Tres aristas de un cubo de \( 1\ \text{cm} \) de arista coinciden con los ejes positivos de un sistema de coordenadas cartesianas. Expresad la posición de todos los vértices en coordenadas cartesianas \((x, y, z) \) y polares esféricas \((r, \theta, \phi) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las fórmulas de paso a esféricas. A continuación convertiremos los cuatro vértices de la base. Para terminar convertiremos los cuatro vértices de la cara superior.
Indicad cuántos orbitales existen y cuáles son para los casos siguientes: \( n = 2 \)
Para resolver este apartado empezaremos por hallar los valores permitidos de ele. A continuación contaremos los valores de eme sub ele para cada ele. Para terminar sumaremos el total de orbitales.
Indicad cuántos orbitales existen y cuáles son para los casos siguientes: \( n = 3, \ l = 2 \)
Para resolver este apartado empezaremos por comprobar que ele es compatible con ene. A continuación listaremos los valores de eme sub ele. Para terminar contaremos los orbitales.
Indicad cuántos orbitales existen y cuáles son para los casos siguientes: \( n = 4, \ l = 2 \)
Para resolver este apartado empezaremos por comprobar que ele es compatible con ene. A continuación listaremos los valores de eme sub ele. Para terminar contaremos los orbitales.
Indicad los valores posibles de los cuatro números cuánticos para un electrón que se encuentra en los siguientes orbitales: \( 5p \)
Para resolver este apartado empezaremos por traducir la notación del orbital a ene y ele. A continuación listaremos los valores de eme sub ele. Para terminar añadiremos los valores del espín.
Indicad los valores posibles de los cuatro números cuánticos para un electrón que se encuentra en los siguientes orbitales: \( 3d \)
Para resolver este apartado empezaremos por traducir la notación del orbital a ene y ele. A continuación listaremos los valores de eme sub ele. Para terminar añadiremos los valores del espín.
Indicad los valores posibles de los cuatro números cuánticos para un electrón que se encuentra en los siguientes orbitales: \( 5f \)
Para resolver este apartado empezaremos por traducir la notación del orbital a ene y ele. A continuación listaremos los valores de eme sub ele. Para terminar añadiremos los valores del espín.
Indicad los valores posibles de los cuatro números cuánticos para un electrón que se encuentra en los siguientes orbitales: \( 3f \)
Para resolver este apartado empezaremos por traducir la notación del orbital a ene y ele. A continuación comprobaremos la regla de compatibilidad. Para terminar concluiremos si el orbital existe.
Discutid a qué tipo de orbital corresponde la siguiente función angular: \(\psi = \frac{3}{4\pi}\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \)
Nota: la constante \(\frac{3}{4\pi} \) solo afecta a la normalización y no al tipo de orbital; lo determinante es la dependencia angular.
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la función angular en coordenadas cartesianas. A continuación identificaremos el valor de ele por la dependencia angular. Para terminar determinaremos la orientación del orbital.
Calculad a qué distancia del origen a lo largo del eje de las \( x \) es máxima la probabilidad de encontrar un electrón en el orbital \( 2p_x \) del átomo de hidrógeno.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función de onda del orbital dos pe sub equis. A continuación la evaluaremos sobre el eje equis. Para terminar maximizaremos la densidad de probabilidad respecto de \( r \)
Calculad el valor de \( r \) para el cual la función de distribución radial es máxima en el orbital \( 2p_x \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función de distribución radial del orbital dos pe. A continuación la expresaremos en función de erre. Para terminar la maximizaremos derivando.
¿Para qué valor de \( r \) es máxima la probabilidad de encontrar un electrón del orbital \( 3d_{xy} \) de un átomo de hidrógeno en la dirección del plano \( xy \) que forma un ángulo de \( 45° \) con los ejes \( x \) e \( y \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función de onda del orbital \( 3d_{xy} \). A continuación la evaluaremos en la dirección indicada. Para terminar maximizaremos la densidad de probabilidad respecto de \( r \)
Para el orbital \( 3d_{z^2} \) del átomo de hidrógeno, calculad la distancia para la cual la probabilidad de encontrar un electrón a lo largo del eje de las \( z \) es máxima.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función de onda del orbital \( 3d_{z^2} \). A continuación la evaluaremos sobre el eje \( z \). Para terminar maximizaremos la densidad de probabilidad respecto de \( r \)
Para el orbital \( 2\text{s} \) del átomo de hidrógeno, calculad: A qué distancia es máxima la probabilidad de encontrar un electrón a lo largo del eje de las \( z \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la función de onda del orbital \( 2\text{s} \) del hidrógeno. A continuación construiremos la densidad de probabilidad e impondremos la condición de extremo a lo largo del eje \( z \). Para terminar seleccionaremos el máximo y expresaremos la distancia en función de \( a_0 \)
Para el orbital \( 2\text{s} \) del átomo de hidrógeno, calculad: A qué distancia se encuentra el máximo de la función de distribución radial.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la función de distribución radial del orbital \( 2\text{s} \). A continuación impondremos la condición de extremo derivando su logaritmo. Para terminar resolveremos la ecuación resultante y expresaremos las distancias en función de \( a_0 \)
Para un orbital \( 3\text{d}_{x^2-y^2} \) Determinad a qué direcciones apuntan sus lóbulos.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la parte angular real del orbital \( 3\text{d}_{x^2-y^2} \) en coordenadas esféricas. A continuación impondremos la condición de máximo del valor absoluto de dicha función. Para terminar traduciremos los ángulos obtenidos a direcciones del espacio.
Para un orbital \( 3\text{d}_{x^2-y^2} \) ¿Cuál es el signo de estos lóbulos?
Para resolver este apartado empezaremos por evaluar el signo de la parte angular en cada dirección lobular. A continuación compararemos los signos obtenidos. Para terminar enunciaremos la regla de alternancia.
Para un orbital \( 3\text{d}_{x^2-y^2} \) ¿Dónde se encuentran los planos nodales?
Para resolver este apartado empezaremos por imponer la condición de nodo a la parte angular. A continuación resolveremos las ecuaciones trigonométricas resultantes. Para terminar identificaremos las superficies nodales correspondientes.
La parte angular de la función de onda de un cierto orbital \(\text{f} \) es: \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) = (5\cos 3\theta - 3\cos\theta) \) Encontrad los valores de los ángulos para los cuales la función es máxima (o mínima).
Para resolver este apartado empezaremos por identificar la parte angular con el polinomio de Legendre \( P_3 \). A continuación impondremos la condición de extremo derivando respecto de \(\theta \). Para terminar evaluaremos los ángulos críticos y clasificaremos los máximos y mínimos.
La parte angular de la función de onda de un cierto orbital \(\text{f} \) es: \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) = (5\cos 3\theta - 3\cos\theta) \) Encontrad los valores de los ángulos que corresponden a nodos.
Para resolver este apartado empezaremos por imponer la condición de nodo a la parte angular. A continuación resolveremos la ecuación polinómica resultante. Para terminar traduciremos las soluciones a valores del ángulo \(\theta \)
La parte angular de la función de onda de un cierto orbital \(\text{f} \) es: \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) = (5\cos 3\theta - 3\cos\theta) \) ¿Cuál es el valor del número cuántico \( l \) cuál es el valor mínimo que puede tener el número cuántico \( n \) y cuántos valores puede tener el número cuántico \( m_l \) de este orbital?
Para resolver este apartado empezaremos por deducir el número cuántico \( l \) del grado del polinomio. A continuación aplicaremos la relación entre \( n \) y \( l \). Para terminar contaremos los valores posibles de \( m_l \)
La parte angular de la función de onda de un cierto orbital \(\text{f} \) es: \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) = (5\cos 3\theta - 3\cos\theta) \) ¿A partir de qué período del Sistema Periódico hay elementos que en su estado fundamental contengan electrones en este orbital?
Para resolver este apartado empezaremos por recordar el orden de llenado de los orbitales. A continuación localizaremos el subnivel \( 4\text{f} \) en dicho orden. Para terminar identificaremos el período correspondiente.
La parte angular de la función de onda de un cierto orbital \(\text{f} \) es: \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) = (5\cos 3\theta - 3\cos\theta) \) ¿Cuál es el número atómico del primer elemento que puede tener un electrón \(\text{f} \) Escribid la configuración electrónica de este elemento.
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el primer elemento de la serie de los lantánidos. A continuación escribiremos su configuración electrónica. Para terminar comprobaremos el recuento de electrones.
La parte angular de la función de onda de un cierto orbital \(\text{f} \) es: \( Y_{l, m}(\theta, \varphi) = (5\cos 3\theta - 3\cos\theta) \) ¿Cuál es la carga nuclear efectiva de un orbital \(\text{f} \) de este elemento \(\text{M} \) y de su ion \(\text{M}^{2+} \)
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar las reglas de Slater al electrón \( 4\text{f} \) del elemento \(\text{M} \). A continuación repetiremos el cálculo para el ion \(\text{M}^{2+} \). Para terminar compararemos ambos resultados.
Dadas las siguientes configuraciones: a) \( 1\text{s}^2 2\text{s}^1 \) b) \( 1\text{s}^1 \) c) \( 2\text{s}^1 \) d) \( 1\text{s}^2 3\text{s}^1 \) e) \( 1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^6 3\text{s}^1 \) f) \( 1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^6 2\text{d}^2 \) Indicad cuáles corresponden a átomos en su estado fundamental, cuáles a átomos en estado excitado y cuáles son inaceptables.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar los criterios que distinguen una configuración aceptable de una inaceptable. A continuación analizaremos cada configuración contando sus electrones y comprobando el orden de llenado. Para terminar las clasificaremos en fundamentales, excitadas e inaceptables.
Con la ayuda de la tabla periódica, escribid las estructuras electrónicas de los orbitales del último subnivel ocupado para los átomos e iones siguientes: \(\text{Si} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración electrónica del silicio. A continuación identificaremos el último subnivel ocupado. Para terminar escribiremos su estructura.
Con la ayuda de la tabla periódica, escribid las estructuras electrónicas de los orbitales del último subnivel ocupado para los átomos e iones siguientes: \(\text{S}^{2-} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del azufre neutro. A continuación añadiremos los dos electrones del ion. Para terminar identificaremos el último subnivel ocupado.
Con la ayuda de la tabla periódica, escribid las estructuras electrónicas de los orbitales del último subnivel ocupado para los átomos e iones siguientes: \(\text{Co} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración electrónica del cobalto. A continuación identificaremos el último subnivel en el orden de escritura habitual. Para terminar escribiremos su estructura.
Con la ayuda de la tabla periódica, escribid las estructuras electrónicas de los orbitales del último subnivel ocupado para los átomos e iones siguientes: \(\text{Ba} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración electrónica del bario. A continuación identificaremos el último subnivel ocupado. Para terminar escribiremos su estructura.
Escribid la configuración electrónica de los átomos e iones siguientes: Criptón
Para resolver este apartado empezaremos por recordar el número atómico del criptón. A continuación aplicaremos el principio de construcción progresiva. Para terminar escribiremos la configuración abreviada.
Escribid la configuración electrónica de los átomos e iones siguientes: Galio
Para resolver este apartado empezaremos por situar el galio en la tabla periódica. A continuación escribiremos su configuración a partir del argón. Para terminar verificaremos el recuento de electrones.
Escribid la configuración electrónica de los átomos e iones siguientes: Ion zinc ( \(\text{Zn}^{2+} \) )
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del zinc neutro. A continuación aplicaremos la regla de ionización de los metales de transición. Para terminar escribiremos la configuración del ion.
Escribid la configuración electrónica de los átomos e iones siguientes: Ion bromuro ( \(\text{Br}^- \) )
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del bromo neutro. A continuación añadiremos el electrón del ion. Para terminar escribiremos la configuración del ion bromuro.
Escribid la configuración electrónica de los átomos e iones siguientes: Sodio.
Para resolver este apartado empezaremos por recordar el número atómico del sodio. A continuación aplicaremos el principio de construcción progresiva. Para terminar escribiremos la configuración abreviada.
Slater ha propuesto una expresión aproximada para describir la función radial de los átomos polielectrónicos: \( R(r) = N r^{n-1} e^{-Z_{\text{ef}} r/n a_0} \) Calculad el valor de \( r \) para el cual la función de distribución radial es máxima.
Para resolver este apartado empezaremos por construir la función de distribución radial a partir de la función \( R \) de Slater. A continuación impondremos la condición de máximo derivando su logaritmo. Para terminar despejaremos el valor de \( r \) del máximo.
Slater ha propuesto una expresión aproximada para describir la función radial de los átomos polielectrónicos: \( R(r) = N r^{n-1} e^{-Z_{\text{ef}} r/n a_0} \) ¿Cómo varía este valor a lo largo de un período y de un grupo del Sistema Periódico?
Para resolver este apartado empezaremos por analizar cómo varían \( n \) y \( Z_{\text{ef}} \) a lo largo de un período. A continuación haremos lo propio a lo largo de un grupo. Para terminar deduciremos la variación de \( r_{\text{máx}} \) en cada caso.
Las reglas de Slater permiten estimar la carga nuclear efectiva ( \( Z_{\text{ef}} \) ) debida al apantallamiento del núcleo por parte de los electrones de un átomo. Calculad el valor de \( Z_{\text{ef}} \) que actúa sobre: Los electrones de valencia de \(\text{C} \) \(\text{N} \) y \(\text{Si} \)
Para resolver este apartado empezaremos por enunciar las reglas de Slater y escribir las configuraciones del \(\text{C} \), el \(\text{N} \) y el \(\text{Si} \). A continuación calcularemos la constante de apantallamiento de sus electrones de valencia. Para terminar obtendremos cada \( Z_{\text{ef}} \) restando del número atómico.
Las reglas de Slater permiten estimar la carga nuclear efectiva ( \( Z_{\text{ef}} \) ) debida al apantallamiento del núcleo por parte de los electrones de un átomo. Calculad el valor de \( Z_{\text{ef}} \) que actúa sobre: Los electrones de valencia de \(\text{Cl} \) y \(\text{Cl}^- \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir las configuraciones del \(\text{Cl} \) y del \(\text{Cl}^- \). A continuación calcularemos la constante de apantallamiento de sus electrones de valencia con las reglas de Slater. Para terminar obtendremos cada \( Z_{\text{ef}} \)
Las reglas de Slater permiten estimar la carga nuclear efectiva ( \( Z_{\text{ef}} \) ) debida al apantallamiento del núcleo por parte de los electrones de un átomo. Calculad el valor de \( Z_{\text{ef}} \) que actúa sobre: Los electrones de valencia de \(\text{Ne} \) \(\text{Na} \) y \(\text{Na}^+ \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir las configuraciones del \(\text{Ne} \), el \(\text{Na} \) y el \(\text{Na}^+ \). A continuación calcularemos la constante de apantallamiento de sus electrones de valencia. Para terminar obtendremos cada \( Z_{\text{ef}} \)
Las reglas de Slater permiten estimar la carga nuclear efectiva ( \( Z_{\text{ef}} \) ) debida al apantallamiento del núcleo por parte de los electrones de un átomo. Calculad el valor de \( Z_{\text{ef}} \) que actúa sobre: Los electrones \( 3\text{d} \) y \( 4\text{s} \) del \(\text{Zn} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del \(\text{Zn} \) con los grupos de Slater. A continuación calcularemos el apantallamiento del electrón \( 3\text{d} \). Para terminar calcularemos el del electrón \( 4\text{s} \) y obtendremos ambas cargas efectivas.
Utilizando las reglas de Slater, calculad \( Z_{\text{ef}} \) para: Un electrón \( 3\text{s} \) del \(\text{S} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del azufre con los grupos de Slater. A continuación calcularemos la constante de apantallamiento del electrón \( 3\text{s} \). Para terminar obtendremos \( Z_{\text{ef}} \)
Utilizando las reglas de Slater, calculad \( Z_{\text{ef}} \) para: Un electrón \( 3\text{s} \) del \(\text{Se} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del selenio con los grupos de Slater. A continuación calcularemos la constante de apantallamiento del electrón \( 3\text{s} \). Para terminar obtendremos \( Z_{\text{ef}} \)
Utilizando las reglas de Slater, calculad \( Z_{\text{ef}} \) para: El electrón más fácilmente ionizable del \(\text{Zn} \)
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el electrón más fácilmente ionizable del zinc. A continuación calcularemos su constante de apantallamiento con las reglas de Slater. Para terminar obtendremos \( Z_{\text{ef}} \)
Utilizando las reglas de Slater, calculad \( Z_{\text{ef}} \) para: El electrón más fácilmente ionizable del \(\text{Cd} \)
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el electrón más fácilmente ionizable del cadmio. A continuación calcularemos su constante de apantallamiento. Para terminar obtendremos \( Z_{\text{ef}} \)
Utilizando las reglas de Slater, calculad \( Z_{\text{ef}} \) para: Un electrón de valencia del \(\text{Br} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del bromo con los grupos de Slater. A continuación calcularemos la constante de apantallamiento de un electrón de valencia. Para terminar obtendremos \( Z_{\text{ef}} \)
Utilizando las reglas de Slater, calculad \( Z_{\text{ef}} \) para: Un electrón \( 4\text{s} \) y un electrón \( 3\text{d} \) del \(\text{V} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la configuración del vanadio con los grupos de Slater. A continuación calcularemos el apantallamiento del electrón \( 4\text{s} \). Para terminar calcularemos el del electrón \( 3\text{d} \) y obtendremos ambas cargas efectivas.
Calculad el potencial de ionización de los iones \(\text{He}^+ \) y \(\text{C}^{5+} \) en su estado fundamental.
Para resolver este apartado empezaremos por recordar la energía de los niveles hidrogenoides. A continuación aplicaremos la definición de potencial de ionización. Para terminar evaluaremos numéricamente para el \(\text{He}^+ \) y el \(\text{C}^{5+} \)
Calculad el potencial de ionización del ion \(\text{Li}^{2+} \) en su segundo estado excitado. ¿Cuántas funciones de onda degeneradas pueden describir este estado?
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el número cuántico del segundo estado excitado. A continuación calcularemos su potencial de ionización con la fórmula hidrogenoide. Para terminar contaremos las funciones degeneradas de dicho nivel.
Comparad sin hacer cálculos el tercer potencial de ionización del \(\text{Mn} \) con el tercero del \(\text{Fe} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir las configuraciones de los iones implicados. A continuación analizaremos la estabilidad de las capas semillenas. Para terminar compararemos ambos potenciales de ionización.
Con el modelo de Slater, calculad: la energía electrónica (suma de las energías de todos los electrones) del átomo de nitrógeno.
Para resolver este apartado empezaremos por enunciar la fórmula de la energía electrónica en el modelo de Slater. A continuación calcularemos la carga efectiva de cada grupo de electrones del nitrógeno. Para terminar sumaremos las contribuciones de todos los electrones.
Con el modelo de Slater, calculad: la energía electrónica de los iones \(\text{N}^+ \) y \(\text{N}^- \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir las configuraciones de los iones \(\text{N}^+ \) y \(\text{N}^- \). A continuación calcularemos las nuevas cargas efectivas del grupo \( 2\text{s}, 2\text{p} \). Para terminar sumaremos las energías de cada ion.
Con el modelo de Slater, calculad: los valores de la energía de ionización y de la afinidad electrónica del nitrógeno.
Para resolver este apartado empezaremos por recordar las definiciones de energía de ionización y afinidad electrónica. A continuación las expresaremos como diferencias de las energías calculadas. Para terminar evaluaremos numéricamente.