Ejercicios · Bloque 2: Variables aleatorias

Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad \( P(X = -1) = \frac{1}{8} \) \( P(X = 0) = \frac{6}{8} \) y \( P(X = 1) = \frac{1}{8} \)
Comprueba que es efectivamente una función de probabilidad y calcula la función de distribución de X.

Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula el recorrido de los valores de Y.

Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula la función de probabilidad de Y y relaciona esta función con la función de probabilidad de X.

Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula la función de distribución de Y.

Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula \( P(3 < Y \le 5) \) y \( P(Y > 5) \)
¿Podrían calcularse estos valores utilizando únicamente la función de probabilidad de la variable aleatoria X?

Se lanza un dado no trucado tres veces, de manera independiente.
Representa gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de la variable aleatoria que expresa el número de veces que sale la cara con el número cinco.

Sea X una variable aleatoria con recorrido \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) que toma esos valores con probabilidades respectivas \( 0, 1 \) \( 0, 2 \) \( 0, 3 \) \( 0, 2 \) y \( 0, 2 \)
Obtén la función de probabilidad y la esperanza de la variable aleatoria \( Y = X^2 \)

La longitud, en centímetros, de las piezas producidas en una fábrica es una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = k(x - 1)(3 - x) \) para \( 1 \le x \le 3 \) y cero fuera de ese intervalo.
Sabiendo que una pieza solo se considera válida para su uso posterior si su longitud se encuentra entre \( 1, 2 \) y \( 2, 7 \) centímetros, calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea inútil.

Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = \frac{1}{2} \) para \( -1 < x < 1 \) y cero fuera de ese intervalo.
Calcula las funciones de densidad de \( Y = 3X - 2 \) y \( Z = X^3 \) y sus valores esperados.

Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = e^{-x} \cdot I_{(0, +\infty)}(x) \) es decir, \( f_X(x) = e^{-x} \) para \( x > 0 \) y cero en otro caso.
Calcula la función de densidad de la variable aleatoria \( Y = e^X \) así como su valor esperado.

Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = e^{-x} \) para \( x > 0 \) y cero en otro caso.
Halla la función de distribución y la función de densidad de la variable \( Y = X^2 \)

El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
¿Qué cuantía de beneficio proponer como objetivo para el próximo año de modo que la probabilidad de no ser alcanzado coincida con la probabilidad de superarlo?

El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
Se ha propuesto como objetivo para el próximo año la cuantía de dos millones de euros, que iguala la probabilidad de no ser alcanzado con la de superarlo.
Calcula la probabilidad de obtener exactamente dicha cuantía del beneficio.

El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
Calcula el beneficio esperado.

El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros, y sea dos millones de euros el objetivo propuesto, que iguala la probabilidad de no ser alcanzado con la de superarlo.
Si en un instante del ejercicio del próximo año se sabe que los beneficios han superado los 500.000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que al final del año no se alcance el objetivo propuesto?