A continuación se te dan los datos: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -4 & 1 & -3 \end{pmatrix}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz \( A \) A continuación utilizaremos el resultado para deducir la matriz inversa sin necesidad de calcular cofactores. Para terminar comprobaremos el determinante para confirmar que la inversa existe.
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m^2 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}\) calcula, si es posible, la matriz inversa de \( A \) para \( m = 2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro en la matriz \( A \) A continuación calcularemos su determinante para comprobar que es invertible. Para terminar obtendremos la matriz inversa mediante la fórmula del determinante y la matriz adjunta, desglosando todos los cofactores.
Sean las matrices: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\) \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) y \( C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) ¿Tiene inversa \( A \) En caso afirmativo, calcúlala.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para comprobar que es invertible. A continuación aplicaremos la fórmula de la matriz inversa de orden
2. Para terminar comprobaremos el resultado multiplicando la matriz por su inversa.
Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\) calcula, si existe, la matriz inversa de \( A \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para comprobar que es invertible. A continuación aplicaremos la fórmula de la matriz inversa de orden
2. Para terminar comprobaremos el resultado multiplicando la matriz por su inversa.
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}\) Calcula \( A^{-1}\) (Sugerencia: Puedes usar la igualdad \( 2A - A^2 = I \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por utilizar la igualdad sugerida para deducir la matriz inversa sin calcular determinantes ni cofactores. A continuación comprobaremos que la igualdad \( 2A - A^2 = I \) se cumple efectivamente. Para terminar calcularemos la matriz inversa con la expresión obtenida.
Sea \( M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{pmatrix}\) Para \( m = 1 \) calcula la inversa de \( M \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro en la matriz \( M \) A continuación calcularemos su determinante para comprobar que es invertible. Para terminar obtendremos la matriz inversa mediante la fórmula del determinante y la matriz adjunta, desglosando todos los cofactores.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para comprobar que es invertible. A continuación calcularemos todos los cofactores de la matriz adjunta. Para terminar obtendremos la matriz inversa mediante la fórmula del determinante y la matriz adjunta.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Calcula, si existe, la matriz inversa de \( A \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz \( A \) A continuación utilizaremos el resultado para deducir la matriz inversa sin necesidad de calcular determinantes ni cofactores. Para terminar comprobaremos que la matriz obtenida verifica la definición de matriz inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro en la matriz A. A continuación calcularemos el determinante de la matriz resultante. Luego hallaremos la matriz adjunta detallando el cálculo de cada cofactor. Para terminar obtendremos la inversa de A y la escalaremos para hallar la inversa de 2020A.
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) calcula \( (A^t \cdot A^{-1})^2 \cdot A \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar algebraicamente la expresión matricial haciendo uso de las propiedades de la matriz inversa y la matriz identidad. A continuación calcularemos la matriz transpuesta y la matriz inversa de A, detallando sus cofactores. Para terminar realizaremos el producto de las matrices resultantes.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}\) Calcula, si existe, \( A^{-1}\)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz A, para, a continuación, si el determinante es distinto de cero, calcular la matriz adjunta de A detallando cada cofactor. Para terminar obtendremos la matriz inversa dividiendo la transpuesta de la adjunta por el determinante.
Se consideran las matrices \( A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) y \( B = A - kI \) donde \( k \) es una constante e \( I \) la matriz identidad de orden
2. Calcular \( B^{-1}\) para \( k = -1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz \( B \) sustituyendo el valor de \( k \) A continuación calcularemos su determinante para comprobar que es invertible. Para terminar obtendremos la matriz inversa con la fórmula de orden 2.
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) Demuestra que \( A^2 + 2A = I \) y que \( A^{-1} = A + 2I \) siendo \( I \) la matriz identidad de orden 2.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz \( A \) A continuación sumaremos el doble de \( A \) y comprobaremos que el resultado es la matriz identidad. Para terminar deduciremos la matriz inversa a partir de esa igualdad.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) Calcula, si es posible, la matriz inversa de \( I + A + A^2 \) donde \( I \) denota la matriz identidad de orden 3.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz \( A \) y la matriz \( I + A + A^2 \) A continuación calcularemos su determinante para comprobar que es invertible. Para terminar obtendremos la matriz inversa, que en este caso se calcula de forma directa al tratarse de una matriz triangular con unos en la diagonal.
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\) sea \( B \) la matriz que verifica \( AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}\) Comprueba que las matrices \( A \) y \( B \) poseen inversas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la condición que garantiza la existencia de la matriz inversa. A continuación calcularemos el determinante de \( A \) y el determinante del producto \( AB \) Para terminar deduciremos el determinante de \( B \) usando la propiedad del determinante del producto.
Sea \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) Comprueba que \( A^2 = 2I \) y calcula \( A^{-1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz \( A \) A continuación comprobaremos que coincide con el doble de la matriz identidad. Para terminar deduciremos la matriz inversa a partir de esa igualdad.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz A. A continuación calcularemos la inversa de A mediante el determinante y la matriz adjunta. Para terminar comprobaremos que \( A^2 \) es igual a menos la inversa de A.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)
Comprueba que \( A^3 + I = O \) siendo \( I \) la matriz identidad y \( O \) la matriz nula. Calcula \( A^{-1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz A al cuadrado. A continuación calcularemos A al cubo multiplicando A al cuadrado por A. Para terminar verificaremos la igualdad \( A^3 + I = O \) y obtendremos la inversa de A como menos A al cuadrado.
No proporcionaste el enunciado del ejercicio para revisar. Necesito ver el enunciado completo (con sus locuciones de audio `` y etiquetas LaTeX ` \(.. \) `) junto a la solución para poder identificar si hay información superflua o distractora.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz A para comprobar que es invertible. A continuación calcularemos la matriz adjunta de A desglosando el cálculo de cada uno de sus cofactores. Para terminar obtendremos la matriz inversa trasponiendo la adjunta y dividiendo por el determinante.
Sea la matriz \(\begin{bmatrix} -a & 3a + 4 \\ a - 2 & 1 + a \end{bmatrix}\). Halla los valores del parámetro \( a \) para los que la matriz no es invertible, e indica para cada uno de estos valores cuál es el vector nulo. ¿Para cuáles valores de \( a \) la matriz posee inversa? ¿Por qué?
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar la expresión \( 3B + B^2 \) sacando factor común la matriz \( B \) A continuación utilizaremos la propiedad del determinante del producto para reducir la condición de no invertibilidad a la anulación de dos determinantes. Para terminar calcularemos cada determinante e igualaremos a cero.
Considera la matriz \( M(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) donde \( x \) es un número real. ¿Para qué valores de \( x \) existe \( (M(x))^{-1}\) Para los valores de \( x \) obtenidos, calcula la matriz \( (M(x))^{-1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( M(x) \) en función de \( x \) A continuación impondremos la condición de existencia de la matriz inversa para hallar los valores de \( x \) Para terminar calcularemos la matriz inversa para los valores obtenidos.
Considera las matrices: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) Razona cuáles de las matrices \( A \) \( B \) \( C \) y \( A \cdot B \) tienen inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la condición necesaria para que una matriz tenga inversa. A continuación analizaremos las dimensiones de cada matriz para descartar las que no sean cuadradas. Para terminar calcularemos el producto \( A \cdot B \) y su inversa.
Sea \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & m & 3 \\ 3 & 1 & m-2 \end{pmatrix}\) Determina los valores de \( m \) para los que la matriz \( A \) tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \) A continuación impondremos la condición de existencia de la matriz inversa, que exige un determinante distinto de cero. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para hallar los valores excluidos.
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -6 \end{pmatrix}\) \( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) y \( C = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) Halla, si existe, la matriz inversa de \( A \cdot B + C \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto \( A \cdot B \) A continuación sumaremos la matriz \( C \) para obtener la matriz \( M = A \cdot B + C \) Para terminar calcularemos su determinante y, si es distinto de cero, su matriz inversa.
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}\) \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) y \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
¿Para qué valores de \( m \) existe \( A^{-1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \) A continuación impondremos la condición de existencia de la matriz inversa, que exige un determinante distinto de cero. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para hallar los valores excluidos.
Tenemos la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\). Calcula la inversa de la matriz \( A \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro en la matriz \( A \) A continuación calcularemos la matriz \( B = A^2 - 2A \) efectuando las operaciones indicadas. Para terminar calcularemos su determinante y su matriz inversa.
No hay enunciado proporcionado. El campo del enunciado (con locuciones) está vacío, por lo que no es posible revisar si contiene información superflua o distractora. Necesitarías incluir el enunciado del ejercicio para poder realizar la revisión.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \(\alpha \) A continuación impondremos la condición de existencia de la matriz inversa, que exige un determinante distinto de cero. Para terminar despejaremos los valores del parámetro que cumplen la condición.
Calcula el valor de \( m \) para el que la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & m \end{pmatrix}\) verifica la relación \( 2A^2 - A = I \) y determina su matriz inversa \( A^{-1}\) para dicho valor de \( m \) siendo \( I \) la matriz identidad.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz \( A \) A continuación impondremos la relación \( 2A^2 - A = I \) para hallar el valor de \( m \) Para terminar calcularemos la matriz inversa de \( A \) para el valor obtenido.
Si \( M \) es una matriz cuadrada que verifica la relación \( 2M^2 - M = I \) siendo \( I \) la matriz identidad, determina la expresión de su matriz inversa \( M^{-1}\) en función de \( M \) y de \( I \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la definición de matriz inversa. A continuación transformaremos la relación dada para escribir la matriz identidad como un producto en el que aparezca la matriz \( M \) como factor. Para terminar identificaremos la matriz inversa por comparación con la definición.
Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}\) \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) y \( C = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}\) Indica los valores de \( m \) para los que \( A \) es invertible.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \) A continuación impondremos la condición de invertibilidad, que exige un determinante distinto de cero. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para hallar los valores excluidos.
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\) justifica que \( A \) es invertible y halla su inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para justificar que es invertible. A continuación calcularemos todos los cofactores de la matriz adjunta. Para terminar obtendremos la matriz inversa mediante la fórmula del determinante y la matriz adjunta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \(\lambda \) A continuación igualaremos el determinante a cero, ya que una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante es nulo. Para terminar resolveremos la ecuación resultante y analizaremos si tiene soluciones reales.
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}\) Determina los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( A - 2I \) tiene inversa, siendo \( I \) la matriz identidad de orden 3.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz \( A - 2I \) A continuación calcularemos su determinante en función del parámetro \(\lambda \) Para terminar impondremos la condición de existencia de la matriz inversa, que exige un determinante distinto de cero.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para comprobar que es invertible. A continuación calcularemos todos los cofactores de la matriz adjunta. Para terminar obtendremos la matriz inversa mediante la fórmula del determinante y la matriz adjunta.
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) Halla, si es posible, \( A^{-1}\) y \( B^{-1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de cada matriz para comprobar si son invertibles. A continuación calcularemos la inversa de las matrices que la tengan mediante la fórmula del determinante y la matriz adjunta. Para terminar justificaremos por qué alguna de ellas no tiene inversa.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Calcula \( A^{-1}\)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para comprobar que es distinto de cero, condición necesaria y suficiente para que exista la matriz inversa. A continuación calcularemos los cuatro cofactores de la matriz y con ellos formaremos la matriz adjunta. Para terminar aplicaremos la fórmula de la matriz inversa, que consiste en multiplicar la transpuesta de la matriz adjunta por el inverso del determinante, .
Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m-1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), calcula los valores de \( m \) para los cuales \( A \) tiene inversa.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz A en función del parámetro m aplicando la regla de Sarrus. A continuación impondremos la condición de existencia de la matriz inversa, que exige que el determinante sea distinto de cero según el teorema de invertibilidad. Para terminar resolveremos la desigualdad resultante para determinar qué valor del parámetro queda excluido.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Halla, si existe, la inversa de \( A \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) para comprobar que es distinto de cero y que, por lo tanto, la inversa existe. A continuación calcularemos la matriz adjunta desglosando el cálculo de todos y cada uno de sus cofactores. Para terminar aplicaremos la fórmula de la matriz inversa para obtener el resultado final.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Determina los valores de \( m \) tales que \( (A - mI) \) tiene inversa ( \(. I \) es la matriz identidad).
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz \( A - mI \) A continuación calcularemos su determinante desarrollando por la segunda fila. Para terminar factorizaremos el determinante, lo igualaremos a cero para hallar los valores que anulan el determinante, y concluiremos los valores de \( m \) para los que la matriz tiene inversa.
Sea \( M \) la matriz \(\begin{pmatrix} a+1 & a-2 & 2 \\ 2a+4 & -a-3 & 2 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}\). Determina los valores de \( a \) para los cuales la matriz \( M \) no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \) A continuación igualaremos el determinante a cero para encontrar los valores de \( m \) que hacen que la matriz no sea invertible. Para terminar concluiremos para qué valores de \( m \) existe la inversa.
Considera la matriz: \( A = \begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m+1 & m \\ m & m & m+2 \end{pmatrix}\). Para \( m=1 \), halla \(\left( \frac{1}{2} A \right)^{-1}\)
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir \( m = 1 \) en todos los elementos de la matriz para obtener una matriz numérica concreta. A continuación aplicaremos la propiedad de la inversa del producto de un escalar por una matriz, lo que nos permitirá reducir el problema al cálculo de la inversa de \( A \) Para terminar calcularemos el determinante mediante la regla de Sarrus, obtendremos los nueve cofactores para construir la matriz adjunta, calcularemos la inversa de \( A \) y multiplicaremos por dos para hallar el resultado pedido.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{pmatrix}\) donde \( m \geq 0 \) ¿Para qué valores de \( m \) tiene inversa la matriz \( A \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \) aplicando la regla de Sarrus, ya que al haber parámetros no podemos triangular numéricamente. A continuación factorizaremos el polinomio resultante e igualaremos el determinante a cero para hallar los valores de \( m \) que lo anulan. Para terminer excluiremos dichos valores y concluiremos para qué valores de \( m \) la matriz sí tiene inversa.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz A mediante la regla de Sarrus para comprobar que es distinto de cero y que la matriz admite inversa. A continuación calcularemos los nueve cofactores de la matriz para construir la matriz adjunta y obtener su transpuesta. Para terminar aplicaremos la fórmula de la matriz inversa, dividiendo la adjunta transpuesta entre el determinante.
Dado \( a \neq 0 \) considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix}\) Determina para qué valores de \( a \) se cumple que \( A^{-1} = \frac{1}{4} \cdot A \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \), que al ser una matriz cuadrada de orden dos lo haremos aplicando su definición. A continuación igualaremos el determinante a cero y resolveremos la ecuación resultante para encontrar los valores de \( a \) Para terminar concluiremos para qué valores la matriz no tiene inversa.
Considera la matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\) Calcula los valores de \( a \) para los que la matriz \( B \) no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz ve. A continuación igualaremos el determinante a cero para encontrar los valores de a. Para terminar concluiremos para qué valores la matriz no tiene inversa.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}\) Determina para qué valores de \( m \) existe la inversa de la matriz \( A \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz A, para, a continuación igualar el determinante a cero y encontrar los valores que lo anulan. Para terminar concluiremos para qué valores de m la matriz tiene inversa.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix}\) y sea \( B = A^2 - 2A \) Calcula \( B^{-1}\) para \( \lambda = 1 \)
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir el valor \(\lambda = 1 \) en la matriz \( A \) para trabajar con una matriz totalmente numérica. A continuación calcularemos la matriz \( B \), para lo cual elevaremos \( A \) al cuadrado mediante el producto de una matriz por sí misma y restaremos el doble de \( A \) Para terminar obtendremos \( B^{-1} \) aplicando la fórmula de la matriz inversa, calculando primero su determinante y después su matriz adjunta cofactor a cofactor.
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) Determina los valores de \( \alpha \) para los que la matriz \( A \) tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz A. A continuación aplicaremos la condición de invertibilidad igualando el determinante a distinto de cero. Para terminar despejaremos el parámetro alpha.
Calcula el valor de \( m \) para el que la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & m \end{pmatrix}\) verifica la relación \( 2A^2 - A = I \) y determina \( A^{-1}\) para dicho valor de \( m \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz A al cuadrado. A continuación sustituiremos en la relación \( 2A^2 - A \) = I y resolveremos la ecuación matricial para hallar m. Para terminar calcularemos la inversa de A para el valor obtenido de m.
Sea \( A \) la matriz \( \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}\) e \( I \) la matriz identidad de orden
3. Calcula la matriz inversa de \( A - 2I \) para \( \lambda = -2 \)
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir lambda igual a menos dos en la matriz A para, a continuación, calcular la matriz A menos dos I. Para terminar hallaremos la matriz inversa de la resultante calculando su determinante y su matriz adjunta.
PASO 2: Cálculo de la matriz \( M = A - 2I \) La matriz identidad de orden 3 es \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) Multiplicamos por 2 y restamos a \( A \) elemento a elemento: \( M = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ -5 & -2 & -5 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -5 & -4 & -5 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
PASO 3: Cálculo del determinante de \( M \) Calculamos el determinante de la matriz \( M \) desarrollando por la segunda columna, que contiene dos ceros: \(|M| = 0 - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 0 = -4 \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2)) = -4 \cdot (1 - 4) = -4 \cdot (-3) = 12 \) El determinante es 12, distinto de cero, por lo que la matriz \( M \) es invertible.
PASO 4: Cálculo de la transpuesta de la matriz adjunta de \( M \) La trasnspuesta de la matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores. Calculamos cada cofactor \( M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \text{det}(M_{ij}) \), donde \( M_{ij} \) es la submatriz obtenida eliminando la fila i y la columna j. Cofactores de la primera fila: \( M_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4 \cdot 1 - (-5) \cdot 0) = -4 \) \( M_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} -5 & -5 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot ((-5) \cdot 1 - (-5) \cdot (-2)) = 15 \) \( M_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} -5 & -4 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-5) \cdot 0 - (-4) \cdot (-2)) = -8 \) Cofactores de la segunda fila: \( M_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) = 0 \) \( M_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2)) = -3 \) \( M_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot (-2)) = 0 \) Cofactores de la tercera fila: \( M_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -4 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot (-5) - (-2) \cdot (-4)) = -8 \) \( M_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -5 & -5 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (-5) - (-2) \cdot (-5)) = -1 \cdot (-5 - 10) = 15 \) \( M_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-4) - 0 \cdot (-5)) = -4 \) Formamos la matriz de cofactores y la transponemos para obtener la adjunta: \(\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 15 & -3 & 15 \\ -8 & 0 & -4 \end{pmatrix} \)
PASO 5: Cálculo de la matriz inversa de \( M \) La matriz inversa se obtiene dividiendo la transpuesta de la matriz adjunta de M por el determinante de la matriz M: \( M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot \text{Adj}(M)^t = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 15 & -3 & 15 \\ -8 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{12} & 0 & -\frac{8}{12} \\ \frac{15}{12} & -\frac{3}{12} & \frac{15}{12} \\ -\frac{8}{12} & 0 & -\frac{4}{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{2}{3} \\ \frac{5}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{5}{4} \\ -\frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \) Así pues, la matriz inversa de \( A - 2I \) es: Conclusión: \((A - 2I)^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{2}{3} \\ \frac{5}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{5}{4} \\ -\frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \)
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) Determina para qué valores de \( m \) existe la inversa de la matriz \( A \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \), desarrollándolo por la primera fila por ser la que contiene mayor número de ceros. A continuación aplicaremos el criterio de existencia de la matriz inversa, que exige que el determinante sea distinto de cero. Para terminar resolveremos la condición obtenida para determinar los valores admisibles de \( m \)
Considera las matrices: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}\) Determina los valores de \( m \) para los que la matriz \( A \) tenga inversa.
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar el criterio teórico que garantiza la existencia de la matriz inversa, según el cual una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. A continuación calcularemos dicho determinante mediante la regla de Sarrus, obteniendo una expresión en función del parámetro m. Para terminar resolveremos la ecuación de segundo grado resultante igualada a cero, excluyendo sus raíces para determinar los valores de m admisibles.
Se consideran las matrices \( A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) y \( B = A - kI \) donde \( k \) es una constante e \( I \) la matriz identidad de orden
2. Determina los valores de \( k \) para los que \( B \) no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz \( B \) sustituyendo la matriz \( A \), la constante \( k \) y la matriz identidad. A continuación calcularemos el determinante de la matriz \( B \) Para terminar igualaremos el determinante a cero y resolveremos la ecuación resultante para hallar los valores de \( k \)
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix}\) y sea la matriz \( B = A^2 - 2A \) Determina los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( B \) tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz B a partir de la matriz A. A continuación calcularemos el determinante de la matriz B. Para terminar igualaremos el determinante a cero para determinar los valores de lambda para los que la matriz no tiene inversa y concluiremos para cuáles sí tiene.
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} \lambda+1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) calcula los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( A^2 + 3A \) no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz resultante de la operación dada. A continuación calcularemos su determinante. Para terminar igualaremos el determinante a cero y resolveremos la ecuación para encontrar los valores buscados.
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}\) Calcula \( m \) para que la matriz \( A \) tenga inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz paramétrica. A continuación aplicaremos la condición teórica de que una matriz no tiene inversa si su determinante es igual a cero. Para terminar igualaremos la expresión obtenida a cero y resolveremos la ecuación resultante para hallar el valor del parámetro.
Considera \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Determina los valores de \( m \) para los que \( A \cdot B \) no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por realizar el producto matricial de las matrices dadas. A continuación calcularemos el determinante de la matriz resultante. Para terminar igualaremos el determinante a cero y despejaremos el parámetro para hallar los valores de la incógnita para los que la matriz no tiene inversa.
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m-1 \\ 0 & m-1 & 2-m \\ 0 & -1 & 2-m \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)
Determina los valores de \( m \) para los que la matriz \( A \) no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz original. A continuación igualaremos el determinante a cero para encontrar los valores del parámetro. Para terminar concluiremos para qué valores la matriz no tiene inversa.
Considera las matrices: \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) y \( U = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}\) Halla la matriz \( A^{-1}\) y calcula \( A^{-1} \cdot U \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz A y, a continuación, calcularemos la matriz adjunta de A detallando sus cofactores. Para terminar obtendremos la inversa y la multiplicaremos por el vector U.
Considera las matrices:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ m-4 & 1 & 1-m \end{pmatrix}\) \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) \( O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) Halla el valor de \( m \in \mathbb{R}\) para el que la matriz A no tiene inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) aplicando la regla de Sarrus, ya que al contener la matriz el parámetro \( m \) el estudio debe realizarse mediante determinantes y no por Gauss. A continuación igualaremos dicho determinante a cero y resolveremos la ecuación lineal resultante. Para terminar concluiremos el valor de \( m \) para el cual la matriz carece de inversa.
Calcula la matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz mediante la regla de Sarrus para comprobar que es distinto de cero y, por tanto, que la matriz admite inversa. A continuación calcularemos los nueve cofactores de la matriz, desglosando sus menores complementarios, y con ellos formaremos la matriz adjunta. Para terminar aplicaremos la fórmula de la matriz inversa, transponiendo la adjunta y dividiendo entre el determinante.
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\). Determina los valores de \(\lambda \) para los que la matriz \( A + \lambda I \) no tiene inversa ( \(. I \) es la matriz identidad).
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la matriz \( A + \lambda I \), sumando \(\lambda \) a los elementos diagonales de la matriz \( A \) A continuación calcularemos su determinante desarrollando por la tercera fila, que contiene dos ceros. Para terminar igualaremos el determinante a cero y resolveremos la ecuación polinómica resultante para obtener los valores de \(\lambda \)
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}\) ¿Para qué valores del parámetro \( k \) no existe la inversa de la matriz \( A \) Justifica la respuesta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz \( A \) en función del parámetro \( k \) A continuación igualaremos el determinante a cero, ya que una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante es nulo. Para terminar concluiremos para qué valores de \( k \) no existe la inversa.
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) e \( I \) la matriz identidad de orden
3. Halla \( x \) distinto de cero, para que \( A - x I \) sea la inversa de la matriz \( \frac{1}{x} (A - I) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por traducir la condición del enunciado a una ecuación matricial usando la definición de matriz inversa. A continuación operaremos con la propiedad fundamental de la matriz \( A \), que es que su cuadrado es el triple de sí misma. Para terminar despejaremos el valor de \( x \) y comprobaremos que cumple la condición de ser distinto de cero.
Considera la matriz:
\( A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}\) Siendo \( I \) la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( A + \lambda I \) no tiene inversa.
Para resolver este apartado empezaremos por construir la matriz \( A + \lambda I_3 \), recordando cómo es la matriz identidad de orden tres y cómo actúa al sumarse a una matriz. A continuación calcularemos el determinante de dicha matriz aplicando la regla de Sarrus, ya que una matriz cuadrada carece de inversa precisamente cuando su determinante vale cero. Para terminar igualaremos el determinante a cero, factorizaremos el polinomio cúbico resultante extrayendo factores comunes y despejaremos los valores de \(\lambda \)
Considera las matrices: \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}\). Calcula \( m \) para que \( A \cdot B \) no tenga inversa.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto de las dos matrices. A continuación recordaremos la condición para que una matriz cuadrada no tenga inversa. Para terminar impondremos dicha condición y despejaremos \( m \)