Ejercicios · Bloque 3: Análisis — 3.7 Aplicaciones de las derivadas

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \)

Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}}\) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Halla los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la gráfica de la función \( f(x) = \frac{ax^2 + b}{x + c}\) tiene una asíntota vertical en \( x = 1 \), una asíntota oblicua de pendiente \( 2 \), y un extremo local de abscisa \( x = 3 \)

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = a \ln(x) + bx^2 + x \) para \( x > 0 \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. ¿Qué tipo de extremos tiene \( f \) en \( x = 1 \) y en \( x = 2 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x}\). Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \)
a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \( f \) y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.
b) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x-3) \cdot e^x \)

Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = x^2 + px + q \) Calcula los valores de \( p \) y \( q \) sabiendo que la función \( f \) tiene un extremo en \( x = -6 \) y su valor en él es \( -2 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) para \( x \neq 1 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \)
a) Calcula \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) y \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)
b) Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).
c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Dada la función \( f(x)=x^2 e^{-x}\) halla su derivada \( f'\) y razona cuál de las dos funciones, \( f \) o \( f'\) toma valores negativos para abscisas mayores que dos.

Sea f la función definida, para \( x \neq 2 \) y \( x \neq -2 \), por f(x) = \(\dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 4}\)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Determina los parámetros \( a \) \( b \) y \( c \) de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) sabiendo que corta al eje de abscisas en \( x = -2 \) y \( x = 1 \) y tiene un mínimo en \( x = 1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \dfrac{3x + 1}{\sqrt{x}}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, \( x \) es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula \( -x^2 + 70x \) mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión \( \frac{400x}{x - 30}\) Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a que edad se alcanza.

Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por:
\( v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 \) para \( t \in [2, 6]\) ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad? . Justifica la respuesta.

De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la representada en la figura (la gráfica de \( f'\) es siempre positiva o cero, crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \) alcanzando su máximo en \( f'(1)=1 \)
a) Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?
c) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \)

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de \( f \)

Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \( f \) y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.

Halla los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) tiene en \( x=1 \) un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \((1, 1) \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x - a) \cdot e^x \). Determina \( a \) sabiendo que la función tiene un punto crítico en \( x = 0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de \( f \) tiene de abscisa \( x = 1 \) y que \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x = 2 \) de valor \( -9 \) Calcula \( a \), \( b \) y \( c \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = x^2 + 4 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-4x+2 \) y \( g(x)=-x^2+2x+c \). Halla el valor de \( c \) sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que \( g \) alcanza su máximo.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Apartado a: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta.

Apartado b: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Teniendo en cuenta que la velocidad es \( v(t) = h'(t) \) halla la velocidad al cabo de \( 2 \) segundos.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \le 1 \\ 2 - x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}\) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \( f \)

Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Halla \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x)=a+b \cdot sen(x)+c \cdot sen(2x) \) tiene un punto crítico en el punto de abscisa \( x=\pi \) y la recta \( y=-\frac{1}{2}x+3 \) es normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Se administra una medicina a un enfermo y \( t \) horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por \( c(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) miligramos por mililitro.
Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, ¿en algún momento hay riesgo para el paciente?

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender \( x \) miles de unidades de un producto viene dado por la función: \( B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36 \) donde \( x \) está en el intervalo \( [0, 8]\)
Justifica razonadamente que decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por que en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Halla \( a>0 \) y \( b>0 \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x)=\frac{bx^2}{1+ax^4}\) tiene en el punto \((1, 2) \) un punto crítico.

Considera la función \( F: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( F(x) = \int_0^x (2t + \sqrt{t}) \, dt \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Considera la función \( F: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por \( F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cdot \cos(t) dt \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = \pi \)

Sea la función \( f: [0, 4] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \le x < 2 \\ cx + 1 & \text{si } 2 \le x \le 4 \end{cases}\). ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

En un segundo estudio, han simplificado un modelo anterior y han establecido que el número (aproximado) de personas \( g(t) \) (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función \( g(t) = \frac{18}{\pi} \text{arc}\tan(t - 3) + 9 \) donde \( t \) representa el tiempo (en días).
Según este segundo modelo, ¿en qué momento empieza a disminuir la velocidad a la que se propaga el bulo? ¿Cuántas personas conocen en dicho momento el bulo?

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x(\operatorname{sen} x + \cos x) \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (3x - 2x^2)e^x \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \int_0^x \cos(t) \cdot \operatorname{sen}^2(t) dt \). Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{4}\)

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\\frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0
\end{cases}\)

Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que f tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2.

Halla dos funciones polinómicas: la primera que tenga un único extremo relativo y la segunda que no contenga ninguno.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) sabiendo que \( f(0) = 0 \) y \( f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x+1}\) para \( x > -1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (3x - 2x^2)e^x \). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

a) Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Determina el valor de la constante \( c \)
b) Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Calcula la función derivada \( f'\)
c) Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \( f \) que son paralelas a la recta de ecuación \( y = -x \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f.

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función \( C(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) mg/ml, siendo \( t \) el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo. Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.

Sea la función \( f: [1, e] \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función \( C(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}} \) mg/ml, siendo \( t \) el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.
Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es \( 1 \) mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{k}{(x-a)(2x-1)}\) para \( x \ne a \) y \( x \ne \frac{1}{2}\) Para \( k = 4 \) y \( a = 2 \) halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 | x - 3 |\). Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se administra una medicina a un enfermo y \( t \) horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por \( c(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) miligramos por mililitro.
Determina el valor máximo de \( c(t) \) e indica en qué momento se alcanza dicho valor máximo.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x + e^{-x}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f.

Un cohete de investigación realiza su vuelo con una velocidad representada por la función \( v \) medida en kilómetros por segundo. Tras un estudio se ha determinado que la derivada \( v'\) de esta función se corresponde con \( v'(t) = 24 - 6\sqrt{t+1}\) donde \( t \) representa el tiempo medido en segundos transcurrido desde el lanzamiento. Por otra parte, sabemos que la velocidad inicial es de 15 km/s y que en cuanto empieza a perder velocidad el cohete no se puede controlar. En este momento, lo más conveniente es que se autodestruya y para ello utilizamos un artefacto explosivo que se activa con un temporizador.
Si utilizamos el temporalizador para que active la explosión, ¿cuál es el valor máximo de tiempo, en segundos, que tomaría como referencia para destruir el cohete?

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq 0 \) por \( f(x) = \frac{x^2+1}{x}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtiene y los valores que alcanza la función).

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = | x^2 - 4 |\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

Sea f la función definida por f(x) = \(\frac{3x^4 + 1}{x^3}\) para \( x \neq 0 \). Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \)

Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea la función \( f: [1, e] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

Calcula los extremos absolutos y relativos de la función \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sabiendo que \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( F(x) = e^{x^2}\) es una primitiva de \( f \). Comprueba que \( f \) es creciente.

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de \( f \)

De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?

Sea \( f: [1/e, 4] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} x - \ln(x) + a & \text{si } 1/e \leq x \leq 2 \\ bx + 1 - \ln(2) & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}\) Donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Para \( a = 0 \) y \( b = 1/2 \) halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo \( [\frac{1}{e}, e]\)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\), la función definida por \( f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) \). Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender \( x \) miles de unidades de un producto viene dado por la función: \( B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36 \) donde \( x \) está en el intervalo \( [0, 8]\)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de \( x \) en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo.

Halla la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x) = 12x - 6 \) y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \) tiene de ecuación \( 4x - y - 7 = 0 \)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 \)
¿Es creciente \( f \) en el conjunto \( (-1, 1) \cup (1, +\infty) \) Justifica tu respuesta.

Dadas la parábola de ecuación \( y = 1 + x^2 \) y la recta de ecuación \( y = 1 + x \) calcula la ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

Halla una función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que su gráfica pase por el punto \( M(0, 1) \) que la tangente en el punto \( M \) sea paralela a la recta \( 2x - y + 3 = 0 \) y que \( f''(x) = 3x^2 \)

Sea \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función tal que su función derivada viene dada por \( f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } 3 \le x \le 4 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) sabiendo que \( f(1) = \frac{16}{3}\)

Determina un punto de la curva de ecuación \( y = x \cdot e^{-x^2}\) en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.

Dada la función \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa \( x=3 \)

En una habitación se ha dejado una bebida caliente, su temperatura \( T(t) \) en grados Celsius se puede modelar por la función \( T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1}\) donde \( t \ge 0 \) representa el tiempo en segundos.
Indica, justificando tu respuesta, cuál era la temperatura inicial que tenía la bebida, describe cómo ha evolucionado su temperatura y cuál sería la hipotética temperatura final que alcanzaría. ¿A qué temperatura esta la habitación?

Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \). Halla \( a \), \( b \) y \( c \) para que la gráfica de \( f \) tenga un punto de inflexión de abscisa \( x = \frac{1}{2}\) y que la recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \) tenga por ecuación \( y = 5 - 6x \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \sqrt[3]{x}\) Calcula la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
a) Calcula los límites laterales de \( f \) en \( x = 0 \) ¿Es \( f \) continua en \( x = 0 \)
b) Calcula el valor de la derivada de \( f \) en \( x = 1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función derivable definida por: \( \) f(x) = \(\begin{cases} a - x & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{b}{x} + \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\) donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano.

Apartado a: Calcula a y b.

Apartado b: Para a = 3 y b = 2, calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [0, e] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se sabe que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \( f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \) tiene un punto de inflexión para \( x = 1 \) y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es \( y = -6x + 6 \). Calcula \( a \), \( b \) y \( c \)

De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuación \( y = \frac{1}{4} x^2 + 4x + 4 \) Calcula los puntos de tangencia correspondientes.

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tiene un punto crítico en \( x = 0 \), que su gráfica pasa por \((0, 3) \) y que la recta \( y = -2x + 2 \) es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \). Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en un punto de la misma de ordenada \( y=1 \) teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \le 1 \\ 2 - x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}\)
a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de \( f \) en \( x = 1 \)
b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \( f \)

De la función f: R -> R definida por f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x =

0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \)
a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)
b) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \)
a) Halla el valor de \( a \) ¿Es \( f \) derivable en \( x = 0 \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x)=a+b\cdot \cos(x)+c\cdot \operatorname{sen}(x) \)
Halla \( a \) \( b \) y \( c \) sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa \( x=\frac{\pi}{2}\) a la recta \( y=1 \) como recta tangente, y que la recta \( y=x-1 \) corta a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola \( y = x^2 \) que es paralela a la recta \( -4x + y + 3 = 0 \)
b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola \( y = x^2 \) que pasan por el punto \( (2, 0) \)

Calcula los valores \( a, b, c, d \) de la función polinómica \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) sabiendo que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de inflexión \( (1, 0) \) es \( y = 3x - 3 \) y que el punto de abscisa \( x = 0 \) es un extremo relativo.

Sea la función continua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por

\(
f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \leq 0 \\[6pt] \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}
\)
a) Calcula el valor de \( k \)
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2 - x|x|\)
a) Esboza la gráfica de \( f \)
b) Estudia la derivabilidad de \( f \) en \( x=0 \)
c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:
- El punto (0, 1) es un punto de inflexión de la gráfica de f.
- f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1.
- La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de pendiente 1.

Se sabe que la función \( f: [0, 5] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} ax + bx^2 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ -4 + \sqrt{x - 1} & \text{si } 2 \le x \le 5 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (0, 5) \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x - 3) \cdot e^x \) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en su punto de inflexión.

Determina el valor de las constantes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f: R -> R definida por \( f(x) = x(ax^2 + bx + c) \) tiene un punto de inflexión en \( (-2, 12) \) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación \( 10x + y + 8 = 0 \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = x e^{-x^2}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \( f'(x)=(2x+1)e^{-x}\) y su gráfica pasa por el origen de coordenadas. Calcula la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Determina los extremos relativos de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.

Determina el valor de las constantes \( a \) \( b \) y \( c \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x(ax^2+bx+c) \) tiene un punto de inflexión en \( (-2, 12) \) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación \( 10x+y+8=0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 4 - x^2 \) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta \( x + 2y - 2 = 0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 5x + 4 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2 - x|x|\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

Sea la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{e^{-x}}{1 - x}\) para \( x \neq 1 \)
a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función \( f \)
b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máximo en \( x = 1 \) que su gráfica pasa por el punto \( (1, 1) \) y que la recta de ecuación \( y = x \) es tangente a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x \cdot \cos x \) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.
a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\)
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \)
a) Determina el valor de la constante \( c \)
b) Calcula la función derivada \( f'\)
c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \( f \) que son paralelas a la recta de ecuación \( y = -x \)

a) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)
b) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 + ax + b \) y \( g(x) = c e^{-(x+1)}\). Se sabe que las gráficas de \( f \) y \( g \) se cortan en el punto \((-1, 2) \) y tienen en ese punto la misma recta tangente. Calcula los valores de \( a \), \( b \) y \( c \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es \( y + x = -3 \) y que el punto de inflexión tiene abscisa \( x = 1 \)

a) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
b) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Determina la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x) = x^2 - 1 \) y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es la recta \( y = 1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \(\sqrt{e}\)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

El número de moléculas en una placa de ensayo viene dado por la función \( f(x) = e^{x^2 - 2x}\) expresado en miles de moléculas, donde \( x \in [0, 5]\) indica el tiempo en horas.
Realiza un estudio del crecimiento de dicha función. ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima? ¿En qué momento se alcanzan?

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x^2 \). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Determina la función \( f: (1, +\infty)\to\mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x)=\frac{1}{(x-1)^2}\) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \) es \( y=x+2 \)

Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \( f \) que son paralelas a la recta de ecuación \( y = -x \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}}\)
a) Calcula \( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \) y \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \)
b) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2x^3 + 12x^2 + ax + b \). Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3.

Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola \( y = x^2 \) que es paralela a la recta \( -4x + y + 3 = 0 \)

de la función evaluada en \( x_0 \) Dada la función \( f(x) = x^2 \) calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva en el punto con abscada \( x_0 = 1 \)

Sea \( f: (-1, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\ln(x+1) \). ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = e^{-2x}\) Justifica que la recta de ecuación \( y = -2ex \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -\frac{1}{2}\)

Sea \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función dada por \( g(x) = \ln x \) (donde \( \ln x \) denota logaritmo neperiano). Justifica que la recta de ecuación \( y = \frac{1}{e} x \) es la recta tangente a la gráfica de \( g \) en el punto de abscisa \( x = e \)

De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 + ax + b \) y \( g(x) = c e^{-(x+1)}\). Se sabe que las gráficas de \( f \) y \( g \) se cortan en el punto \((-1, 2) \) y tienen en ese punto la misma recta tangente. Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen}\, x) \)
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de \( f \)

Dada la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{x+1}{e^x}\), determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en su punto de inflexión.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}\). Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \) \(\mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Halla los coeficientes \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) presenta un extremo local en el punto de abscisa \( x = 0 \), que \((1, 0) \) es punto de inflexión de la gráfica de \( f \) y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es \(-3 \)

a) Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Halla el valor de \( a \) ¿Es \( f \) derivable en \( x = 0 \)
b) Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \( g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( g \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Calcula \( a \) \( b \) \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en \( (0, 1) \) y su gráfica un punto de inflexión en \( (1, -1) \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x(x-3)^2 \). Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la curva de ecuación \( y = x^3 - 3x \)
Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa \( x = -1 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \operatorname{sen}(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que \( f \) es continua, alcanza su máximo relativo en \( x = -1 \) y la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \) tiene pendiente \( 2 \)

La recta tangente a la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = mx^2 + nx - 3 \), en el punto \((1, -6) \), es paralela a la recta de ecuación \( y = -x \)
Determina las constantes \( m \) y \( n \). Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = a\ln(x) + bx^2 + x \) para \( x > 0 \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene extremos relativos en \( x = 1 \) y en \( x = 2 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 1 + \ln(x) \), siendo \(\ln \) la función logaritmo neperiano.
Comprueba que la recta de ecuación \( y = 1 + \frac{1}{e}x \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 + |x - 1|\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: (-\infty, 1) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} x + 2e^{-x} & \text{si } x \le 0 \\ a\sqrt{b - x} & \text{si } 0 < x < 1 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\begin{cases}\frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\). Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + 1}\) para \( cx + 1 \neq 0 \). Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la recta \( x = -1 \) es una asíntota vertical a la gráfica de \( f \) y que \( y = 2x + 4 \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea la función continua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 0 \\ \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x}{\ln(x)}\) para \( x > 0 \) \( x \ne 1 \) (donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1 \) tiene un punto crítico en \( x = 2 \) y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \) es \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\). Calcula \( a \), \( b \) y \( c \)

Considera la función derivable \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} & \text{si } x < 0 \\ ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\)
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x \) para \( x > 0 \). Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \) y \( g(x) = x^2 - 1 \). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \)

De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Estudia la concavidad y convexidad de \( f \)

Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) tiene un punto de inflexión en \((0, 4) \) y su recta normal en el punto \((1, 8) \) es paralela al eje de ordenadas.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x)=x^3-4x \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x(\operatorname{sen} x + \cos x) \). Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{9-x^2}{4}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{x}}\) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \) Determina, si existen, los puntos de inflexión de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \) Halla, si existe, el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y = 3 - x \)

Sea \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \ln x \) ( \(\ln \) representa logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \( f(x)=3-x^2 \) y \( g(x)=-\frac{x^2}{4}\). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \) y comprueba que también es tangente a la gráfica de \( g \). Determina el punto de tangencia con la gráfica de \( g \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x \) para \( x > 0 \). Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

Sea \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x+1)+a}{3x+4}\) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Determina \( a \) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es 1.

Sea \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=e^{2-x}\). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{-2x}\). Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y=-2ex \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x - a) \cdot e^x \). Para \( a = 1 \), calcula los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \) Calcula \( a \) para que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (a, f(a)) \) pase por el origen de coordenadas.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (5 - x) \cdot e^{x - 4}\). Determina los puntos de la gráfica de \( f \) cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por: \( f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6) \). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + a x^2 + bx + c \). Determina a, b, c sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x = 1 y un punto de inflexión en (-1, 5).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 + 1 \). Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y = 4x - 3 \)

Considera la función \( f(x) = \frac{1}{x \cdot |x|}\) para \( |x| \neq 0 \)

Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (e^{ax} + b)x \), con a \(\neq 0 \). Calcula a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x = 0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es x = 1.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}\). Halla los puntos de la gráfica de \( f \) cuya recta tangente es horizontal.

Considera la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = \begin{cases} e^x - e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)

Apartado a: Calcula a y b.

Apartado b: Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}\). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea f la función definida por \( f(x) = \ln x + \dfrac{1}{2x}\) para \( x > 0 \)

Apartado a: Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

Apartado b: Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = | x^2 - 4 |.
Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

Dada la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln x \) donde \( \ln \) es la función logaritmo neperiano, se pide: Comprueba que la recta de ecuación \( y = -ex + 1 + e^2 \) es la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Calcula la función polinómica, de grado \( 3 \) de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto \( (0, 2) \) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \) es la recta \( x + y = 3 \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tiene extremos relativos en (0, 0) y en (2, 2) \). Calcula a, b, c y d.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Dada \( f: (1, e) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de \( f \) que tiene pendiente máxima.

Considera la función continua \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} (3x-6) \cdot e^x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{36(sen(x)-ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=-1 \)

Sea \( f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\) Calcula los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{ax^2+b}{a-x}\) (para \( x \neq a \) ).. . Para \( a=2 \) y \( b=3 \), calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{ax+b}{x-1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1+x) & \text{si } x > 0 \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

a) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{2 - \cos(x)}\). Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisas \( x = \frac{\pi}{3}\)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) =\) \(\frac{x}{x^2+1}\). Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\
\sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\
\frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}\). Para a = -1 y b = 4, estudia si existe la derivada de f en x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \). Para \( a = 3 \), \( b = -9 \) y \( c = 8 \), calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\), la función definida por \( f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) \). Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \(\frac{3\pi}{2}\)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\ln x}{x}\), donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ \mu & \text{si } x = 0 \end{cases}\). Para \(\lambda = 2 \), calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función derivable definida por:
\( f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \le 1 \\ \frac{b}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}\)
donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano. Para \( a = 3 \) y \( b = 2 \) calcula los extremos absolutos de \( f \) en el intervalo \([0, e]\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}\), para x \(\neq -2 \). Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x^2}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: [-2, 2] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 2x + 5 \)

Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos \( (-2, f(-2)) \) y \( (2, f(2)) \)

Sea la función \( f: [-2, 2] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 2x + 5 \)

Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión.

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}\) para \( x \neq b \)

En el caso de \( a = 5 \) y \( b = 4 \) calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) que pasa por el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea la función \( f: [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 5x+1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases}\)
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{2}\)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(x) \) donde ln denota el logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1, 0) \) y \( B(e, 1) \)
Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(x) \) donde ln denota el logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1, 0) \) y \( B(e, 1) \)
Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto \( A \)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\begin{cases} a\cdot e^{-x}+b\cdot \ln(1-x) & \text{si } x<0 \\ x+\ln(1+x) & \text{si } x\geq 0 \end{cases}\) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x-1)\cdot e^x \)
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión.

Sean las funciones \( f: (-1, 0) \cup (0, 1) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) \) y \( g(x) = x^3 + 2 \)
Calcula \( a \neq 0 \) de forma que en el punto \( (a, f(a)) \) la recta normal a la gráfica de la función \( f \) sea paralela a la recta tangente a la gráfica de \( g \) en el punto \( (a, g(a)) \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \) Encuentra los valores del parámetro \( a \) para los que la recta que pasa por el origen \( y = a x \) es tangente a la gráfica de \( f \) ¿Cuál es la abscisa de los puntos de tangencia?

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) función definida por \( f(x) = x + x e^{-x}\) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) que es paralela a la recta \( x - y + 1 = 0 \)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{ax^2+b}{a-x}\) para \( x \neq a \). Para el caso de \( a=2 \), \( b=3 \), obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) \), donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano. Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación \( x - 2y + 1 = 0 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) \), donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida como \( f(x) = (x+1)\sqrt[3]{3-x}\). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -5 \) y en el punto de abscisa \( x = 2 \)

a) Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
b) Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 4 - x^2 \). Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

Sea \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=-x^2+6x-5 \). Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( g \) en el punto de abscisa \( x=4 \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\) para \( x \neq 1 \) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de \( f \) Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por: \( f(x)=x\cdot e^{-x^2}\). Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con los ejes coordenados y los extremos relativos de \( f \) (abscisas en los que se obtienen y los valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = 4x^3 - x^4 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (\ln(x))^2 \) (donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x - 1}\) para \( x \ne 1 \). Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{-3x^2 + 2}{x-1}\) para \( x \neq 1 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función definida por \( f(x) = -x + \frac{4}{x^2}\) para \( x \neq 0 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
Estudia y determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2}\) para \( x \neq -1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Se considera la función \( f: (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}\). Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Se considera la función \( f: (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}\). Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq 1, -1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{2 - \cos(x)}\). Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{|x|}{2 - x}\) para \( x \neq 2 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq 1, -1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{x^2-10}{x^2+2x-3}\) para ( \( x \neq -3 \), \( x \neq 1 \) ).. . Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}\)

Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 5x+1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases}\)
Halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = x(\ln(x))^2 \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = x(\ln(x))^2 \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = 1 + \int_0^x t \cdot e^t \, dt \) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( F: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por \( F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cdot \cos(t) dt \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( F \)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(x^2+1)e^x \)
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \( f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot e^{-x^2}\)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \( f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot e^{-x^2}\)
Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}\)
Para \( a = 0 \) calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) Estudia y halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: [0, 2] \to \mathbb{R}\) la función definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases}\)
Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: (-1, 1) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{(1-|x|)^2}\)
Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean las funciones \( f: (-1, 0) \cup (0, 1) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) \) y \( g(x) = x^3 + 2 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \( f \)

Sea la función \( f: (-1, 1) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1+|x|}{1-|x|}\)
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq \pm 1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: [0, 4] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x^2+ax+b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}\). Para \( a = -3 \), \( b = 4 \) y \( c = 1 \) halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

a) De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)
b) De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?
c) De una función \( f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Estudia la concavidad y convexidad de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \)
a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de \( f \) donde ésta corta a la asíntota horizontal.

a) Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \( f \) y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.
b) Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por: \( f(x)=\arctan(x+\pi) \) donde arctg denota la función arcotangente.
Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(x^2+1)e^x \)
Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función \( f: [1, e] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de f y los puntos de inflexión de su gráfica.

Determina el valor de las constantes \( c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + 3x^2 + cx + d \) tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta \( y = 3x + 4 \)

a) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 5x + 3 \) y sea \( r \) la recta de ecuación \( 2x + y = 6 \) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente sea \( r \) Justifica la respuesta.
b) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 5x + 3 \) y sea \( r \) la recta de ecuación \( 2x + y = 6 \) ¿Hay algún punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta normal a la gráfica sea \( r \) Justifica la respuesta.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 \) Determina \( a, b \) sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (2, 2) \) y tiene un punto de inflexión de abscisa \( x = 0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 \) Sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (2, 2) \) y tiene un punto de inflexión de abscisa \( x = 0 \) calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en dicho punto de inflexión.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}\) para \( x > 0 \) y sea \( F \) la primitiva de \( f \) tal que \( F(1) = 2 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = e \)