Ejercicios · 2.6 Ecuaciones de la recta

Para resolver este apartado empezaremos por calcular los puntos medios de los segmentos AB y CD. A continuación hallaremos el vector director de la recta que pasa por ambos puntos. Para terminar escribiremos las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta.

Para resolver este apartado empezaremos por sustituir los valores a=b=1 en el punto C. A continuación calcularemos los vectores AB y AC para obtener un vector normal al plano mediante su producto vectorial. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el origen con vector director igual al vector normal hallado.

Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector director de la recta r y el vector normal del plano \(\pi \) A continuación plantearemos las condiciones de perpendicularidad y pertenencia al plano para hallar el vector director de la recta buscada. Para terminar escribiremos la ecuación de la recta que pasa por el origen con ese vector director.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director \(\vec{AB} \) A continuación hallaremos el vector que corresponde a una cuarta parte del segmento. Para terminar obtendremos las coordenadas de los tres puntos de división sumando sucesivamente ese vector al punto \( A \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director del segmento \( AB \) A continuación obtendremos las coordenadas de los puntos de trisección usando la fórmula del punto que divide un segmento en una razón dada. Para terminar escribiremos las coordenadas finales de ambos puntos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar la dirección de la recta \( r \) A continuación usaremos que la recta pasa por el origen. Para terminar escribiremos sus ecuaciones paramétricas.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el vector director de la recta que une los puntos \( A \) y \( C \) A continuación utilizaremos la ecuación vectorial de la recta que pasa por un punto y tiene un vector director. Para terminar escribiremos la ecuación en forma paramétrica y continua. \(\overrightarrow{AC} \) El vector director de la recta que pasa por dos puntos se obtiene restando las coordenadas del punto inicial a las del punto final. Tomamos como punto inicial \( A(-1, 0, 3) \) y como punto final \( C(3, 2, -3) \) \(\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-1), 2 - 0, -3 - 3) = (4, 2, -6) \) Podemos simplificar el vector director dividiendo sus componentes por el máximo común divisor, que es 2, obteniendo un vector director proporcional y más sencillo. \(\vec{v} = (2, 1, -3) \) PASO 2: Ecuación vectorial de la recta. La ecuación vectorial de una recta que pasa por un punto \( P(x_0, \) y tiene vector director \(\vec{v} = (v_1, \) es \(\vec{r} = \vec{OP} + \), donde \( t \in \mathbb{R} \) Usamos el punto \( A(-1, 0, 3) \) y el vector director simplificado \(\vec{v} = (2, 1, -3) \) \(\vec{r} = (-1, 0, 3) + t(2, 1, -3) \) PASO 3: Ecuaciones paramétricas de la recta. Descomponemos la ecuación vectorial en sus tres componentes para obtener las ecuaciones paramétricas. \(\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 0 + t \\ z = 3 - 3t \end{cases} \) O equivalentemente, usando el vector director original \((4, 2, -6) \) con un parámetro \(\lambda \in \mathbb{R} \): \(\begin{cases} x = -1 + 4\lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 3 - 6\lambda \end{cases} \) PASO 4: Ecuación continua (o simétrica) de la recta. \( t \) (o \(\lambda \) ) en cada ecuación paramétrica e igualamos las expresiones. Usando las paramétricas con vector director simplificado \((2, 1, -3) \) \( t = \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 3}{-3} \) \((4, 2, -6) \) \(\frac{x + 1}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-6} \) Conclusión: La ecuación de la recta que contiene a la diagonal \( AC \) puede expresarse en forma continua como \(\frac{x + 1}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-6} \) (o equivalentemente con el vector director simplificado \(\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{-3} \) ).

Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el valor del parámetro \( b \) para que los tres planos se corten en una recta. A continuación resolveremos el sistema de ecuaciones con ese valor de \( b \) para hallar la recta de intersección. Para terminar escribiremos las ecuaciones paramétricas de la recta.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el vector director de la diagonal \( AC \) restando las coordenadas de \( A \) a las de \( C \) A continuación usaremos ese vector como director de la recta buscada, ya que es paralela a \( AC \) Para terminar escribiremos la ecuación de la recta en forma vectorial, paramétrica y continua pasando por el punto \( B \)