Ejercicios · Bloque 4: Distribuciones bidimensionales

Sea \( (X, Y) \) un vector aleatorio bidimensional con la siguiente función de probabilidad conjunta: \( P(X = 0, Y = 0) = \frac{1}{18} \) \( P(X = 0, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 1, Y = 0) = \frac{4}{18} \) \( P(X = 1, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 2, Y = 0) = \frac{6}{18} \) y \( P(X = 2, Y = 1) = \frac{1}{18} \)
Halla las distribuciones marginales de \( X \) y de \( Y \)

Sea \( (X, Y) \) un vector aleatorio bidimensional con la siguiente función de probabilidad conjunta: \( P(X = 0, Y = 0) = \frac{1}{18} \) \( P(X = 0, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 1, Y = 0) = \frac{4}{18} \) \( P(X = 1, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 2, Y = 0) = \frac{6}{18} \) y \( P(X = 2, Y = 1) = \frac{1}{18} \)
Halla las distribuciones condicionadas de \( X \) dado \( Y \) y de \( Y \) dado \( X \)

Enunciado: Se ha preguntado a 40 personas por su sexo y por si son fumadoras, obteniendo los siguientes resultados: 8 hombres fumadores, 10 hombres no fumadores, 6 mujeres fumadoras y 16 mujeres no fumadoras.
Llamamos \( X \) al sexo (Hombre, Mujer) e \( Y \) a la condición de fumador (Sí, No).
Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias absolutas conjuntas \( n_{ij} \) y las distribuciones marginales.

Enunciado: Se ha clasificado a 60 alumnos según el turno al que asisten y según si han aprobado la asignatura, con los siguientes resultados: 22 alumnos de mañana aprobados, 12 alumnos de mañana suspensos, 18 alumnos de tarde aprobados y 8 alumnos de tarde suspensos.
Llamamos \( X \) al turno (Mañana, Tarde) e \( Y \) al resultado (Aprobado, Suspenso).
Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias absolutas conjuntas \( n_{ij} \) y las distribuciones marginales.

Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su estado civil \( X \) (Soltero, Casado) y su nivel de estudios \( Y \) (Básico, Medio, Superior), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas:

Enunciado: Se ha clasificado a 80 familias según el tipo de vivienda \( X \) (Piso, Casa) y el número de hijos \( Y \) (0, 1, 2 o más), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas:

Enunciado: Se ha clasificado a 50 trabajadores según el tipo de contrato \( X \) (Cuenta ajena, Cuenta propia) y según si están satisfechos con su trabajo \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se ha clasificado a 200 personas según su lugar de residencia \( X \) (Urbano, Rural) y el medio de transporte que utilizan \( Y \) (Coche, Bus, A pie), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su nivel de estudios \( X \) (Básico, Superior) y según si están empleadas \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se han agrupado 40 trabajadores según su edad \( X \) (en años) y su salario mensual \( Y \) (en miles de euros), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se han agrupado 50 estudiantes según sus horas semanales de estudio \( X \) y su nota final \( Y \) (sobre 10), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada con las variables \( X \) número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) nota obtenida en el problema, recogidas sobre cuarenta alumnos.
Las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)

Enunciado: Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada con las variables \( X \) antigüedad en años de la máquina utilizada, e \( Y \) gasto de mantenimiento en cientos de euros, registradas durante treinta y seis semanas.
Las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)

Enunciado: Se ha clasificado a 300 votantes según su zona de residencia \( X \) (Norte, Sur) y su voto \( Y \) (Partido A, Partido B), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su sexo \( X \) (Hombre, Mujer) y según si son fumadoras \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su sexo \( X \) (Hombre, Mujer) y según si practican deporte \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:

Sea \( (X, Y) \) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad conjunta \( f(x, y) = \frac{1}{9}e^{-(x+y)/3} \) para \( x > 0 \) e \( y > 0 \) (y cero en otro caso).
Calcula \( P(Y > 2) \)

En cierto diario gratuito figura la sorprendente noticia de que las familias dedican más del 60% de la renta familiar disponible al pago de su primera vivienda.
El mismo diario modeliza esta situación considerando la siguiente función de densidad conjunta: \( f(x, y) = ye^{-x} \) para \( 0 \le y \le x \) y \( x > 0 \) (y cero en otro caso), donde X es la renta familiar anual disponible (en \( 10^4 \) euros) e Y es el gasto familiar anual en adquisición de vivienda (en \( 10^4 \) euros).
Halla las funciones marginales de densidad de ambas variables, identifica los modelos y obtén la media en cada caso.

En cierto diario gratuito figura la sorprendente noticia de que las familias dedican más del 60% de la renta familiar disponible al pago de su primera vivienda.
El mismo diario modeliza esta situación considerando la siguiente función de densidad conjunta: \( f(x, y) = ye^{-x} \) para \( 0 \le y \le x \) y \( x > 0 \) (y cero en otro caso), donde X es la renta familiar anual disponible (en \( 10^4 \) euros) e Y es el gasto familiar anual en adquisición de vivienda (en \( 10^4 \) euros).
Para cada x obtén \( E[Y \mid X = x] \) y opina acerca de la veracidad de la noticia.

Enunciado: En un estudio realizado sobre cuarenta alumnos se registran dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la nota obtenida en el problema.
Los resultados se recogen en la siguiente tabla de doble entrada, donde las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)

Enunciado: Una empresa registra durante treinta y seis semanas dos variables: \( X \) la antigüedad en años de la máquina utilizada, e \( Y \) el gasto de mantenimiento en cientos de euros.
La tabla de doble entrada es la siguiente, donde las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)

Enunciado: En cinco sesiones de estudio se anotan dos variables: \( X \) el número de horas dedicadas, e \( Y \) el número de ejercicios resueltos correctamente.
Los pares observados son los siguientes:

Enunciado: En seis personas se anotan dos variables: \( X \) el número de tazas de café que toman al día, e \( Y \) el número de horas que duermen por la noche.
Los pares observados son los siguientes:

La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = k(x + y) \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga unos ingresos de \( 30.000 \) euros y unos gastos en alimentación de \( 12.000 \) euros?
¿Puede haber este tipo de familias dentro de la población?

La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = k(x + y) \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Calcula el valor de k.

Enunciado: Se registran, para seis atletas, dos variables: \( X \) el número de horas semanales de entrenamiento, e \( Y \) los puntos obtenidos en una prueba (sobre doce).
Los datos son los siguientes:

Enunciado: Se registran, para seis teléfonos móviles, dos variables: \( X \) la antigüedad del aparato en años, e \( Y \) el número de aplicaciones instaladas en decenas.
Los datos son los siguientes:

La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Obtén las funciones de densidad marginales.

La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Halla el valor esperado del gasto en alimentación para las familias cuyos ingresos anuales son de \( 30.000 \) euros.

Enunciado: Se registran, para cuatro estudiantes, dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la calificación obtenida en el examen.
Los datos son los siguientes:

Enunciado: Se registran, para cinco operarios, dos variables: \( X \) los años de experiencia, e \( Y \) el número de piezas producidas por hora.
Los datos son los siguientes:

Enunciado: Se registran, para cuatro opositores, dos variables: \( Y \) el número de horas semanales de práctica, y \( X \) la puntuación obtenida en un simulacro.
Los datos son los siguientes:

Enunciado:
Para cuatro estudiantes se registran dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la calificación obtenida en el examen.
Los datos son los siguientes:

Enunciado:
Para cinco operarios se registran dos variables: \( X \) los años de experiencia, e \( Y \) el número de piezas producidas por hora.
Los datos son los siguientes:

Una empresa de gestión de cobros está estudiando cuál es la relación existente entre la cantidad debida por sus clientes morosos, medida en millones de euros (variable X), y cuál es la cantidad definitivamente recuperada tras llegar a un acuerdo con el cliente (variable Y).
La función de densidad conjunta de ambas variables es \( f(x, y) = k \cdot x^3 \cdot y \) para \( 0 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le x \) (y cero en otro caso).
Calcula k y obtén la función de densidad de la cantidad debida y de la cantidad recuperada.
¿Son independientes ambas variables?

Una empresa de gestión de cobros está estudiando cuál es la relación existente entre la cantidad debida por sus clientes morosos, medida en millones de euros (variable X), y cuál es la cantidad definitivamente recuperada tras llegar a un acuerdo con el cliente (variable Y).
La función de densidad conjunta de ambas variables es \( f(x, y) = 12x^3y \) para \( 0 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le x \) (y cero en otro caso).
Un cliente moroso pasa a engrosar la lista del RAI (Registro de Actos Impagados) si deja sin pagar más del 20% de su deuda inicial.
Si un cliente moroso tenía una deuda inicial de \( 50.000 \) euros, ¿cuál es la probabilidad de que no sea incluido en el RAI?

Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, puede considerarse que es una variable aleatoria cuya función de densidad es \( f_X(x) = kx(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Obtén el valor de la constante k.

Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Inmediatamente antes de realizar el pedido, la empresa convierte a euros al tipo de cambio vigente en el mercado en ese instante.
El tipo de cambio del euro con respecto al dólar es una nueva variable aleatoria Y, independiente de la anterior, con función de densidad \( f_Y(y) = 2 \) para \( 0, 6 < y < 1, 1 \)
Obtén la función de densidad conjunta de las variables «valor del pedido» y «cotización del euro con respecto al dólar».
Obtén también la función de densidad \( f_{Y|X}(y|x) \)

Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Calcula el valor esperado y la varianza del valor del pedido.

Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Calcula la probabilidad de que el valor de un pedido esté comprendido entre tres mil y cinco mil dólares.

La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Calcula la probabilidad de que, en una familia elegida al azar, el gasto en alimentación sea mayor que la mitad de los ingresos.