Ejercicios · Bloque 8: Convergencia y teorema central del límite

Un concesionario de automóviles vende a particulares vehículos de la misma marca.
Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté en servicio dos años después es de \( 0, 8 \) determina la probabilidad de que, de 4000 vehículos vendidos, más de 3120 estén en servicio dentro de dos años.

La demanda diaria de un producto oscila entre 20 y 40 unidades, de forma uniforme en ese intervalo.
Determina la probabilidad de que, en un período de 182 días, el número total de unidades demandadas supere las 6370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada día respecto de la de los restantes.

En un proceso de fabricación, el número diario de unidades defectuosas producidas viene dado por una función de probabilidad de Poisson: \( P(X = k) = \frac{10^k e^{-10}}{k! }, \quad k = 0, 1, 2, \dots \)
Determina la probabilidad de que, en 150 días, el número total de unidades defectuosas producidas supere las 1480 unidades.

Se sabe que la probabilidad de nacimiento de un niño es aproximadamente igual a \( 0, 515 \)
¿Cuál es la probabilidad de que, entre 10000 recién nacidos, haya menos niños que niñas?

El volumen de ventas diario de una empresa, expresado en miles de pesetas, se distribuye uniformemente entre \( 96, 5 \) y \( 103, 5 \)
Determina la probabilidad de que, a lo largo de un período de 100 días, el volumen total de ventas supere la cifra de 10005 miles de pesetas.

El volumen de ventas diario de una empresa, expresado en miles de pesetas, se distribuye uniformemente entre \( 96, 5 \) y \( 103, 5 \)
Si el volumen total de ventas en un período de 100 días ha sido menor que 10040 miles de pesetas, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 10005 miles de pesetas?

Se lanza 400 veces una moneda.
Si sale cara en la tirada n-ésima definimos \( X_n = 1 \) y si sale cruz definimos \( X_n = 0 \)
Suponiendo que ambos sucesos tienen la misma probabilidad, calcula \( P\left(190 < \sum_{n=1}^{400} X_n < 210\right) \)

Se lanza 400 veces una moneda y se obtienen 215 caras.
Utiliza la muestra obtenida para construir un intervalo de confianza al 95 % para el valor \( p \) (probabilidad de obtener cara).

Dadas 100 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, según un modelo de Poisson de parámetro 2, calcula \( P(190 < Y < 210) \) sabiendo que \( Y = \sum_{n=1}^{100} X_n \)

Un economista desea estimar el consumo medio por persona en una gran ciudad y decide utilizar la media muestral para estimar \( \mu \)
Quiere asegurarse de que el error de la estimación sea menor que 10 euros, con probabilidad de 0, 95 al menos.
Aplica la desigualdad de Tchebychev para calcular el tamaño muestral necesario, conocida la desviación típica de 400 euros.
¿Cuál sería el tamaño muestral si aplicamos el teorema central del límite?

Para una ceremonia de graduación se estima que la probabilidad de que un graduado venga con sus padres es \( 1/3 \) que venga con uno solo es también \( 1/3 \) y que venga solo es \( 1/3 \)
Si el salón tiene 1000 asientos reservados para los padres, ¿cuántos estudiantes deben asistir a la ceremonia para que el salón no se quede pequeño con una probabilidad superior a 0, 99?

Para una ceremonia de graduación se estima que la probabilidad de que un graduado venga con sus padres es \( 1/3 \) que venga con uno solo es también \( 1/3 \) y que venga solo es \( 1/3 \)
Si el salón tiene 650 asientos reservados para los padres y asisten 600 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que el salón se quede pequeño?

Para una ceremonia de graduación se estima que la probabilidad de que un graduado venga con sus padres es \( 1/3 \) que venga con uno solo es también \( 1/3 \) y que venga solo es \( 1/3 \)
El colegio está planteándose construir un nuevo salón: ¿cuál debe ser su tamaño para que no se quede pequeño con probabilidad 0, 95 si cada año se gradúan 500 estudiantes?
¿Y si se gradúan 550?

Sabiendo que el número de averías que semanalmente sufre una máquina es una variable de Poisson de media 0, 5, ¿qué distribución exacta sigue el número anual (52 semanas) de averías?

El número de averías que semanalmente sufre una máquina es una variable de Poisson de media 0, 5.
¿Cuál es la probabilidad aproximada de que en un año (52 semanas) se produzcan más de 20 averías?

En caso de avería, el tiempo de reparación (en minutos) de una máquina es aleatorio y se distribuye según una normal \( N(60, 20^2) \)
Si en el último año se han producido 10 averías, ¿qué distribución sigue el tiempo medio de reparación?

En caso de avería, el tiempo de reparación (en minutos) de una máquina es aleatorio y se distribuye según una normal \( N(60, 20^2) \)
Si en el último año se han producido 10 averías, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de reparación sea inferior a 70 minutos?

En la empresa A, el volumen diario de ventas (medido en miles de euros) se distribuye según un modelo exponencial de parámetro
2.
Obtén la distribución exacta del volumen anual de ventas (365 días).
¿Puedes obtener una distribución de probabilidad aproximada?
Justifica tu respuesta.

En la empresa A, el volumen diario de ventas (medido en miles de euros) se distribuye según un modelo exponencial de parámetro 2.
¿Cuál es la probabilidad de que el volumen anual de ventas (365 días) supere los 270 mil euros?
(Utiliza la distribución aproximada.. )