Ejercicios · Bloque 3: Análisis

Sea \( \ln(x) \) y sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^2}\) Determina el conjunto \( D \) sabiendo que está formado por todos los puntos \( x \in \mathbb{R}\) para los que existe \( f(x) \)

Considera la función dada por \( f(x) = \sqrt{3+|x|}\) para \( x \in [-3, 3]\) Expresa la función \( f \) definida a trozos.

Se han realizado varios estudios para determinar el modo en que se transmiten los bulos en cierta red social. Un primer estudio ha establecido que el número (aproximado) de personas \( f(t) \) (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función \( f(t) = \frac{18}{1 + 2^{-t+3}}\) donde \( t \) representa el tiempo (en días).
Según este modelo, ¿cuántas personas empiezan a difundir el bulo?

Se han realizado varios estudios para determinar el modo en que se transmiten los bulos en cierta red social. Un primer estudio ha establecido que el número (aproximado) de personas \( f(t) \) (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función \( f(t) = \frac{18}{1 + 2^{-t+3}}\) donde \( t \) representa el tiempo (en días).
A medida que transcurre el tiempo, ¿está limitado el número de personas que conocen el bulo? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{k}{(x-a)(2x-1)}\) para \( x \ne a \) y \( x \ne \frac{1}{2}\) Halla \( a \) y \( k \) sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (0, 2) \) y que la recta \( x = 2 \) es una asíntota de dicha gráfica.

Se sabe que la gráfica de la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x - 1}\) (para \( x \neq 1 \) ) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \((1,1) \) y tiene pendiente \( 2 \). Calcula \( a \) y \( b \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{ax^2+b}{a-x}\) (para \( x \neq a \) ). Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \((2,3) \) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale \(-4 \)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}\) para \( x \neq b \)

Calcula \( a \) y \( b \) para que la gráfica de \( f \) pase por el punto \( (1, -2) \) y tenga a la recta \( y = x + 4 \) como asíntota oblicua.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\) para \( x \neq 1 \) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función definida por \( f(x) = -x + \frac{4}{x^2}\) para \( x \neq 0 \)
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\). Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f.

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq 0 \) por \( f(x) = \frac{x^2+1}{x}\). Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x + e^{-x}\). Determina las asíntotas de la gráfica de f.

Se considera la función f: \([1, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\sqrt{x^2 - x} + x \). Determina la asíntota de la gráfica de f.

Dada la función \( f \) definida para \( x \neq -1 \) por \( f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Halla los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2}\) para \( x \neq -1 \). Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq 1, -1 \). Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq 1, -1 \). Estudia y halla las asíntotas a la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{x^2-10}{x^2+2x-3}\) para ( \( x \neq -3 \), \( x \neq 1 \) ). Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función definida por \( f(x)=\frac{ax^3+x-1}{x^2+bx-3}\) para \( x^2+bx-3\neq 0 \)
Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de \( f \) cuando \( a=0 \) y \( b=2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 \)
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función continua f definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\
ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\
\frac{x^2}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\). Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}, \) para \( x \neq \) -2. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.

Considera la función f definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\) para \( x \neq 1 \) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas.

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq \pm 1 \). Estudia y halla las asíntotas a la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida, para \( x \neq 2 \) y \( x \neq -2 \) por \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 4}\) Determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2}\) definida para \( x \neq -2 \)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Estudia la posición relativa de la gráfica de \( f \) respecto de sus asíntotas.

Considera la función \( f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2}\) definida para \( x \neq -2 \) Estudia la posición relativa de la gráfica de \( f \) respecto de sus asíntotas.

Dada la función \( f \) definida para \( x \neq -1 \) por \( f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Dada la función \( f \) definida para \( x \neq -1 \) por \( f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2}\) Halla los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\) para \( x \neq 1 \)
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Estudia la posición de la gráfica de \( f \) respecto de sus asíntotas.

Considera la función \( f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2}\) definida para \( x \neq -2 \) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Se considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{-3x^2 + 2}{x-1}\) para \( x \neq 1 \)
Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función f definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\) para \( x \neq 1 \) Calcula las asíntotas de la gráfica de f.

Sea f la función definida por f(x) = \(\frac{3x^4 + 1}{x^3}\) para \( x \neq 0 \). Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.

Dada la función \( f \) definida, para \( x \neq 0 \), por \( f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1}\) determina las asíntotas de su gráfica.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) =\) \(\frac{x}{x^2+1}\). Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f.

Considera la función \( f(x) = \frac{1}{x \cdot |x|}\) para \( |x| \neq 0 \)

Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x}\) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \) Calcula las asíntotas de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de \( f \) donde ésta corta a la asíntota horizontal.

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \begin{cases} \frac{x(\ln x)^2}{(x-1)^2} & \text{si } x \neq 1 \\ a & \text{si } x = 1 \end{cases}\). Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{ax^3+bx^2+x-1}{x^2-1}\) para \( x\neq\pm 1 \) Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \( (0,1) \) y es paralela a la recta \( y=2x \) calcula la asíntota oblicua y los valores de \( a \) y \( b \)

Sea \( f: (1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \frac{x(\ln x)^2}{(x-1)^2}\) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala.

Considera la curva de ecuación \( y = \frac{x^3}{x^2 - 2x - 3}\) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? . Justifica la respuesta.

Considera la curva de ecuación \( y = \frac{x^3}{x^2 - 2x - 3}\) Determina sus asíntotas.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Dada la función \( f \) definida para \( x \neq -1 \) por \( f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Dada la función \( f \) definida para \( x \neq -1 \) por \( f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2}\) Halla los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2}\) definida para \( x \neq -2 \)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función \( f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2}\)
b) Estudia la posición relativa de la gráfica de la función \( f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2}\) respecto de sus asíntotas.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\( f(x) = \begin{cases} -x e^{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ x e^{x-1} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ x e^{1-x} & \text{si } 1 < x \end{cases}\) Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de \( f \)

a) Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para \( x \neq 0 \) por \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}\) \( g(x) = e^{\frac{1}{x}}\) y \( h(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) siendo ln la función logaritmo neperiano. Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h.
b) Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para \( x \neq 0 \) por \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}\) \( g(x) = e^{\frac{1}{x}}\) y \( h(x) = \frac{\ln(x)}{x}\) siendo ln la función logaritmo neperiano. Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\ln x}{x}\), donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x^2}\). Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x}{\ln(x)}\) para \( x > 0 \) \( x \ne 1 \) (donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano). Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = x e^{\frac{1}{x}}\) para \( x \ge -1 \) \( x \ne 0 \) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x+1)+a}{3x+4}\) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Para \( a = 0 \) estudia y calcula las asíntotas de \( f \)

Sea la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{e^{-x}}{1 - x}\) para \( x \neq 1 \) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}\). Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x - 1}\) para \( x \ne 1 \). Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x-1)\cdot e^x \)
Estudia y calcula las asíntotas de la función.

Sea \( f \) la función definida, para \( x \neq 0 \), por \( f(x) = x e^{\frac{1}{x}}\). Determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) para \( x \neq 1 \) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) función definida por \( f(x) = x + xe^{-x}\). Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}\)
Calcula \( a \) para que \( y = 1 \) sea una asíntota horizontal de la gráfica de \( f \)

Se sabe que la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{x^2 - 32}{x - 4} & \text{si } x > 8 \end{cases}\) es continua en \( [0, +\infty) \) Halla el valor de \( a \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} -\frac{a}{x} & \text{si } x \le -1 \\ x^2+1 & \text{si } x > -1 \end{cases}\) Halla el valor de \( a \) para que \( f(x) \) sea una función continua.

Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que es continua la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como

\(
f(x) = \begin{cases}
\dfrac{x + \cos(x) - ae^x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\
b & \text{si } x = 0
\end{cases}
\)

Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que es continua la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida como:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x + \cos(x) - ae^x}{x^2} & \text{si } x \ne 0 \\ b & \text{si } x = 0 \end{cases}\)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \begin{cases} \frac{x(\ln x)^2}{(x-1)^2} & \text{si } x \neq 1 \\ a & \text{si } x = 1 \end{cases}\). Sabiendo que f es continua, calcula a.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}\) Calcula los límites laterales de \( f \) en \( x=0 \) ¿Es \( f \) continua en \( x=0 \)

Considera la función continua \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} (3x-6) \cdot e^x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{36(sen(x)-ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Calcula \( a \)

Sea la función continua \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(e^x+x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4x^2+a & \text{si } 0 \le x < 1 \\ b+sen(\pi x) & \text{si } 1 \le x \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina \( a \) y \( b \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función continua definida por:
\( f(x) = \begin{cases} |2-x| & \text{si } x < a \\ x^2 - 5x + 7 & \text{si } x \ge a \end{cases}\) donde \( a \) es un número real. Determina \( a \)

Se sabe que la función \( f: [0, +\infty)\to\mathbb{R}\) dada por \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^2-32}{x-4} & \text{si } x>8 \end{cases}\) es continua. Determina \( a \)

Considera la función continua \( f \) definida por: \( f(x)=\begin{cases} \frac{x\cdot \cos(x)-a\cdot \operatorname{sen}(x)}{x^3} & \text{si } x<0 \\ b\cdot \cos(x)-1 & \text{si } x\geq 0 \end{cases}\)
Calcula \( a \) y \( b \)

Considera la función continua f definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\
ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\
\frac{x^2}{x + 1} & \text{si } x \geq 1
\end{cases}\)

Calcula a y b.

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\( f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 2a \cos(x) & \text{si } 0 \leq x < \pi \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq \pi \end{cases}\) es continua.
Determina \( a \) y \( b \)

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\
\sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\
\frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x
\end{cases}\)

Calcula a y b.

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\
\mu & \text{si } x = 0
\end{cases}\)

Calcula \(\lambda y \mu \)

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Teniendo en cuenta que la velocidad es \( v(t) = h'(t) \) halla la velocidad al cabo de \( 2 \) segundos.

Sea \( f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\) Estudia la derivabilidad de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x|x - 4|\) Estudia su derivabilidad en \( x = 4 \)

Se sabe que la función \( f: [0,5] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} ax + bx^2 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ -4 + \sqrt{x - 1} & \text{si } 2 \le x \le 5 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (0,5) \) Calcula las constantes \( a \) y \( b \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función continua definida por:
\( f(x) = \begin{cases} |2-x| & \text{si } x < a \\ x^2 - 5x + 7 & \text{si } x \ge a \end{cases}\) donde \( a \) es un número real.
a) Determina \( a \)
b) Halla la función derivada de \( f \)

Sabiendo que una función \( f \) es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para \( x > 0 \) como la de la figura, calcula \( f'(x) \) en los puntos donde exista.

Sea la función \( f: [0,4] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \le x < 2 \\ cx + 1 & \text{si } 2 \le x \le 4 \end{cases}\). Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que \( f \) es continua en el intervalo cerrado \([0,4]\), derivable en el intervalo abierto \((0,4) \) y que \( f(0) = f(4) \)

Dada la función \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-|x|} & \text{si } x \neq -1 \text{ y } x \neq 1 \\ 0 & \text{si } x = -1 \text{ ó } x = 1 \end{cases}\) estudia su continuidad y derivabilidad.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}\). Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) es derivable en \(\mathbb{R}\)

Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Halla el valor de \( a \) ¿Es \( f \) derivable en \( x = 0 \)

Considera la función \( f: [0,4] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x^2+ax+b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}\). Sabiendo que \( f \) es derivable en todo el dominio y que verifica \( f(0) = f(4) \), determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \)

Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Calcula la función derivada \( f'\)

Sea \( f: \left[\frac{1}{e}, 4\right] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} x - \ln(x) + a & \text{si } \frac{1}{e} \le x \le 2 \\ bx + 1 - \ln(2) & \text{si } 2 < x \le 4 \end{cases}\), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo \(\left(\frac{1}{e}, 4\right) \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{|x|}{2 - x}\) para \( x \neq 2 \). Estudia la derivabilidad de \( f \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\( f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 2a \cos(x) & \text{si } 0 \leq x < \pi \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq \pi \end{cases}\) es continua.
Estudia la derivabilidad de \( f \)

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\\frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0
\end{cases}\)

Para \( a = 2 \) y \( b = -1 \), estudia la derivabilidad de f.

Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-|x|} & \text{si } x \neq -1 \text{ y } x \neq 1 \\ 0 & \text{si } x = -1 \text{ ó } x = 1 \end{cases}\)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}\) Calcula el valor de la derivada de \( f \) en \( x=1 \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dada por: \( f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 2b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula \( a \) y \( b \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \( f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(x) + ax + b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula \( a \) y \( b \)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los valores de \( a \) y \( b \)

Enunciado

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}\)

Apartado a:
Calcula los límites laterales de \( f \) en \( x=0 \) ¿Es \( f \) continua en \( x=0 \)

Apartado b:
Calcula el valor de la derivada de \( f \) en \( x=1 \)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{ax+b}{x-1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1+x) & \text{si } x > 0 \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina \( a \) y \( b \)

Sea \( f: (-2,0)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida mediante
\( f(x)=\begin{cases} \frac{\alpha}{x} & \text{si } -2 < x \leq -1 \\ \frac{x^2-\beta}{2} & \text{si } -1 < x < 0 \end{cases}\)
Determina \(\alpha \) y \(\beta \) sabiendo que \( f \) es derivable.

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por
\( f(x)=\begin{cases} 1+\alpha x & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)
Determina el valor de \(\alpha \) sabiendo que \( f \) es derivable.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 3ax+b & \text{si } x \le 0 \\ e^{x(ax+b)} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) es derivable.

Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Determina el valor de la constante \( c \)

Se considera la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por

\(
f(x) = \begin{cases} 1 + \dfrac{a}{x-2} & \text{si } x < 1 \\[8pt] a + \dfrac{b}{\sqrt{x}} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
\)

Calcula los valores de \( a \) y \( b \)

Sea \( f: [1/e, 4] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} x - \ln(x) + a & \text{si } 1/e \leq x \leq 2 \\ bx + 1 - \ln(2) & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}\) Donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Calcula los valores de \( a \) y \( b \) para que \( f \) sea derivable en el intervalo \( (1/e, 4) \)

Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( b > 0 \) y que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como

\(
f(x) = \begin{cases}
a\cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\
a^2 \ln(x+1) + \dfrac{b}{x+1} & \text{si } x \geq 0
\end{cases}
\)

es derivable. (ln denota la función logaritmo neperiano).

Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( b > 0 \) y que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \( f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\) es derivable. ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Determina \( k \neq 0 \) sabiendo que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} 3 - kx^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{kx} & \text{si } x > 1 \end{cases}\) es derivable.

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \( f(x) =\begin{cases} -x^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ ax^2 - 5x + 2a & \text{si } x > 1 \end{cases} es \). Determina los valores de a y b.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\ 1-x^2 & \text{si } 0 < x < 1 \\ \frac{2}{x+1} & \text{si } 1 \leq x \end{cases}\). Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función continua definida por:
\( f(x) = \begin{cases} |2-x| & \text{si } x < a \\ x^2 - 5x + 7 & \text{si } x \ge a \end{cases}\) donde \( a \) es un número real. Determina \( a \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función continua definida por:
\( f(x) = \begin{cases} |2-x| & \text{si } x < a \\ x^2 - 5x + 7 & \text{si } x \ge a \end{cases}\) donde \( a \) es un número real. Halla la función derivada de \( f \)

Sea \( f: [0,2] \to \mathbb{R}\) la función definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases}\)
Estudia la derivabilidad de \( f \)

Considera la función \( f: (-1,1) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{(1-|x|)^2}\)
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función \( f \)

Sea la función \( f: (-1,1) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1+|x|}{1-|x|}\)
Estudia la derivabilidad de \( f \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\begin{cases}\frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\). Estudia su continuidad y derivabilidad.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 | x - 3 |\). Estudia la continuidad y derivabilidad de f.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\( f(x) = \begin{cases} -x e^{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ x e^{x-1} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ x e^{1-x} & \text{si } 1 < x \end{cases}\) Estudia la derivabilidad de \( f \) en \( x = 0 \) y en \( x = 1 \)

Estudia la derivabilidad de la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} \sqrt{3+x^2} - x & \text{si } 0 < x \le 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{x^2}{4} & \text{si } x > 1 \end{cases}\) Calcula la función derivada.

Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función \( f \) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-|x|} & \text{si } x \neq -1 \text{ y } x \neq 1 \\ 0 & \text{si } x = -1 \text{ o } x = 1 \end{cases}\)

Estudia la derivabilidad de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} & \text{si } x > 0 \\ 1 & \text{si } x \le 0 \end{cases}\)

El número de moléculas en una placa de ensayo viene dado por la función \( f(x) = e^{x^2 - 2x}\) expresado en miles de moléculas, donde \( x \in [0,5]\) indica el tiempo en horas.
¿Cuál es la velocidad de crecimiento a las 3 horas? ¿Cuál es la velocidad media de crecimiento en el intervalo \( [0,5]\)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \)

Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}}\) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Halla los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la gráfica de la función \( f(x) = \frac{ax^2 + b}{x + c}\) tiene una asíntota vertical en \( x = 1 \), una asíntota oblicua de pendiente \( 2 \), y un extremo local de abscisa \( x = 3 \)

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = a \ln(x) + bx^2 + x \) para \( x > 0 \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. ¿Qué tipo de extremos tiene \( f \) en \( x = 1 \) y en \( x = 2 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x}\). Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \)
a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \( f \) y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.
b) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x-3) \cdot e^x \)

Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = x^2 + px + q \) Calcula los valores de \( p \) y \( q \) sabiendo que la función \( f \) tiene un extremo en \( x = -6 \) y su valor en él es \( -2 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) para \( x \neq 1 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \)
a) Calcula \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) y \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)
b) Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).
c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Dada la función \( f(x)=x^2 e^{-x}\) halla su derivada \( f'\) y razona cuál de las dos funciones, \( f \) o \( f'\) toma valores negativos para abscisas mayores que dos.

Sea f la función definida, para \( x \neq 2 \) y \( x \neq -2 \), por f(x) = \(\dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 4}\)

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Determina los parámetros \( a \) \( b \) y \( c \) de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) sabiendo que corta al eje de abscisas en \( x = -2 \) y \( x = 1 \) y tiene un mínimo en \( x = 1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \dfrac{3x + 1}{\sqrt{x}}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, \( x \) es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula \( -x^2 + 70x \) mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión \( \frac{400x}{x - 30}\) Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a que edad se alcanza.

Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por:
\( v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 \) para \( t \in [2,6]\) ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad? . Justifica la respuesta.

De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la representada en la figura (la gráfica de \( f'\) es siempre positiva o cero, crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \) alcanzando su máximo en \( f'(1)=1 \)
a) Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?
c) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \)

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de \( f \)

Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \( f \) y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.

Halla los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) tiene en \( x=1 \) un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \((1,1) \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x - a) \cdot e^x \). Determina \( a \) sabiendo que la función tiene un punto crítico en \( x = 0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de \( f \) tiene de abscisa \( x = 1 \) y que \( f \) tiene un mínimo relativo en \( x = 2 \) de valor \( -9 \) Calcula \( a \), \( b \) y \( c \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = x^2 + 4 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-4x+2 \) y \( g(x)=-x^2+2x+c \). Halla el valor de \( c \) sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que \( g \) alcanza su máximo.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Apartado a: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta.

Apartado b: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de \( t \) segundos, viene dada por \( h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t}\) Teniendo en cuenta que la velocidad es \( v(t) = h'(t) \) halla la velocidad al cabo de \( 2 \) segundos.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \le 1 \\ 2 - x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}\) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \( f \)

Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Halla \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x)=a+b \cdot sen(x)+c \cdot sen(2x) \) tiene un punto crítico en el punto de abscisa \( x=\pi \) y la recta \( y=-\frac{1}{2}x+3 \) es normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Se administra una medicina a un enfermo y \( t \) horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por \( c(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) miligramos por mililitro.
Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, ¿en algún momento hay riesgo para el paciente?

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender \( x \) miles de unidades de un producto viene dado por la función: \( B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36 \) donde \( x \) está en el intervalo \( [0,8]\)
Justifica razonadamente que decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por que en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Halla \( a>0 \) y \( b>0 \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x)=\frac{bx^2}{1+ax^4}\) tiene en el punto \((1,2) \) un punto crítico.

Considera la función \( F: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( F(x) = \int_0^x (2t + \sqrt{t}) \, dt \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Considera la función \( F: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por \( F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cdot \cos(t) dt \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = \pi \)

Sea la función \( f: [0,4] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \le x < 2 \\ cx + 1 & \text{si } 2 \le x \le 4 \end{cases}\). ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

En un segundo estudio, han simplificado un modelo anterior y han establecido que el número (aproximado) de personas \( g(t) \) (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función \( g(t) = \frac{18}{\pi} \text{arc}\tan(t - 3) + 9 \) donde \( t \) representa el tiempo (en días).
Según este segundo modelo, ¿en qué momento empieza a disminuir la velocidad a la que se propaga el bulo? ¿Cuántas personas conocen en dicho momento el bulo?

Sea \( f: [0,2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x(\operatorname{sen} x + \cos x) \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (3x - 2x^2)e^x \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \int_0^x \cos(t) \cdot \operatorname{sen}^2(t) dt \). Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{4}\)

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\\frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0
\end{cases}\)

Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que f tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2.

Halla dos funciones polinómicas: la primera que tenga un único extremo relativo y la segunda que no contenga ninguno.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) sabiendo que \( f(0) = 0 \) y \( f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x+1}\) para \( x > -1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (3x - 2x^2)e^x \). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

a) Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Determina el valor de la constante \( c \)
b) Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Calcula la función derivada \( f'\)
c) Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \( f \) que son paralelas a la recta de ecuación \( y = -x \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f.

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función \( C(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) mg/ml, siendo \( t \) el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo. Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.

Sea la función \( f: [1, e] \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función \(C(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) mg/ml, siendo \(t\) el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.
Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es \(1\) mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{k}{(x-a)(2x-1)}\) para \( x \ne a \) y \( x \ne \frac{1}{2}\) Para \( k = 4 \) y \( a = 2 \) halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 | x - 3 |\). Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se administra una medicina a un enfermo y \( t \) horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por \( c(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}}\) miligramos por mililitro.
Determina el valor máximo de \( c(t) \) e indica en qué momento se alcanza dicho valor máximo.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x + e^{-x}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f.

Un cohete de investigación realiza su vuelo con una velocidad representada por la función \( v \) medida en kilómetros por segundo. Tras un estudio se ha determinado que la derivada \( v'\) de esta función se corresponde con \( v'(t) = 24 - 6\sqrt{t+1}\) donde \( t \) representa el tiempo medido en segundos transcurrido desde el lanzamiento. Por otra parte, sabemos que la velocidad inicial es de 15 km/s y que en cuanto empieza a perder velocidad el cohete no se puede controlar. En este momento, lo más conveniente es que se autodestruya y para ello utilizamos un artefacto explosivo que se activa con un temporizador.
Si utilizamos el temporalizador para que active la explosión, ¿cuál es el valor máximo de tiempo, en segundos, que tomaría como referencia para destruir el cohete?

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq 0 \) por \( f(x) = \frac{x^2+1}{x}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtiene y los valores que alcanza la función).

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = | x^2 - 4 |\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

Sea f la función definida por f(x) = \(\frac{3x^4 + 1}{x^3}\) para \( x \neq 0 \). Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \)

Halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea la función \( f: [1, e] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

Calcula los extremos absolutos y relativos de la función \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sabiendo que \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( F(x) = e^{x^2}\) es una primitiva de \( f \). Comprueba que \( f \) es creciente.

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de \( f \)

De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?

Sea \( f: [1/e, 4] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} x - \ln(x) + a & \text{si } 1/e \leq x \leq 2 \\ bx + 1 - \ln(2) & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}\) Donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Para \( a = 0 \) y \( b = 1/2 \) halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo \( [\frac{1}{e}, e]\)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\), la función definida por \( f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) \). Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender \( x \) miles de unidades de un producto viene dado por la función: \( B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36 \) donde \( x \) está en el intervalo \( [0,8]\)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de \( x \) en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo.

Halla la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x) = 12x - 6 \) y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \) tiene de ecuación \( 4x - y - 7 = 0 \)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 \)
¿Es creciente \( f \) en el conjunto \( (-1,1) \cup (1, +\infty) \) Justifica tu respuesta.

Dadas la parábola de ecuación \( y = 1 + x^2 \) y la recta de ecuación \( y = 1 + x \) calcula la ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

Halla una función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que su gráfica pase por el punto \( M(0,1) \) que la tangente en el punto \( M \) sea paralela a la recta \( 2x - y + 3 = 0 \) y que \( f''(x) = 3x^2 \)

Sea \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función tal que su función derivada viene dada por \( f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } 3 \le x \le 4 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) sabiendo que \( f(1) = \frac{16}{3}\)

Determina un punto de la curva de ecuación \( y = x \cdot e^{-x^2}\) en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.

Dada la función \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa \( x=3 \)

En una habitación se ha dejado una bebida caliente, su temperatura \( T(t) \) en grados Celsius se puede modelar por la función \( T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1}\) donde \( t \ge 0 \) representa el tiempo en segundos.
Indica, justificando tu respuesta, cuál era la temperatura inicial que tenía la bebida, describe cómo ha evolucionado su temperatura y cuál sería la hipotética temperatura final que alcanzaría. ¿A qué temperatura esta la habitación?

Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \). Halla \( a \), \( b \) y \( c \) para que la gráfica de \( f \) tenga un punto de inflexión de abscisa \( x = \frac{1}{2}\) y que la recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \) tenga por ecuación \( y = 5 - 6x \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \sqrt[3]{x}\) Calcula la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}\)
a) Calcula los límites laterales de \( f \) en \( x = 0 \) ¿Es \( f \) continua en \( x = 0 \)
b) Calcula el valor de la derivada de \( f \) en \( x = 1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función derivable definida por: \( \) f(x) = \(\begin{cases} a - x & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{b}{x} + \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\) donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano.

Apartado a: Calcula a y b.

Apartado b: Para a = 3 y b = 2, calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [0, e] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se sabe que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \( f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \) tiene un punto de inflexión para \( x = 1 \) y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es \( y = -6x + 6 \). Calcula \( a \), \( b \) y \( c \)

De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuación \( y = \frac{1}{4} x^2 + 4x + 4 \) Calcula los puntos de tangencia correspondientes.

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tiene un punto crítico en \( x = 0 \), que su gráfica pasa por \((0, 3) \) y que la recta \( y = -2x + 2 \) es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \). Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en un punto de la misma de ordenada \( y=1 \) teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \le 1 \\ 2 - x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}\)
a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de \( f \) en \( x = 1 \)
b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \( f \)

De la función f: R -> R definida por f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x =

0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \)
a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)
b) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \)
a) Halla el valor de \( a \) ¿Es \( f \) derivable en \( x = 0 \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x)=a+b\cdot \cos(x)+c\cdot \operatorname{sen}(x) \)
Halla \( a \) \( b \) y \( c \) sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa \( x=\frac{\pi}{2}\) a la recta \( y=1 \) como recta tangente, y que la recta \( y=x-1 \) corta a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola \( y = x^2 \) que es paralela a la recta \( -4x + y + 3 = 0 \)
b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola \( y = x^2 \) que pasan por el punto \( (2, 0) \)

Calcula los valores \( a, b, c, d \) de la función polinómica \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) sabiendo que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de inflexión \( (1,0) \) es \( y = 3x - 3 \) y que el punto de abscisa \( x = 0 \) es un extremo relativo.

Sea la función continua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por

\(
f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \leq 0 \\[6pt] \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}
\)
a) Calcula el valor de \( k \)
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2 - x|x|\)
a) Esboza la gráfica de \( f \)
b) Estudia la derivabilidad de \( f \) en \( x=0 \)
c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:
- El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f.
- f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1.
- La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de pendiente 1.

Se sabe que la función \( f: [0,5] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} ax + bx^2 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ -4 + \sqrt{x - 1} & \text{si } 2 \le x \le 5 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (0,5) \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x - 3) \cdot e^x \) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en su punto de inflexión.

Determina el valor de las constantes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f: R -> R definida por \( f(x) = x(ax^2 + bx + c) \) tiene un punto de inflexión en \( (-2, 12) \) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación \( 10x + y + 8 = 0 \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = x e^{-x^2}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \( f'(x)=(2x+1)e^{-x}\) y su gráfica pasa por el origen de coordenadas. Calcula la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Determina los extremos relativos de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.

Determina el valor de las constantes \( a \) \( b \) y \( c \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x(ax^2+bx+c) \) tiene un punto de inflexión en \( (-2,12) \) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación \( 10x+y+8=0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 4 - x^2 \) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta \( x + 2y - 2 = 0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 5x + 4 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2 - x|x|\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

Sea la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{e^{-x}}{1 - x}\) para \( x \neq 1 \)
a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función \( f \)
b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máximo en \( x = 1 \) que su gráfica pasa por el punto \( (1, 1) \) y que la recta de ecuación \( y = x \) es tangente a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x \cdot \cos x \) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.
a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\)
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \)
a) Determina el valor de la constante \( c \)
b) Calcula la función derivada \( f'\)
c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \( f \) que son paralelas a la recta de ecuación \( y = -x \)

a) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)
b) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 + ax + b \) y \( g(x) = c e^{-(x+1)}\). Se sabe que las gráficas de \( f \) y \( g \) se cortan en el punto \((-1,2) \) y tienen en ese punto la misma recta tangente. Calcula los valores de \( a \), \( b \) y \( c \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es \( y + x = -3 \) y que el punto de inflexión tiene abscisa \( x = 1 \)

a) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
b) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Determina la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x) = x^2 - 1 \) y que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es la recta \( y = 1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \(\sqrt{e}\)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

El número de moléculas en una placa de ensayo viene dado por la función \( f(x) = e^{x^2 - 2x}\) expresado en miles de moléculas, donde \( x \in [0,5]\) indica el tiempo en horas.
Realiza un estudio del crecimiento de dicha función. ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima? ¿En qué momento se alcanzan?

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x^2 \). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Determina la función \( f: (1, +\infty)\to\mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x)=\frac{1}{(x-1)^2}\) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \) es \( y=x+2 \)

Se sabe que la función \( f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}\) es derivable en el intervalo \( (-1, 1) \) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \( f \) que son paralelas a la recta de ecuación \( y = -x \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}}\)
a) Calcula \( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \) y \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \)
b) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2x^3 + 12x^2 + ax + b \). Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3.

Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola \( y = x^2 \) que es paralela a la recta \( -4x + y + 3 = 0 \)

de la función evaluada en \( x_0 \) Dada la función \( f(x) = x^2 \) calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva en el punto con abscada \( x_0 = 1 \)

Sea \( f: (-1, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\ln(x+1) \). ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = e^{-2x}\) Justifica que la recta de ecuación \( y = -2ex \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -\frac{1}{2}\)

Sea \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función dada por \( g(x) = \ln x \) (donde \( \ln x \) denota logaritmo neperiano). Justifica que la recta de ecuación \( y = \frac{1}{e} x \) es la recta tangente a la gráfica de \( g \) en el punto de abscisa \( x = e \)

De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 + ax + b \) y \( g(x) = c e^{-(x+1)}\). Se sabe que las gráficas de \( f \) y \( g \) se cortan en el punto \((-1,2) \) y tienen en ese punto la misma recta tangente. Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen}\, x) \)
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de \( f \)

Dada la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{x+1}{e^x}\), determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en su punto de inflexión.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}\). Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \) \(\mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Halla los coeficientes \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) presenta un extremo local en el punto de abscisa \( x = 0 \), que \((1,0) \) es punto de inflexión de la gráfica de \( f \) y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es \(-3 \)

a) Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Halla el valor de \( a \) ¿Es \( f \) derivable en \( x = 0 \)
b) Se sabe que la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\) es continua en \( (-1, +\infty) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \( g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( g \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Calcula \( a \) \( b \) \( c \) y \( d \) sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en \( (0, 1) \) y su gráfica un punto de inflexión en \( (1, -1) \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x(x-3)^2 \). Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la curva de ecuación \( y = x^3 - 3x \)
Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa \( x = -1 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \operatorname{sen}(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que \( f \) es continua, alcanza su máximo relativo en \( x = -1 \) y la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \) tiene pendiente \( 2 \)

La recta tangente a la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = mx^2 + nx - 3 \), en el punto \((1, -6) \), es paralela a la recta de ecuación \( y = -x \)
Determina las constantes \( m \) y \( n \). Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) \) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = a\ln(x) + bx^2 + x \) para \( x > 0 \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene extremos relativos en \( x = 1 \) y en \( x = 2 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 1 + \ln(x) \), siendo \(\ln \) la función logaritmo neperiano.
Comprueba que la recta de ecuación \( y = 1 + \frac{1}{e}x \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 + |x - 1|\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: (-\infty, 1) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} x + 2e^{-x} & \text{si } x \le 0 \\ a\sqrt{b - x} & \text{si } 0 < x < 1 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\begin{cases}\frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\). Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + 1}\) para \( cx + 1 \neq 0 \). Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que la recta \( x = -1 \) es una asíntota vertical a la gráfica de \( f \) y que \( y = 2x + 4 \) es la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea la función continua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 0 \\ \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x}{\ln(x)}\) para \( x > 0 \) \( x \ne 1 \) (donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), dada por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1 \) tiene un punto crítico en \( x = 2 \) y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \) es \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\). Calcula \( a \), \( b \) y \( c \)

Considera la función derivable \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} & \text{si } x < 0 \\ ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\)
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x \) para \( x > 0 \). Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \) y \( g(x) = x^2 - 1 \). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -2 \)

De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Estudia la concavidad y convexidad de \( f \)

Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) tiene un punto de inflexión en \((0,4) \) y su recta normal en el punto \((1,8) \) es paralela al eje de ordenadas.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x)=x^3-4x \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea \( f: [0,2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x(\operatorname{sen} x + \cos x) \). Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{9-x^2}{4}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{x}}\) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot (x - 2) \) Determina, si existen, los puntos de inflexión de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \) Halla, si existe, el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y = 3 - x \)

Sea \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \ln x \) ( \(\ln \) representa logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \( f(x)=3-x^2 \) y \( g(x)=-\frac{x^2}{4}\). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \) y comprueba que también es tangente a la gráfica de \( g \). Determina el punto de tangencia con la gráfica de \( g \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x \) para \( x > 0 \). Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

Sea \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x+1)+a}{3x+4}\) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Determina \( a \) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es 1.

Sea \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=e^{2-x}\). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{-2x}\). Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y=-2ex \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x - a) \cdot e^x \). Para \( a = 1 \), calcula los puntos de inflexión de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \) Calcula \( a \) para que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (a, f(a)) \) pase por el origen de coordenadas.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (5 - x) \cdot e^{x - 4}\). Determina los puntos de la gráfica de \( f \) cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por: \( f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6) \). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + a x^2 + bx + c \). Determina a, b, c sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x = 1 y un punto de inflexión en (-1, 5).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 + 1 \). Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y = 4x - 3 \)

Considera la función \( f(x) = \frac{1}{x \cdot |x|}\) para \( |x| \neq 0 \)

Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (e^{ax} + b)x \), con a \(\neq 0 \). Calcula a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x = 0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es x = 1.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}\). Halla los puntos de la gráfica de \( f \) cuya recta tangente es horizontal.

Considera la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = \begin{cases} e^x - e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)

Apartado a: Calcula a y b.

Apartado b: Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}\). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea f la función definida por \( f(x) = \ln x + \dfrac{1}{2x}\) para \( x > 0 \)

Apartado a: Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

Apartado b: Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = | x^2 - 4 |.
Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.

Dada la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln x \) donde \( \ln \) es la función logaritmo neperiano, se pide: Comprueba que la recta de ecuación \( y = -ex + 1 + e^2 \) es la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = e \)

Calcula la función polinómica, de grado \( 3 \) de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto \( (0, 2) \) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \) es la recta \( x + y = 3 \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2) \). Calcula a, b, c y d.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Dada \( f: (1, e) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de \( f \) que tiene pendiente máxima.

Considera la función continua \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} (3x-6) \cdot e^x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{36(sen(x)-ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}\) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=-1 \)

Sea \( f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\) Calcula los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{ax^2+b}{a-x}\) (para \( x \neq a \) ).. . Para \( a=2 \) y \( b=3 \), calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{ax+b}{x-1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1+x) & \text{si } x > 0 \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=2 \)

a) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de \( f \) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{2 - \cos(x)}\). Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisas \( x = \frac{\pi}{3}\)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) =\) \(\frac{x}{x^2+1}\). Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \)

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\
\sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\
\frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}\). Para a = -1 y b = 4, estudia si existe la derivada de f en x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \). Para \( a = 3 \), \( b = -9 \) y \( c = 8 \), calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\), la función definida por \( f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) \). Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \(\frac{3\pi}{2}\)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\ln x}{x}\), donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Sea f la función continua definida por

\( f(x) = \begin{cases}
\frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ \mu & \text{si } x = 0 \end{cases}\). Para \(\lambda = 2 \), calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función derivable definida por:
\( f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \le 1 \\ \frac{b}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}\)
donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano. Para \( a = 3 \) y \( b = 2 \) calcula los extremos absolutos de \( f \) en el intervalo \([0, e]\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función f definida por f(x) = \(\frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}\), para x \(\neq -2 \). Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x^2}\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: [-2, 2] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 2x + 5 \)

Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos \( (-2, f(-2)) \) y \( (2, f(2)) \)

Sea la función \( f: [-2, 2] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 2x + 5 \)

Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión.

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}\) para \( x \neq b \)

En el caso de \( a = 5 \) y \( b = 4 \) calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) que pasa por el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea la función \( f: [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 5x+1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases}\)
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{2}\)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(x) \) donde ln denota el logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1,0) \) y \( B(e, 1) \)
Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(x) \) donde ln denota el logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1,0) \) y \( B(e, 1) \)
Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto \( A \)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\begin{cases} a\cdot e^{-x}+b\cdot \ln(1-x) & \text{si } x<0 \\ x+\ln(1+x) & \text{si } x\geq 0 \end{cases}\) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x-1)\cdot e^x \)
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión.

Sean las funciones \( f: (-1,0) \cup (0,1) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) \) y \( g(x) = x^3 + 2 \)
Calcula \( a \neq 0 \) de forma que en el punto \( (a, f(a)) \) la recta normal a la gráfica de la función \( f \) sea paralela a la recta tangente a la gráfica de \( g \) en el punto \( (a, g(a)) \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 + 4x + 3 \) Encuentra los valores del parámetro \( a \) para los que la recta que pasa por el origen \( y = a x \) es tangente a la gráfica de \( f \) ¿Cuál es la abscisa de los puntos de tangencia?

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) función definida por \( f(x) = x + x e^{-x}\) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) que es paralela a la recta \( x - y + 1 = 0 \)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{ax^2+b}{a-x}\) para \( x \neq a \). Para el caso de \( a=2 \), \( b=3 \), obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) \), donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano. Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación \( x - 2y + 1 = 0 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) \), donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida como \( f(x) = (x+1)\sqrt[3]{3-x}\). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -5 \) y en el punto de abscisa \( x = 2 \)

a) Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
b) Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos x + \operatorname{sen} x) \) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 4 - x^2 \). Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

Sea \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=-x^2+6x-5 \). Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( g \) en el punto de abscisa \( x=4 \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\) para \( x \neq 1 \) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de \( f \) Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por: \( f(x)=x\cdot e^{-x^2}\). Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con los ejes coordenados y los extremos relativos de \( f \) (abscisas en los que se obtienen y los valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = 4x^3 - x^4 \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (\ln(x))^2 \) (donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x - 1}\) para \( x \ne 1 \). Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 - |x|\). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{-3x^2 + 2}{x-1}\) para \( x \neq 1 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función definida por \( f(x) = -x + \frac{4}{x^2}\) para \( x \neq 0 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
Estudia y determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2}\) para \( x \neq -1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Se considera la función \( f: (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}\). Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Se considera la función \( f: (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}\). Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq 1, -1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x)}{2 - \cos(x)}\). Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{|x|}{2 - x}\) para \( x \neq 2 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq 1, -1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{x^2-10}{x^2+2x-3}\) para ( \( x \neq -3 \), \( x \neq 1 \) ).. . Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}\)

Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 5x+1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases}\)
Halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = x(\ln(x))^2 \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = x(\ln(x))^2 \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = 1 + \int_0^x t \cdot e^t \, dt \) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( F: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) definida por \( F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cdot \cos(t) dt \) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( F \)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(x^2+1)e^x \)
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \( f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot e^{-x^2}\)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \( f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot e^{-x^2}\)
Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}\)
Para \( a = 0 \) calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) Estudia y halla los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea \( f: [0,2] \to \mathbb{R}\) la función definida por:
\( f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases}\)
Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función \( f: (-1,1) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{(1-|x|)^2}\)
Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean las funciones \( f: (-1,0) \cup (0,1) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) \) y \( g(x) = x^3 + 2 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \( f \)

Sea la función \( f: (-1,1) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1+|x|}{1-|x|}\)
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 \)
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq \pm 1 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)

Considera la función \( f: [0,4] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} x^2+ax+b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}\). Para \( a = -3 \), \( b = 4 \) y \( c = 1 \) halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

a) De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Halla la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=1 \)
b) De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \) ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto?
c) De una función \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f(1) = 3 \) y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que \( f'(1)=1 \) que \( f'(x) \) es siempre positiva o cero, que \( f'(x) \) crece de \( 0 \) a \( 1 \) decrece de \( 1 \) a \( 3 \) y crece de \( 3 \) a \( 4 \). Estudia la concavidad y convexidad de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 2 \)
a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de \( f \) donde ésta corta a la asíntota horizontal.

a) Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \( f \) y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.
b) Sea \( f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos \( (-1, -2) \) \( (2, 2) \) y \( (4, -1) \) Estudia la concavidad y convexidad de \( f \) ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por: \( f(x)=\arctan(x+\pi) \) donde arctg denota la función arcotangente.
Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(x^2+1)e^x \)
Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función \( f: [1, e] \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 8\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) (donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de f y los puntos de inflexión de su gráfica.

Determina el valor de las constantes \( c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + 3x^2 + cx + d \) tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta \( y = 3x + 4 \)

a) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 5x + 3 \) y sea \( r \) la recta de ecuación \( 2x + y = 6 \) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente sea \( r \) Justifica la respuesta.
b) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 5x + 3 \) y sea \( r \) la recta de ecuación \( 2x + y = 6 \) ¿Hay algún punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta normal a la gráfica sea \( r \) Justifica la respuesta.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 \) Determina \( a, b \) sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (2,2) \) y tiene un punto de inflexión de abscisa \( x = 0 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 \) Sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (2,2) \) y tiene un punto de inflexión de abscisa \( x = 0 \) calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en dicho punto de inflexión.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}\) para \( x > 0 \) y sea \( F \) la primitiva de \( f \) tal que \( F(1) = 2 \) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = e \)

La figura muestra la gráfica de una función \( f \) impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) definida en \( [-3, 3]\) La parte de la gráfica correspondiente a \( x > 0 \) consta de un segmento constante en \( y = 1 \) para \( x \in (0,1) \) y de un segmento que une los puntos \( (1,2) \) y \( (3,3) \)
a) Calcula \( f(0) \)
b) Completa la gráfica de \( f \) para \( x < 0 \)
c) Calcula \( f'(x) \) en los puntos donde exista.

Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Esboza la gráfica de f.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}. Esboza \) la gráfica de f.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x|x - 4|\) Esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por
\( f(x)=\begin{cases} 1+\alpha x & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)
Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Dada la función \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( g(x) = 2x + |x^2 - 1|\) Esboza la gráfica de \( g \)

Sea \( f \) la función definida, para \( x \neq 2 \) y \( x \neq -2 \) por \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 4}\) Esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x(x-3)^2 \). Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x|x-2|\). Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2 - x|x|\) Esboza la gráfica de \( f \)

Se consideran las funciones \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \sqrt{3x}\) y \( g(x) = \frac{1}{3}x^2 \)
Haz un esbozo de sus gráficas.

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x) = x^2 + |x|\); \( g(x) = 2 \)
Determina los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Esboza dichas gráficas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por: \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = |x|\) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) para \( x \neq 1 \) Esboza la gráfica de \( f \) indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Considera la función definida por \( f(x) = -x + \frac{4}{x^2}\) para \( x \neq 0 \)
Esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{x}{x^2+1}. Esboza \) la gráfica de f.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x^2}. Esboza \) la gráfica de f.

Una partícula parte de reposo y al cabo de \( t \) segundos, su velocidad viene dada por la función \( v(t) = t \cdot (4 - t) \) metros/segundo (recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo).
Esboza la gráfica de la función espacio con respecto al tiempo.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 6x - x^2 \) y \( g(x) = x^2 - 2x \). Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x)=\operatorname{sen} x \) y \( g(x)=\cos x \) respectivamente. Realiza un esbozo de las gráficas de \( f \) y \( g \) en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}]\)

Sean \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones definidas mediante \( f(x)=|x(x-2)|\) y \( g(x)=x+4 \). Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

Sean \( f \) y \( g \) las funciones definidas por \( f(x)=2-x \) y \( g(x)=\frac{2}{x+1}\) para \( x\neq-1 \). Calcula los puntos de corte entre las gráficas de \( f \) y \( g \)

Sean \( f \) y \( g \) las funciones definidas por \( f(x)=2-x \) y \( g(x)=\frac{2}{x+1}\) para \( x\neq-1 \). Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes.

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas respectivamente por \( f(x) = \frac{|x|}{2}\) y \( g(x) = \frac{1}{1+x^2}\) Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = |\ln(x)|\) para \( x > 0 \) Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con la recta \( y = 1 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = |x^2-4|\) Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Considera la región limitada por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = -x^2 + 4x \) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por \( f(x) = \sqrt{2x-2}\) para \( x \ge 1 \) la recta \( y=x-5 \) y el eje de abscisas. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de \( f \) y las rectas.

Considera la función \( f: \left(-\frac{e}{2}, +\infty\right)\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(2x+e) \), donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. Haz un esbozo de la gráfica de \( f \) calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Sean las funciones \( f, g: [0, \pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\operatorname{sen} x \) y \( g(x)=\operatorname{sen} 2x \). Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

Considera las funciones \( f, g: [-\pi, \pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\cos(x) \) y \( g(x)=\operatorname{sen}(x) \). Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

Sea \( f \) la función definida por: \( f(x) = \begin{cases} 2x+4 & \text{si } x < 0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\) Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = x^3 + 2 \) y \( g(x) = -x^2 + 2x + 2 \) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \) Esboza sus gráficas.

Considera las funciones \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 5 - x^2 \) y \( g(x) = \frac{4}{x^2}\). Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x \). Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-e^x \) y \( g(x)=-e^{-x}\). Esboza las gráficas de dichas funciones.

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq \pm 1 \). Esboza la gráfica de \( f \)

Sea una función impar cuya gráfica para \( x > 0 \) se conoce.
a) Halla el valor de \( f(0) \) para esta función.
b) Completa la gráfica de la función \( f \)
c) Calcula la derivada \( f'(x) \) de la función en los puntos donde exista.

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Sea f: \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2x + 4 \) si \( x \leq 0 \) y \( f(x) = (x-2)^2 \) si \( x > 0 \) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Esboza la gráfica de \( f \)

Sabiendo que una función \( f \) es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para \( x > 0 \) como la de la figura, halla el valor de \( f(0) \)

Sabiendo que una función \( f \) es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para \( x > 0 \) como la de la figura, completa la gráfica de \( f \) para el semieje negativo.

Sean \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones definidas mediante \( f(x)=x^3+3x^2 \) y \( g(x)=x+3 \). Esboza las gráficas de \( f \) y de \( g \) calculando sus puntos de corte.

Considera las funciones \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=e^{x-1}\) y \( g(x)=e^{1-x}\). Esboza las gráficas de \( f \) y de \( g \) y determina su punto de corte.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\) Esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = \begin{cases} x|x| & \text{si } x \le 2 \\ 6 - x & \text{si } x > 2 \end{cases}\) Esboza la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}\). Esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \) Con los datos obtenidos de sus asíntotas y monotonía, esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \( g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \) Esboza la gráfica de \( g \)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 1 \) y \( g(x) = 2x + 2 \) Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x|x - 1|\)
Esboza la gráfica de \( f \)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1 \) Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) y halla su punto de corte.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\begin{cases}\frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}. Esboza \) la gráfica de f.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x + e^{-x}\). Esboza la gráfica de f.

Sea f la función definida para \( x \neq 0 \) por \( f(x) =\frac{x^2+1}{x}\). Esboza la gráfica de \( f \)

Sean \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x) = 4 - 3|x|\) y \( g(x) = x^2 \). Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \). Determina sus puntos de corte.

Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x) = \frac{x^2}{x+2}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de \( f \)
c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \)
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los extremos relativos de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.
c) Esboza la gráfica de \( f \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 e^{-x^2}\)

Apartado a: Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Apartado b: Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Apartado c: Esboza la gráfica de f.

En una habitación se ha dejado una bebida caliente, su temperatura \( T(t) \) en grados Celsius se puede modelar por la función \( T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1}\) donde \( t \ge 0 \) representa el tiempo en segundos.
En relación a la función \( T(t) \) indica su dominio, intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad, posibles extremos y posibles asíntotas. Esboza la gráfica de dicha función.

a) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función \( f \)
c) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\) Esboza la gráfica de \( f \)

a) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f.
b) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f.
c) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.
d) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Esboza la gráfica de f.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Determina los extremos relativos de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Esboza la gráfica de \( f \)

a) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Halla las asíntotas de la gráfica de f.
b) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
c) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.
d) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Esboza la gráfica de f.

Apartado a: Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)

Apartado b: Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de \( f \)

Apartado c: Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de \( f \)

Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa.

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de \( 80 \text{ cm}^3 \) Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta \( 1 \text{ €/cm}^2 \) y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de \( 500 \text{ m}^3 \) ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?

Una hoja de papel tiene que contener \( 18 \text{ cm}^2 \) de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener \( 2 \text{ cm}\) cada uno y los laterales \( 1 \text{ cm}\). Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

En una fábrica se produce un artículo cuya función de beneficio viene dada por la ecuación: \( B(x, y) = 100x - 2x^2 - y^2 + 50y \), siendo \( x \) el número de unidades del modelo básico y \( y \) el número de unidades del modelo premium. El director de producción impone la restricción de que el total de unidades fabricadas diarias no supere las 80, es decir, \( x + y = 80 \). ¿Cuántas unidades de cada modelo se deben producir para maximizar el beneficio diario?

Un joven se sitúa en el punto A en una orilla de un río de 20 metros de ancho. Sea B el punto de la orilla opuesta justo enfrente de A. El joven desea llegar a un punto C situado a 100 metros de B, en la orilla opuesta de A. Para ello, puede cruzar a nado desde A hasta un cierto punto D situado entre B y C a una velocidad de 1 m/s. Luego, puede continuar a pie de D a C a una velocidad de 2 m/s. ¿A qué distancia debe estar el punto D de B para que el joven llegue de A a C en el menor tiempo posible?

Sea el rectángulo con vértices en \( (0,0) \) \( (x, 0) \) \( (0, y) \) y \( (x, y) \) donde el vértice \( (x, y) \) pertenece a la curva \( y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\) con \( x > 1 \) Determina las dimensiones del rectángulo de área mínima.

Sea el rectángulo con vértices en \( (0,0) \) \( (x, 0) \) \( (0, y) \) y \( (x, y) \) El área del rectángulo viene dada por la función \( A(x, y) = x \cdot y \) Sabiendo que el vértice opuesto \( (x, y) \) pertenece a la curva \( y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\) con \( x > 1 \) determina las dimensiones del rectángulo de área mínima.

De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa \( 10 \) unidades, determina las dimensiones del de área máxima.

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones f, g: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definidas por \( f(x) = 4 - \frac{x^2}{3}\) y \( g(x) =\frac{x^2}{6} - 2 \)

Se plantea la función a optimizar \( f(x, y) \) y la ecuación de ligadura que relaciona las variables. Se expresa una variable en función de otra para obtener una función de una sola variable \( f(x) \), se iguala \( f'(x)=0 \) y se comprueba el signo de \( f''(x) \)

Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de \( 200 \text{ cm}^2 \) Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo.

De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 \text{ cm}^2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje \( OX \) un vértice está en la recta \( y = x \) y el otro, en la recta \( y = 4 - x \) Halla la altura del rectángulo en función de \( a \) (ver figura).

Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje \( OX \) un vértice está en la recta \( y = x \) y el otro, en la recta \( y = 4 - x \) Halla la base del rectángulo en función de \( a \)

Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje \( OX \) un vértice está en la recta \( y = x \) y el otro, en la recta \( y = 4 - x \) Encuentra el valor de \( a \) que hace máximo el área del rectángulo.

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir \( 10 \) cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Halla la altura de la canaleta en función de \( x \) (ver la figura).

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir \( 10 \) cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Halla el área de la sección de la canaleta en función de \( x \)

De entre todos los rectángulos de 40 kilómetros de perímetro, calcula las dimensiones del que tiene área máxima.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide \( 90 \text{ cm}\). Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \) ).

Determina los puntos de la parábola de ecuación y = x^2 - 5 que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas.

De entre todos los triángulos rectángulos de área \( 8 \text{ cm}^2 \) determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para \( 13'5 \) metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener \( 180.000\text{ m}^2 \) para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al rio no necesita vallado? .

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener \( 16 \) metros cuadrados. Si es posible, determina la base \( x \) para que el perímetro sea mínimo.

Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación \(\frac{x}{2} + y = 1\) (ver figura), determina el que tiene mayor área.

Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo?

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 \, \text{m}^3. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Un alambre de longitud 100 metros se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.

De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener 180.000 m \(^2 \) para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al rio no necesita vallado?

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de \( 20\pi \text{ m}^3 \) El material para las tapas cuesta \( 10 \) euros cada \( \text{m}^2 \) y el material para el resto del cilindro \( 8 \) euros cada \( \text{m}^2 \) Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de \( 100 \text{ cm}^2 \) el margen superior tiene que ser de \( 2 \text{ cm}\) el inferior de \( 3 \text{ cm}\) y los laterales de \( 5 \text{ cm}\) cada uno.
Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

La suma de la longitud de una circunferencia y el perímetro de un cuadrado son 10 metros.
¿Cuáles deben ser las longitudes del radio de la circunferencia y de un lado del cuadrado para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima?

La suma de la longitud de una circunferencia y el perímetro de un cuadrado son 10 metros.
¿Es posible determinar las longitudes del radio de la circunferencia y de un lado del cuadrado para que la suma de las áreas sea máxima?

De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 \text{ m}^2 dividido entres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = -x^2 + 12 y el eje \)

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de \( 18 \) euros/m \(^2 \) para los laterales y de \( 24 \) euros/m \(^2 \) para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de \( 50 \) euros.

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Considera el recinto limitado por la curva \( y = \frac{1}{3}x^2 \) y la recta \( y = 9 \) De entre los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máxima.

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas \( (2,0) \) de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función \( f(x) = \sqrt{x+1}\) ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

De entre todos los rectángulos de perímetro \( 8 \text{ cm}\), determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide \( 8 \text{ cm}\) y la altura correspondiente mide \( 5 \text{ cm}\). Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

Considera el recinto limitado por la curva \( y = \frac{1}{3}x^2 \) y la recta \( y = 9 \) De entre los rectángulos inscritos de base horizontal simétrica respecto al eje de ordenadas, con un lado sobre la recta y el lado opuesto con sus vértices sobre la parábola, determina el que tiene área máxima.

Apartado a: Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por: \( v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 \) para \( t \in [2,6]\) ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta.

Apartado b: Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por: \( v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 \) para \( t \in [2,6]\) ¿A qué hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta \( 80 \) euros/metro y la de los otros lados \( 10 \) euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con \( 28.800 \) euros.

Halla dos números mayores o iguales que \( 0 \) cuya suma sea \( 1 \) y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente.
Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir \( 10 \text{ cm}\) y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Halla la altura de la canaleta en función de \( x \) (ver la figura).

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir \( 10 \text{ cm}\) y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Halla el área de la sección de la canaleta en función de \( x \)

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir \( 10 \text{ cm}\) y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Encuentra el valor de \( x \) que hace máximo dicho área.

Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor del área.

Sea el rectángulo con vértices en \( (0,0) \) \( (x, 0) \) \( (0, y) \) y \( (x, y) \)
El área del rectángulo viene dada por la función:
\( A(x, y) = x \cdot y \) El vértice opuesto \( (x, y) \) pertenece a la curva \( y = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\) con \( x > 1 \) Encuentra las dimensiones del rectángulo de área mínima.

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 6 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

Considera el recinto limitado por la curva \( y = \frac{1}{3}x^2 \) y la recta \( y = 9 \) De entre los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máxima.

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen \( 60\text{ cm}\). Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de \( 18 \text{ euros/m}^2 \) para los laterales y de \( 24 \text{ euros/m}^2 \) para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de \( 50 \text{ euros}\)

Se divide el segmento de longitud L = 20 \text{ cm} en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 \text{ cm} ¿qué base tiene el de área máxima? .

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación \(\frac{x}{2} + y = 1\), determina el que tiene mayor área.

Dada la función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de \(f\)

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de \( 6 \text{ cm}\) de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de la altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultante sea mínima.

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide \( 8 \) cm y la altura correspondiente mide \( 5 \) cm. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

9 Optimización con condiciones — Ejercicio 66: Cálculo del área del recinto limitado por curvas
\(\)
Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura.
La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima.
Encuentra el valor de x que hace máximo dicho área.

Se divide el segmento de longitud L = 20 cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}\) es finito e igual a \( 1 \) calcula los valores de \( a \) y \( b \)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{sen(x) - \ln(1+x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7}\) calcula \( a \) ( \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Considera la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por: \( f(x)=\arctan(x+\pi) \) donde arctg denota la función arcotangente.
Calcula \( \lim_{x\rightarrow-\pi} \frac{\arctan(x+\pi)}{\operatorname{sen}(x)}\)

Calcula a y b sabiendo que

\(\lim_{x \to 0} \frac{a\operatorname{sen}(x) + x\ln(x + 1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2 \)

(donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcular el límite:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \operatorname{sen}\, x}{x \cdot \operatorname{sen}\, x}\)

Calcula a sabiendo que

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{ax}{(\ln(x))^3 + 2x} = 1 \)

(donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Calcula \( \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} \right) \)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen} x - x \cdot e^x}{x^2}\) es finito, calcula el valor de \( a \) y el de dicho límite.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = e^x(x^2 - x + 1) \) Calcula: \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) y \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}}\) Calcula: \( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \) y \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \)

Se sabe que \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{a}{e^x - 1} \right) \) es finito. Determina el valor de \( a \) y calcula el límite.

Calcula \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\operatorname{sen} x}}{x^2}\)

Se sabe que \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \alpha \operatorname{sen} x}{x^2}\) es finito. Determina el valor de \( \alpha \) y calcula el límite.

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)}{x^3}\) es finito, calcula \( b \) y el valor del límite.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = x e^{\frac{1}{x}}\) para \( x \ge -1 \) \( x \ne 0 \) Calcula los límites laterales de \( f \) en \( x = 0 \)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{a}{\ln x} \right) \) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite ( \(\ln \) denota el logaritmo neperiano).

Sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - ax}{x \operatorname{sen} x}\) es finito, calcula a y el valor del límite.

Calcula \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} \right) \)

Calcula \( \lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}(x) - x}{x - \operatorname{sen}(x)}\)

Calcula \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\operatorname{sen}^2(x)}\)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1) - a \operatorname{sen} x + x \cos(3x)}{x^2}\) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite.

Calcula \( a \) sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \frac{7}{2}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2}\) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{x+1}{\ln(x+1)} - \frac{a}{x} \right) \) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite ( \(\ln \) denota el logaritmo neperiano).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}\)

Calcula \( \lim_{x \to +\infty} \left( x^2 f(x) \right) \)

Calcula \(\lim_{x\to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{2}{x^2 - 1} \right) \) siendo ln la función logaritmo neperiano.

Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a(\ln(1+x)-x)+b(e^x-1)+1-\cos(x)}{\operatorname{sen}^2(x)}=5 \)
Donde ln denota la función logaritmo neperiano.

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1}\) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite.

Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)}{bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)} = 1 \) (donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x\ln(x)}{x^2 + e^x}\)
Calcula \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) Interpreta gráficamente el resultado.

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x\ln(x)}{x^2 + e^x}\)
Calcula \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) Interpreta gráficamente el resultado.

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2}\) es finito, calcula el valor de \( a \) y el valor de dicho límite.

Considera la función \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( F(x) = \int_0^x \operatorname{sen}(t^2) \, dt \). Calcula \(\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot F(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}\)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\pi x) \cdot (1 + a \cos(\pi x))}{\operatorname{sen}(x^2)}\) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite.

Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{a(1-\cos(x))+b \cdot sen(x)-2(e^x-1)}{x^2} = 7 \)

Sabiendo que \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x - 1} - \frac{m}{2x} \right) \) es finito, calcula m y el valor del límite.

De la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}\) y que \( f(2) = 0 \) Determina \( f \)

De la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) se sabe que \( f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}\) y que \( f(2) = 0 \) Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por \( (0,1) \)

De una función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) se sabe que \( f(0) = 2 \) y que \( f'(x) = 2x \) Determina \( f \)

Sea \( f: [0,4] \rightarrow \mathbb{R}\) una función tal que su función derivada viene dada por \( f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } 3 \le x \le 4 \end{cases}\) Determina la expresión de \( f \) sabiendo que \( f(1) = \frac{16}{3}\)

Determina la función \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}\), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \((0,1) \), \( f'(0)=0 \) y \( f''(x)=\frac{1}{x+1}\)

Determina la única función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) que cumple que \( f(0)=1 \), \( f'(0)=1 \) y \( f''(x)=e^x(x+2) \)

Determina una función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sabiendo que \( f(1) = -1 \) y que \( f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2 \), donde \( a > 0 \) es un parámetro. Si \( F(x) \) es una primitiva de \( f(x) \), justifica si es posible o no que la función \( G(x)=F(x)+x^2 \) también lo sea.

Determina la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \( f''(x) = -2\operatorname{sen} 2x \), \( f(0) = 1 \) y \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)

Un cohete de investigación realiza su vuelo con una velocidad representada por la función \( v \) medida en kilómetros por segundo. Tras un estudio se ha determinado que la derivada \( v'\) de esta función se corresponde con \( v'(t) = 24 - 6\sqrt{t+1}\) donde \( t \) representa el tiempo medido en segundos transcurrido desde el lanzamiento. Por otra parte, sabemos que la velocidad inicial es de 15 km/s y que en cuanto empieza a perder velocidad el cohete no se puede controlar. En este momento, lo más conveniente es que se autodestruya y para ello utilizamos un artefacto explosivo que se activa con un temporizador.
Obtén la función que determina la velocidad del cohete y la velocidad máxima que alcanza.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}\) para \( x > 0 \) y sea \( F \) la primitiva de \( f \) tal que \( F(1) = 2 \) Calcula \( F'(e) \)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = (x+2)\ln(x) \) para \( x>0 \) donde \( \ln(x) \) representa al logaritmo neperiano de \( x \) Calcula \( \int f(
x) dx \)

Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}\) para \( x > 0 \). Determina la primitiva de \( f \) que toma el valor \( 3 \) para \( x = 1 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2 \), donde \( a > 0 \) es un parámetro. Determina el valor de \( a \) para que exista una primitiva de \( f(x) \) cuya gráfica pase por los puntos \((0,0) \) y \((a, e+1) \). Calcula dicha primitiva.

Determina una función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sabiendo que su derivada viene dada por f'(x) = x^2 + x - 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (1 + x) \cdot e^x \) Calcula \( \int f(
x) dx \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (1 + x) \cdot e^x \) Calcula una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 3) \)

Calcula una primitiva de la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{2x^2+10x}{x^2+2x-3}\) para \( x \neq 1 \) y \( x \neq -3 \)

Calcula la primitiva de la función \( f(x) = \ln(1-x^2) \) que pasa por el punto \( (0,1) \)

Sea \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x-1)\cdot \ln x \) Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( \left(1, -\frac{3}{2}\right) \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 - 1)e^x \) Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1, e^2) \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^2 \operatorname{sen}(2x) \) Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0,1) \)

Calcula la integral \( \int \cos(5x + 1) dx \)

Calcula la integral \( \int \frac{3x^3 + 10x^2 - x + 1}{x^2 - x - 2} dx \)

Calcula \( \int \frac{x^3 + 2x^2 - 2x + 3}{x^2 - 1} dx \)

Calcula \( \int \frac{x e^x}{(x+1)^2} dx \)

Sea \( I = \int \frac{2}{2-e^x} dx \). Calcula \( I \)

Calcula \(\int \frac{3x+4}{x^2+1} dx \)

Considera las funciones \( f: \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}\) y \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^3 x}\) y \( g(x) = x^3 \ln x \) Calcula \( \int g(
x) dx \)

Calcula \(\int x \cdot \operatorname{sen}(x) \, dx \)

Sea la función \( f \) dada por \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 0 \) Determina una primitiva \( F \) de \( f \) tal que \( F(1) = 1 \)

Calcula:

\(\int \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2} dx \)

Sea la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{2}{x^2-1}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 1 \) Halla una primitiva de \( f \)

Sea \( f \) la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=x^2\cos x \) Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (\pi, 0) \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(1-x^2)e^{-x}\) Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (-1,0) \)

Sea \( f: (-1,3) \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x+9}{(x+1)(x-3)}\) Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1,0) \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = e^x \cdot \cos x \) Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0,0) \)

Calcula \( \int \frac{-x^2}{x^2+x-2} dx \)

Calcula \( \int \frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}\) (Sugerencia \( \sqrt{x+2} = t \)

Calcula \( \int e^{2x} sen(
x) dx \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 1 \) y sea \( F \) la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(2, \ln2) \) Determina la función \( F \)

Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}\) para \( x > 0 \). Halla todas las primitivas de \( f \)

Calcula \(\int \frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}} dx \) (sugerencia: \( t = \sqrt{2x+1}\) ).

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \arctan(x) \) Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (0, \pi) \)

Halla \( \int \frac{x^2}{(1+x^3)^{\frac{3}{2}}} dx \) (sugerencia \( t=1+x^3 \)

Halla la primitiva de la función \( f(x) = \frac{x^2}{(1+x^3)^{\frac{3}{2}}}\) cuya gráfica pasa por \( (2,0) \)

Sea \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \). Calcula \(\int f(
x) dx \)

Sea \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \). Encuentra la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \((0,1) \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{x^4}{x^2-1}\) para \( x\neq 1, -1 \). Halla todas las funciones primitivas de \( f \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{x^4}{x^2-1}\) para \( x\neq 1, -1 \). Calcula la primitiva que pasa por \((2,0) \)

Sea \( f \) la función dada por: \( f(x)=\frac{3x^2+4}{(x-2)^2}\) para \( x \neq 2 \). Calcula \(\int f(
x) dx \)

Sea \( f \) la función dada por: \( f(x)=\frac{3x^2+4}{(x-2)^2}\) para \( x \neq 2 \). Calcula la primitiva de \( f \) que pasa por el punto \((3,5) \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\) (para \( x \neq -1 \) \( x \neq 1 \). Halla una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (2, 4) \)

Considera la función \( f \) definida por: \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1}\) para \( x \neq 1 \) Halla una primitiva de \( f \) que pase por el punto \( (2,6) \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \cdot \operatorname{sen}(2x) \) Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0,0) \)

Calcula \( \int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}\), para \( x \neq -1 \), \( x \neq 1 \). Calcula una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \((0,1) \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = (x^2 - 3x + 5) \cdot e^x \). Halla una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \((0, 5) \)

Halla la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\), que pasa por los puntos \((2, e - 2 - 2\ln(2)) \) y \((1,0) \) y que verifica que \( f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}\)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+1}\). Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto \((0, 5) \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}\). Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto \((0, \frac{\pi}{4}) \)

Dada la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(1+x^2) \), halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Sea \( f: (-2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x + 2) \) Halla una primitiva \( F \) de \( f \) que verifique \( F(0) = 0 \) ( \( \ln \) denota logaritmo neperiano).

Determina la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \( f''(x) = \frac{1}{x}\) y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto \( P(1,1) \)

Sea \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x(1 - \ln(x)) \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(1,1) \)

Sea \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=\ln(x^2+1) \) (donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de \( g \) cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = x\ln(x+1) \) para \( x > -1 \) ( \( \ln \) denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1,0) \)

Determina la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) sabiendo que \( f''(x) = \ln(x) \) y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto \( P(1,2) \)

Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = (x+2)\ln(x) \) para \( x>0 \) donde \( \ln(x) \) representa al logaritmo neperiano de \( x \) Encuentra la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (1,0) \)

Determina la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tal que \( f''(x) = x \cdot e^x \) cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en \( x=1 \)

Calcula \(\int \ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) dx \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Determina la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple \( f'(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \((1,0) \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x)=\frac{-x^3+2x-3}{x^2-x}\) para \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \). Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \((2,3\ln 2) \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano.

Calcula \(\int \cos(\ln

x) dx \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano).

Halla la función \( f: (2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) que pasa por el punto \((3, -4 \ln 5) \) y verifica \( f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}\) donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano.

Considera la función \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \cos(\sqrt{x}) \). Calcula, si es posible, una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \((0,5) \). Sugerencia: haz el cambio \(\sqrt{x} = t \)

Calcula una primitiva de la función \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \) cuya gráfica pase por el punto \((0,1) \) ( \(\arctan \) denota la función arco tangente). Sugerencia: efectúa el cambio \( x = t^2 \)

Dada la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = \frac{8e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x}\) halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica tiene por tangente a la recta \( y = 2x + 12\ln 2 \) en el punto de abscisa \( x = 0 \)
(Sugerencia: puedes hacer el cambio \( e^x = t \)

Sea \( \ln(x) \) y sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^2}\) Usa el cambio de variable \( t = \ln(x) \) para calcular una primitiva de \( f \)

Sea \( I = \int \frac{2}{2-e^x} dx \). Expresa \( I \) haciendo el cambio de variable \( t = e^x \)

Considera las funciones \( f: \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}\) y \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^3 x}\) y \( g(x) = x^3 \ln x \) Halla la primitiva de \( f \) que toma el valor \( 1 \) cuando \( x = \frac{\pi}{3}\) (Se puede hacer el cambio de variable \( t = \cos x \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{4 - 9x^4}}\)
Halla la primitiva \( F \) de \( f \) que cumple \( F(0) = 3 \). (Sugerencia: utiliza el cambio de variable \( t = \frac{3}{2}x^2 \) ).

Calcula \( I = \int \frac{5}{1 + \sqrt{e^{-x}}} dx \) Expresa \( I \) haciendo el cambio de variable \( t^2 = e^{-x}\)

Halla:

\(\int \frac{e^x}{(e^{2x}-1)(e^x+1)} dx \)

Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = e^x \)

Halla \(\int \frac{x+1}{1+\sqrt{x}}dx \). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable \( t=\sqrt{x}\)

Sea \( g: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x}}\). Determina la primitiva de \( g \) cuya gráfica pasa por el punto \( P(1,0) \). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable \( t=\sqrt{x}\)

Calcula \( \int \frac{dx}{2x(x+\sqrt{x})}\) (Sugerencia: cambio de variable \( t = \sqrt{x}\)

Calcula \(\int \frac{x}{1+\sqrt{x}} dx \). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable \( t = \sqrt{x}\)

Sea la función \( f: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) definida por: \( f(x)=\frac{1+e^x}{1-e^x}\). Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \((1,1) \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t=e^x \) )

Calcula \(\int \ln(x^2+2x+2) dx \) donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t=x+1 \) ).

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(t)=\frac{1}{1+e^t}\). Calcula \(\int f(t) dt \) (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( x=1+e^t \) ).

Calcula \(\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}}\) (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{1 + e^x}\) ).

Calcula una primitiva de la función \( f: (1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x-1)^2 \ln \frac{\sqrt{x-1}}{2}\) cuya gráfica pase por el punto \((5, -\frac{7}{2}) \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( x-1 = t^2 \) ).

Calcula \(\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = e^x \) ).

Calcula \(\int_2^4 \frac{e^x}{1+\sqrt{e^x}}dx \). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable \( t=\sqrt{e^x}\)

Calcula \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx \) (Sugerencia: integración por partes).

Calcula \( \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}} dx \) (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{1+x}\)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = ax^2 + bx + c \) tiene un máximo absoluto en el punto de abscisa \( x = 1 \) que su gráfica pasa por el punto \( (1, 4) \) y que \( \int_{-1}^3 f(
x) dx = \frac{32}{3}\) Halla \( a \) \( b \) y \( c \)

De la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = ae^x - bx \), donde \( a, b \in \mathbb{R}\) se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en \( x = 0 \) y que \(\int_0^1 f(
x) dx = e - \frac{3}{2}\). Halla los valores de \( a \) y \( b \)

13 Integrales definidas — Ejercicio 60: Integración mediante cambio de variable
Calcula \(\int_0^2 \frac{1}{1 + \sqrt{e^x}} \, dx\)
(Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t = \sqrt{e^x}\)

Calcula \( \int_{0}^{1} x \cdot \arctan(
x) dx \) (donde \( \arctan \) denota la función arcotangente).

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2 \), donde \( a > 0 \) es un parámetro. Calcula \( a \) para que \(\int_{0}^{a} f(
x) dx = e \)

Considera la integral definida \( I = \int_{1}^{9} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx \) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables \( 1 + \sqrt{x} = t \)

Considera la integral definida \( I = \int_{1}^{9} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx \) Calcula \( I \) mediante el cambio de variables \( 1 + \sqrt{x} = t \)

Considera la integral definida \( I = \int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx \) Exprésala aplicando el cambio de variables \( \sqrt{1+x} - 1 = t \)

Considera la integral definida \( I = \int_0^3 \frac{1}{1+\sqrt{x+1}} \, dx \) Exprésala aplicando el cambio de variable \( t = \sqrt{x+1}\)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = a x^2 + b \) Halla los valores de \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \int_{0}^{6} f(
x) dx = 6 \) y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( 3 \) vale \( -12 \)

Sea \( I = \int_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1-x}} dx \) Expresa la integral \( I \) aplicando el cambio de variable \( t=\sqrt{1-x}\)

Sea \( I = \int_0^8 \frac{1}{2+\sqrt{x+1}} dx \) Expresa \( I \) aplicando el cambio de variable \( t = 2 + \sqrt{x+1}\)

Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas:
\( y = x^2 + 1 \) \( y = \frac{2}{x}\) \( y = x - 1 \)

Un agricultor quiere dividir su parcela en dos partes para cultivar productos distintos. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola \( y=3x^2 \) y la recta \( y=12 \). Si decide dividir dicha parcela en dos partes iguales mediante la recta \( y=a \), halla el valor de \( a \)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Se sabe que tiene un máximo local en \( x = 1 \) que el punto \( (0,1) \) es un punto de inflexión de su gráfica y que \( \int_0^1 f(
x) dx = \frac{9}{4}\) Calcula \( a, b, c \) y \( d \)

Calcule el valor de \( \alpha \) positivo, para que el área encerrada entre la curva \( y = \alpha x - x^2 \) y el eje de abscisas sea \( 36 \) Representa la curva que se obtiene para dicho valor de \( \alpha \)

De la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) se sabe que tiene un máximo relativo en \( x=1 \), un punto de inflexión en \((0,0) \) y que \(\int_0^1 f(x)dx=\frac{5}{4}\). Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \)

Considera las funciones \( f, g: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \operatorname{sen}(2x) \) y \( g(x) = 2\operatorname{sen}(x) \) Dibuja la región del plano limitada por las gráficas de \( f \) y de \( g \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por: \( f(x) = 6 - x^2 \) \( g(x) = x \) para \( x \in \mathbb{R}\) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Sea \( \text{Ln}(x) \) el logaritmo neperiano de \( x \) Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas de las funciones \( y = 1 \) e \( y = \text{Ln}(x) \) Calcula su área.

Dadas la parábola de ecuación \( y = 1 + x^2 \) y la recta de ecuación \( y = 1 + x \) calcula el área de la región limitada por la recta y la parábola.

Dadas las funciones \( f(x) = 6 - x^2 \) y \( g(x) = |x|\) Esboza el recinto delimitado por ambas gráficas.

Dada la parábola de ecuación \( y = \frac{x^2}{4}\) Halla el valor de \( m \) para el que el área bajo la parábola en el intervalo \( [1, m]\) sea igual al área comprendida entre la recta horizontal \( y = 1 \) y la parábola en el intervalo \( [m, 2]\)

Una partícula parte de reposo y al cabo de \( t \) segundos, su velocidad viene dada por la función \( v(t) = t \cdot (4 - t) \) metros/segundo (recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo).
Calcula el espacio recorrido en los tres primeros segundos.

Determina \( b \) sabiendo que \( b > 0 \) y que el área de la región limitada por la curva \( y = x^2 \) y la recta \( y = bx \) es igual a \( \frac{9}{2}\)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x|x|\) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de \( f \) y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Sea f: \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2x + 4 \) si \( x \leq 0 \) y \( f(x) = (x-2)^2 \) si \( x > 0 \) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

Se sabe que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) corta al eje de abscisas en \( x = -2 \) y \( x = 1 \) y tiene un mínimo en \( x = 1 \) Calcula el área de la región acotada por dicha gráfica y el eje de abscisas.

De una función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) se sabe que \( f(0) = 2 \) y que \( f'(x) = 2x \) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de \( f \) por el eje de abscisas y por las rectas \( x = -2 \) y \( x = 2 \)

El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones \( y = \frac{x^2}{a}\) e \( y = \sqrt{ax}\) con \( a > 0 \) vale

3. Calcula el valor de \( a \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} e^x - 1 & \text{si } x \ge 0 \\ x e^{-x^2} & \text{si } x < 0 \end{cases}\) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) el eje de abscisas y la recta \( x = -1 \)

Sean las funciones \( f \) y \( g \): \( [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) dadas por \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = \lambda x \) donde \( \lambda \) es un número real positivo fijo. Calcula el valor de \( \lambda \) sabiendo que el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es \( \frac{1}{6}\)

Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas \( y = \frac{15}{x^2+1}\) e \( y = x^2 - 1 \)

Dibuja el recinto limitado por la curva \( y = \frac{9-x^2}{4}\) la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa \( x = 1 \) y el eje de abscisas.

Calcula el área del recinto limitado por las curvas \( y = \frac{15}{x^2+1}\) e \( y = x^2 - 1 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = |x|\), \( g(x) = 6 - x^2 \)
Esboza el recinto limitado por sus gráficas.

Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = 5 - x \) y la función \( g \) definida como \( g(x) = \frac{4}{x}\) para \( x \neq 0 \) Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) indicando sus puntos de corte.

Sea \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \ln(x+1) \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje OY y la recta \( y = 1 \). Calcula los puntos de corte de las gráficas.

Dada la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = -2x^2 + 3x - 1 \). Halla el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y las rectas \( y = -x+1 \) e \( y = 3x-1 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 6x - x^2 \) y \( g(x) = x^2 - 2x \). Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \) y \( g(x) = x^2 - 1 \). Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta \( y = x+5 \). Calcula el área de este recinto.

Se quiere introducir una zona verde de césped en un parque urbano para hacerlo más agradable. La zona con césped está delimitada por las gráficas de las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), dadas por \( f(x)=9x-x^2 \) y \( g(x)=x \), donde \( x \) representa la longitud en metros. Si el césped para plantar en esa zona tiene un precio de \( 12 \) euros por metro cuadrado, ¿cuál será el coste total del césped para toda la zona verde?

Sea la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{2}{x^2-1}\) para \( x \neq -1 \) y \( x \neq 1 \) Calcula el valor de \( k \) para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de \( f \) en el intervalo \( [2, k]\) sea \( \ln 2 \) donde ln denota el logaritmo neperiano.

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x)=\operatorname{sen} x \) y \( g(x)=\cos x \) respectivamente. Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas \( x=0 \) y \( x=\frac{\pi}{2}\)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x)=x^3-4x \) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y=-x-2 \) determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x)=x^3-4x \) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y=-x-2 \)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x)=x^2-2x \) y \( g(x)=-x^2+4x \) respectivamente. Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas \( y=4x \) \( y=8-4x \) y la curva \( y=2x-x^2 \) Realiza un esbozo de dicho recinto.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \sqrt[3]{x}\) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta tangente obtenida en el punto de abscisa \( x = 1 \)

Sean las funciones \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\frac{x^2}{4}\) y \( g(x)=2\sqrt{x}\) respectivamente. Halla los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \) Realiza un esbozo del recinto que limitan.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=\frac{9-x^2}{4}\) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) la recta \( x+2y=5 \) y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Sea \( g: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=|\ln x|\) (donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano). Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( g \) y la recta \( y=1 \). Calcula los puntos de corte entre ellas.

Sean \( f \) y \( g \) las funciones definidas por \( f(x)=2-x \) y \( g(x)=\frac{2}{x+1}\) para \( x\neq-1 \). Halla el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = x e^{-x^2}\) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de \( f \) la recta de ecuación \( x=2 \) y la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x=0 \)

Sea \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=-x^2+6x-5 \). Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( g \) y la recta \( x-2y+2=0 \). Calcula el área de este recinto.

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: \( y = x^2 \) \( y = 2 - x^2 \) \( y = 4 \) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: \( y = x^2 \) \( y = 2 - x^2 \) \( y = 4 \) Calcula el área del recinto.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) la recta \( 2x + y - 7 = 0 \) y el eje OX, calculando los puntos de corte.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) la recta \( 2x + y - 7 = 0 \) y el eje OX.

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 3 - x \)

Sea \( g \) la función definida por \( g(x) = \ln(x) \) para \( x > 0 \) Calcula el valor de \( a > 1 \) para el que el área del recinto limitado por la gráfica de \( g \) el eje de abscisas y la recta \( x = a \) es 1.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 - 5x + 4 \) Calcula el área de la región acotada que está limitada por el eje de ordenadas, por la gráfica de \( f \) y por la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 3 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = |\ln(x)|\) para \( x > 0 \) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 1 \)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = |\ln(x)|\) para \( x > 0 \) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 1 \)

Sean \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = \sqrt{2x}\) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 \) Halla los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \) Haz un esbozo del recinto que limitan.

Sean \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = \sqrt{2x}\) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 \) Calcula el área de dicho recinto.

Calcula el valor de \( a > 1 \) sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola \( y = -x^2+ax \) y la recta \( y = x \) es \( \frac{4}{3}\)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = |x^2-4|\) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = 5 \)

Sea \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \ln x \) ( \(\ln \) representa logaritmo neperiano). Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de \( f \), \( y = x - 1 \) y la recta \( x = 3 \). Calcula su área.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por \( f(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y las rectas \( x = 0 \) y \( x = 1 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \frac{3x(2m-x)}{m^3}\), con \( m > 0 \). Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de \( f \) y el eje OX.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \( f(x) = -x^2 + mx \) siendo \( m > 0 \). Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y = -mx \) y calcula el valor de \( m \) para que el área de dicho recinto sea \( 36 \)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x^4 \). Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de \( f \) formando con ella un recinto con área \(\frac{8}{5}\)

Considera la región limitada por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = -x^2 + 4x \) Expresa el área como una integral.

Considera la región limitada por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = -x^2 + 4x \) Calcula el área.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por \( f(x) = \sqrt{2x-2}\) para \( x \ge 1 \) la recta \( y=x-5 \) y el eje de abscisas. Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por \( f(x) = \sqrt{2x-2}\) para \( x \ge 1 \) la recta \( y=x-5 \) y el eje de abscisas. Calcula el área.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta \( y=x \) la gráfica \( y=\frac{1}{x^3}\) y la recta \( x=3 \) Haz un esbozo del recinto descrito.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta \( y=x \) la gráfica \( y=\frac{1}{x^3}\) y la recta \( x=3 \) Calcula el área del recinto.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta \( y=x \) la gráfica \( y=\frac{1}{x^3}\) y la recta \( x=3 \) Si consideras la gráfica \( y=\frac{1}{x}\) en lugar de \( y=\frac{1}{x^3}\) el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \( f(x)=6x-x^2 \) y \( g(x)=|x^2-2x|\). Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \( f(x)=6x-x^2 \) y \( g(x)=|x^2-2x|\). Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \( f(x)=3-x^2 \) y \( g(x)=-\frac{x^2}{4}\). Esboza el recinto limitado por la recta \( y=4-2x \) y las gráficas de \( f \) y \( g \). Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

Considera la función \( f: \left(-\frac{e}{2}, +\infty\right)\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(2x+e) \), donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y los ejes de coordenadas.

Siendo \( a>1 \), considera el rectángulo de vértices \( A(1,0), B(1,1), C(a, 1) \) y \( D(a, 0) \). La gráfica de la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{1}{x^2}\) para \( x\neq 0 \) divide al rectángulo anterior en dos recintos. Haz un esbozo de la gráfica de \( f \) y del rectángulo descrito.

Siendo \( a>1 \), considera el rectángulo de vértices \( A(1,0), B(1,1), C(a, 1) \) y \( D(a, 0) \). La gráfica de la función \( f \) definida por \( f(x)=\frac{1}{x^2}\) para \( x\neq 0 \) divide al rectángulo anterior en dos recintos. Determina el valor de \( a \) para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-x^2-x+3 \) y \( g(x)=|x|\). Esboza el recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-x^2-x+3 \) y \( g(x)=|x|\). Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Considera la función \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{-2x}\). Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta \( y=-2ex \) y el eje de ordenadas.

Considera la función \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=e^{-2x}\). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta \( y=-2ex \) y el eje de ordenadas.

Considera las funciones \( f: (-2, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\), definida por \( f(x)=\ln(x+2) \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), definida por \( g(x)=\frac{1}{2}(x-3) \). Esboza el recinto que determinan la gráfica de \( f \), la gráfica de \( g \), la recta \( x=1 \) y la recta \( x=3 \). (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).

Considera las funciones \( f: (-2, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\), definida por \( f(x)=\ln(x+2) \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), definida por \( g(x)=\frac{1}{2}(x-3) \). Determina el área del recinto que determinan la gráfica de \( f \), la gráfica de \( g \), la recta \( x=1 \) y la recta \( x=3 \)

Sean las funciones \( f, g: [0, \pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\operatorname{sen} x \) y \( g(x)=\operatorname{sen} 2x \). Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas \( x=0 \) y \( x=\frac{\pi}{3}\)

Dado un número real \( a>0 \), considera la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), dada por \( f(x)=x^2-ax \), y la recta \( y=2ax \). Determina \( a \) sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta anterior es \( 36 \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función dada por \( f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} -x^2+6x-8 & \text{si} & x\leq 4 \\ x^2-6x+8 & \text{si} & x>4 \end{array}\right.. \). Calcula los puntos de corte entre la gráfica de \( f \) y la recta \( y=2x-4 \). Esboza el recinto que delimitan la gráfica de \( f \) y la recta.

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función dada por \( f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} -x^2+6x-8 & \text{si} & x\leq 4 \\ x^2-6x+8 & \text{si} & x>4 \end{array}\right.. \). Calcula el área del recinto que delimitan la gráfica de \( f \) y la recta \( y=2x-4 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \( f(x)=-4x^2+a \), siendo \( a>0 \) un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y la recta \( y=0 \). Calcula \( a \) sabiendo que el área del recinto es \( 18 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por: \( f(x)=x\cdot e^{-x^2}\). Determina \( a>0 \) de manera que sea \(\frac{1}{4}\) el área del recinto determinado por la gráfica de \( f \) en el intervalo \([0, a]\) y el eje de abscisas.

Calcula el valor de \( a>0 \) para que el área comprendida entre la parábola \( y=3x^2-2ax \) y el eje de abscisas sea de 4 unidades cuadradas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=|x|\) y \( g(x)=x^2-2 \). Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Esboza el recinto que determinan.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = 4x^3 - x^4 \) Esboza la gráfica de \( f \) y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Considera la función \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x \cdot e^x \) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y las rectas \( x = 2 \) \( y = x \)

Considera la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (\ln(x))^2 \) (donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano). Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función \( f \) y las rectas \( y = 0 \) \( x = 1 \) \( x = e \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = |x| - 2 \) y \( g(x) = 4 - x^2 \) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = |x| - 2 \) y \( g(x) = 4 - x^2 \) Determina el área del recinto anterior.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 1 - x^2 \) y \( g(x) = 2x^2 \) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \) Esboza el recinto que delimitan.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 1 - x^2 \) y \( g(x) = 2x^2 \) Determina el área del recinto delimitado por sus gráficas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por: \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a|x|\) con \( a > 0 \) Determina el valor de \( a \) para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de \( 9 \) unidades cuadradas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = x^3 + 2 \) y \( g(x) = -x^2 + 2x + 2 \) Determina el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) en el primer cuadrante.

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 + 1 \). Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta \( y = 4x - 3 \) y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Sabiendo que \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( F(x) = e^{x^2}\) es una primitiva de \( f \). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dadas por \( f(x) = |x^2 - 1|\) y \( g(x) = x + 5 \). Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dadas por \( f(x) = |x^2 - 1|\) y \( g(x) = x + 5 \). Determina el área del recinto anterior.

Considera la función \( f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = \ln(x + 1) \), donde \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = e - 1 \)

Considera las funciones \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 5 - x^2 \) y \( g(x) = \frac{4}{x^2}\). Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x \). Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = -x^2 + 7 \) y \( g(x) = |x^2 - 1|\). Halla los puntos de intersección de \( f \) y \( g \). Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = -x^2 + 7 \) y \( g(x) = |x^2 - 1|\). Calcula el área de dicho recinto.

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(x-1)^2 \). Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta \( y=a \) con \( a > 0 \)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=(x-1)^2 \). Calcula \( a > 0 \) para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta \( y=a \) sea \(\frac{4}{3}\) unidades cuadradas.

Sean las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = x^3 - x \) y \( g(x) = -x^2 + 1 \). Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

Sean las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = x^3 - x \) y \( g(x) = -x^2 + 1 \). Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de f y g.

Dos primos de \( 32 \) y \( 5 \) años, respectivamente, heredan de sus abuelos una finca delimitada por las funciones \( f(x)=x^3-3x+2 \) y \( g(x)=\frac{9x}{4}+\frac{9}{2}\). La finca tiene dos regiones, la región de la izquierda será para el primo de menor edad, mientras que la región de la derecha será para el primo mayor. Calcula la superficie de finca que corresponde a cada primo, y razona si es proporcional a sus edades.

Calcula el valor de la integral \( \int_{-1}^{3} (x+5) \cdot e^{-x} dx \)

Calcula la siguiente integral definida \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{x^2+4x+3}\) ¿Qué representa geométricamente?

Determina un polinomio \( P(x) \) de segundo grado sabiendo que \( P(0) = P(2) = 1 \) y \( \int_0^2 P(
x) dx = \frac{1}{3}\)

Calcula \( \int_{-2}^{0} \frac{dx}{x^2 + 2x - 3}\)

Sabiendo que la función \( f \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{x^2 - 32}{x - 4} & \text{si } x > 8 \end{cases}\) es continua en \( [0, +\infty) \) para cierto valor de \( a \) calcula \( \int_{0}^{10} f(
x) dx \)

Calcula \( \int_{-1}^{0} \ln(2 +

x) dx \) siendo \( \ln \) la función logaritmo neperiano.

13 Integrales definidas — Ejercicio 10: Regla de Barrow, Teorema Fundamental del Cálculo e integrales definidas
Calcula la integral \(\int_0^1 x e^{-3x} dx\)

Considera la integral definida \( I = \int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx \) Calcula \( I \)

Considera la integral definida \( I = \int_0^3 \frac{1}{1+\sqrt{x+1}} \, dx \) Calcula \( I \)

Sea \( f: (0,2) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} \ln(x) & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ \ln(2-x) & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}\) Estudia la derivabilidad de \( f \) en el punto \( x = 1 \)

Sea \( f: (0,2) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \begin{cases} \ln(x) & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ \ln(2-x) & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}\) Calcula \( \int_{1}^{1,5} f(
x) dx \)

Sea \( f: (-2,0)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida mediante
\( f(x)=\begin{cases} \frac{\alpha}{x} & \text{si } -2 < x \leq -1 \\ \frac{x^2-\beta}{2} & \text{si } -1 < x < 0 \end{cases}\)
Calcula \(\int_{-2}^{-1} f(
x) dx \)

Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por
\( f(x)=\begin{cases} 1+\alpha x & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)
Calcula \(\int_{-1}^{1} f(
x) dx \)

Calcula \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x dx \)

Calcula \( \int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x^2 - x)(x - 1)}\)

Calcula \( \int_0^1 x \ln(x + 1) dx \)

Calcula \( \int_1^e x^2 \ln x dx \)

Calcula \( \int_{0}^{\pi^2} sen(\sqrt{x}) dx \)
Sugerencia: Efectúa el cambio \( \sqrt{x} = t \)

Calcula:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx \)

Sea \( f \) una función continua en el intervalo \( [2,3]\) y \( F \) una función primitiva de \( f \) tal que \( F(2)=1 \) y \( F(3)=2 \) Calcula: \( \int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx \)

Calcula los valores de \( a \) y \( b \) sabiendo que la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=ax^2+b\ln(x) \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en \( x=1 \) y que \( \int_{1}^{4} f(x)dx=27-8\ln 4 \)

Sea \( I = \int_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1-x}} dx \) Calcula el valor de \( I \)

Calcula \(\int_2^4 \frac{x^2}{x^2-6x+5}dx \)

Calcula \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \text{ sen}(2x) dx \)

Calcula \( \int_{-1}^1 \ln(4 -

x) dx \)

SÍ.

Calcula \( \int_0^\pi x^2 sen(
x) dx \)

Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}\) para \( x > 0 \). Halla \(\int_1^3 f(
x) dx \)

Calcula el valor de \( a > 0 \) para el que se verifica \(\int_0^a \frac{x}{2+x^2} dx = 1 \)

Calcula \( \int_1^{16} \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}\) (sugerencia \( t = \sqrt[4]{x}\)

Considera la función dada por \( f(x) = \sqrt{3+|x|}\) para \( x \in [-3, 3]\) Halla \( \int_{-3}^3 f(
x) dx \)

Sea \( I = \int_0^8 \frac{1}{2+\sqrt{x+1}} dx \) Calcula el valor de \( I \)

Calcula \( \int_0^3 \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} dx \) (sugerencia \( t=\sqrt[3]{x}\)

Calcula \( \int_0^1 \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = e^x \) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) la recta tangente a la misma en el punto \( (1, f(1)) \) y el eje de ordenadas.

Se sabe que la función \( f: [0, +\infty)\to\mathbb{R}\) dada por \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^2-32}{x-4} & \text{si } x>8 \end{cases}\) es continua. Para \( a=8 \), calcula \(\int_{0}^{10} f(
x) dx \)

Calcula \(\int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{1+e^x} dx \) donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano (sugerencia \( t=e^x \) ).

Considera la función \( f \) definida por \( f(x)=ax\ln(x)-bx \) para \( x>0 \) ( \(\ln \) denota la función logaritmo neperiano). Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en \( x=1 \) y que \(\int_{1}^{2} f(
x) dx = 8\ln(2)-9 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - x \) Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función \( f \) y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Sea \( f: \left[0, \frac{\pi}{6}\right]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua y sea \( F \) la primitiva de \( f \) que cumple \( F(0)=\frac{\pi}{3}\) y \( F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\pi \). Calcula: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{sen}(F(x))f(
x) dx \)

Calcula \(\int_0^\pi x \cdot \operatorname{sen}^2(
x) dx \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x|x - 1|\). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 + |x - 1|\) Calcula \( \int_0^2 f(x) \, dx \)

Calcula \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\operatorname{sen}^2(x) - \cos^2(x)) \, dx \)

Se requiere calcular \(\int_0^1 x^2 \, dx \)

13 Integrales definidas — Ejercicio 67: Regla de Barrow, Teorema Fundamental del Cálculo e integrales definidas
Considera la función \( f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \leq 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}\)
Calcula \(\int_{- \pi}^{ \pi} f(
x) dx\)

Halla \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \cos(
x) dx \)

Considera la función \( f(x) = \begin{cases} x \operatorname{sen}(2x) & \text{si } x \le 0 \\ \cos(\pi x)-1 & \text{si } x > 0 \end{cases}\). Calcula \(\int_{-\frac{\pi}{4}}^{1} f(
x) dx \)

Calcula el valor de \( k \) para que \(\int_{1}^{3} e^{x-k}(x-2) dx = 2 \)

Sea la función \( f(x)=x^2 \cdot e^{-x}\) definida en el intervalo \([0, 3]\). Sin efectuar el cálculo de la integral razona, explica y justifica por qué \( 0 < \int_{0}^{3} x^2 \cdot e^{-x} dx < 2 \)

Sea la función \( f(x)=x^2 \cdot e^{-x}\) definida en el intervalo \([0, 3]\). Calcula el valor exacto de \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot e^{-x} dx \)

¿La integral \(\int_{-1}^{1} x \cdot e^{x^2} dx \) es positiva, negativa o cero? Justifica la respuesta sin calcular la integral.

Sea \( F: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por: \( F(x) = \int_0^x t(t+2) dt \) Determina \( F(1) \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(t)=\frac{1}{1+e^t}\). Se define \( g(x)=\int_0^x f(t) dt \). Calcula \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}\)

13 Integrales definidas — Ejercicio 84: Regla de Barrow, Teorema Fundamental del Cálculo e integrales definidas
Sea \(f\) una función continua en el intervalo \([2,3]\) y \(F\) una función primitiva de \(f\) tal que \(F(2)=1\) y \(F(3)=2\)
Calcula: \(\int_{2}^{3} f(x)dx\)

Una población de bacterias tiene inicialmente \( P_0 \) bacterias. Sea \( P(t) \) el número de bacterias al cabo de \( t \) días. Sabiendo que: \( P(t) = P_0 + \int_{0}^{t} 290 e^{0,1x} dx \), y que al cabo de \( 10 \) días hay \( 7888 \) bacterias. ¿Cuánto vale \( P_0 \), el número inicial de bacterias?

Una población de bacterias tiene inicialmente \( P_0 \) bacterias. Sea \( P(t) \) el número de bacterias al cabo de \( t \) días. Sabiendo que: \( P(t) = P_0 + \int_{0}^{t} 290 e^{0,1x} dx \), y que al cabo de \( 10 \) días hay \( 7888 \) bacterias. ¿Cuantas bacterias hay al cabo de \( 170 \) días? (Nota: utiliza como aproximación del número \( e \simeq 2,72 \) ).

Un objeto se mueve en línea recta con una velocidad (medida en metros por segundo) definida por la función \( v: [0,8] \to \mathbb{R}\), dada por \( v(t)=\frac{8t-t^2}{(t+1)^2}\), donde \( t \) representa el tiempo en segundos. Calcula la distancia total (en metros) que recorre el objeto durante los primeros \( 8 \) segundos, sabiendo que la distancia es la integral del valor absoluto de la función velocidad.

Un objeto se mueve en línea recta con una velocidad (medida en metros por segundo) definida por la función \( v: [0,8] \to \mathbb{R}\), dada por \( v(t)=\frac{8t-t^2}{(t+1)^2}\), donde \( t \) representa el tiempo en segundos. Si el objeto se hubiera movido con una velocidad \( w: [0,8] \to \mathbb{R}\), con \( w(t) > v(t) \) para todo \( t \in [0,8]\), razona sin calcular la integral, si el objeto hubiera recorrido una distancia mayor o menor en los \( 8 \) segundos.

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = x \cdot e^{-x}\) Esboza el recinto limitado por la curva \( y = f(x) \) los ejes coordenados y la recta \( x = -1 \) Calcula su área.

Dada la función \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f(x) \) la recta tangente en el punto de abscisa \( x=3 \) y el eje OY.

Considera las funciones \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas, respectivamente, por \( f(x) = \ln x \) y \( g(x) = 1 - 2^x \) siendo \( \ln x \) el logaritmo neperiano de \( x \) Calcula el área del recinto limitado por las rectas \( x=1 \) y \( x=2 \) y las gráficas de \( f \) y \( g \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x|x|\) Calcula el área de la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de \( f \) y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Considera las funciones \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=e^{x-1}\) y \( g(x)=e^{1-x}\). Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de \( f \) y \( g \)

Calcula \(\beta>0 \) para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=-x^2+2\beta^2 \) sea \( 72 \) (unidades de área).

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = \begin{cases} x|x| & \text{si } x \le 2 \\ 6 - x & \text{si } x > 2 \end{cases}\) Calcula el área comprendida entre la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones dadas por \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a \) (con \( a > 0 \). Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones \( f \) y \( g \) es \( \frac{4}{3}\) Calcula el valor de la constante \( a \)

Considera la curva de ecuación \( y = x^3 - 3x \)
Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta \( y = 2 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = |x|\), \( g(x) = 6 - x^2 \)
Calcula el área de dicho recinto.

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x) = x^2 + |x|\); \( g(x) = 2 \)
Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

Calcula un número positivo \( a \), menor que \( 4 \), para que el recinto limitado por la parábola de ecuación \( y = x^2 \) y las dos rectas de ecuaciones \( y = 4 \) e \( y = a \), tenga un área de \(\frac{28}{3}\) unidades cuadradas.

Considera la función \( f \) dada por \( f(x) = 5 - x \) y la función \( g \) definida como \( g(x) = \frac{4}{x}\) para \( x \neq 0 \) Calcula el área de dicho recinto.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por: \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = |x|\) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \)

Dada la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \ln x \) donde \( \ln \) es la función logaritmo neperiano, se pide: Calcula el área de la región limitada por la gráfica de \( f \) el eje de abscisas y la recta normal de ecuación \( y = -ex + 1 + e^2 \)

Calcula el valor de \( a > 0 \) sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola \( y = x^2 + ax \) y la recta \( y + x = 0 \) vale \( 36 \) unidades cuadradas.

Dada la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{3}{x^2 - 5x + 4}\) para \( x \neq 1 \) y \( x \neq 4 \) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) el eje de abscisas, y las rectas \( x = 2 \) \( x = 3 \)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x|2 - x|\) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) el eje de abscisas y la recta de ecuación \( x = 3 \)

Calcula el valor de \( b > 0 \), sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva \( y = \sqrt{x}\) y la recta \( y = bx \) es de \(\frac{4}{3}\) unidades cuadradas.

Calcula un número positivo \( a \), menor que \( 2 \), para que el recinto limitado por la parábola de ecuación \( y = \frac{1}{2} x^2 \) y las dos rectas horizontales de ecuaciones \( y = a \) e \( y = 2 \), tenga un área de \(\frac{14}{3}\) unidades cuadradas.

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas \( y=4x \) \( y=8-4x \) y la curva \( y=2x-x^2 \) Calcula su área.

Sean las funciones \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\frac{x^2}{4}\) y \( g(x)=2\sqrt{x}\) respectivamente. Calcula el área del recinto que limitan sus gráficas.

Sean \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones definidas mediante \( f(x)=|x(x-2)|\) y \( g(x)=x+4 \). Calcula el área del recinto limitado por gráficas de \( f \) y \( g \)

Sea \( g: (0, +\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( g(x)=|\ln x|\) (donde \(\ln \) denota el logaritmo neperiano). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( g \) y la recta \( y=1 \)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \( f(x)=3-x^2 \) y \( g(x)=-\frac{x^2}{4}\). Calcula el área del recinto limitado por la recta \( y=4-2x \) y las gráficas de \( f \) y \( g \)

Considera las funciones \( f, g: [-\pi, \pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\cos(x) \) y \( g(x)=\operatorname{sen}(x) \). Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de \( f \) y de \( g \) en el intervalo \(\left[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\)

Calcula \( a>0 \) sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función \( f(x)=x \cdot e^{3x}\), el eje de abscisas y la recta \( x=a \) vale \(\frac{1}{9}\)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=|x|\) y \( g(x)=x^2-2 \). Determina el área del recinto que determinan las gráficas de \( f \) y \( g \)

Sea \( f \) la función definida por: \( f(x) = \begin{cases} 2x+4 & \text{si } x < 0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \) y por el eje de abscisas.

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-e^x \) y \( g(x)=-e^{-x}\). Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas \( x=-1 \) y \( x=1 \)

En una cierta región, un rio sigue la forma de la función \( f(x)=\frac{x^3}{4}-x^2+x \) y es cortado por un camino dirigido según el eje OX. Se quieren plantar pinos en la porción de terreno comprendida entre el rio y el camino. Sabiendo que la unidad de medida de longitud es el kilómetro y que la densidad de plantación es \( 150 \) pinos por hectárea, calcula el número de pinos necesarios (recuerda que una hectárea son \( 10000 \) \( m^2 \) ).

Calcula el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de la función \( f(x)=x \cdot e^{x^2}\), el eje de abscisas y las rectas \( x=0 \) y \( x=2 \)

Calcula \( \int_0^1 \frac{3x^3+1}{x^2-x-2} dx \)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa \( x = 0 \) y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa \( x = -1 \) Conociendo además que \( \int_0^1 f(
x) dx = 6 \) halla \( a \) \( b \) y \( c \)

Halla el área del recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas: \( y = x^2 + 1 \) \( y = \frac{2}{x}\) \( y = x - 1 \)

Determina \( b \) sabiendo que \( b > 0 \) y que el área del recinto limitado por la parábola de ecuación \( y = \left(\frac{1}{3}x - b\right)^2 \) y los ejes coordenados es igual a 8.

Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta \( y = 2x \) y por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = \frac{x^2}{2}\)

Sabiendo que \( a \) toma el valor que hace que la función sea continua, sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = \begin{cases} -\frac{a}{x} & \text{si } x \le -1 \\ x^2+1 & \text{si } x > -1 \end{cases}\) Halla el área limitada por la función, el eje de abscisas y las rectas \( x = -2 \) y \( x = 2 \)

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f(x) = \operatorname{sen}(x) \) y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas \( x = 0 \) y \( x = \pi \)

Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 1 \) y \( g(x) = 2x + 2 \) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

Se calcula la integral definida de la función que se presenta en el enunciado evaluando sus extremos en la regla correspondiente.

La recta tangente a la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \( f(x) = mx^2 + nx - 3 \), en el punto \((1, -6) \), es paralela a la recta de ecuación \( y = -x \)
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas.