<0 \) es punto de silla.
Da el dominio de definición y los extremos relativos de la función \( f(x, y)=xy+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
empezaremos por determinar el dominio natural, excluyendo los puntos donde se anulan los denominadores. A continuación calcularemos el gradiente en el interior del dominio y resolveremos \(\nabla f=(0, 0) \) para hallar los puntos críticos, pues todo extremo relativo debe ser punto crítico. Después formaremos el determinante de la matriz hessiana y aplicaremos su criterio de clasificación. Para terminar, daremos el valor de la función en los extremos hallados.
Considera la función \( f: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x, y)=-x^3-y^3+\dfrac{3}{2}x^2+3y^2 \)
Calcula sus puntos críticos en todo \(\mathbb{R}^2 \), especificando si son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de silla, así como el valor de la función en cada uno de ellos.
empezaremos por calcular el gradiente y resolver \(\nabla f=(0, 0) \), pues todo extremo relativo debe ser punto crítico. A continuación calcularemos las derivadas segundas y el determinante del hessiano en función de \((x, y) \). Después aplicaremos el criterio del hessiano en cada punto crítico y evaluaremos \( f \) en cada uno. Para terminar, resumiremos la clasificación con los valores.
Prueba que la función \( f(x, y)=ax^2+2bxy+y^2 \) tiene el origen como punto crítico y estúdialo según los valores de \( a \) y \( b \)
empezaremos por calcular el gradiente y comprobar que se anula en el origen para cualesquiera valores de \( a \) y \( b \). A continuación calcularemos las derivadas segundas y el determinante del hessiano, que dependerá de \( a \) y \( b \). Después aplicaremos el criterio del hessiano distinguiendo los casos \( a-b^2>0 \), \( a-b^2<0 \) y \( a-b^2=0 \); en este último el criterio no decide y estudiaremos el signo de \( f \) directamente. Para terminar, resumiremos la clasificación.
Determina los extremos relativos de la función \( f(x, y)=8x^3-24xy+y^3 \)
empezaremos por calcular el gradiente y resolver el sistema \(\nabla f=(0, 0) \) para hallar los puntos críticos. A continuación calcularemos las derivadas segundas y el determinante del hessiano. Para terminar, aplicaremos el criterio del hessiano en cada punto crítico y daremos el valor de la función en los extremos.
Determina los extremos relativos de la función \( f(x, y)=-x^2-2y^2+xy-x \)
empezaremos por calcular el gradiente y resolver el sistema \(\nabla f=(0, 0) \) para hallar los puntos críticos. A continuación calcularemos las derivadas segundas y el determinante del hessiano. Para terminar, aplicaremos el criterio del hessiano y daremos el valor de la función en el extremo.
Determina los extremos relativos de la función \( f(x, y)=\sqrt{-11/4+x+xy-y^3}\)
empezaremos por determinar el dominio natural, que exige que el radicando sea no negativo. A continuación observaremos que, como la raíz cuadrada es estrictamente creciente, los puntos críticos de \( f \) en el interior del dominio coinciden con los puntos críticos del radicando \( g(x, y)=-11/4+x+xy-y^3 \). Después resolveremos \(\nabla g=(0, 0) \) y comprobaremos si las soluciones pertenecen al dominio. Para terminar, concluiremos sobre la existencia de extremos relativos.
Determina los extremos relativos de la función \( f(x, y)=\operatorname{sen}\, x\cos y \)
empezaremos por calcular el gradiente y resolver el sistema \(\nabla f=(0, 0) \) para hallar los puntos críticos. A continuación calcularemos las derivadas segundas y el determinante del hessiano. Después aplicaremos el criterio del hessiano en cada familia de puntos críticos y evaluaremos \( f \) en los extremos. Para terminar, resumiremos la clasificación.
Halla los extremos relativos de la función \( g(x, y)=x^3+y^3-\dfrac{3}{2}x^2-3y^2 \)
empezaremos por calcular el gradiente y resolver el sistema \(\nabla g=(0, 0) \) para hallar los puntos críticos. A continuación calcularemos las derivadas segundas y el determinante del hessiano. Para terminar, aplicaremos el criterio del hessiano en cada punto crítico y daremos el valor de la función en los extremos.
Calcula los valores máximo y mínimo de la función \( f(x, y)=-x^3-y^3+\dfrac{3}{2}x^2+3y^2 \) sobre la circunferencia \( x^2+y^2=1 \)
empezaremos por observar que la circunferencia es un conjunto compacto y \( f \) es continua, luego por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación parametrizaremos la circunferencia con \( x=\cos t \), \( y=\operatorname{sen} t \) para reducir el problema a una función de una variable en el intervalo \([0, 2\pi] \). Después hallaremos los puntos críticos de esa función de una variable y evaluaremos \( f \) en los candidatos. Para terminar, compararemos los valores.
Considera el conjunto \( D=\{(x, y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1\}\)
Razona si \( f(x, y)=-x^3-y^3+\dfrac{3}{2}x^2+3y^2 \) admite máximo y/o mínimo absolutos en \( D \) y, en caso afirmativo, encuéntralos.
empezaremos por observar que \( D \) es el disco unidad cerrado, que es compacto por ser cerrado y acotado, y que \( f \) es continua; por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación buscaremos los candidatos: los puntos críticos interiores con \(\nabla f=(0, 0) \) y los candidatos sobre la frontera \( x^2+y^2=1 \), que estudiaremos parametrizando la circunferencia. Para terminar, evaluaremos \( f \) en todos los candidatos y compararemos los valores.
Encuentra el valor máximo de la función \( f(x, y)=xy(4-x-y) \) en el triángulo limitado por las rectas \( x=0 \), \( y=0 \) y \( x+y=3 \)
empezaremos por observar que el triángulo cerrado es compacto y \( f \) es continua, luego por el teorema de Weierstrass el máximo existe. A continuación buscaremos los candidatos: los puntos críticos interiores con \(\nabla f=(0, 0) \) y el estudio de \( f \) sobre cada uno de los tres lados de la frontera, que se reduce a problemas de una variable. Para terminar, evaluaremos \( f \) en todos los candidatos y nos quedaremos con el mayor valor.
Encuentra los extremos absolutos de la función \( f(x, y, z)=x+y+z \) restringida a la bola \(\{(x, y, z)\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}\)
empezaremos por observar que la bola cerrada es compacta y \( f \) es continua, luego por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación buscaremos los candidatos: en el interior, los puntos con \(\nabla f=\mathbf{0} \); sobre la frontera, la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \), que estudiaremos con los multiplicadores de Lagrange. Para terminar, evaluaremos \( f \) en los candidatos y compararemos.
Halla el máximo y el mínimo absolutos de la función \( f(x, y)=5x^2+5y^2-8xy \) en la región \( x^2+y^2-xy\le 1 \)
empezaremos por observar que la región es cerrada y acotada, luego compacta, y \( f \) es continua; por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación buscaremos los candidatos: los puntos críticos interiores con \(\nabla f=(0, 0) \) y los candidatos sobre la frontera \( x^2+y^2-xy=1 \), que estudiaremos con los multiplicadores de Lagrange. Para terminar, evaluaremos \( f \) en todos los candidatos y compararemos.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y)=x^2+y^2 \) restringida a la recta \( 3x+2y=6 \)
empezaremos por escribir la restricción en la forma \( g(x, y)=0 \) con \( g(x, y)=3x+2y-6 \) y plantear la función lagrangiana \( L(x, y, \lambda)=f+\lambda g \), pues el teorema de Lagrange afirma que en un extremo condicionado los gradientes de \( f \) y \( g \) son paralelos. A continuación resolveremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mostrando todos los pasos algebraicos. Después estudiaremos el comportamiento de \( f \) en el infinito sobre la recta, que no es compacta, para decidir si el candidato es máximo o mínimo. Para terminar, daremos los extremos absolutos.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y)=1-x^2-y^2 \) restringida a la recta \( x+y=1 \) con \( x\ge 0 \) e \( y\ge 0 \)
empezaremos por observar que el conjunto admisible es el segmento cerrado de extremos \((0, 1) \) y \((1, 0) \), que es compacto; como \( f \) es continua, por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación plantearemos la lagrangiana con \( g(x, y)=x+y-1 \) y resolveremos el sistema para hallar los candidatos interiores del segmento. Después evaluaremos \( f \) en el candidato y en los dos extremos del segmento. Para terminar, compararemos los valores.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y)=x^2y+12y^2+2xy \) restringida a la elipse \( x^2+2x+16y^2=9 \)
empezaremos por observar que la elipse es un conjunto compacto y \( f \) es continua, luego por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo condicionados. A continuación escribiremos la restricción como \( g(x, y)=x^2+2x+16y^2-9=0 \), comprobaremos que \(\nabla g\ne\mathbf{0} \) sobre la elipse y plantearemos el sistema de Lagrange. Después resolveremos el sistema mostrando todos los pasos algebraicos. Para terminar, evaluaremos \( f \) en los candidatos y compararemos.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y)=x-y \) restringida a la hipérbola \( x^2-y^2=2 \)
empezaremos por plantear el sistema de Lagrange con \( g(x, y)=x^2-y^2-2 \), comprobando antes que \(\nabla g\ne\mathbf{0} \) sobre la hipérbola. A continuación resolveremos el sistema mostrando todos los pasos. Después estudiaremos el comportamiento de \( f \) sobre la hipérbola, que no es compacta, para decidir si existen extremos absolutos. Para terminar, daremos la respuesta.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y, z)=3x^2+3y^2+z^2 \) restringida al plano \( x+y+z=1 \)
empezaremos por escribir la restricción como \( g(x, y, z)=x+y+z-1=0 \) y plantear el sistema de Lagrange, pues el teorema garantiza que en un extremo condicionado los gradientes son paralelos. A continuación resolveremos el sistema mostrando todos los pasos algebraicos. Después estudiaremos el comportamiento de \( f \) en el infinito sobre el plano, que no es compacto, para decidir si el candidato es máximo o mínimo. Para terminar, daremos los extremos absolutos.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y, z)=x+y+z \) restringida a la región \( x^2-2y^2=1 \), \( 2x+z=1 \)
empezaremos por observar que hay dos restricciones, luego usaremos dos multiplicadores de Lagrange con la lagrangiana \( L=f+\lambda g_1+\mu g_2 \). A continuación resolveremos el sistema de cinco ecuaciones mostrando todos los pasos algebraicos. Después estudiaremos el comportamiento de \( f \) sobre el conjunto admisible, que no es compacto, para decidir si los candidatos son extremos absolutos. Para terminar, daremos la respuesta.
Determina los extremos absolutos de la función \( f(x, y, z)=2x^2+3y^2+z^2 \) restringida a los planos \( x+y+z=1 \) y \( 2x-y+z=4 \)
empezaremos por observar que hay dos restricciones, luego usaremos dos multiplicadores de Lagrange con \( L=f+\lambda g_1+\mu g_2 \), donde \( g_1(x, y, z)=x+y+z-1 \) y \( g_2(x, y, z)=2x-y+z-4 \). A continuación resolveremos el sistema de cinco ecuaciones mostrando todos los pasos algebraicos. Después estudiaremos el comportamiento de \( f \) en el infinito sobre la recta intersección de los planos, que no es compacta, para decidir si el candidato es máximo o mínimo. Para terminar, daremos los extremos absolutos.
Entre todos los cilindros con un volumen dado, encuentra el que tiene la superficie mínima.
empezaremos por denotar con \( r>0 \) el radio de la base y con \( h>0 \) la altura, y escribir el volumen \( V=\pi r^2h \) (dato fijo) y el área de la superficie \( S=2\pi r^2+2\pi rh \) (las dos bases más el lateral). A continuación plantearemos el problema de minimizar \( S \) sujeta a \(\pi r^2h-V=0 \) con los multiplicadores de Lagrange. Después resolveremos el sistema mostrando todos los pasos. Para terminar, justificaremos que el candidato es efectivamente el mínimo y daremos las dimensiones.
Encuentra el paralelepípedo rectangular que tiene la diagonal fijada \( d \) y volumen máximo.
empezaremos por denotar con \( x>0 \), \( y>0 \), \( z>0 \) las aristas del paralelepípedo, de modo que el volumen es \( V=xyz \) y la diagonal cumple \( x^2+y^2+z^2=d^2 \). A continuación plantearemos el problema de maximizar \( V \) sujeta a esa restricción con los multiplicadores de Lagrange. Después resolveremos el sistema mostrando todos los pasos. Para terminar, justificaremos que el candidato es el máximo y daremos las dimensiones y el volumen.
Encuentra el paralelepípedo rectangular cuyo volumen es \( 500 \) y cuya área, sin contar la tapa superior, es mínima.
empezaremos por denotar con \( x>0 \) e \( y>0 \) los lados de la base y con \( z>0 \) la altura, de modo que el volumen es \( V=xyz=500 \) y el área sin la tapa superior es \( A=xy+2xz+2yz \) (la base más las cuatro caras laterales). A continuación plantearemos el problema de minimizar \( A \) sujeta a \( xyz-500=0 \) con los multiplicadores de Lagrange. Después resolveremos el sistema mostrando todos los pasos. Para terminar, justificaremos que el candidato es el mínimo y daremos las dimensiones.
Halla el volumen máximo de los paralelepípedos rectangulares con caras paralelas a los planos coordenados que pueden inscribirse en el elipsoide de ecuación \( 16x^2+4y^2+9z^2=144 \)
empezaremos por situar un vértice del paralelepípedo en el primer octante \((x, y, z) \) con \( x>0 \), \( y>0 \), \( z>0 \); por simetría, el volumen total es \( V=8xyz \) y el vértice cumple \( 16x^2+4y^2+9z^2=144 \). A continuación plantearemos la maximización de \( V \) sujeta a esa restricción con los multiplicadores de Lagrange. Después resolveremos el sistema mostrando todos los pasos. Para terminar, justificaremos que el candidato es el máximo y calcularemos el volumen.
Determina qué punto del plano \( 2x-y+2z=16 \) está más cerca del origen.
empezaremos por observar que minimizar la distancia al origen equivale a minimizar el cuadrado de la distancia, \( f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 \), sujeta a \( g(x, y, z)=2x-y+2z-16=0 \). A continuación plantearemos el sistema de Lagrange y lo resolveremos mostrando todos los pasos. Después justificaremos que el candidato es efectivamente el punto más cercano, pues \( f \) tiende a infinito en el infinito del plano. Para terminar, daremos el punto y su distancia al origen.
Determina qué punto de la superficie \( z^2-xy=1 \) está más cerca del origen.
empezaremos por observar que minimizar la distancia al origen equivale a minimizar el cuadrado de la distancia, \( f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 \), sujeta a \( g(x, y, z)=z^2-xy-1=0 \). A continuación plantearemos el sistema de Lagrange y lo resolveremos distinguiendo los casos que surgen, mostrando todos los pasos. Después compararemos los valores de \( f \) en los candidatos, justificando que el menor es el mínimo absoluto. Para terminar, daremos los puntos y su distancia al origen.
Usa el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos absolutos de la función \( g(x, y)=x^3+y^3-\dfrac{3}{2}x^2-3y^2 \) sobre la circunferencia \(\{x^2+y^2=5\}\)
empezaremos por observar que la circunferencia es compacta y \( g \) es continua, luego por el teorema de Weierstrass existen el máximo y el mínimo absolutos. A continuación escribiremos la restricción como \( h(x, y)=x^2+y^2-5=0 \), comprobaremos que \(\nabla h\ne\mathbf{0} \) sobre la circunferencia y plantearemos el sistema de Lagrange. Después resolveremos el sistema distinguiendo todos los casos y mostrando cada paso algebraico. Para terminar, evaluaremos \( g \) en los candidatos y compararemos.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega xy^2 \, dxdy \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 3\}\)
empezaremos por describir el recinto como rectángulo y plantear la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. A continuación calcularemos la integral interior respecto de la variable y tratando x como constante, mostrando su primitiva. Para terminar, integraremos el resultado respecto de x.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega (x^2+y^2) \, dxdy \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 1 \le y \le 2\}\)
empezaremos por describir el recinto como rectángulo y plantear la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. A continuación calcularemos la integral interior respecto de y tratando x como constante. Para terminar, integraremos el resultado respecto de x.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega e^x y^3 \, dxdy \) donde \(\Omega = \{-1 \le x \le 1, \, -1 \le y \le 1\}\)
empezaremos por observar que el recinto es un cuadrado y que el integrando factoriza como producto de una función de x por una de y, por lo que la integral doble es el producto de dos integrales simples. A continuación calcularemos cada una, mostrando sus primitivas. Para terminar, multiplicaremos los valores.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega \sqrt{xy} \, dxdy \) donde \(\Omega = \{y \le x \le y^2, \, 0 \le y \le 1\}\)
empezaremos por describir la región comprendida entre las curvas \( x = y^2 \) y \( x = y \) como recinto de tipo II y plantearemos la integral iterada según Fubini. Para terminar, integraremos primero en x tratando y como constante y después en y.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega x^3y^2 \, dxdy \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le x^2\}\)
empezaremos por describir el recinto como de tipo I, bajo la parábola y igual a x al cuadrado. A continuación plantearemos la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. Para terminar, integraremos primero en y tratando x como constante y después en x.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega (4-y^2) \, dxdy \) donde \(\Omega \) es la región acotada entre \( y^2 = 2x \) e \( y^2 = 8 - 2x \)
empezaremos por hallar los puntos de corte de las dos parábolas y describir la región como recinto de tipo II. A continuación plantearemos la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. Para terminar, integraremos primero en x tratando y como constante y después en y.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \iint_\Omega e^{-y^2/2} \, dxdy \) donde \(\Omega \) es el triángulo limitado por el eje de las \( y \) la recta \( 2y = x \) y la recta \( y = 1 \)
empezaremos por describir el triángulo como recinto de tipo II, ya que el integrando no depende de x. A continuación plantearemos la integral iterada correspondiente según el teorema de Fubini. Para terminar, integraremos primero en x, lo que deja una integral en y que se resuelve con un cambio de variable.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \iiint_\Omega xyz \, dxdydz \) donde \(\Omega = \{0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 3, \, 0 \le z \le 4\}\)
empezaremos por observar que el recinto es una caja y que el integrando es producto de una función de x por una de y por una de z, por lo que la integral triple factoriza en tres integrales simples. A continuación calcularemos cada una por separado, mostrando sus primitivas. Para terminar, multiplicaremos los tres valores.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \iiint_\Omega y^2 \ln x \, dxdydz \) donde \(\Omega = \{1 \le x \le 2, \, 0 \le y \le 3, \, -2 \le z \le -1\}\)
empezaremos por observar que el recinto es una caja y que el integrando es producto de una función de x por una de y por una constante en z, por lo que la integral triple factoriza en tres integrales simples. A continuación calcularemos cada una por separado, mostrando sus primitivas. Para terminar, multiplicaremos los tres valores.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \iiint_\Omega y^2 e^z \ln x \, dxdydz \) donde \(\Omega = \{1 \le x \le 4, \, 0 \le y \le 3, \, 1 \le z \le 2\}\)
empezaremos por observar que el recinto es una caja y que el integrando es producto de una función de x por una de y por una de z, por lo que la integral triple factoriza en tres integrales simples. A continuación calcularemos cada una por separado, mostrando sus primitivas. Para terminar, multiplicaremos los tres valores.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \iiint_\Omega y^2 \, dxdydz \) donde \(\Omega \) es el tetraedro en el primer octante limitado por los planos coordenados y el plano \( 2x + 3y + z = 6 \)
empezaremos por describir el tetraedro como recinto simple respecto del eje z, proyectando sobre el plano z igual a cero y hallando la tapa superior. A continuación plantearemos la integral triple iterada según Fubini. Para terminar, integraremos de dentro hacia fuera: primero en z, después en y y por último en x.
6.3 Cambio de variables: coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
297.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{\sqrt{1-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} \, dxdy \) usando si es necesario coordenadas polares.
empezaremos por describir la región de integración y comprobar que es la mitad derecha del disco unidad, por lo que conviene el cambio a coordenadas polares. A continuación escribiremos el cambio general, calcularemos su jacobiano mostrando el determinante y describiremos la región en polares. Para terminar, sustituiremos y calcularemos la integral iterada.
Calcula la integral doble \(\displaystyle \int_0^{2} \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} x \, dydx \) usando si es necesario coordenadas polares.
empezaremos por describir la región y comprobar que es la mitad superior del disco de centro (1, 0) y radio 1, lo que sugiere coordenadas polares centradas en el origen. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción polar de la región. Para terminar, sustituiremos e integraremos.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} z^3 \, dzdydx \) usando si es necesario coordenadas esféricas o cilíndricas.
empezaremos por describir el recinto y ver que su proyección es la mitad superior del disco unidad y que z va del cono z igual a raíz de x al cuadrado más y al cuadrado al plano z igual a uno, lo que pide coordenadas cilíndricas. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción del recinto en cilíndricas. Para terminar, sustituiremos e integraremos de dentro hacia fuera.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \int_0^{3} \int_0^{\sqrt{9-y^2}} \int_0^{\sqrt{9-x^2-y^2}} x \, dzdxdy \) usando si es necesario coordenadas esféricas o cilíndricas.
empezaremos por describir el recinto y reconocer que es la porción del primer octante de la bola de radio 3, lo que pide coordenadas esféricas. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción del recinto en esféricas. Para terminar, sustituiremos e integraremos, factorizando la integral triple en tres integrales simples.
Calcula la integral triple \(\displaystyle \int_0^{2} \int_0^{\sqrt{4-y^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2) \, dzdxdy \) usando si es necesario coordenadas esféricas o cilíndricas.
empezaremos por describir el recinto y ver que está entre el cono z igual a raíz de x al cuadrado más y al cuadrado y la esfera de radio 2, sobre el primer cuadrante del disco, lo que pide coordenadas esféricas. A continuación escribiremos el cambio general, su jacobiano y la descripción del recinto en esféricas. Para terminar, sustituiremos e integraremos, factorizando la integral triple en tres integrales simples.
6.4 Aplicaciones: áreas, volúmenes, masa y centro de masas
302.
Calcula el área de la región limitada por la parábola \( y^2 = x - 1 \) y la recta \( y = 2x - 8 \)
empezaremos por escribir la fórmula general del área como integral doble de la función uno y hallar los puntos de corte de las dos curvas. A continuación describiremos la región como recinto de tipo II, con x entre la parábola y la recta para cada y. Para terminar, plantearemos la integral iterada y la calcularemos.
Calcula el área de la región limitada por las curvas \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \) y \( x + y = 1 \)
empezaremos por escribir la fórmula general del área y despejar y en cada curva. A continuación hallaremos los puntos de corte y determinaremos cuál de las curvas queda por encima en el intervalo. Para terminar, plantearemos la integral del área entre las dos curvas y la calcularemos.
Calcula el volumen de la región limitada por los planos coordenados, el plano \( 2x + 3y - 12 = 0 \) y el cilindro \( 2z = y^2 \)
empezaremos por escribir la fórmula general del volumen y describir la región como recinto simple respecto del eje z. A continuación proyectaremos sobre el plano z igual a cero y determinaremos las tapas superior e inferior. Para terminar, plantearemos la integral y la calcularemos.
Calcula el volumen de la región limitada por las superficies \( 3z - x^2 - y^2 = 0 \), \( z = 0 \) y \( x^2 + y^2 - 6x = 0 \)
empezaremos por escribir la fórmula general del volumen e identificar las tapas superior e inferior y la proyección de la región sobre el plano z igual a cero. A continuación describiremos ese disco en coordenadas polares. Para terminar, plantearemos la integral doble en polares y la calcularemos.
En \(\mathbb{R}^3 \) denotamos por \( B \) la bola cerrada de centro \((0, 0, 0) \) y radio \( R > 0 \)
Formalmente, \( B = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 \le R^2\}\)
Encuentra la masa de \( B \) si la función densidad es \(\rho(x, y, z) = R - y \)
empezaremos por escribir la fórmula general de la masa de un sólido y listar los datos: la densidad y el recinto. A continuación separaremos la integral en dos sumandos usando la linealidad. Para terminar, calcularemos cada término: el primero con el volumen de la bola y el segundo con un argumento de simetría.
En las mismas condiciones del enunciado anterior, determina el centro de masas de \( B \) con la densidad \(\rho(x, y, z) = R - y \)
empezaremos por escribir las fórmulas generales del centro de masas de un sólido y listar los datos: la bola de radio R, la densidad y la masa calculada en el ejercicio anterior. A continuación usaremos la simetría del recinto y de la densidad para obtener dos coordenadas sin integrar. Para terminar, calcularemos la coordenada restante con la integral triple correspondiente en coordenadas esféricas.