Ejercicios · Todos los temas
230 ejercicios resueltos paso a paso.
0.1 Conceptos fundamentales
1.
Dadas las probabilidades de tres sucesos distintos en un mismo espacio muestral, identifica el espacio muestral, define con claridad los sucesos y utiliza las operaciones básicas de unión, intersección y complementario.
0.2 Unión e intersección de conjuntos
2.
En un club deportivo, el \( 55\% \) de los socios práctica natación, el \( 65\% \) práctica tenis, y el \( 10\% \) no práctica ni natación ni tenis. Si el club tiene 1200 socios, ¿cuántos practicarían ambos deportes?
0.3 Propiedades de la unión y la intersección
3.
En un club deportivo, el \( 55\% \) de los socios práctica natación, el \( 65\% \) práctica tenis, y el \( 10\% \) no práctica ni natación ni tenis. Tomando al azar una persona de este club que practique natación, calcula la probabilidad de que no juegue al tenis.
0.5 Diferencia de conjuntos
4.
Python y JavaScript se encuentran entre los lenguajes de programación más estudiados por los programadores, con un \( 20\% \) y un \( 18\% \) de desarrolladores que se especializan únicamente en cada uno de ellos. El resto de desarrolladores se especializan entre una decena de lenguajes (HTML-CSS, Java, C, ...). La probabilidad de que un desarrollador que se ha especializado en Python obtenga empleo es 0, 85, mientras que la de que lo obtenga uno que se ha especializado en JavaScript es 0,
9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,
1
5. Calcula la probabilidad de que un desarrollador esté empleado si no ha estudiado Python ni JavaScript.
9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,
1
5. Calcula la probabilidad de que un desarrollador esté empleado si no ha estudiado Python ni JavaScript.
0.6 Probabilidad de la diferencia de conjuntos
5.
Python y JavaScript se encuentran entre los lenguajes de programación más estudiados por los programadores, con un \( 20\% \) y un \( 18\% \) de desarrolladores que se especializan únicamente en cada uno de ellos. El resto de desarrolladores se especializan entre una decena de lenguajes (HTML-CSS, Java, C, ...). La probabilidad de que un desarrollador que se ha especializado en Python obtenga empleo es 0, 85, mientras que la de que lo obtenga uno que se ha especializado en JavaScript es 0,
9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,
1
5. Calcula la probabilidad de que un desarrollador que está desempleado se haya especializado en Python o JavaScript.
9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,
1
5. Calcula la probabilidad de que un desarrollador que está desempleado se haya especializado en Python o JavaScript.
0.7 Definición y axiomas de la probabilidad
6.
De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul?
0.8 Sucesos dependientes e independientes
7.
Dados dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que \( P(A)=\frac{4}{9} \) \( P(B)=\frac{1}{2} \) y \( P(A \cup B)=\frac{13}{18} \) Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.
0.9 Probabilidad de la intersección
8.
De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
0.10 Sucesos compatibles e incompatibles
9.
Considera una urna con bolas numeradas del uno al siete. Extraemos dos bolas sin reemplazo. Sea A el suceso «que la suma de los números de las dos bolas sea impar» y B el suceso «que ambas bolas sean pares». Determina:
a) La probabilidad de que A y B sean incompatibles.
b) La probabilidad del suceso A unión B.
c) La probabilidad del suceso A intersección B.
a) La probabilidad de que A y B sean incompatibles.
b) La probabilidad del suceso A unión B.
c) La probabilidad del suceso A intersección B.
0.11 Probabilidad de la unión
10.
En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV:
\( \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Coches} & \text{Motos} \\
\hline
\text{Aptos} & 116.383 & 160.667 \\
\hline
\text{No Aptos} & 2.679 & 3.447 \\
\hline
\end{array} \)
Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?
\( \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Coches} & \text{Motos} \\
\hline
\text{Aptos} & 116.383 & 160.667 \\
\hline
\text{No Aptos} & 2.679 & 3.447 \\
\hline
\end{array} \)
Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?
0.12 Probabilidad del complementario
11.
Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es \( \frac{1}{3} \) y la de que no ocurra ninguno de ellos es \( \frac{1}{6} \) Calcula \( P(A) \) y \( P(B) \)
0.13 Probabilidad condicionada
12.
En el enfermero de la doctora Martínez no se puede confiar, pues durante la ausencia del médico la probabilidad de que no le inyecte un suero a un enfermo es de 0,
6. Se sabe que si a un enfermo grave se le inyecta el suero tiene igual probabilidad de mejorar que de empeorar, pero si no se le inyecta entonces la probabilidad de que mejore es de 0,
2
5. A su regreso, la Dra. Martínez se encuentra con que un enfermo ha empeorado. Calcula la probabilidad de que el enfermero olvidara inyectar el suero a este paciente.
6. Se sabe que si a un enfermo grave se le inyecta el suero tiene igual probabilidad de mejorar que de empeorar, pero si no se le inyecta entonces la probabilidad de que mejore es de 0,
2
5. A su regreso, la Dra. Martínez se encuentra con que un enfermo ha empeorado. Calcula la probabilidad de que el enfermero olvidara inyectar el suero a este paciente.
13.
Se estima que solo un \( 20\% \) de los que compran acciones en bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el \( 80\% \) obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un \( 10\% \) obtiene beneficios. Calcula el porcentaje de los que obtienen beneficios comprando acciones en bolsa.
0.14 Teorema de la Probabilidad Total
14.
Se tienen dos urnas A y B con bolas de colores con la siguiente composición: la urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas; mientras que la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado con 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que ha indicado el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea verde?
15.
Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de \( \frac{1}{3} \) que la produzca el virus B es de \( \frac{2}{3} \) y que la produzca el virus C es de \( \frac{1}{7} \) Si elegimos al azar un tubo de ensayo e inoculamos el virus a un animal, calcula la probabilidad de que contraiga la enfermedad.
16.
Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades: La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,
9
5. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,
9
5. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,
0
5. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular la probabilidad de que el test dé positivo.
9
5. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,
9
5. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,
0
5. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular la probabilidad de que el test dé positivo.
17.
El \( 60\% \) de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el \( 25\% \) en Madrid y el resto en Lisboa. El \( 1\% \) de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del \( 0, 5\% \) y del \( 2\% \) respectivamente. Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
18.
Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay \( 2 \) monedas de oro y \( 3 \) monedas de plata. En la segunda hay \( 6 \) monedas de oro y \( 3 \) de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa. Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.
19.
Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de \( 29\% \), \( 51\% \) y \( 20\% \). Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes \( 18\% \), \( 31\% \) y \( 11\% \), respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?
0.15 Teorema de Bayes
20.
Se tienen dos urnas A y B con bolas de colores con la siguiente composición: la urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas; mientras que la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado con 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que ha indicado el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
21.
Se estima que solo un \( 20\% \) de los que compran acciones en bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el \( 80\% \) obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un \( 10\% \) obtiene beneficios. Eligiendo una persona al azar, calcula la probabilidad de que no tenga conocimientos bursátiles y que no tenga beneficios al invertir en bolsa.
22.
Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de \( \frac{1}{3} \) que la produzca el virus B es de \( \frac{2}{3} \) y que la produzca el virus C es de \( \frac{1}{7} \) Si se inocula el virus a un animal y contrae la enfermedad, calcula la probabilidad de que el virus que se ha inoculado sea del tipo C.
23.
Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades: La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,
9
5. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,
9
5. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,
0
5. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test ha dado positivo.
9
5. La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,
9
5. La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,
0
5. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test ha dado positivo.
24.
El \( 60\% \) de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el \( 25\% \) en Madrid y el resto en Lisboa. El \( 1\% \) de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del \( 0, 5\% \) y del \( 2\% \) respectivamente. Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?
25.
Se estudia una prueba diagnóstica para detectar una enfermedad en un grupo de 200000 personas a las que se ha sometido a dicha prueba y de los que el \( 0, 5\% \) están enfermos. Se ha observado que de los enfermos ha dado negativo a 50 personas y, de las sanas, le ha dado positivo a1990
0. Si se escoge al azar una de estas personas sometidas a la prueba diagnóstica, calcula la probabilidad de que la prueba dé resultado positivo. ¿Cuál sería la probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo?
0. Si se escoge al azar una de estas personas sometidas a la prueba diagnóstica, calcula la probabilidad de que la prueba dé resultado positivo. ¿Cuál sería la probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo?
26.
Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay \( 2 \) monedas de oro y \( 3 \) monedas de plata. En la segunda hay \( 6 \) monedas de oro y \( 3 \) de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa. Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.
27.
Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de \( 29\% \), \( 51\% \) y \( 20\% \). Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes \( 18\% \), \( 31\% \) y \( 11\% \), respectivamente. Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?
0.16 Combinatoria
28.
De una baraja española (40 cartas) Carlos y Paula extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas, Paula da dos cartas a Carlos y posteriormente una para ella. Calcula la probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
1.1 Concepto de variables aleatorias
29.
Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad \( P(X = -1) = \frac{1}{8} \) \( P(X = 0) = \frac{6}{8} \) y \( P(X = 1) = \frac{1}{8} \)
Comprueba que es efectivamente una función de probabilidad y calcula la función de distribución de X.
Comprueba que es efectivamente una función de probabilidad y calcula la función de distribución de X.
30.
Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula el recorrido de los valores de Y.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula el recorrido de los valores de Y.
1.2 Función de distribución
31.
Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula la función de probabilidad de Y y relaciona esta función con la función de probabilidad de X.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula la función de probabilidad de Y y relaciona esta función con la función de probabilidad de X.
32.
Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula la función de distribución de Y.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula la función de distribución de Y.
1.3 Variables aleatorias discretas
33.
Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula \( P(3 < Y \le 5) \) y \( P(Y > 5) \)
¿Podrían calcularse estos valores utilizando únicamente la función de probabilidad de la variable aleatoria X?
Sea X la variable aleatoria que mide la diferencia entre los puntos obtenidos en el primer dado y los obtenidos en el segundo dado en cada lanzamiento, e Y la variable aleatoria que mide esta diferencia en valor absoluto.
Calcula \( P(3 < Y \le 5) \) y \( P(Y > 5) \)
¿Podrían calcularse estos valores utilizando únicamente la función de probabilidad de la variable aleatoria X?
34.
Se lanza un dado no trucado tres veces, de manera independiente.
Representa gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de la variable aleatoria que expresa el número de veces que sale la cara con el número cinco.
Representa gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de la variable aleatoria que expresa el número de veces que sale la cara con el número cinco.
35.
Sea X una variable aleatoria con recorrido \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) que toma esos valores con probabilidades respectivas \( 0, 1 \) \( 0, 2 \) \( 0, 3 \) \( 0, 2 \) y \( 0, 2 \)
Obtén la función de probabilidad y la esperanza de la variable aleatoria \( Y = X^2 \)
Obtén la función de probabilidad y la esperanza de la variable aleatoria \( Y = X^2 \)
1.4 Variables aleatorias absolutamente continuas
36.
La longitud, en centímetros, de las piezas producidas en una fábrica es una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = k(x - 1)(3 - x) \) para \( 1 \le x \le 3 \) y cero fuera de ese intervalo.
Sabiendo que una pieza solo se considera válida para su uso posterior si su longitud se encuentra entre \( 1, 2 \) y \( 2, 7 \) centímetros, calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea inútil.
Sabiendo que una pieza solo se considera válida para su uso posterior si su longitud se encuentra entre \( 1, 2 \) y \( 2, 7 \) centímetros, calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea inútil.
37.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = \frac{1}{2} \) para \( -1 < x < 1 \) y cero fuera de ese intervalo.
Calcula las funciones de densidad de \( Y = 3X - 2 \) y \( Z = X^3 \) y sus valores esperados.
Calcula las funciones de densidad de \( Y = 3X - 2 \) y \( Z = X^3 \) y sus valores esperados.
38.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = e^{-x} \cdot I_{(0, +\infty)}(x) \) es decir, \( f_X(x) = e^{-x} \) para \( x > 0 \) y cero en otro caso.
Calcula la función de densidad de la variable aleatoria \( Y = e^X \) así como su valor esperado.
Calcula la función de densidad de la variable aleatoria \( Y = e^X \) así como su valor esperado.
39.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = e^{-x} \) para \( x > 0 \) y cero en otro caso.
Halla la función de distribución y la función de densidad de la variable \( Y = X^2 \)
Halla la función de distribución y la función de densidad de la variable \( Y = X^2 \)
1.5 Transformaciones de una variable aleatoria
40.
El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
¿Qué cuantía de beneficio proponer como objetivo para el próximo año de modo que la probabilidad de no ser alcanzado coincida con la probabilidad de superarlo?
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
¿Qué cuantía de beneficio proponer como objetivo para el próximo año de modo que la probabilidad de no ser alcanzado coincida con la probabilidad de superarlo?
41.
El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
Se ha propuesto como objetivo para el próximo año la cuantía de dos millones de euros, que iguala la probabilidad de no ser alcanzado con la de superarlo.
Calcula la probabilidad de obtener exactamente dicha cuantía del beneficio.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
Se ha propuesto como objetivo para el próximo año la cuantía de dos millones de euros, que iguala la probabilidad de no ser alcanzado con la de superarlo.
Calcula la probabilidad de obtener exactamente dicha cuantía del beneficio.
42.
El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
Calcula el beneficio esperado.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros.
Calcula el beneficio esperado.
1.6 Probabilidad y variables aleatorias
43.
El beneficio anual de una empresa de seguridad osciló en sus diez años de funcionamiento entre cero y cuatro millones de euros, siendo la probabilidad de que dicho beneficio fuese menor o igual a una determinada cantidad proporcional a esta cantidad.
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros, y sea dos millones de euros el objetivo propuesto, que iguala la probabilidad de no ser alcanzado con la de superarlo.
Si en un instante del ejercicio del próximo año se sabe que los beneficios han superado los 500.000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que al final del año no se alcance el objetivo propuesto?
Sea X la variable aleatoria que mide el beneficio anual en millones de euros, y sea dos millones de euros el objetivo propuesto, que iguala la probabilidad de no ser alcanzado con la de superarlo.
Si en un instante del ejercicio del próximo año se sabe que los beneficios han superado los 500.000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que al final del año no se alcance el objetivo propuesto?
2.1 Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta
44.
Para modelizar la distribución de la renta de los individuos de una población se utiliza una variable aleatoria X, con las siguientes hipótesis: no hay rentas inferiores a un determinado valor \( x_0 \) y el porcentaje de individuos con una renta mayor o igual que un cierto valor decrece potencialmente al crecer dicho valor.
Así, \( P(X \ge x) = Ax^{-\alpha} \) para \( x \ge x_0 \) y \( \alpha > 0 \)
Calcula el valor de la constante A en función de la renta mínima y de la constante alfa.
¿Cuál es la expresión de la función de distribución de la variable aleatoria X?
¿Y la función de densidad?
Calcula la renta esperada.
¿Existe siempre esta renta esperada?
Así, \( P(X \ge x) = Ax^{-\alpha} \) para \( x \ge x_0 \) y \( \alpha > 0 \)
Calcula el valor de la constante A en función de la renta mínima y de la constante alfa.
¿Cuál es la expresión de la función de distribución de la variable aleatoria X?
¿Y la función de densidad?
Calcula la renta esperada.
¿Existe siempre esta renta esperada?
2.2 Esperanza de una variable aleatoria continua
45.
El número de miles de artículos vendidos diariamente en un supermercado se considera una variable aleatoria X absolutamente continua con función de densidad \( f_X(x) = k(1 - x)^{a-1} \) para \( 0 < x < 1 \) y cero fuera de ese intervalo, donde a es una constante positiva.
Se sabe que el supermercado tiene una venta esperada de \( 500 \) artículos diarios.
Halla los valores de k y de a.
Se sabe que el supermercado tiene una venta esperada de \( 500 \) artículos diarios.
Halla los valores de k y de a.
46.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = kx^2 \cdot I_{[-1, 1]}(x) \) es decir, \( f_X(x) = kx^2 \) para \( -1 \le x \le 1 \) y cero fuera de ese intervalo.
Determina el valor de k y calcula la función de distribución.
Determina el valor de k y calcula la función de distribución.
2.3 Valor esperado de una transformación
47.
Se desea conocer el tiempo medio de vida de una máquina.
Para ello se define la variable aleatoria X que mide el tiempo de vida, en miles de horas, de la máquina.
Para modelizar su distribución de probabilidad se supone que la probabilidad de que el tiempo de vida exceda un determinado valor decrece exponencialmente de manera proporcional a dicho valor, siendo 0, 1 la constante de proporcionalidad, de manera que \( P(X > x) = e^{-0, 1x} \)
Calcula la función de distribución, la función de densidad, realiza sus representaciones gráficas aproximadas y calcula el tiempo esperado de vida.
Si suponemos ahora que el coste de mantenimiento de la máquina crece con su tiempo de vida de manera cuadrática, definiendo una variable aleatoria \( Y = X^2 \) calcula el coste esperado de mantenimiento.
Para ello se define la variable aleatoria X que mide el tiempo de vida, en miles de horas, de la máquina.
Para modelizar su distribución de probabilidad se supone que la probabilidad de que el tiempo de vida exceda un determinado valor decrece exponencialmente de manera proporcional a dicho valor, siendo 0, 1 la constante de proporcionalidad, de manera que \( P(X > x) = e^{-0, 1x} \)
Calcula la función de distribución, la función de densidad, realiza sus representaciones gráficas aproximadas y calcula el tiempo esperado de vida.
Si suponemos ahora que el coste de mantenimiento de la máquina crece con su tiempo de vida de manera cuadrática, definiendo una variable aleatoria \( Y = X^2 \) calcula el coste esperado de mantenimiento.
2.4 La varianza y la desviación típica
48.
Estudiada la distribución del peso, en kilogramos, de los paquetes que son recibidos en una agencia de mensajeros, se ha obtenido la siguiente función de distribución, donde X mide el peso en kilogramos:
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Si cada cliente paga una cuota, en euros, proporcional al peso del paquete en kilogramos, ¿cuál habrá de ser esta cuota para que haya un 20 por ciento de probabilidad de que el pago por un paquete sea inferior a \( 100 \) euros?
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Si cada cliente paga una cuota, en euros, proporcional al peso del paquete en kilogramos, ¿cuál habrá de ser esta cuota para que haya un 20 por ciento de probabilidad de que el pago por un paquete sea inferior a \( 100 \) euros?
49.
Estudiada la distribución del peso, en kilogramos, de los paquetes que son recibidos en una agencia de mensajeros, se ha obtenido la siguiente función de distribución, donde X mide el peso en kilogramos:
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Obtén el peso esperado de un paquete, y la probabilidad de que el peso de un paquete coincida con el peso esperado.
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Obtén el peso esperado de un paquete, y la probabilidad de que el peso de un paquete coincida con el peso esperado.
2.5 Cambios de origen y escala tipificación
50.
Sea X una variable aleatoria sobre un conjunto finito, con esperanza igual a \( 10 \) varianza igual a \( 4 \) primer cuartil igual a \( 3 \) tercer cuartil igual a \( 12 \) y mediana igual a \( 8 \)
Sea Z una variable aleatoria de la forma \( Z = 3X - 10 \)
Determina el valor esperado de la variable aleatoria Z, su varianza, su desviación típica, su mediana, su primer cuartil y su tercer cuartil.
Repite los cálculos en el caso en que \( Z = -3X + 10 \)
Sea Z una variable aleatoria de la forma \( Z = 3X - 10 \)
Determina el valor esperado de la variable aleatoria Z, su varianza, su desviación típica, su mediana, su primer cuartil y su tercer cuartil.
Repite los cálculos en el caso en que \( Z = -3X + 10 \)
2.6 Los percentiles
51.
Estudiada la distribución del peso, en kilogramos, de los paquetes que son recibidos en una agencia de mensajeros, se ha obtenido la siguiente función de distribución:
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Obtén la función de densidad de la distribución del peso de los paquetes en kilogramos, comprobando que efectivamente es función de densidad.
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Obtén la función de densidad de la distribución del peso de los paquetes en kilogramos, comprobando que efectivamente es función de densidad.
52.
Estudiada la distribución del peso, en kilogramos, de los paquetes que son recibidos en una agencia de mensajeros, se ha obtenido la siguiente función de distribución, donde X mide el peso en kilogramos:
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Sabiendo que un paquete pesa menos de \( 1, 3 \) kilogramos, ¿cuál es la probabilidad de que dicho paquete pese más de medio kilogramo?
\( F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x}{2} & 0 \le x < 1 \\ \frac{(x-1)^2 + 1}{2} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases} \) Sabiendo que un paquete pesa menos de \( 1, 3 \) kilogramos, ¿cuál es la probabilidad de que dicho paquete pese más de medio kilogramo?
2.7 La moda
53.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = \frac{3}{2}x^2 \) para \( -1 \le x \le 1 \) y cero fuera de ese intervalo.
Calcula el valor esperado, la mediana, la moda y la varianza.
Calcula el valor esperado, la mediana, la moda y la varianza.
2.8 Los momentos
54.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = k \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot I_{[1, 3]}(x) \) es decir, \( f_X(x) = \frac{k}{1 + x} \) para \( 1 \le x \le 3 \) y cero fuera de ese intervalo.
Determina su esperanza, su moda, su mediana, su varianza y su percentil 20.
Determina su esperanza, su moda, su mediana, su varianza y su percentil 20.
2.9 Desigualdad de Chebycheff
55.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = \frac{3}{2}x^2 \) para \( -1 \le x \le 1 \) y cero fuera de ese intervalo.
Calcula \( P(X = 0, 5) \) \( P(X \le 2) \) y \( P\left(X \le 1 \; \middle|\; X \ge \frac{1}{3}\right) \)
Calcula \( P(X = 0, 5) \) \( P(X \le 2) \) y \( P\left(X \le 1 \; \middle|\; X \ge \frac{1}{3}\right) \)
56.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f_X(x) = \frac{3}{2}x^2 \) para \( -1 \le x \le 1 \) y cero fuera de ese intervalo.
Calcula la probabilidad \( P(|X - \mu| < 4\sigma) \) donde \( \mu \) es la esperanza y \( \sigma \) la desviación típica de X.
Calcula una cota para esta expresión utilizando la desigualdad de Bienaymé-Tchebychev.
Calcula la probabilidad \( P(|X - \mu| < 4\sigma) \) donde \( \mu \) es la esperanza y \( \sigma \) la desviación típica de X.
Calcula una cota para esta expresión utilizando la desigualdad de Bienaymé-Tchebychev.
3.1 Distribución conjunta de dos variables estadísticas
57.
Sea \( (X, Y) \) un vector aleatorio bidimensional con la siguiente función de probabilidad conjunta: \( P(X = 0, Y = 0) = \frac{1}{18} \) \( P(X = 0, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 1, Y = 0) = \frac{4}{18} \) \( P(X = 1, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 2, Y = 0) = \frac{6}{18} \) y \( P(X = 2, Y = 1) = \frac{1}{18} \)
Halla las distribuciones marginales de \( X \) y de \( Y \)
Halla las distribuciones marginales de \( X \) y de \( Y \)
58.
Sea \( (X, Y) \) un vector aleatorio bidimensional con la siguiente función de probabilidad conjunta: \( P(X = 0, Y = 0) = \frac{1}{18} \) \( P(X = 0, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 1, Y = 0) = \frac{4}{18} \) \( P(X = 1, Y = 1) = \frac{3}{18} \) \( P(X = 2, Y = 0) = \frac{6}{18} \) y \( P(X = 2, Y = 1) = \frac{1}{18} \)
Halla las distribuciones condicionadas de \( X \) dado \( Y \) y de \( Y \) dado \( X \)
Halla las distribuciones condicionadas de \( X \) dado \( Y \) y de \( Y \) dado \( X \)
3.2 Tablas de contingencia o de doble entrada
59.
Enunciado: Se ha preguntado a 40 personas por su sexo y por si son fumadoras, obteniendo los siguientes resultados: 8 hombres fumadores, 10 hombres no fumadores, 6 mujeres fumadoras y 16 mujeres no fumadoras.
Llamamos \( X \) al sexo (Hombre, Mujer) e \( Y \) a la condición de fumador (Sí, No).
Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias absolutas conjuntas \( n_{ij} \) y las distribuciones marginales.
Llamamos \( X \) al sexo (Hombre, Mujer) e \( Y \) a la condición de fumador (Sí, No).
Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias absolutas conjuntas \( n_{ij} \) y las distribuciones marginales.
60.
Enunciado: Se ha clasificado a 60 alumnos según el turno al que asisten y según si han aprobado la asignatura, con los siguientes resultados: 22 alumnos de mañana aprobados, 12 alumnos de mañana suspensos, 18 alumnos de tarde aprobados y 8 alumnos de tarde suspensos.
Llamamos \( X \) al turno (Mañana, Tarde) e \( Y \) al resultado (Aprobado, Suspenso).
Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias absolutas conjuntas \( n_{ij} \) y las distribuciones marginales.
Llamamos \( X \) al turno (Mañana, Tarde) e \( Y \) al resultado (Aprobado, Suspenso).
Construye la tabla de doble entrada con las frecuencias absolutas conjuntas \( n_{ij} \) y las distribuciones marginales.
61.
Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su estado civil \( X \) (Soltero, Casado) y su nivel de estudios \( Y \) (Básico, Medio, Superior), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas:
62.
Enunciado: Se ha clasificado a 80 familias según el tipo de vivienda \( X \) (Piso, Casa) y el número de hijos \( Y \) (0, 1, 2 o más), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas:
3.3 Distribuciones marginales
63.
Enunciado: Se ha clasificado a 50 trabajadores según el tipo de contrato \( X \) (Cuenta ajena, Cuenta propia) y según si están satisfechos con su trabajo \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
64.
Enunciado: Se ha clasificado a 200 personas según su lugar de residencia \( X \) (Urbano, Rural) y el medio de transporte que utilizan \( Y \) (Coche, Bus, A pie), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
65.
Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su nivel de estudios \( X \) (Básico, Superior) y según si están empleadas \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
3.4 Tablas de doble entrada con datos agrupados en intervalos
66.
Enunciado: Se han agrupado 40 trabajadores según su edad \( X \) (en años) y su salario mensual \( Y \) (en miles de euros), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
67.
Enunciado: Se han agrupado 50 estudiantes según sus horas semanales de estudio \( X \) y su nota final \( Y \) (sobre 10), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
68.
Enunciado: Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada con las variables \( X \) número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) nota obtenida en el problema, recogidas sobre cuarenta alumnos.
Las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
Las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
69.
Enunciado: Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada con las variables \( X \) antigüedad en años de la máquina utilizada, e \( Y \) gasto de mantenimiento en cientos de euros, registradas durante treinta y seis semanas.
Las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
Las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
3.5 Distribuciones condicionadas
70.
Enunciado: Se ha clasificado a 300 votantes según su zona de residencia \( X \) (Norte, Sur) y su voto \( Y \) (Partido A, Partido B), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
71.
Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su sexo \( X \) (Hombre, Mujer) y según si son fumadoras \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
72.
Enunciado: Se ha clasificado a 100 personas según su sexo \( X \) (Hombre, Mujer) y según si practican deporte \( Y \) (Sí, No), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
3.6 Independencia estadística
73.
Sea \( (X, Y) \) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad conjunta \( f(x, y) = \frac{1}{9}e^{-(x+y)/3} \) para \( x > 0 \) e \( y > 0 \) (y cero en otro caso).
Calcula \( P(Y > 2) \)
Calcula \( P(Y > 2) \)
74.
En cierto diario gratuito figura la sorprendente noticia de que las familias dedican más del 60% de la renta familiar disponible al pago de su primera vivienda.
El mismo diario modeliza esta situación considerando la siguiente función de densidad conjunta: \( f(x, y) = ye^{-x} \) para \( 0 \le y \le x \) y \( x > 0 \) (y cero en otro caso), donde X es la renta familiar anual disponible (en \( 10^4 \) euros) e Y es el gasto familiar anual en adquisición de vivienda (en \( 10^4 \) euros).
Halla las funciones marginales de densidad de ambas variables, identifica los modelos y obtén la media en cada caso.
El mismo diario modeliza esta situación considerando la siguiente función de densidad conjunta: \( f(x, y) = ye^{-x} \) para \( 0 \le y \le x \) y \( x > 0 \) (y cero en otro caso), donde X es la renta familiar anual disponible (en \( 10^4 \) euros) e Y es el gasto familiar anual en adquisición de vivienda (en \( 10^4 \) euros).
Halla las funciones marginales de densidad de ambas variables, identifica los modelos y obtén la media en cada caso.
75.
En cierto diario gratuito figura la sorprendente noticia de que las familias dedican más del 60% de la renta familiar disponible al pago de su primera vivienda.
El mismo diario modeliza esta situación considerando la siguiente función de densidad conjunta: \( f(x, y) = ye^{-x} \) para \( 0 \le y \le x \) y \( x > 0 \) (y cero en otro caso), donde X es la renta familiar anual disponible (en \( 10^4 \) euros) e Y es el gasto familiar anual en adquisición de vivienda (en \( 10^4 \) euros).
Para cada x obtén \( E[Y \mid X = x] \) y opina acerca de la veracidad de la noticia.
El mismo diario modeliza esta situación considerando la siguiente función de densidad conjunta: \( f(x, y) = ye^{-x} \) para \( 0 \le y \le x \) y \( x > 0 \) (y cero en otro caso), donde X es la renta familiar anual disponible (en \( 10^4 \) euros) e Y es el gasto familiar anual en adquisición de vivienda (en \( 10^4 \) euros).
Para cada x obtén \( E[Y \mid X = x] \) y opina acerca de la veracidad de la noticia.
3.7 Medias y varianzas de las distribuciones marginales
76.
Enunciado: En un estudio realizado sobre cuarenta alumnos se registran dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la nota obtenida en el problema.
Los resultados se recogen en la siguiente tabla de doble entrada, donde las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
Los resultados se recogen en la siguiente tabla de doble entrada, donde las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
77.
Enunciado: Una empresa registra durante treinta y seis semanas dos variables: \( X \) la antigüedad en años de la máquina utilizada, e \( Y \) el gasto de mantenimiento en cientos de euros.
La tabla de doble entrada es la siguiente, donde las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
La tabla de doble entrada es la siguiente, donde las filas corresponden a los valores de \( X \) y las columnas a los valores de \( Y \)
3.8 La covarianza
78.
Enunciado: En cinco sesiones de estudio se anotan dos variables: \( X \) el número de horas dedicadas, e \( Y \) el número de ejercicios resueltos correctamente.
Los pares observados son los siguientes:
Los pares observados son los siguientes:
79.
Enunciado: En seis personas se anotan dos variables: \( X \) el número de tazas de café que toman al día, e \( Y \) el número de horas que duermen por la noche.
Los pares observados son los siguientes:
Los pares observados son los siguientes:
80.
La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = k(x + y) \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga unos ingresos de \( 30.000 \) euros y unos gastos en alimentación de \( 12.000 \) euros?
¿Puede haber este tipo de familias dentro de la población?
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = k(x + y) \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga unos ingresos de \( 30.000 \) euros y unos gastos en alimentación de \( 12.000 \) euros?
¿Puede haber este tipo de familias dentro de la población?
81.
La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = k(x + y) \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Calcula el valor de k.
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = k(x + y) \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Calcula el valor de k.
3.9 El coeficiente de correlación lineal
82.
Enunciado: Se registran, para seis atletas, dos variables: \( X \) el número de horas semanales de entrenamiento, e \( Y \) los puntos obtenidos en una prueba (sobre doce).
Los datos son los siguientes:
Los datos son los siguientes:
83.
Enunciado: Se registran, para seis teléfonos móviles, dos variables: \( X \) la antigüedad del aparato en años, e \( Y \) el número de aplicaciones instaladas en decenas.
Los datos son los siguientes:
Los datos son los siguientes:
84.
La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Obtén las funciones de densidad marginales.
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Obtén las funciones de densidad marginales.
85.
La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Halla el valor esperado del gasto en alimentación para las familias cuyos ingresos anuales son de \( 30.000 \) euros.
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Halla el valor esperado del gasto en alimentación para las familias cuyos ingresos anuales son de \( 30.000 \) euros.
3.10 Rectas de regresión mínimo-cuadráticas
86.
Enunciado: Se registran, para cuatro estudiantes, dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la calificación obtenida en el examen.
Los datos son los siguientes:
Los datos son los siguientes:
87.
Enunciado: Se registran, para cinco operarios, dos variables: \( X \) los años de experiencia, e \( Y \) el número de piezas producidas por hora.
Los datos son los siguientes:
Los datos son los siguientes:
88.
Enunciado: Se registran, para cuatro opositores, dos variables: \( Y \) el número de horas semanales de práctica, y \( X \) la puntuación obtenida en un simulacro.
Los datos son los siguientes:
Los datos son los siguientes:
89.
Enunciado:
Para cuatro estudiantes se registran dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la calificación obtenida en el examen.
Los datos son los siguientes:
Para cuatro estudiantes se registran dos variables: \( X \) el número de horas semanales dedicadas al estudio, e \( Y \) la calificación obtenida en el examen.
Los datos son los siguientes:
90.
Enunciado:
Para cinco operarios se registran dos variables: \( X \) los años de experiencia, e \( Y \) el número de piezas producidas por hora.
Los datos son los siguientes:
Para cinco operarios se registran dos variables: \( X \) los años de experiencia, e \( Y \) el número de piezas producidas por hora.
Los datos son los siguientes:
91.
Una empresa de gestión de cobros está estudiando cuál es la relación existente entre la cantidad debida por sus clientes morosos, medida en millones de euros (variable X), y cuál es la cantidad definitivamente recuperada tras llegar a un acuerdo con el cliente (variable Y).
La función de densidad conjunta de ambas variables es \( f(x, y) = k \cdot x^3 \cdot y \) para \( 0 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le x \) (y cero en otro caso).
Calcula k y obtén la función de densidad de la cantidad debida y de la cantidad recuperada.
¿Son independientes ambas variables?
La función de densidad conjunta de ambas variables es \( f(x, y) = k \cdot x^3 \cdot y \) para \( 0 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le x \) (y cero en otro caso).
Calcula k y obtén la función de densidad de la cantidad debida y de la cantidad recuperada.
¿Son independientes ambas variables?
92.
Una empresa de gestión de cobros está estudiando cuál es la relación existente entre la cantidad debida por sus clientes morosos, medida en millones de euros (variable X), y cuál es la cantidad definitivamente recuperada tras llegar a un acuerdo con el cliente (variable Y).
La función de densidad conjunta de ambas variables es \( f(x, y) = 12x^3y \) para \( 0 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le x \) (y cero en otro caso).
Un cliente moroso pasa a engrosar la lista del RAI (Registro de Actos Impagados) si deja sin pagar más del 20% de su deuda inicial.
Si un cliente moroso tenía una deuda inicial de \( 50.000 \) euros, ¿cuál es la probabilidad de que no sea incluido en el RAI?
La función de densidad conjunta de ambas variables es \( f(x, y) = 12x^3y \) para \( 0 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le x \) (y cero en otro caso).
Un cliente moroso pasa a engrosar la lista del RAI (Registro de Actos Impagados) si deja sin pagar más del 20% de su deuda inicial.
Si un cliente moroso tenía una deuda inicial de \( 50.000 \) euros, ¿cuál es la probabilidad de que no sea incluido en el RAI?
93.
Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, puede considerarse que es una variable aleatoria cuya función de densidad es \( f_X(x) = kx(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Obtén el valor de la constante k.
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, puede considerarse que es una variable aleatoria cuya función de densidad es \( f_X(x) = kx(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Obtén el valor de la constante k.
94.
Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Inmediatamente antes de realizar el pedido, la empresa convierte a euros al tipo de cambio vigente en el mercado en ese instante.
El tipo de cambio del euro con respecto al dólar es una nueva variable aleatoria Y, independiente de la anterior, con función de densidad \( f_Y(y) = 2 \) para \( 0, 6 < y < 1, 1 \)
Obtén la función de densidad conjunta de las variables «valor del pedido» y «cotización del euro con respecto al dólar».
Obtén también la función de densidad \( f_{Y|X}(y|x) \)
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Inmediatamente antes de realizar el pedido, la empresa convierte a euros al tipo de cambio vigente en el mercado en ese instante.
El tipo de cambio del euro con respecto al dólar es una nueva variable aleatoria Y, independiente de la anterior, con función de densidad \( f_Y(y) = 2 \) para \( 0, 6 < y < 1, 1 \)
Obtén la función de densidad conjunta de las variables «valor del pedido» y «cotización del euro con respecto al dólar».
Obtén también la función de densidad \( f_{Y|X}(y|x) \)
95.
Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Calcula el valor esperado y la varianza del valor del pedido.
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Calcula el valor esperado y la varianza del valor del pedido.
96.
Una empresa española se dedica a la importación de productos de China, para su posterior distribución en establecimientos de «TODO A UN EURO».
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Calcula la probabilidad de que el valor de un pedido esté comprendido entre tres mil y cinco mil dólares.
El valor de cada pedido que esta empresa importa, medido en \( 10^4 \) dólares, es una variable aleatoria X con función de densidad \( f_X(x) = 6x(1 - x) \) para \( 0 < x < 1 \)
Calcula la probabilidad de que el valor de un pedido esté comprendido entre tres mil y cinco mil dólares.
97.
La variable X mide los ingresos anuales, en decenas de miles de euros, de las familias de un determinado estrato de la población, y la variable Y los gastos anuales en alimentos de las mismas (en decenas de miles de euros).
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Calcula la probabilidad de que, en una familia elegida al azar, el gasto en alimentación sea mayor que la mitad de los ingresos.
Un estudio previo sugiere que la función de densidad del vector conjunto (X, Y) tiene la siguiente expresión: \( f(x, y) = \frac{x + y}{24} \) si \( 0 < x < 4 \) y \( 0 < y < 2 \) y 0 en otro caso.
Calcula la probabilidad de que, en una familia elegida al azar, el gasto en alimentación sea mayor que la mitad de los ingresos.
4.1 Variables de conteo
98.
Supón que vas a jugar un juego de dados cuyo resultado solo depende de la suma obtenida al lanzar dos dados.
Tu rival insiste en jugar con unos dados que tienen los puntos sobre las caras según se indica en la figura: el primer dado tiene las caras 1, 2, 2, 3, 3 y 4, y el segundo dado tiene las caras 1, 3, 4, 5, 6 y
8.
Su argumento es que la distribución de probabilidad de la suma con estos dados es la misma que si se usaran unos dados corrientes, y que con estos dados no se corre el riesgo de que alguien subrepticiamente los cambie por dados desbalanceados.
¿Tiene razón?
Verifica matemáticamente que la suma obtenida con estos dados tiene la misma distribución de probabilidad que la suma obtenida con dos dados corrientes.
Tu rival insiste en jugar con unos dados que tienen los puntos sobre las caras según se indica en la figura: el primer dado tiene las caras 1, 2, 2, 3, 3 y 4, y el segundo dado tiene las caras 1, 3, 4, 5, 6 y
8.
Su argumento es que la distribución de probabilidad de la suma con estos dados es la misma que si se usaran unos dados corrientes, y que con estos dados no se corre el riesgo de que alguien subrepticiamente los cambie por dados desbalanceados.
¿Tiene razón?
Verifica matemáticamente que la suma obtenida con estos dados tiene la misma distribución de probabilidad que la suma obtenida con dos dados corrientes.
99.
Supongamos que el número de individuos que llegan a la cola del cine, por unidad de tiempo, se distribuye según una distribución de Poisson de media \( 5, 2 \)
Calcula la probabilidad de que lleguen más de cinco individuos en una unidad de tiempo.
Calcula la probabilidad de que lleguen más de cinco individuos en una unidad de tiempo.
100.
Supongamos que el número de individuos que llegan a la cola del cine, por unidad de tiempo, se distribuye según una distribución de Poisson de media \( 5, 2 \)
Calcula la probabilidad de que el número de individuos que llegan a la cola del cine en una unidad de tiempo esté comprendido entre dos y ocho, ambos inclusive.
Calcula la probabilidad de que el número de individuos que llegan a la cola del cine en una unidad de tiempo esté comprendido entre dos y ocho, ambos inclusive.
101.
Una central telefónica recibe un promedio de 60 llamadas por hora.
Calcula la probabilidad de que, durante los 30 segundos que falta la telefonista, no haya llamadas telefónicas.
Calcula la probabilidad de que, durante los 30 segundos que falta la telefonista, no haya llamadas telefónicas.
102.
En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el \( 40\% \) de los habitantes de dicha zona.
Determina la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por tres o más de ellos.
Determina la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por tres o más de ellos.
103.
En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el \( 40\% \) de los habitantes de dicha zona.
Determina la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por cinco o más de ellos.
Determina la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por cinco o más de ellos.
104.
En una máquina calculadora electrónica se sabe que fallan de media dos transistores en una hora.
Los fallos de los transistores siguen una distribución de Poisson.
La máquina de calcular no funciona cuando se le estropean dos o más transistores.
¿Qué probabilidad tiene una operación de tres horas de ser llevada a cabo?
Los fallos de los transistores siguen una distribución de Poisson.
La máquina de calcular no funciona cuando se le estropean dos o más transistores.
¿Qué probabilidad tiene una operación de tres horas de ser llevada a cabo?
105.
Las erratas de impresión de una página de cierta edición siguen una distribución de Poisson, y hay dos erratas de media por página.
En una revista de 20 páginas, calcula la probabilidad de que en una o más páginas se encuentren más de 5 erratas.
En una revista de 20 páginas, calcula la probabilidad de que en una o más páginas se encuentren más de 5 erratas.
4.2 El modelo geométrico
106.
Supongamos que lanzamos al aire una moneda mal construida, de modo que la probabilidad de obtener cara es \( \frac{1}{3} \)
Calcula la probabilidad de obtener 5 cruces antes de la primera cara.
Calcula la probabilidad de obtener 5 cruces antes de la primera cara.
107.
Supongamos que lanzamos al aire una moneda mal construida, de modo que la probabilidad de obtener cara es \( \frac{1}{3} \)
Calcula la probabilidad de que el número de cruces antes de la primera cara sea menor que siete, sabiendo que dicho número es mayor que dos.
Calcula la probabilidad de que el número de cruces antes de la primera cara sea menor que siete, sabiendo que dicho número es mayor que dos.
108.
Calcula la probabilidad de que una mujer tenga cuatro hijos antes de tener una hija, suponiendo que los nacimientos no son múltiples, que hay independencia y que la probabilidad de que nazca niña es de \( 0, 51 \) en cada nacimiento.
109.
Se lanza al azar un dado no trucado tantas veces como sea necesario para obtener un
6.
Dado que no sale en la primera tirada, ¿cuál es la probabilidad de que sean necesarias más de 4 tiradas?
6.
Dado que no sale en la primera tirada, ¿cuál es la probabilidad de que sean necesarias más de 4 tiradas?
110.
Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Determina qué modelo probabilístico es el más adecuado para modelizar dicha variable aleatoria e identifica los parámetros del modelo si los hubiese.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Determina qué modelo probabilístico es el más adecuado para modelizar dicha variable aleatoria e identifica los parámetros del modelo si los hubiese.
111.
Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Se considera que un acreedor es de dudoso cobro si tras cinco llamadas ha sido imposible hablar con él.
Calcula la probabilidad de que un acreedor sea de dudoso cobro.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Se considera que un acreedor es de dudoso cobro si tras cinco llamadas ha sido imposible hablar con él.
Calcula la probabilidad de que un acreedor sea de dudoso cobro.
112.
Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Se considera que un acreedor es de dudoso cobro si tras cinco llamadas ha sido imposible hablar con él.
A un agente de la empresa se le ha proporcionado una cartera con 12 clientes que no guardan relación entre ellos.
Calcula la probabilidad de que 4 de ellos sean de dudoso cobro.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Se considera que un acreedor es de dudoso cobro si tras cinco llamadas ha sido imposible hablar con él.
A un agente de la empresa se le ha proporcionado una cartera con 12 clientes que no guardan relación entre ellos.
Calcula la probabilidad de que 4 de ellos sean de dudoso cobro.
113.
Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Si consideramos que el montante de la deuda es una variable normal de media 1500 euros, y sabemos que el 97, 5% de los acreedores no superan los 1700 euros, calcula la varianza de esa variable.
Si consideramos que el montante de la deuda es una variable normal de media 1500 euros, y sabemos que el 97, 5% de los acreedores no superan los 1700 euros, calcula la varianza de esa variable.
4.3 El modelo hipergeométrico
114.
Consideremos una urna con 8 bolas, de las cuales dos son blancas y el resto negras.
Extraemos al azar 5 bolas sin reemplazamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas negras sea menor o igual a 3?
Extraemos al azar 5 bolas sin reemplazamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas negras sea menor o igual a 3?
115.
Una caja de 20 bombillas es sometida a un control de calidad.
La caja entera es rechazada si hay al menos una bombilla defectuosa en un lote de cinco elegidas aleatoriamente.
¿Cuál es la probabilidad de que una caja sea rechazada, si contiene el \( 5\% \) de las bombillas defectuosas?
La caja entera es rechazada si hay al menos una bombilla defectuosa en un lote de cinco elegidas aleatoriamente.
¿Cuál es la probabilidad de que una caja sea rechazada, si contiene el \( 5\% \) de las bombillas defectuosas?
4.4 Distribuciones de probabilidad discretas
116.
Se arroja al azar una moneda no trucada al aire tantas veces como sea necesario para obtener 5 caras.
Calcula la probabilidad de que haya que lanzar la moneda 12 veces.
Calcula la probabilidad de que haya que lanzar la moneda 12 veces.
117.
Se arroja al azar una moneda no trucada al aire tantas veces como sea necesario para obtener 5 caras.
Calcula la probabilidad de lanzarla al menos 9 veces.
Calcula la probabilidad de lanzarla al menos 9 veces.
118.
Un mayorista vende sus productos a 10 almacenes diferentes.
Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad \( 0, 4 \) independientemente de las órdenes de los otros almacenistas.
Calcula el número medio de órdenes de pedido.
Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad \( 0, 4 \) independientemente de las órdenes de los otros almacenistas.
Calcula el número medio de órdenes de pedido.
119.
Un mayorista vende sus productos a 10 almacenes diferentes.
Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad \( 0, 4 \) independientemente de las órdenes de los otros almacenistas.
Calcula la probabilidad del número medio de órdenes.
Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad \( 0, 4 \) independientemente de las órdenes de los otros almacenistas.
Calcula la probabilidad del número medio de órdenes.
120.
El departamento de control de deudas de una empresa tiene estimado que, cuando le llega una deuda, la probabilidad de que su importe sea igual o superior a 150 euros es de 0, 23, la probabilidad de que su importe esté entre 50 y 150 euros es de 0, 59 y la probabilidad de que sea menor que 50 euros es de 0,
1
8.
Si se toma una muestra aleatoria de 20 deudores, calcula la probabilidad de observar 7 deudores con deuda mayor o igual que 150 euros, 8 deudores con deuda entre 50 y 150 euros y el resto con deudas inferiores a 50 euros.
1
8.
Si se toma una muestra aleatoria de 20 deudores, calcula la probabilidad de observar 7 deudores con deuda mayor o igual que 150 euros, 8 deudores con deuda entre 50 y 150 euros y el resto con deudas inferiores a 50 euros.
121.
El departamento de control de deudas de una empresa tiene estimado que, cuando le llega una deuda, la probabilidad de que su importe sea igual o superior a 150 euros es de 0, 23, la probabilidad de que su importe esté entre 50 y 150 euros es de 0, 59 y la probabilidad de que sea menor que 50 euros es de 0,
1
8.
Si se toma una muestra aleatoria de 20 deudores, calcula la probabilidad de que el número de deudores con deuda superior a 50 euros sea superior a 15.
1
8.
Si se toma una muestra aleatoria de 20 deudores, calcula la probabilidad de que el número de deudores con deuda superior a 50 euros sea superior a 15.
4.5 Distribuciones de probabilidad continuas
122.
El tiempo de funcionamiento (medido en horas y sus fracciones) sin fallo de un cierto aparato está distribuido según un modelo Exponencial de parámetro \( \lambda = 0, 01 \)
Halla la probabilidad de que el aparato funcione sin fallos más de 100 horas y el tiempo esperado de funcionamiento.
Halla la probabilidad de que el aparato funcione sin fallos más de 100 horas y el tiempo esperado de funcionamiento.
123.
La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos.
Determina la probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos.
124.
La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kilos.
Determina la probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kilos.
125.
La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la demanda media.
Determina la demanda media.
126.
La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la probabilidad de que la demanda coincida con la demanda media.
Determina la probabilidad de que la demanda coincida con la demanda media.
127.
Una variable aleatoria \( X \) tiene una distribución Uniforme en el intervalo \( (0, 1) \)
Determina un valor \( A \) tal que, tomando al azar 4 valores de \( X \) la probabilidad de que al menos uno de los 4 valores sea superior a \( A \) resulte ser de \( 0, 95 \)
Determina un valor \( A \) tal que, tomando al azar 4 valores de \( X \) la probabilidad de que al menos uno de los 4 valores sea superior a \( A \) resulte ser de \( 0, 95 \)
128.
El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Calcula la probabilidad de que la máquina funcione al menos 1000 horas.
Calcula la probabilidad de que la máquina funcione al menos 1000 horas.
129.
El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Calcula la probabilidad de que la máquina funcione entre 1500 y 3000 horas.
Calcula la probabilidad de que la máquina funcione entre 1500 y 3000 horas.
130.
El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Calcula el tiempo esperado de funcionamiento.
Calcula el tiempo esperado de funcionamiento.
131.
El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Si la máquina lleva funcionando 1500 horas, calcula la probabilidad de que funcione menos de 3000 horas.
Si la máquina lleva funcionando 1500 horas, calcula la probabilidad de que funcione menos de 3000 horas.
132.
Una empresa dedicada a la selección de personal convoca una plaza de director.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula cuántos individuos se espera que obtengan más de 9, 5 puntos.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula cuántos individuos se espera que obtengan más de 9, 5 puntos.
133.
En una fábrica de bebidas carbónicas, la embotelladora automática llena las botellas (en litros) según una distribución Normal \( (1, 05; 0, 025^2) \)
Las botellas se consideran aceptables si contienen al menos un litro.
Calcula la probabilidad de que una botella sea defectuosa, la probabilidad de que en una caja de doce unidades tomada al azar haya al menos una botella defectuosa, y la probabilidad de rechazar una caja en el control de calidad (se extrae una muestra de cuatro botellas y la caja se rechaza si se encuentra al menos una defectuosa) sabiendo que la caja contiene tres botellas defectuosas.
Las botellas se consideran aceptables si contienen al menos un litro.
Calcula la probabilidad de que una botella sea defectuosa, la probabilidad de que en una caja de doce unidades tomada al azar haya al menos una botella defectuosa, y la probabilidad de rechazar una caja en el control de calidad (se extrae una muestra de cuatro botellas y la caja se rechaza si se encuentra al menos una defectuosa) sabiendo que la caja contiene tres botellas defectuosas.
134.
Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
Calcula la probabilidad de que un pedido elegido al azar tarde más de 5 días y 8 horas.
1.
Calcula la probabilidad de que un pedido elegido al azar tarde más de 5 días y 8 horas.
135.
Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
Si tres días después de realizar un pedido, éste no ha sido recibido, halla la probabilidad de que el pedido tarde más de 8 días y 8 horas.
1.
Si tres días después de realizar un pedido, éste no ha sido recibido, halla la probabilidad de que el pedido tarde más de 8 días y 8 horas.
136.
Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
El gerente de la empresa decide que si entre los próximos 10 pedidos hay más de 8 que tardan más de 5 días y 8 horas, entonces considerará que la empresa distribuidora es informal.
Calcula la probabilidad de que la distribuidora sea informal.
1.
El gerente de la empresa decide que si entre los próximos 10 pedidos hay más de 8 que tardan más de 5 días y 8 horas, entonces considerará que la empresa distribuidora es informal.
Calcula la probabilidad de que la distribuidora sea informal.
137.
Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
El gerente de la empresa decide que si entre los próximos 10 pedidos hay más de 8 que tardan más de 5 días y 8 horas, entonces considerará que la empresa distribuidora es informal.
Sabiendo que ciertamente la empresa distribuidora es informal, calcula la probabilidad de que exactamente los 10 pedidos tarden más de 5 días y 8 horas.
1.
El gerente de la empresa decide que si entre los próximos 10 pedidos hay más de 8 que tardan más de 5 días y 8 horas, entonces considerará que la empresa distribuidora es informal.
Sabiendo que ciertamente la empresa distribuidora es informal, calcula la probabilidad de que exactamente los 10 pedidos tarden más de 5 días y 8 horas.
4.6 Desigualdad de Chebychev
138.
Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente cuatro artículos que ofrece a los precios \( p_1 \) \( p_2 \) \( p_3 \) y \( p_4 \) de forma que el 40% de las unidades vendidas lo son al precio \( p_1 \) el 30% lo son al precio \( p_2 \) el 10% lo son al precio \( p_3 \) y el resto al precio \( p_4 \)
Si un día determinado se venden 8 unidades, determina la probabilidad de que una unidad sea del artículo de precio \( p_1 \) dos del precio \( p_2 \) dos del precio \( p_3 \) y tres del precio \( p_4 \)
Si un día determinado se venden 8 unidades, determina la probabilidad de que una unidad sea del artículo de precio \( p_1 \) dos del precio \( p_2 \) dos del precio \( p_3 \) y tres del precio \( p_4 \)
139.
Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente cuatro artículos que ofrece a los precios \( p_1 \) \( p_2 \) \( p_3 \) y \( p_4 \) de forma que el 40% de las unidades vendidas lo son al precio \( p_1 \) el 30% lo son al precio \( p_2 \) el 10% lo son al precio \( p_3 \) y el resto al precio \( p_4 \)
Si un día determinado se venden 8 unidades, determina la probabilidad de que tres unidades sean del precio \( p_2 \)
Si un día determinado se venden 8 unidades, determina la probabilidad de que tres unidades sean del precio \( p_2 \)
4.7 Distribución binomial
140.
Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan los cinco individuos.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan los cinco individuos.
141.
Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan al menos tres individuos.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan al menos tres individuos.
142.
Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan sólo dos individuos.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan sólo dos individuos.
143.
Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, viva al menos un individuo.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, viva al menos un individuo.
144.
En un taller hay 10 máquinas iguales.
Se ha visto que una máquina tomada al azar está averiada un día de cada cinco.
Calcula la probabilidad de que en un día haya más de 4 máquinas averiadas.
Se ha visto que una máquina tomada al azar está averiada un día de cada cinco.
Calcula la probabilidad de que en un día haya más de 4 máquinas averiadas.
145.
Se sabe que la probabilidad de que un dardo impacte en una diana es 0,
4. Si se lanzan 9 dardos, determina qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de dardos que dan en la diana.
4. Si se lanzan 9 dardos, determina qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de dardos que dan en la diana.
146.
En un laboratorio de análisis clínicos, el 5% de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula la probabilidad de que de todas las muestras se puedan obtener resultados concluyentes.
147.
En un laboratorio de análisis clínicos, el 5% de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula la media y la desviación típica de la distribución.
148.
En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos. ¿De qué tipo de distribución se trata? Calcular su media y su desviación.
149.
En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos. ¿Qué probabilidad hay de que ninguna pareja conciba? ¿y de que alguna conciba?
150.
La variedad de naranjas Navel se suele dedicar a naranja de mesa por su tamaño y aspecto. Pero aquellas que no cumplen con los estándares de calidad exigidos, son utilizadas para hacer zumo. En una finca, una de cada tres naranjas de la variedad Navel recolectadas se destina a hacer zumo. Si se elige un cargamento de 90 naranjas de esa finca, calcula la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 que se destinen a hacer zumo.
151.
La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses es del 20 %. Si en un acuario tenemos 15 peces de esta especie nacidos este mes, halla la probabilidad de que al menos 2 de ellos sigan vivos dentro de 6 meses.
152.
La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses es del 20 %. Si en un tanque de una piscifactoría hay 300 peces de esta especie nacidos este mismo mes, halla la probabilidad de que al cabo de 6 meses hayan sobrevivido al menos 50 de ellos.
4.8 Distribución gaussiana o normal
153.
La longitud de una barra de vidrio producida en un proceso de fabricación automático puede suponerse una variable aleatoria con distribución Normal.
El comprador exige que la longitud de las barras esté comprendida entre 50 y 52 cm.
Se sabe que el 1, 5% de las barras tiene una longitud inferior a 50 cm y que el 2, 5% la tienen superior a 52 cm.
Calcula la media y la varianza de esta variable aleatoria.
El comprador exige que la longitud de las barras esté comprendida entre 50 y 52 cm.
Se sabe que el 1, 5% de las barras tiene una longitud inferior a 50 cm y que el 2, 5% la tienen superior a 52 cm.
Calcula la media y la varianza de esta variable aleatoria.
154.
Sea \( X \) una variable aleatoria con distribución Normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma \) tal que \( P(X \le 89) = 0, 9 \) y \( P(X \le 94) = 0, 95 \)
Halla los valores de la media y la desviación típica.
Halla los valores de la media y la desviación típica.
155.
Una empresa dedicada a la selección de personal convoca una plaza de director.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula la desviación típica.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula la desviación típica.
156.
Una empresa dedicada a la selección de personal convoca una plaza de director.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula cuántos individuos se espera que obtengan menos de seis puntos.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula cuántos individuos se espera que obtengan menos de seis puntos.
157.
Una máquina produce unas piezas cuya longitud en milímetros es una variable aleatoria que puede considerarse Normal \( (17; 2, 2^2) \)
Las piezas son consideradas defectuosas si su longitud es a lo sumo 14 mm.
Las piezas se almacenan en paquetes de 120 unidades.
Calcula la probabilidad de que un paquete contenga cuatro piezas defectuosas.
Las piezas son consideradas defectuosas si su longitud es a lo sumo 14 mm.
Las piezas se almacenan en paquetes de 120 unidades.
Calcula la probabilidad de que un paquete contenga cuatro piezas defectuosas.
158.
El ingreso bruto mensual (en cientos de euros) que una empresa abona a un trabajador en concepto de deshoras sigue una distribución normal de media 2 y desviación típica 0,
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos, calcula la probabilidad de que un trabajador elegido al azar tenga unos ingresos excesivos en deshoras.
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos, calcula la probabilidad de que un trabajador elegido al azar tenga unos ingresos excesivos en deshoras.
159.
El ingreso bruto mensual (en cientos de euros) que una empresa abona a un trabajador en concepto de deshoras sigue una distribución normal de media 2 y desviación típica 0,
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos y los trabajadores trabajan en grupos de 10 personas, suponiendo que los ingresos de los trabajadores son independientes entre sí, calcula la probabilidad de que en un grupo haya al menos una persona con unos ingresos excesivos.
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos y los trabajadores trabajan en grupos de 10 personas, suponiendo que los ingresos de los trabajadores son independientes entre sí, calcula la probabilidad de que en un grupo haya al menos una persona con unos ingresos excesivos.
160.
El ingreso bruto mensual (en cientos de euros) que una empresa abona a un trabajador en concepto de deshoras sigue una distribución normal de media 2 y desviación típica 0,
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos, y sabiendo que en un grupo concreto hay tres personas con ingresos por deshoras excesivos, calcula la probabilidad de que al extraer una muestra de cuatro personas se encuentre al menos una con ingresos excesivos por deshoras.
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos, y sabiendo que en un grupo concreto hay tres personas con ingresos por deshoras excesivos, calcula la probabilidad de que al extraer una muestra de cuatro personas se encuentre al menos una con ingresos excesivos por deshoras.
161.
La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media \( 175 \) cm y desviación típica \( 4 \) cm.
Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.
Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.
162.
La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de \( 40 \) años.
Se sabe además que el \( 2, 28\\% \) de los habitantes de esa ciudad tiene más de 60 años.
Si la edad de la población siguiera una distribución \( N(40, 10) \), calcula el porcentaje de habitantes con menos de 35 años.
Se sabe además que el \( 2, 28\\% \) de los habitantes de esa ciudad tiene más de 60 años.
Si la edad de la población siguiera una distribución \( N(40, 10) \), calcula el porcentaje de habitantes con menos de 35 años.
163.
Una variable aleatoria X sigue una distribución normal con media \( 20 \) Calcula la probabilidad de que X sea mayor que \( 21, 5 \)
164.
El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1500 kg. Calcule qué porcentaje de la población pesa entre 5 y 8 toneladas.
165.
El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1500 kg. Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar pese exactamente 6 toneladas.
4.9 Uso de la tabla de la normal estándar
166.
Estudios realizados en un cierto país demuestran que el consumo de gasolina en autos compactos está normalmente distribuido, con una media de 6 litros por cada 100 km y una desviación estándar de 1, 2 litros por cada 100 km. Calcula el porcentaje de autos compactos que gasta 7 o más litros cada 100 km.
167.
Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media \( 13 \) mm y desviación típica \( 0'1 \) mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre \( 12'9 \) mm y \( 13'15 \) mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El \( 15 \) de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media \( 12'9 \) mm y desviación típica \( 0'2 \) mm. ¿Cuál es la probabilidad de que el \( 15 \) de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?
168.
El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media \( 200 \) gramos y desviación típica desconocida. Si la desviación típica es de \( 50 \) gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre \( 160 \) y \( 220 \) gramos.
169.
La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de \( 70 \) km/h. En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media \( 64 \) km/h y desviación típica \( 4 \) km/h. Si el radar de control salta a partir de \( 72 \) km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?
4.10 Aproximación de la binomial por la normal
170.
Un modelo de avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea a la que pertenece ha decidido vender más billetes que asientos hay en el avión. La probabilidad de que un pasajero se presente en el aeropuerto el día del vuelo es del 95 %. Si ese día la compañía ha vendido 280 billetes, ¿cuál es la probabilidad de que ese día se presenten 270 pasajeros?
171.
Una fábrica de baterías para móviles ha detectado que una de sus máquinas produce un 10 % de baterías defectuosas. Si se han seleccionado al azar y de forma independiente 6 baterías, ¿qué es más probable que ninguna sea defectuosa o que lo sean las seis?
6.1 Muestra aleatoria simple
172.
La duración de una pieza de una cierta máquina es una variable aleatoria \( X \) con distribución Normal de media \( 10 \) horas y desviación típica \( 2 \) horas.
Un trabajo necesita que la máquina funcione durante \( 56 \) horas, y no se admite la compra de piezas una vez comenzado el trabajo.
Calcula cuántas piezas hay que comprar al iniciar el trabajo para tener al menos una probabilidad de \( 0, 95 \) de poder terminar dicho trabajo.
Un trabajo necesita que la máquina funcione durante \( 56 \) horas, y no se admite la compra de piezas una vez comenzado el trabajo.
Calcula cuántas piezas hay que comprar al iniciar el trabajo para tener al menos una probabilidad de \( 0, 95 \) de poder terminar dicho trabajo.
173.
El peso del producto empaquetado es una variable aleatoria \( X_1 \) con distribución Normal de media \( 25 \) gramos y varianza \( 0, 16 \) gramos cuadrados.
El peso del paquete vacío es una variable aleatoria \( X_2 \) con distribución Normal de media \( 5 \) gramos y varianza \( 0, 04 \) gramos cuadrados.
Se supone que \( X_1 \) y \( X_2 \) son independientes.
Determina la distribución del peso del paquete lleno.
El peso del paquete vacío es una variable aleatoria \( X_2 \) con distribución Normal de media \( 5 \) gramos y varianza \( 0, 04 \) gramos cuadrados.
Se supone que \( X_1 \) y \( X_2 \) son independientes.
Determina la distribución del peso del paquete lleno.
6.2 Distribución Chi-cuadrado
174.
El peso del producto empaquetado es una variable aleatoria \( X_1 \) con distribución Normal de media \( 25 \) gramos y varianza \( 0, 16 \) gramos cuadrados, y el peso del paquete vacío es una variable aleatoria \( X_2 \) con distribución Normal de media \( 5 \) gramos y varianza \( 0, 04 \) gramos cuadrados, siendo \( X_1 \) y \( X_2 \) independientes.
Se toma al azar una muestra de \( 100 \) paquetes.
Calcula la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre \( 29, 9 \) y \( 30, 1 \) gramos.
Se toma al azar una muestra de \( 100 \) paquetes.
Calcula la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre \( 29, 9 \) y \( 30, 1 \) gramos.
175.
La duración de cierto tipo de piezas viene dada por una variable aleatoria Normal de media \( 180 \) y varianza \( 25 \)
Se toma al azar una muestra aleatoria simple de \( 16 \) piezas.
Calcula la probabilidad de que la media muestral sea menor que \( 180 \)
Se toma al azar una muestra aleatoria simple de \( 16 \) piezas.
Calcula la probabilidad de que la media muestral sea menor que \( 180 \)
6.3 Distribución t de Student
176.
La duración de cierto tipo de piezas viene dada por una variable aleatoria Normal de media \( 180 \) y varianza \( 25 \)
Se toma al azar una muestra aleatoria simple de \( 16 \) piezas.
Calcula la probabilidad de que la varianza de la muestra sea menor que \( 25 \)
Se toma al azar una muestra aleatoria simple de \( 16 \) piezas.
Calcula la probabilidad de que la varianza de la muestra sea menor que \( 25 \)
6.4 Distribución F de Snedecor
177.
De una población \( N(\mu, \sigma^2) \) se extrae una muestra de tamaño \( 10 \)
Calcula \( \sigma^2 \) para que se verifique que \( P(S^2 < 6, 76) = 0, 95 \) siendo \( S^2 \) la cuasivarianza muestral.
Calcula \( \sigma^2 \) para que se verifique que \( P(S^2 < 6, 76) = 0, 95 \) siendo \( S^2 \) la cuasivarianza muestral.
6.5 Variables aleatorias en el muestreo
178.
La venta mensual de una cierta compañía viene dada por una variable aleatoria con distribución Normal de media desconocida y desviación típica \( \sigma_1 = 2 \)
La venta mensual de otra compañía viene dada por una variable aleatoria Normal, también de media desconocida, y desviación típica \( \sigma_2 = 1, 7 \)
Se supone que las medias de las dos compañías son iguales.
Se toma una muestra de tamaño \( 8 \) de las ventas de la primera compañía y una muestra de tamaño \( 10 \) de las ventas de la segunda.
Calcula la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales \( \bar{x}_1 - \bar{x}_2 \) esté comprendida entre \( -2 \) y \( 2 \)
La venta mensual de otra compañía viene dada por una variable aleatoria Normal, también de media desconocida, y desviación típica \( \sigma_2 = 1, 7 \)
Se supone que las medias de las dos compañías son iguales.
Se toma una muestra de tamaño \( 8 \) de las ventas de la primera compañía y una muestra de tamaño \( 10 \) de las ventas de la segunda.
Calcula la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales \( \bar{x}_1 - \bar{x}_2 \) esté comprendida entre \( -2 \) y \( 2 \)
6.6 Modelos de probabilidad para muestras
179.
La venta mensual de una cierta compañía viene dada por una variable aleatoria con distribución Normal de media desconocida y desviación típica \( \sigma_1 = 2 \)
La venta mensual de otra compañía viene dada por una variable aleatoria Normal, también de media desconocida, y desviación típica \( \sigma_2 = 1, 7 \)
Se supone que las medias de las dos compañías son iguales.
Se toma una muestra de tamaño \( 8 \) de las ventas de la primera compañía y una muestra de tamaño \( 10 \) de las ventas de la segunda.
Calcula la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales \( \bar{x}_1 - \bar{x}_2 \) sea mayor que \( 3 \)
La venta mensual de otra compañía viene dada por una variable aleatoria Normal, también de media desconocida, y desviación típica \( \sigma_2 = 1, 7 \)
Se supone que las medias de las dos compañías son iguales.
Se toma una muestra de tamaño \( 8 \) de las ventas de la primera compañía y una muestra de tamaño \( 10 \) de las ventas de la segunda.
Calcula la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales \( \bar{x}_1 - \bar{x}_2 \) sea mayor que \( 3 \)
7.1 Concepto de estimador
180.
La duración aleatoria de las unidades producidas de un artículo se distribuye según una ley Normal, con desviación típica igual a \( 6 \) minutos.
Se toma aleatoriamente una muestra de \( 100 \) unidades, obteniéndose una media de \( 14, 35 \) minutos.
Construye un intervalo del \( 99\% \) de confianza para la duración media de las unidades producidas.
Se toma aleatoriamente una muestra de \( 100 \) unidades, obteniéndose una media de \( 14, 35 \) minutos.
Construye un intervalo del \( 99\% \) de confianza para la duración media de las unidades producidas.
181.
Una empresa A produce un artículo cuya demanda posee una desviación típica igual a \( 200 \) en tanto que otra empresa B se dedica a la obtención de otro artículo cuya demanda posee una desviación típica igual a \( 100 \)
Se observan las demandas de ambos artículos en \( 125 \) establecimientos, resultando que la demanda media del artículo de la empresa A es de \( 300 \) y la demanda media del artículo de la empresa B es de \( 250 \)
Construye un intervalo del \( 95\% \) de confianza para la diferencia de las demandas medias, si se supone que el modelo de probabilidad que rige la demanda de ambos artículos es Normal.
Se observan las demandas de ambos artículos en \( 125 \) establecimientos, resultando que la demanda media del artículo de la empresa A es de \( 300 \) y la demanda media del artículo de la empresa B es de \( 250 \)
Construye un intervalo del \( 95\% \) de confianza para la diferencia de las demandas medias, si se supone que el modelo de probabilidad que rige la demanda de ambos artículos es Normal.
7.2 Propiedades de los estimadores
182.
De una muestra de \( 26 \) embotelladoras automáticas se encontró que la media de botellas rellenadas por minuto era \( 71, 2 \) y su varianza \( 13, 4 \)
Suponiendo que la población es Normal, calcula un intervalo del \( 95\% \) de confianza para el número medio de botellas a rellenar.
Suponiendo que la población es Normal, calcula un intervalo del \( 95\% \) de confianza para el número medio de botellas a rellenar.
183.
El tiempo de producción de un cierto artículo se sabe que sigue una distribución Normal.
Se extrae una muestra aleatoria de \( 6 \) artículos, obteniéndose una varianza de \( 40 \)
Calcula un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza de la población.
Se extrae una muestra aleatoria de \( 6 \) artículos, obteniéndose una varianza de \( 40 \)
Calcula un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza de la población.
7.3 Métodos de obtención de estimadores
184.
Una planta eléctrica produce dos tipos diferentes de fusibles eléctricos, cuya característica principal es el intervalo de tiempo que pueden aguantar antes de quemarse cuando se les somete a una carga determinada.
Se llevó a cabo un programa de pruebas y se obtuvieron los siguientes datos muestrales:
Fusible tipo 1: \( 42, \ 45, \ 60, \ 72, \ 90 \) Fusible tipo 2: \( 69, \ 109, \ 113, \ 118, \ 153 \) Suponiendo que las poblaciones son Normales, obtén un intervalo del \( 95\% \) de confianza para \( \sigma_1^2/\sigma_2^2 \)
Se llevó a cabo un programa de pruebas y se obtuvieron los siguientes datos muestrales:
Fusible tipo 1: \( 42, \ 45, \ 60, \ 72, \ 90 \) Fusible tipo 2: \( 69, \ 109, \ 113, \ 118, \ 153 \) Suponiendo que las poblaciones son Normales, obtén un intervalo del \( 95\% \) de confianza para \( \sigma_1^2/\sigma_2^2 \)
7.4 Distribución de la media y varianza muestrales
185.
Con el fin de comparar el contenido medio de alquitrán por cigarrillo de dos marcas de tabaco, se tomaron dos muestras de \( 7 \) y \( 8 \) cigarrillos cada una, respectivamente, y se midió su contenido en alquitrán que expresado en mg dio los siguientes valores:
Marca 1: \( 20, \ 24, \ 23, \ 22, \ 20, \ 23, \ 22 \) Marca 2: \( 19, \ 22, \ 20, \ 18, \ 20, \ 22, \ 20, \ 20 \) Suponiendo que el contenido de alquitrán de las dos marcas es una población Normal, y que las varianzas poblacionales son iguales y desconocidas, encuentra un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
Toma \( \alpha = 0, 05 \)
Marca 1: \( 20, \ 24, \ 23, \ 22, \ 20, \ 23, \ 22 \) Marca 2: \( 19, \ 22, \ 20, \ 18, \ 20, \ 22, \ 20, \ 20 \) Suponiendo que el contenido de alquitrán de las dos marcas es una población Normal, y que las varianzas poblacionales son iguales y desconocidas, encuentra un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
Toma \( \alpha = 0, 05 \)
186.
Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas, X e Y.
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para la desviación típica de la variable aleatoria X.
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para la desviación típica de la variable aleatoria X.
7.5 Intervalos de confianza: concepto
187.
Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas, X e Y.
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Y: \( 0, 28; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 32; \ 0, 33; \ 0, 31 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para el cociente de las varianzas de ambas variables aleatorias, \( \sigma_X^2/\sigma_Y^2 \)
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Y: \( 0, 28; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 32; \ 0, 33; \ 0, 31 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para el cociente de las varianzas de ambas variables aleatorias, \( \sigma_X^2/\sigma_Y^2 \)
188.
La vida media de un cierto tipo de lámparas se distribuye según una ley \( N(\mu_1, \sigma_1^2 = 20) \) y la de otro tipo según una \( N(\mu_2, \sigma_2^2 = 20) \)
Al tomar dos muestras de tamaño \( 20 \) y \( 15 \) se obtuvieron los valores \( \bar{x}_1 = 1500 \) y \( \bar{x}_2 = 1400 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para \( \mu_1 - \mu_2 \)
Al tomar dos muestras de tamaño \( 20 \) y \( 15 \) se obtuvieron los valores \( \bar{x}_1 = 1500 \) y \( \bar{x}_2 = 1400 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para \( \mu_1 - \mu_2 \)
7.6 Intervalos de confianza: casos prácticos
189.
De una población Normal de media y varianza desconocidas se ha extraído una muestra de tamaño \( 5 \) obteniéndose los siguientes valores: \( 660, \ 460, \ 540, \ 580, \ 550 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la media.
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la media.
190.
De una población Normal de media y varianza desconocidas se ha extraído una muestra de tamaño \( 5 \) obteniéndose los siguientes valores: \( 660, \ 460, \ 540, \ 580, \ 550 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza.
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza.
191.
De una población Normal de media y varianza desconocidas se ha extraído una muestra de tamaño \( 5 \) obteniéndose los siguientes valores: \( 660, \ 460, \ 540, \ 580, \ 550 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la desviación típica.
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la desviación típica.
192.
En un proceso en serie, una máquina embotelladora debe rellenar botellas de refresco con 2 litros de contenido en cada una.
Sin embargo, la máquina comete un error aleatorio que se puede suponer distribuido de forma normal.
Analizado el contenido de 16 botellas de refresco, se obtuvieron los siguientes datos sobre el error (en litros) cometido por la máquina: \( -0, 02; \ -0, 05; \ 0, 05; \ 0, 06; \ 0, 09; \ 0, 03; \ 0, 11; \ -0, 12; \ 0, 05; \ 0, 11; \ -0, 13; \ 0, 00; \ 0, 02; \ 0, 13; \ 0, 04; \ 0, 01 \)
Obtén un intervalo de confianza al 95% para la varianza de los errores.
Sin embargo, la máquina comete un error aleatorio que se puede suponer distribuido de forma normal.
Analizado el contenido de 16 botellas de refresco, se obtuvieron los siguientes datos sobre el error (en litros) cometido por la máquina: \( -0, 02; \ -0, 05; \ 0, 05; \ 0, 06; \ 0, 09; \ 0, 03; \ 0, 11; \ -0, 12; \ 0, 05; \ 0, 11; \ -0, 13; \ 0, 00; \ 0, 02; \ 0, 13; \ 0, 04; \ 0, 01 \)
Obtén un intervalo de confianza al 95% para la varianza de los errores.
7.7 Inferencia estadística
193.
La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa A sigue una distribución Normal, anunciando el fabricante en la publicidad que su vida media no es inferior a 800 horas.
Una organización de consumidores aplica un control de calidad a una muestra aleatoria de tamaño 10, obteniendo que la duración media de las bombillas de la muestra es de 781, 5 horas, con una cuasivarianza de 3069, 6 horas al cuadrado.
En una segunda parte del estudio se compararon las bombillas de la empresa A con las que fabrica una segunda empresa B, cuya vida también se supone Normal: una muestra de 8 bombillas de esta empresa B arrojó una duración media de 751, 5 horas con una varianza de 3500 horas al cuadrado.
Obtén un intervalo de confianza al 95% para el cociente entre las varianzas de la duración de las bombillas fabricadas por la primera y la segunda empresa.
Una organización de consumidores aplica un control de calidad a una muestra aleatoria de tamaño 10, obteniendo que la duración media de las bombillas de la muestra es de 781, 5 horas, con una cuasivarianza de 3069, 6 horas al cuadrado.
En una segunda parte del estudio se compararon las bombillas de la empresa A con las que fabrica una segunda empresa B, cuya vida también se supone Normal: una muestra de 8 bombillas de esta empresa B arrojó una duración media de 751, 5 horas con una varianza de 3500 horas al cuadrado.
Obtén un intervalo de confianza al 95% para el cociente entre las varianzas de la duración de las bombillas fabricadas por la primera y la segunda empresa.
8.1 Convergencia de sucesiones de variables aleatorias
194.
Un concesionario de automóviles vende a particulares vehículos de la misma marca.
Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté en servicio dos años después es de \( 0, 8 \) determina la probabilidad de que, de 4000 vehículos vendidos, más de 3120 estén en servicio dentro de dos años.
Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté en servicio dos años después es de \( 0, 8 \) determina la probabilidad de que, de 4000 vehículos vendidos, más de 3120 estén en servicio dentro de dos años.
195.
La demanda diaria de un producto oscila entre 20 y 40 unidades, de forma uniforme en ese intervalo.
Determina la probabilidad de que, en un período de 182 días, el número total de unidades demandadas supere las 6370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada día respecto de la de los restantes.
Determina la probabilidad de que, en un período de 182 días, el número total de unidades demandadas supere las 6370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada día respecto de la de los restantes.
196.
En un proceso de fabricación, el número diario de unidades defectuosas producidas viene dado por una función de probabilidad de Poisson: \( P(X = k) = \frac{10^k e^{-10}}{k! }, \quad k = 0, 1, 2, \dots \)
Determina la probabilidad de que, en 150 días, el número total de unidades defectuosas producidas supere las 1480 unidades.
Determina la probabilidad de que, en 150 días, el número total de unidades defectuosas producidas supere las 1480 unidades.
197.
Se sabe que la probabilidad de nacimiento de un niño es aproximadamente igual a \( 0, 515 \)
¿Cuál es la probabilidad de que, entre 10000 recién nacidos, haya menos niños que niñas?
¿Cuál es la probabilidad de que, entre 10000 recién nacidos, haya menos niños que niñas?
8.2 El teorema central del límite
198.
El volumen de ventas diario de una empresa, expresado en miles de pesetas, se distribuye uniformemente entre \( 96, 5 \) y \( 103, 5 \)
Determina la probabilidad de que, a lo largo de un período de 100 días, el volumen total de ventas supere la cifra de 10005 miles de pesetas.
Determina la probabilidad de que, a lo largo de un período de 100 días, el volumen total de ventas supere la cifra de 10005 miles de pesetas.
199.
El volumen de ventas diario de una empresa, expresado en miles de pesetas, se distribuye uniformemente entre \( 96, 5 \) y \( 103, 5 \)
Si el volumen total de ventas en un período de 100 días ha sido menor que 10040 miles de pesetas, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 10005 miles de pesetas?
Si el volumen total de ventas en un período de 100 días ha sido menor que 10040 miles de pesetas, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 10005 miles de pesetas?
200.
Se lanza 400 veces una moneda.
Si sale cara en la tirada n-ésima definimos \( X_n = 1 \) y si sale cruz definimos \( X_n = 0 \)
Suponiendo que ambos sucesos tienen la misma probabilidad, calcula \( P\left(190 < \sum_{n=1}^{400} X_n < 210\right) \)
Si sale cara en la tirada n-ésima definimos \( X_n = 1 \) y si sale cruz definimos \( X_n = 0 \)
Suponiendo que ambos sucesos tienen la misma probabilidad, calcula \( P\left(190 < \sum_{n=1}^{400} X_n < 210\right) \)
201.
Se lanza 400 veces una moneda y se obtienen 215 caras.
Utiliza la muestra obtenida para construir un intervalo de confianza al 95 % para el valor \( p \) (probabilidad de obtener cara).
Utiliza la muestra obtenida para construir un intervalo de confianza al 95 % para el valor \( p \) (probabilidad de obtener cara).
8.3 Distribuciones binomial y Poisson aproximadas por la normal
202.
Dadas 100 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, según un modelo de Poisson de parámetro 2, calcula \( P(190 < Y < 210) \) sabiendo que \( Y = \sum_{n=1}^{100} X_n \)
203.
Un economista desea estimar el consumo medio por persona en una gran ciudad y decide utilizar la media muestral para estimar \( \mu \)
Quiere asegurarse de que el error de la estimación sea menor que 10 euros, con probabilidad de 0, 95 al menos.
Aplica la desigualdad de Tchebychev para calcular el tamaño muestral necesario, conocida la desviación típica de 400 euros.
¿Cuál sería el tamaño muestral si aplicamos el teorema central del límite?
Quiere asegurarse de que el error de la estimación sea menor que 10 euros, con probabilidad de 0, 95 al menos.
Aplica la desigualdad de Tchebychev para calcular el tamaño muestral necesario, conocida la desviación típica de 400 euros.
¿Cuál sería el tamaño muestral si aplicamos el teorema central del límite?
204.
Para una ceremonia de graduación se estima que la probabilidad de que un graduado venga con sus padres es \( 1/3 \) que venga con uno solo es también \( 1/3 \) y que venga solo es \( 1/3 \)
Si el salón tiene 1000 asientos reservados para los padres, ¿cuántos estudiantes deben asistir a la ceremonia para que el salón no se quede pequeño con una probabilidad superior a 0, 99?
Si el salón tiene 1000 asientos reservados para los padres, ¿cuántos estudiantes deben asistir a la ceremonia para que el salón no se quede pequeño con una probabilidad superior a 0, 99?
205.
Para una ceremonia de graduación se estima que la probabilidad de que un graduado venga con sus padres es \( 1/3 \) que venga con uno solo es también \( 1/3 \) y que venga solo es \( 1/3 \)
Si el salón tiene 650 asientos reservados para los padres y asisten 600 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que el salón se quede pequeño?
Si el salón tiene 650 asientos reservados para los padres y asisten 600 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que el salón se quede pequeño?
8.4 Distribución asintótica de la media muestral
206.
Para una ceremonia de graduación se estima que la probabilidad de que un graduado venga con sus padres es \( 1/3 \) que venga con uno solo es también \( 1/3 \) y que venga solo es \( 1/3 \)
El colegio está planteándose construir un nuevo salón: ¿cuál debe ser su tamaño para que no se quede pequeño con probabilidad 0, 95 si cada año se gradúan 500 estudiantes?
¿Y si se gradúan 550?
El colegio está planteándose construir un nuevo salón: ¿cuál debe ser su tamaño para que no se quede pequeño con probabilidad 0, 95 si cada año se gradúan 500 estudiantes?
¿Y si se gradúan 550?
207.
Sabiendo que el número de averías que semanalmente sufre una máquina es una variable de Poisson de media 0, 5, ¿qué distribución exacta sigue el número anual (52 semanas) de averías?
208.
El número de averías que semanalmente sufre una máquina es una variable de Poisson de media 0, 5.
¿Cuál es la probabilidad aproximada de que en un año (52 semanas) se produzcan más de 20 averías?
¿Cuál es la probabilidad aproximada de que en un año (52 semanas) se produzcan más de 20 averías?
209.
En caso de avería, el tiempo de reparación (en minutos) de una máquina es aleatorio y se distribuye según una normal \( N(60, 20^2) \)
Si en el último año se han producido 10 averías, ¿qué distribución sigue el tiempo medio de reparación?
Si en el último año se han producido 10 averías, ¿qué distribución sigue el tiempo medio de reparación?
8.5 Estimación puntual e intervalos de confianza asintóticos
210.
En caso de avería, el tiempo de reparación (en minutos) de una máquina es aleatorio y se distribuye según una normal \( N(60, 20^2) \)
Si en el último año se han producido 10 averías, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de reparación sea inferior a 70 minutos?
Si en el último año se han producido 10 averías, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de reparación sea inferior a 70 minutos?
211.
En la empresa A, el volumen diario de ventas (medido en miles de euros) se distribuye según un modelo exponencial de parámetro
2.
Obtén la distribución exacta del volumen anual de ventas (365 días).
¿Puedes obtener una distribución de probabilidad aproximada?
Justifica tu respuesta.
2.
Obtén la distribución exacta del volumen anual de ventas (365 días).
¿Puedes obtener una distribución de probabilidad aproximada?
Justifica tu respuesta.
212.
En la empresa A, el volumen diario de ventas (medido en miles de euros) se distribuye según un modelo exponencial de parámetro 2.
¿Cuál es la probabilidad de que el volumen anual de ventas (365 días) supere los 270 mil euros?
(Utiliza la distribución aproximada.. )
¿Cuál es la probabilidad de que el volumen anual de ventas (365 días) supere los 270 mil euros?
(Utiliza la distribución aproximada.. )
9.1 Conceptos básicos de contrastes
213.
La demanda de un determinado artículo sigue una distribución normal de media \( 200 \) y desviación típica \( 20 \) unidades. Se ofrece a la empresa una campaña publicitaria para aumentar las ventas; la empresa la contratará si la venta media supera las \( 250 \) unidades. La campaña se prueba durante un período, obteniéndose una venta media de \( 260 \) unidades en \( 35 \) clientes habituales. ¿Debe la empresa contratar la campaña? Toma un nivel de significación del \( 1\% \)
214.
Para cada una de las siguientes situaciones, plantea la hipótesis nula \( H_0 \) y la hipótesis alternativa \( H_1 \), indicando si el contraste resultante es bilateral o unilateral:
a) Se quiere saber si la concentración media de partículas contaminantes supera las \( 250 \) ppm.
b) Se quiere saber si una droga altera (en cualquier sentido) el aumento medio de pulsaciones, que hasta ahora era de \( 9 \) latidos por minuto.
c) Se quiere saber si un antitérmico es efectivo, es decir, si reduce la fiebre media.
a) Se quiere saber si la concentración media de partículas contaminantes supera las \( 250 \) ppm.
b) Se quiere saber si una droga altera (en cualquier sentido) el aumento medio de pulsaciones, que hasta ahora era de \( 9 \) latidos por minuto.
c) Se quiere saber si un antitérmico es efectivo, es decir, si reduce la fiebre media.
9.2 Interpretación de un test
215.
Los ingresos mensuales (en euros) de nueve personas elegidas al azar son: \( 1570, \ 1550, \ 1530, \ 1520, \ 1560, \ 1500, \ 1510, \ 1540, \ 1580 \). ¿Debe rechazarse la hipótesis de que los ingresos medios poblacionales son de \( 1557 \) euros, al nivel de significación del \( 5\% \) y suponiendo normalidad?
9.3 Contrastes paramétricos
216.
Un inspector desea saber si la media de los salarios de los electricistas es la misma que la de los carpinteros, para lo cual toma dos muestras (en euros):
Salarios de electricistas: \( 74, \ 65, \ 72, \ 69 \)
Salarios de carpinteros: \( 75, \ 78, \ 74, \ 76, \ 72 \)
Con \( \alpha = 0, 05 \) y suponiendo poblaciones normales:
a) Contrasta la hipótesis de igualdad de varianzas.
b) Contrasta si las medias son iguales (supón varianzas iguales).
Salarios de electricistas: \( 74, \ 65, \ 72, \ 69 \)
Salarios de carpinteros: \( 75, \ 78, \ 74, \ 76, \ 72 \)
Con \( \alpha = 0, 05 \) y suponiendo poblaciones normales:
a) Contrasta la hipótesis de igualdad de varianzas.
b) Contrasta si las medias son iguales (supón varianzas iguales).
217.
Una prueba realizada a un grupo de estudiantes sigue una ley normal de media \( 80 \) y desviación típica \( 6 \). La misma prueba se realizó con \( 84 \) estudiantes de otra ciudad, obteniéndose \( \bar{x} = 78 \). ¿Se puede admitir que la media de esta última ciudad es distinta de la anterior, con un nivel de significación del \( 5\% \), suponiendo que ambas poblaciones tienen la misma varianza?
9.4 Región crítica y región de aceptación
218.
Una muestra de \( 10 \) vigas de acero de la laminadora A tiene una resistencia media de \( 54000 \) con desviación típica \( 2100 \); una muestra de \( 12 \) vigas de la laminadora B tiene media \( 49000 \) y desviación típica \( 1900 \). Las vigas de A son más caras que las de B, y solo se comprarán las de A si resultan más resistentes que las de B en más de \( 2000 \) unidades. ¿Qué vigas hay que comprar, con \( \alpha = 0, 01 \)? Supón poblaciones normales con varianzas iguales.
9.5 Listado de estadísticos y regiones críticas
219.
En un anuncio se indica que un determinado tipo de agua reduce peso. Doce individuos que la tomaron en sustitución de la habitual, manteniendo la dieta, sufrieron las siguientes variaciones de peso: \( 0, 2; \ 0; \ 1; \ 0, 6; \ -0, 5; \ -0, 6; \ -1; \ 0, 6; \ 1; \ 0, 5; \ -0, 4; \ -0, 5 \). Suponiendo normalidad y con \( \alpha = 0, 01 \): ¿hay evidencia suficiente para asegurar que el anuncio miente? ¿Y si la prueba se hubiera realizado con \( 50 \) individuos con la misma media y varianza muestrales?
9.6 Relación entre intervalos y contrastes
220.
Veinticinco piezas producidas en la fábrica A dan una varianza muestral de \( 0, 3 \); veinte piezas producidas en la fábrica B tienen una varianza muestral de \( 0, 2 \). ¿Se puede afirmar que la varianza de A es mayor que la de B, suponiendo normalidad y con un nivel de significación del \( 5\% \)?
9.7 El concepto de p-valor
221.
Una máquina embotelladora debe rellenar botellas con \( 2 \) litros. El error cometido se supone normal. Analizado el contenido de \( 16 \) botellas, los errores (en litros) fueron: \( -0, 02; \ -0, 05; \ 0, 05; \ 0, 06; \ 0, 09; \ 0, 03; \ 0, 11; \ -0, 12; \ 0, 05; \ 0, 11; \ -0, 13; \ 0, 00; \ 0, 02; \ 0, 13; \ 0, 04; \ 0, 01 \). ¿Se puede considerar, con un \( 5\% \) de significación, que el error medio cometido por la máquina es nulo?
222.
Se lanza \( 400 \) veces una moneda y se obtienen \( 215 \) caras. Decide si puede mantenerse la hipótesis nula \( H_0: p = 0, 5 \) (moneda equilibrada) con un nivel de significación del \( 5\% \)
9.8 Contrastes no paramétricos
223.
La duración de las bombillas de \( 100 \) W de la empresa A sigue una distribución normal. El fabricante anuncia que su vida media no es inferior a \( 800 \) horas. Una organización de consumidores analiza una muestra de \( 10 \) bombillas, obteniendo una duración media de \( 781, 5 \) horas con cuasivarianza \( 3069, 6 \) horas al cuadrado. ¿Puede rechazarse la afirmación del fabricante con un nivel de significación del \( 5\% \)?
224.
La concentración de ciertas partículas contaminantes en el agua de desecho de una fábrica es una variable normal. La Secretaría de Ecología cerraría la fábrica si la concentración media superase las \( 250 \) ppm. El análisis de \( 26 \) alícuotas arrojó una media de \( 229 \) ppm con desviación típica \( 24 \) ppm. ¿Sería suficiente esta información para cerrar la fábrica con un nivel de significación del \( 0, 05 \)?
9.9 Ejemplos completos de contrastes
225.
Se sabe que una dosis fija de cierta droga produce un aumento medio de pulsaciones de \( 9 \) latidos por minuto en ratas. En un grupo de nueve ratas que recibieron la misma dosis se encontraron los siguientes aumentos: \( 13, \ 15, \ 14, \ 10, \ 8, \ 12, \ 16, \ 9, \ 20 \). ¿Puede considerarse que la ingesta de esta droga aumenta las pulsaciones en \( 9 \) latidos de media? Toma un nivel de significación del \( 5\% \) y supón normalidad.
226.
Se mide la presión sanguínea sistólica en \( 11 \) individuos antes (variable \( X \) ) y después (variable \( Y \) ) de administrar un hipotensor:
\( X \): \( 164, \ 144, \ 175, \ 196, \ 194, \ 205, \ 126, \ 165, \ 192, \ 148, \ 156 \)
\( Y \): \( 144, \ 136, \ 152, \ 157, \ 147, \ 145, \ 142, \ 141, \ 109, \ 146, \ 148 \)
Suponiendo normalidad: a) ¿Puede considerarse, con \( \alpha = 0, 05 \), que el fármaco es efectivo? b) ¿Y que produce una disminución de \( 10 \) puntos en la presión?
\( X \): \( 164, \ 144, \ 175, \ 196, \ 194, \ 205, \ 126, \ 165, \ 192, \ 148, \ 156 \)
\( Y \): \( 144, \ 136, \ 152, \ 157, \ 147, \ 145, \ 142, \ 141, \ 109, \ 146, \ 148 \)
Suponiendo normalidad: a) ¿Puede considerarse, con \( \alpha = 0, 05 \), que el fármaco es efectivo? b) ¿Y que produce una disminución de \( 10 \) puntos en la presión?
9.10 Contrastes de hipótesis paramétricos
227.
Una central láctea recibe leche de dos granjas, A y B. Se analiza el contenido en materia grasa (tanto por ciento) en dos muestras al azar:
Granja A: \( \bar{x}_A = 8, 7 \), \( s_A = 1, 05 \), \( n_A = 31 \)
Granja B: \( \bar{x}_B = 10, 9 \), \( s_B = 1, 80 \), \( n_B = 25 \)
¿Puede considerarse, con \( \alpha = 0, 1 \), que el contenido medio es igual en las dos granjas? Supón normalidad.
Granja A: \( \bar{x}_A = 8, 7 \), \( s_A = 1, 05 \), \( n_A = 31 \)
Granja B: \( \bar{x}_B = 10, 9 \), \( s_B = 1, 80 \), \( n_B = 25 \)
¿Puede considerarse, con \( \alpha = 0, 1 \), que el contenido medio es igual en las dos granjas? Supón normalidad.
228.
Para probar la efectividad de un antitérmico en caballos se tomó la temperatura a \( 10 \) caballos enfermos antes y después de administrarlo, resultando una diferencia media (antes menos después) de \( \bar{d} = 1, 58 \) con cuasidesviación típica de las diferencias \( s_d = 1, 71 \). Suponiendo normalidad, estudia si el antitérmico es efectivo con un nivel de significación del \( 10\% \). ¿La conclusión sería la misma con un nivel del \( 1\% \)?
9.11 Contrastes no paramétricos y bondad de ajuste
229.
La resistencia (en kg/cm²) de cierto material se distribuye normalmente. Se toman dos muestras de dos proveedores:
Proveedor 1: \( 10, \ 30, \ 32, \ 23, \ 23, \ 24, \ 20, \ 18, \ 19, \ 45 \)
Proveedor 2: \( 32, \ 39, \ 35, \ 30, \ 37, \ 28, \ 34, \ 33, \ 25, \ 30, \ 37, \ 33 \)
¿Puede considerarse que la resistencia media del segundo proveedor es superior a la del primero en \( 20 \) puntos? Toma \( \alpha = 0, 1 \) (supón varianzas iguales).
Proveedor 1: \( 10, \ 30, \ 32, \ 23, \ 23, \ 24, \ 20, \ 18, \ 19, \ 45 \)
Proveedor 2: \( 32, \ 39, \ 35, \ 30, \ 37, \ 28, \ 34, \ 33, \ 25, \ 30, \ 37, \ 33 \)
¿Puede considerarse que la resistencia media del segundo proveedor es superior a la del primero en \( 20 \) puntos? Toma \( \alpha = 0, 1 \) (supón varianzas iguales).
230.
En una fábrica de piensos se quiere mejorar su conservación cambiando el proceso de empaquetado. Con el procedimiento actual se deterioran \( 75 \) de \( 1500 \) sacos; con el nuevo se deterioran \( 80 \) de \( 2000 \) sacos. Estudia si el nuevo proceso es mejor que el antiguo con un nivel de significación del \( 10\% \)