De la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}\) y que \( f(2) = 0 \) Determina \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por integrar la función derivada para obtener la antiderivada general. A continuación usaremos la condición inicial para hallar la constante de integración. Para terminar escribiremos la expresión final de la función f.
De la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}\) y que \( f(2) = 0 \) Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por \( (0,1) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la función original integrando su derivada y usando la condición dada. A continuación determinaremos una primitiva de la función hallada integrándola de nuevo e imponiendo que su gráfica pase por el punto indicado.
De una función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) se sabe que \( f(0) = 2 \) y que \( f'(x) = 2x \) Determina \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por integrar la derivada dada. A continuación determinaremos la constante de integración usando la condición inicial. Para terminar escribiremos la expresión final de la función.
Sea \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función tal que su función derivada viene dada por \( f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } 3 \le x \le 4 \end{cases}\) Determina la expresión de \( f \) sabiendo que \( f(1) = \frac{16}{3}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la función derivada en cada intervalo. A continuación usaremos la continuidad de la función en el punto de corte para relacionar las constantes de integración. Para terminar aplicaremos la condición inicial para determinar las constantes y escribir la expresión final de f.
Determina la función \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}\), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \((0,1) \), \( f'(0)=0 \) y \( f''(x)=\frac{1}{x+1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la segunda derivada para obtener la primera derivada y usaremos la condición \( f'(0)=0 \) para hallar la constante. A continuación integraremos la primera derivada para obtener la función original y usaremos la condición \( f(0)=1 \) para determinar la otra constante. Para terminar escribiremos la expresión final de la función.
Determina la única función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) que cumple que \( f(0)=1 \), \( f'(0)=1 \) y \( f''(x)=e^x(x+2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la segunda derivada para obtener la primera derivada. A continuación integraremos la primera derivada para obtener la función original. Para terminar aplicaremos las condiciones iniciales para determinar las constantes de integración.
Determina una función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sabiendo que \( f(1) = -1 \) y que \( f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar la derivada en el intervalo x >= 0 y utilizaremos la condición f(1) = -1 para determinar la constante. A continuación integraremos la derivada en el intervalo x < 0 y usaremos la continuidad en x = 0 para hallar la otra constante. Para terminar verificaremos la derivabilidad en x = 0 y escribiremos la función final.
Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2 \), donde \( a > 0 \) es un parámetro. Si \( F(x) \) es una primitiva de \( f(x) \), justifica si es posible o no que la función \( G(x)=F(x)+x^2 \) también lo sea.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la definición de primitiva y la propiedad fundamental de que dos primitivas de una misma función difieren en una constante. A continuación derivaremos la función \( G(x) \) y compararemos su derivada con \( f(x) \) Para terminar concluiremos si es posible o no que \( G(x) \) sea primitiva de \( f(x) \)
Determina la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \( f''(x) = -2\operatorname{sen} 2x \), \( f(0) = 1 \) y \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por integrar dos veces la ecuación diferencial para obtener la expresión general de f. A continuación determinaremos las constantes de integración usando las condiciones iniciales. Para terminar escribiremos la función particular que satisface el problema.
Un cohete de investigación realiza su vuelo con una velocidad representada por la función \( v \) medida en kilómetros por segundo. Tras un estudio se ha determinado que la derivada \( v'\) de esta función se corresponde con \( v'(t) = 24 - 6\sqrt{t+1}\) donde \( t \) representa el tiempo medido en segundos transcurrido desde el lanzamiento. Por otra parte, sabemos que la velocidad inicial es de 15 km/s y que en cuanto empieza a perder velocidad el cohete no se puede controlar. En este momento, lo más conveniente es que se autodestruya y para ello utilizamos un artefacto explosivo que se activa con un temporizador.
Obtén la función que determina la velocidad del cohete y la velocidad máxima que alcanza.
Para resolver este apartado empezaremos por integrar la función derivada \( v'(t) \) para obtener la función velocidad \( v(t) \) con una constante de integración. A continuación usaremos la condición inicial \( v(0) = 15 \) para determinar dicha constante. Para terminar escribiremos la expresión definitiva de la velocidad.
Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}\) para \( x > 0 \) y sea \( F \) la primitiva de \( f \) tal que \( F(1) = 2 \) Calcula \( F'(e) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que la derivada de una primitiva de una función es la propia función. A continuación evaluaremos la función f en el punto e. Para terminar obtendremos el valor numérico de F'(e).
Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = (x+2)\ln(x) \) para \( x>0 \) donde \( \ln(x) \) representa al logaritmo neperiano de \( x \) Calcula \( \int f(
x) dx \)
Para resolver este apartado empezaremos por separar la integral en dos sumandos aplicando la linealidad de la integral. A continuación resolveremos cada integral mediante el método de integración por partes. Para terminar sumaremos los resultados y añadiremos la constante de integración.
Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}\) para \( x > 0 \). Determina la primitiva de \( f \) que toma el valor \( 3 \) para \( x = 1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la integral indefinida de la función \( f(x) \) A continuación determinaremos la constante de integración usando la condición \( F(1)=3 \) Para terminar escribiremos la primitiva que satisface la condición.
Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2 \), donde \( a > 0 \) es un parámetro. Determina el valor de \( a \) para que exista una primitiva de \( f(x) \) cuya gráfica pase por los puntos \((0,0) \) y \((a, e+1) \). Calcula dicha primitiva.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la primitiva general de la función f(x). A continuación aplicaremos la condición de paso por el punto (0,0) para expresar la constante de integración en función de a. Para terminar aplicaremos la condición de paso por el punto (a, e+1) para determinar el valor de a y obtener la primitiva concreta.
Determina una función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sabiendo que su derivada viene dada por f'(x) = x^2 + x - 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo).
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos críticos igualando la derivada a cero. A continuación determinaremos cuál es máximo y cuál mínimo mediante la segunda derivada. Para terminar integraremos la derivada, aplicaremos la condición dada para hallar la constante de integración y escribiremos la función final.
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