Ejercicios · Bloque 2: Geometría — 2.7 Problemas típicos de rectas y planos

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las rectas en forma paramétrica. A continuación comprobaremos si son coplanarias calculando el producto mixto de sus vectores directores y el vector que une un punto de cada una. Si son coplanarias, hallaremos su punto de intersección. Para terminar obtendremos la ecuación del plano que las contiene usando el vector normal resultante del producto vectorial de los vectores directores.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores y puntos de las rectas r y s. A continuación determinaremos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de los vectores directores. Para terminar escribiremos la ecuación del plano en forma general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta r, así como un punto de la recta. A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de ambos vectores, ya que el plano es perpendicular a \(\pi \) y contiene a r. Para terminar construiremos la ecuación del plano usando el vector normal obtenido y el punto de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación obtendremos el vector director y un punto de la recta dada en forma simétrica. Para terminar calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de ambos vectores directores y escribiremos su ecuación usando el punto de la segunda recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores y un punto de cada recta. A continuación comprobaremos que son coplanares hallando su punto de intersección. Para terminar calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial de los directores y obtendremos la ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar un vector director y un punto de la recta r. A continuación obtendremos un vector director y un punto de la recta s. Para terminar determinaremos el vector normal del plano mediante el producto vectorial de los dos vectores directores y escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director y un punto de la recta r. A continuación determinaremos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de dichos vectores, ya que debe ser perpendicular a ambos. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando el punto de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento por su punto medio. A continuación calcularemos los puntos de corte del plano con los ejes coordenados. Para terminar hallaremos el área del triángulo mediante el producto vectorial.

Para resolver este apartado empezaremos por parametrizar ambas rectas para obtener sus vectores directores y puntos. A continuación comprobaremos si son paralelas, secantes o cruzadas. Para terminar determinaremos el plano que las contiene.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas para m=1 e identificaremos sus vectores directores y puntos. A continuación verificaremos que las rectas son paralelas y distintas. Para terminar calcularemos el vector normal al plano mediante el producto vectorial del vector director y el vector que une un punto de cada recta, y obtendremos la ecuación general del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar las ecuaciones paramétricas de las rectas r y s con los valores dados de m y n. A continuación comprobaremos si las rectas se cortan para hallar un punto común. Para terminar calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial de los vectores directores y escribiremos la ecuación general del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por parametrizar la recta r. A continuación determinaremos el punto de intersección Q imponiendo que el vector director de la recta buscada sea ortogonal al vector normal del plano \(\pi \) Para terminar escribiremos la ecuación de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A con un vector director genérico. A continuación impondremos la condición de paralelismo con el plano dado, lo que nos dará una relación partido por las componentes del vector director. Para terminar utilizaremos la condición de que la recta corta al eje Z para determinar el vector director concreto y escribir la ecuación final de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar las coordenadas del cuarto vértice D usando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan. A continuación calcularemos el centro del paralelogramo como punto medio de una diagonal. Luego hallaremos un vector normal al plano que contiene al paralelogramo mediante el producto vectorial de dos vectores no paralelos del plano. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el centro y tiene como vector director el vector normal al plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la ecuación de la recta intersección de los planos \(\pi_2 \) y \(\pi_3 \) A continuación parametrizaremos un punto genérico de esa recta y calcularemos el vector director de la recta buscada que une el punto \( P \) con ese punto genérico. Para terminar impondremos la condición de paralelismo con \(\pi_1 \) para determinar el parámetro y escribiremos la ecuación de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la recta como intersección de dos planos. A continuación utilizaremos el fascio de planos que contienen a dicha recta. Para terminar impondremos que el punto dado pertenece al plano para determinar la ecuación definitiva.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar el vector director de la recta \( r \) mediante el producto vectorial de las normales de sus planos. A continuación determinaremos el vector director de la recta buscada imponiendo las condiciones de perpendicularidad a \( r \) y pertenencia al plano \( y + \) Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por \( P \) con ese vector director. \( r \) La recta \( r \) es la intersección de los planos \( x + z = 1 \) y \( y + z = 0 \) Sus vectores normales son \(\vec{n}_1 = (1, 0, 1) \) y \(\vec{n}_2 = (0, 1, 1) \) El vector director de \( r \) es perpendicular a ambos normales, por lo que se obtiene como producto vectorial \(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \): \(\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1, -1, 1) ve sub erre es igual a ene sub uno por ene sub dos, que es igual al determinante de la matriz con filas i, je, ka; uno, cero, uno; \) Podemos tomar como vector director de \( r \) el vector \(\vec{v}_r = (-1, -1, 1) \) (o cualquier múltiplo no nulo). PASO 2: Condiciones para el vector director de la recta buscada. \(\vec{v} = (a, b, c) \) 1. Ser perpendicular a \( r \): \(\vec{v} \cdot \vec{v}_r = 0 \) 2. Estar contenido en el plano \(\pi: y + z = 0 \): esto significa que \(\vec{v} \) es perpendicular al vector normal del plano \(\vec{n}_\pi = (0, 1, 1) \), es decir, \(\vec{v} por \vec{n}_\pi = 0 \) \(\vec{v} \) Sustituimos \(\vec{v}_r = (-1, -1, 1) \) y \(\vec{n}_\pi = (0, 1, 1) \) en las condiciones: \(\vec{v} \cdot (-1, -1, 1) = -a - b + c = 0 \rightarrow c = a + b ve producto escalar \) \(\vec{v} \cdot (0, 1, 1) = b + c = 0 \rightarrow c = -b ve producto escalar \) \( c \) \( a + b = -b \rightarrow a = -2b a \) Tomando \( b = 1 \) (cualquier valor no nulo sirve), obtenemos \( a = -2 \) y \( c = -1 \) Un vector director de la recta buscada es: \(\vec{v} = (-2, 1, -1) \) PASO 4: Ecuación de la recta que pasa por \( P \) con vector director \(\vec{v} \) La recta pasa por \( P(1, 1, -1) \) y tiene vector director \(\vec{v} = (-2, 1, -1) \) Su ecuación en forma continua (simétrica) es: \(\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1} \) Equivalentemente, en forma paramétrica: \(\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 1 + t \\ z = -1 - t \end{cases} sistema equis igual a uno menos dos te, i griega igual a uno más te, zeta igual a menos uno menos te \quad (t \in \mathbb{R}) \) Conclusión: La ecuación de la recta buscada es \(\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1} \) (o su forma paramétrica equivalente).

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta \( r \) A continuación, como el plano buscado es perpendicular a la recta, su vector normal será el vector director de la recta. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano usando el punto dado y el vector normal, y la simplificaremos.

Para resolver este apartado empezaremos por escribir la recta \( r \) en su forma paramétrica para obtener un punto de la recta y su vector director. A continuación calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial del vector director de la recta y el vector que une el origen con el punto de la recta. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar el vector director de la recta r como producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen. A continuación utilizaremos ese vector director como vector normal del plano buscado. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando la forma punto-normal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la ecuación cartesiana del plano \(\pi \) '. A continuación parametrizaremos la recta r. Para terminar igualaremos las distancias desde un punto genérico de la recta a ambos planos y resolveremos para el parámetro.

Para resolver este apartado empezaremos por encontrar un punto de la recta y su vector director. A continuación calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial del vector director de la recta y el vector que une el punto de la recta con el punto dado. Para terminar obtendremos la ecuación general del plano sustituyendo el vector normal y el punto dado.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar el vector director de la recta dada. A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial del vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando el punto \( P \) y el vector normal obtenido.

Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector director de la recta a partir de su ecuación simétrica. A continuación, como el plano es perpendicular a la recta, su vector normal coincidirá con el vector director. Para terminar usaremos la forma punto-normal de la ecuación del plano con el punto dado y la simplificaremos a la forma general.

Para resolver este apartado empezaremos por identificar un punto de la recta y su vector director. A continuación construiremos un segundo vector director contenido en el plano usando el punto dado y el punto de la recta. Para terminar calcularemos el vector normal mediante el producto vectorial y obtendremos la ecuación del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por determinar las condiciones que debe cumplir el vector director de la recta, usando que la recta está contenida en el plano y es perpendicular al vector dado. A continuación obtendremos el vector director concreto. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta en forma vectorial, paramétrica y continua.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta r. A continuación impondremos las condiciones de perpendicularidad con \(\pi \) y paralelismo con r para hallar el vector normal del plano buscado. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano usando el punto P.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r calculando el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen. A continuación usaremos ese vector director como vector normal del plano buscado, ya que un plano perpendicular a una recta tiene como vector normal el vector director de la recta. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando la forma punto-normal con el punto P(1, 2, 3).

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar los vectores normales de los planos dados. A continuación calcularemos el vector director de la recta buscada como producto vectorial de los dos normales, ya que la recta debe ser paralela a ambos planos. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el punto A con ese vector director.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el vector director de la recta perpendicular que une los puntos A y B, que será el vector normal del plano. A continuación usaremos la ecuación punto-normal del plano con el punto B y el vector normal obtenido. Para terminar simplificaremos la ecuación a su forma general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el vector normal del plano \(\pi \) a partir de su ecuación general. A continuación aprovecharemos que dos planos paralelos tienen el mismo vector normal para escribir la ecuación general del plano \(\pi_1 \) con una incógnita. Para terminar sustituiremos las coordenadas del punto \( P \) para determinar dicha incógnita y obtendremos la ecuación final. \(\pi \) La ecuación general de un plano es \( Ax + \), donde el vector normal viene dado por \(\vec{n} = (A, \) Comparando con la ecuación del plano \(\pi \), tenemos \( A = 3 \), \( B = -1 \), \( C = 2 \) Por tanto, el vector normal es: \(\vec{n} = (3, -1, 2) \) \(\pi_1 \) Dos planos son paralelos si y solo si sus vectores normales son proporcionales. Como buscamos un plano \(\pi_1 \) paralelo a \(\pi \), podemos tomar el mismo vector normal. La ecuación general de un plano con vector normal \((3, -1, 2) \) es: \( 3x - y + 2z + D = 0 \) PASO 3: Sustitución del punto \( P(1, -2, 2) \) para hallar \( D \) El plano \(\pi_1 \) pasa por el punto \( P(1, -2, 2) \) Sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar \( D \): \( 3(1) - (-2) + 2(2) + D = 0 \rightarrow 3 + 2 + 4 + D = 0 \rightarrow 9 + D = 0 \rightarrow D = -9 \) \(\pi_1 \) Sustituimos el valor de \( D \) en la ecuación general del plano paralelo: \( 3x - y + 2z - 9 = 0 \) Conclusión: La ecuación del plano \(\pi_1 \) paralelo a \(\pi \) y que pasa por el punto \( P(1, -2, 2) \) es \( 3x - \)

Para resolver este apartado empezaremos por escribir la ecuación del haz de planos que contienen a la recta r. A continuación determinaremos el valor del parámetro λ imponiendo que el plano pase por el punto P. Para terminar obtendremos la ecuación simplificada del plano buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación, usaremos ese vector director como vector normal del plano buscado, ya que el plano es perpendicular a la recta. Para terminar, escribiremos la ecuación del plano usando su vector normal y el punto dado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector director de la recta \( r \) A continuación usaremos ese vector como vector normal del plano perpendicular. Para terminar sustituiremos el punto \( A \) en la ecuación general del plano para obtener la ecuación final.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar el vector director de la recta r. A continuación, usaremos ese vector como vector normal del plano buscado. Para terminar, escribiremos la ecuación del plano en forma general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación calcularemos un vector contenido en el plano uniendo dicho punto con el punto dado. Para terminar obtendremos el vector normal mediante el producto vectorial y escribiremos la ecuación general del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta r. A continuación calcularemos un segundo vector contenido en el plano usando el punto dado P y el punto de la recta. Para terminar obtendremos el vector normal mediante el producto vectorial y escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por analizar las condiciones geométricas para obtener el vector normal del plano buscado. A continuación escribiremos la ecuación del plano usando la forma punto-normal. Para terminar simplificaremos la ecuación a su forma general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar un vector director de la recta y un punto que pertenezca a ella. A continuación determinaremos un vector normal al plano buscado mediante el producto vectorial del vector director de la recta y el vector que une el punto dado con el punto de la recta. Para terminar escribiremos la ecuación del plano en su forma general.

Para resolver este apartado empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta s. A continuación obtendremos un vector normal al plano mediante el producto vectorial del vector director de s y el vector que une un punto de s con el punto P. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación calcularemos el vector que une el punto dado con el punto de la recta. Para terminar hallaremos el vector normal mediante el producto vectorial y escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por encontrar un punto y un vector director de la recta r. A continuación determinaremos dos vectores contenidos en el plano buscado y su vector normal mediante el producto vectorial. Para terminar calcularemos la ecuación del plano usando la forma punto-normal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar un punto y un vector director de la recta r. A continuación determinaremos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial del vector director de r y el vector que une un punto de r con P. Para terminar obtendremos la ecuación del plano usando la forma punto-normal.

Para resolver este apartado empezaremos por extraer los vectores directores de las rectas r y s. A continuación calcularemos un vector normal al plano mediante el producto vectorial de dichos vectores directores. Para terminar obtendremos la ecuación general del plano utilizando el punto P y el vector normal hallado.

Para resolver este apartado empezaremos por escribir la ecuación del haz de planos que contienen a la recta r. A continuación impondremos la condición de que el plano pase por el origen para determinar el parámetro. Para terminar simplificaremos la ecuación obtenida para expresarla en su forma general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto de la recta y su vector director a partir de sus ecuaciones simétricas. A continuación calcularemos el vector que une el punto de la recta con el punto \( P \) Para terminar obtendremos el vector normal del plano mediante el producto vectorial y escribiremos su ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el vector director de la recta r calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación, como el plano buscado es perpendicular a la recta, su vector normal coincidirá con el vector director de la recta. Para terminar, utilizaremos la ecuación punto-normal del plano con el punto A y el vector normal obtenido.

Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la familia de planos que contienen a la recta r mediante combinación lineal de sus ecuaciones. A continuación sustituiremos las coordenadas del punto P para determinar el parámetro. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la recta como intersección de dos planos. A continuación construiremos el haz de planos que la contienen. Para terminar determinaremos el valor del parámetro que hace pasar el plano por el punto dado y escribiremos la ecuación final.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación usaremos este vector director como vector normal del plano buscado ya que el plano es perpendicular a la recta. Para terminar escribiremos la ecuación del plano en forma general usando el punto P y el vector normal obtenido.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación determinaremos el vector normal del plano buscado imponiendo que sea perpendicular tanto al vector director de r como al eje OZ. Para terminar encontraremos la ecuación del plano utilizando un punto de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director de la recta que pasa por \( B \) y \( C \) A continuación, como el plano es perpendicular a dicha recta, usaremos ese vector director como vector normal del plano. Para terminar, aplicaremos la ecuación punto-normal del plano con el punto \( A \) y simplificaremos a la forma general.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar dos vectores que pertenezcan al plano que contiene a los puntos A, B y C. A continuación calcularemos el vector normal al plano mediante el producto vectorial de esos dos vectores. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por D con vector director igual al vector normal del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las coordenadas de los puntos de corte del plano con los ejes. A continuación usaremos la forma interceptada de la ecuación del plano. Para terminar simplificaremos la ecuación a su forma general.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar los vectores directores de las rectas \( r \) y \( s \) A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de dichos directores. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano que pasa por el origen con ese vector normal. \( r \) La recta \( r \) pasa por los puntos \( A(1, 1, 0) \) y \( B(3, -1, 1) \) Su vector director se obtiene restando las coordenadas de \( A \) a las de \( B \) \(\vec{v}_r = \vec{B} - \vec{A} = (3-1, -1-1, 1-0) = (2, -2, 1) \) \( s \) La recta \( s \) viene definida como intersección de dos planos. Sus ecuaciones son \( x+2y=-1 \) y \( y+z=-1 \) Los vectores normales de estos planos son \(\vec{n}_1 = (1, 2, 0) \) y \(\vec{n}_2 = (0, 1, 1) \) El vector director de \( s \) es perpendicular a ambos normales, por lo que se calcula como su producto vectorial. \(\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \) \(\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot1 - 0\cdot1, -(1\cdot1 - 0\cdot0), 1\cdot1 - 2\cdot0) = (2, -1, 1) el \) PASO 3: Vector normal del plano buscado. El plano buscado es paralelo a ambas rectas, por lo que su vector normal \(\vec{n} \) debe ser perpendicular a los vectores directores \(\vec{v}_r \) y \(\vec{v}_s \) Lo obtenemos calculando el producto vectorial \(\vec{v}_r \times \vec{v}_s \) \(\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \) \(\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = ((-2)\cdot1 - 1\cdot(-1), -(2\cdot1 - 1\cdot2), 2\cdot(-1) - (-2)\cdot2) = (-2+1, -(2-2), -2+4) = (-1, 0, 2) el \) PASO 4: Ecuación general del plano. El plano pasa por el origen \( O(0, 0, 0) \) y tiene vector normal \(\vec{n} = (-1, 0, 2) \) La ecuación general de un plano con vector normal \((A, B, C) \) que pasa por \((x_0, y_0, z_0) \) es: \( A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 \) Sustituyendo \( A=-1 \), \( B=0 \), \( C=2 \) y \((x_0, y_0, z_0)=(0, 0, 0) \) obtenemos: \(-1(x-0) + 0(y-0) + 2(z-0) = 0 \rightarrow -x + 2z = 0 \rightarrow x - 2z = 0 \) Conclusión: La ecuación general del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas \( r \) y \( s \) es \( x - 2z = 0 \)

Para resolver este apartado empezaremos por determinar las coordenadas del punto B sustituyendo a = 2. A continuación calcularemos el vector director AB y el vector normal del plano \(\pi \) Luego obtendremos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de AB y el vector normal de \(\pi \) Para terminar hallaremos la ecuación del plano usando el punto A.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar dos vectores que generen el plano ABC, calculando los vectores AB y AC. A continuación obtendremos un vector normal al plano mediante el producto vectorial de AB y AC. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por D y tiene como vector director el vector normal encontrado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por encontrar un punto y un vector director de la recta r. A continuación determinaremos un vector normal al plano buscado mediante el producto vectorial de un vector contenido en el plano y el vector director de la recta. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando el punto A y el vector normal obtenido.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el punto medio del segmento AB. A continuación determinaremos el vector director del segmento AB, que será el vector normal del plano. Para terminar escribiremos la ecuación del plano en su forma general.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el punto medio del segmento PQ. A continuación determinaremos el vector director PQ, que será el vector normal del plano. Para terminar construiremos la ecuación del plano en su forma general.

Para resolver este apartado empezaremos por obtener el vector director de la recta. A continuación calcularemos el vector PQ. Para terminar hallaremos el vector normal mediante producto vectorial y escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el punto medio del segmento AB. A continuación determinaremos el vector director del segmento AB, que será el vector normal del plano buscado. Para terminar escribiremos la ecuación del plano en su forma general usando el punto medio y el vector normal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener el vector director de la recta que pasa por los puntos A y B y el vector normal del plano \(\pi \) A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de los dos vectores anteriores. Para terminar hallaremos la ecuación del plano usando el vector normal y uno de los puntos dados.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director de la recta r a partir de los puntos A y B. A continuación determinaremos el punto de corte entre la recta buscada y r imponiendo la condición de perpendicularidad. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el origen y por ese punto de corte.

Para resolver este apartado empezaremos por identificar los vectores directores y puntos de las rectas. A continuación plantearemos las condiciones de perpendicularidad común y resolveremos el sistema para los parámetros. Para terminar determinaremos los puntos de corte y la ecuación de la recta perpendicular común.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los vectores directores y un punto de cada recta. A continuación calcularemos el vector director de la perpendicular común mediante el producto vectorial. Para terminar determinaremos los puntos de intersección resolviendo el sistema y escribiremos la ecuación de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta dada. A continuación obtendremos el vector normal del plano. Luego, como la recta buscada es perpendicular a la recta dada y está contenida en el plano, su vector director será perpendicular a ambos vectores, por lo que lo calcularemos mediante el producto vectorial. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con ese vector director.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta \( r \) A continuación calcularemos el vector \(\overrightarrow{AB} \) Para terminar determinaremos el vector normal del plano mediante el producto vectorial y escribiremos su ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de la recta s y su vector director. A continuación buscaremos el punto de corte Q imponiendo que el vector director de r sea perpendicular al de s. Para terminar obtendremos las ecuaciones paramétricas de r.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar un vector director de la recta \( s \) mediante el producto vectorial de los normales de los planos que la definen. A continuación, como el plano buscado es perpendicular a \( s \), ese vector director será vector normal del plano. Usando el punto \( B \) obtendremos la ecuación general del plano. Para terminar, hallaremos dos vectores directores del plano ortogonales a su normal y escribiremos sus ecuaciones paramétricas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director del segmento AB. A continuación usaremos ese vector como vector normal del plano. Para terminar escribiremos la ecuación del plano que pasa por C con ese vector normal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener el vector director de la recta \( r \) y el vector \(\vec{AB} \) A continuación calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial de ambos vectores. Para terminar escribiremos la ecuación del plano en su forma general usando el punto \( A \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director del segmento AB. A continuación, usaremos este vector como vector normal del plano y aplicaremos la ecuación punto-normal. Para terminar simplificaremos la expresión hasta obtener la ecuación general del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener el vector director de la recta r y un punto de ella. A continuación calcularemos el vector director de la recta que pasa por A y B. Para terminar hallaremos el vector normal del plano mediante el producto vectorial y escribiremos su ecuación general usando la forma punto-normal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores directores de la recta que pasa por A y B y de la recta que pasa por C y D. A continuación obtendremos el vector normal del plano como producto vectorial de esos dos vectores, ya que el plano debe contener a la recta AB y ser paralelo a la recta CD. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando el punto A y verificaremos que la recta CD no está contenida en él.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta dada. A continuación determinaremos el vector que une los dos puntos por los que pasa el plano. Para terminar calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial y escribiremos su ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar los vectores directores de las rectas r y s. A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de los vectores directores. Para terminar hallaremos un punto de la recta s y escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar un vector director de la recta r y un punto que pertenece a ella. A continuación obtendremos un vector director de la recta s. Para terminar determinaremos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de ambos vectores directores y escribiremos su ecuación usando el punto de la recta r.

Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar ambas rectas para obtener sus vectores directores y un punto de cada una. A continuación calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial de los vectores directores. Para terminar usaremos un punto de la recta s y el vector normal para hallar la ecuación general del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta \( r \) A continuación obtendremos el vector director de la recta \( s \) mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. Para terminar calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de los dos vectores directores y escribiremos su ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta \( r \) A continuación calcularemos el vector director de la recta \( s \) como producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. Para terminar obtendremos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de ambos vectores directores y escribiremos su ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta r junto con un punto de la recta. A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial de los dos vectores anteriores. Para terminar obtendremos la ecuación general del plano usando la forma punto-normal.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el vector normal del plano \(\pi \) A continuación escribiremos la ecuación general del plano paralelo a \(\pi \) Para terminar hallaremos un punto de la recta r y su vector director, sustituiremos el punto en la ecuación del plano para encontrar la constante, y finalmente convertiremos la ecuación cartesiana a forma paramétrica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector director de la recta y un punto de ella, así como el vector normal del plano dado. A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial del vector director de la recta y el vector normal del plano dado, ya que el plano buscado debe contener a la recta y ser perpendicular al plano dado. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano usando el punto y el vector normal obtenido.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar un vector director de la recta r a partir de las ecuaciones de los dos planos que la definen. A continuación obtendremos el vector director de la recta s a partir de su forma paramétrica. Para terminar calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de ambos directores, y usando un punto de la recta r escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación obtendremos el vector director de la recta s a partir de sus ecuaciones paramétricas. Para terminar calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de los dos vectores directores, tomaremos un punto de la recta s y escribiremos la ecuación del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular los vectores directores de ambas rectas para determinar su posición relativa. A continuación hallaremos un punto de cada recta. Para terminar obtendremos la ecuación del plano que contiene a las dos rectas, que será el plano del cuadrado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación general de los planos paralelos a \(\pi \) A continuación hallaremos los puntos de corte con los ejes de coordenadas y calcularemos el área del triángulo que determinan. Para terminar impondremos que el área sea \( 18\sqrt{3} \) y obtendremos los valores del parámetro.

Para resolver este ejercicio empezaremos por deducir la dirección de la recta a partir de la condición de que su punto más cercano al origen sea (1, 2, 3). A continuación impondremos que la recta no corte al plano dado, lo que nos dará la segunda condición sobre su vector director. Para terminar escribiremos las ecuaciones de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la ecuación paramétrica de la recta intersección de los dos planos. A continuación plantearemos las condiciones que debe cumplir la recta buscada: pasar por el punto dado, ser paralela al plano dado y cortar a la recta intersección. Para terminar resolveremos el sistema resultante para obtener el vector director y la ecuación de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de las rectas \( r \) y \( s \) A continuación utilizaremos la condición de perpendicularidad al plano \( z = 0 \) para determinar el vector director de la recta buscada. Para terminar igualaremos las coordenadas para hallar el punto de intersección y escribiremos la ecuación de la recta.

Para resolver este apartado empezaremos por identificar el vector normal del plano. A continuación escribiremos la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por el origen con dirección del vector normal. Para terminar presentaremos la ecuación continua de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir a=2 en las ecuaciones de las rectas r y s. A continuación determinaremos el punto de intersección de ambas rectas resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones. Para terminar calcularemos el vector director de la recta perpendicular a ambas mediante el producto vectorial de sus vectores directores y escribiremos su ecuación continua.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores normales de los planos dados. A continuación calcularemos el vector director de la recta como producto vectorial de dichos normales. Para terminar escribiremos la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por el punto A con ese vector director.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores normales de ambos planos. A continuación calcularemos el vector director de la recta como producto vectorial de dichos normales. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el origen con ese vector director.

Para resolver este apartado empezaremos por determinar el vector director de la recta r y el vector normal del plano \(\pi \) A continuación calcularemos el vector director de la recta buscada como producto vectorial de ambos vectores. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta en forma paramétrica y continua.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular dos vectores que estén contenidos en el plano que pasa por P, Q y R. A continuación hallaremos el vector normal a dicho plano mediante el producto vectorial de esos dos vectores. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene por vector director el vector normal obtenido.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la recta r en forma paramétrica. A continuación buscaremos el punto Q de r tal que el vector PQ sea perpendicular a la dirección de r. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar la recta r para expresar un punto genérico de intersección. A continuación, impondremos que el vector director de la recta buscada sea ortogonal al vector normal del plano \(\pi \) Para terminar, obtendremos el punto de corte y escribiremos las ecuaciones paramétricas.

Para resolver este apartado empezaremos por escribir la ecuación de la familia de planos que contienen a la recta r. A continuación impondremos que el punto A pertenezca a dicho plano para determinar el parámetro. Para terminar obtendremos la ecuación del plano buscado.

Para resolver este apartado empezaremos por expresar la recta r en forma paramétrica e identificar su vector director y un punto. A continuación, hallaremos el vector director y un punto de la recta s a partir de su ecuación implícita. Luego, comprobaremos si las rectas son paralelas, coincidentes o se cortan para determinar si son coplanarias. Para terminar, calcularemos la ecuación del plano que las contiene.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el valor del parámetro a que hace que las rectas sean paralelas comparando sus vectores directores. A continuación determinaremos un punto de cada recta y calcularemos el vector que los une. Para terminar obtendremos el vector normal del plano mediante el producto vectorial y escribiremos su ecuación.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta r. A continuación calcularemos el producto vectorial entre ambos para obtener un vector normal al plano buscado. Para terminar usaremos un punto de la recta r para escribir la ecuación del plano en forma general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer los vectores directores y un punto de cada recta. A continuación calcularemos el vector perpendicular a ambas rectas mediante el producto vectorial. Para terminar hallaremos el vector normal del plano y su ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la ecuación del plano que contiene a la recta r mediante el haz de planos que pasan por ella. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad con el plano \(\pi \) para determinar el parámetro del haz. Para terminar escribiremos la ecuación del plano buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación escribiremos la ecuación del plano perpendicular a r utilizando ese vector director como vector normal del plano y el punto \( P(1, 1, 1) \) Para terminar simplificaremos la ecuación a la forma general \( Ax + By + Cz + D = 0 \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la ecuación del plano que contiene a la recta r mediante combinación lineal de los planos que la definen. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad con el plano \(\pi \) para determinar el parámetro. Para terminar escribiremos la ecuación final del plano π₂.

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta r. A continuación calcularemos el vector normal del plano buscado como producto vectorial de ambos, ya que debe ser perpendicular a los dos. Para terminar determinaremos la ecuación del plano usando un punto de la recta.

Para resolver este apartado empezaremos por extraer los datos del plano y de la recta para el valor dado de \( m \) A continuación determinaremos el vector normal del plano buscado mediante el producto vectorial del vector director de la recta y el vector normal del plano \(\pi \) Para terminar escribiremos la ecuación del plano en forma general usando un punto de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro en las ecuaciones de las rectas. A continuación obtendremos las ecuaciones vectoriales de ambas rectas y sus vectores directores. Luego calcularemos el vector director de la recta perpendicular mediante el producto vectorial. Para terminar hallaremos el punto de intersección de las rectas y escribiremos la ecuación de la recta buscada.

Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar las rectas dadas. A continuación determinaremos los puntos de intersección de la recta buscada con r y s imponiendo que el vector director sea paralelo a t. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el vector normal del plano dado y escribir la ecuación general de los planos paralelos a él. A continuación obtendremos un punto que pertenece a la recta r. Para terminar sustituiremos ese punto en la ecuación general para hallar el término independiente y escribiremos la ecuación final del plano buscado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar los vectores directores y puntos de las rectas dadas. A continuación comprobaremos si las rectas se intersectan. Para terminar hallaremos la recta perpendicular a ambas que pasa por su punto de intersección.

Para resolver este apartado empezaremos por hallar el vector director de la recta r calculando el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen. A continuación, como el plano buscado es perpendicular a la recta, su vector normal será paralelo al vector director de r; usando el punto dado obtendremos su ecuación general. Para terminar, hallaremos dos vectores directores del plano ortogonales a su normal y escribiremos las ecuaciones paramétricas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta r junto con un punto que pertenece a ella. A continuación verificaremos que la recta es paralela al plano y plantearemos la ecuación del plano paralelo a \(\pi \) que contiene a r. Para terminar calcularemos la constante D y escribiremos la ecuación final del plano.

Para resolver este apartado empezaremos por determinar un punto y el vector director de la recta r para k= 0. A continuación obtendremos el vector director de la recta s. Para terminar calcularemos el vector normal del plano mediante el producto vectorial y escribiremos la ecuación general.

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector normal del plano \(\pi \) y el vector director de la recta \( r \) A continuación estableceremos las condiciones de perpendicularidad y paralelismo para determinar el vector normal del plano buscado. Para terminar escribiremos la ecuación del plano usando el punto \( A \) y el vector normal hallado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar los vectores directores de las rectas r y s. A continuación calcularemos el vector director de la recta perpendicular común mediante el producto vectorial. Luego hallaremos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas y plantearemos la condición de que el vector que une un punto de r con un punto de s sea paralelo al vector director de la perpendicular común. Para terminar resolveremos el sistema resultante y escribiremos la ecuación de la recta perpendicular común.

Para resolver el ejercicio empezaremos por extraer los vectores directores y un punto de cada recta. A continuación calcularemos el vector director de la recta perpendicular común mediante el producto vectorial. Para terminar hallaremos los puntos de apoyo resolviendo el sistema que impone la perpendicularidad y escribiremos la ecuación de la recta.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el vector normal del plano \(\pi \) A continuación usaremos dicho vector como vector director de la recta perpendicular. Para terminar escribiremos las ecuaciones vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por \( P \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular dos vectores que generen el plano del triángulo. A continuación obtendremos el vector normal al plano mediante el producto vectorial. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el origen con ese vector director.